研究非线性演化方程的可积性能够很好地描述通讯物理、流体力学和海洋工程等领域的物理现象. 目前研究可积性的方法有反散射方法^[1]、Hirota双线性方法^[2-5]、Riemann-Hilbert方法^[6]、Bäcklund变换法^[7-9]和Darboux变换法^[10]等. 本文主要基于1971年日本物理学家Hirota提出的双线性方法来研究方程的可积性. 该方法的难点之一是构造非线性演化方程的双线性形式, 而Bell多项式理论为其提供了简捷有效的途径^[11-14]. Bell多项式的概念是1934年由美国数学家Bell首次提出的, 一直是组合学界的热门课题之一. 直到1996年, Lambert、Gilson和Nimmo等人^[15]建立了Bell多项式和Hirota双线性算子之间的联系, 为非线性演化方程的精确解、双线性Bäckulund变换、Lax对和无穷守恒律等可积性质的研究提供了便捷的方法^[16-23]. 近年来, Bell多项式方法被广泛应用于非线性演化方程的可积性研究中.

本文基于Bell多项式研究一类变系数广义浅水波方程

$ \begin{equation} \begin{aligned} m_1u_{xt}+m_2u_{yt}+m_3u_{xy}&+m_4u_{xxxy}+m_5(u_{xy}u_x+u_{xx}u_y)+m_6u_{xz}=0, \end{aligned} \end{equation} $

(1.1)

其中$ m_i=m_i(t)(i=1, \cdots, 6) $为任意实函数.

当$ m_1=0, m_2=1, m_3=0, m_4=1, m_5=-3, m_6=-1 $时, 方程(1.1)化简为

$ \begin{equation} u_{yt}+u_{xxxy}-3u_xu_{xy}-3u_{xx}u_y-u_{xz}=0, \end{equation} $

(1.2)

该方程是Kadomtsev–Petviashvili(KP)族中的第二个方程^[24]. KP族是可积方程族的一个典范, 包含无限个可积非线性微分方程, 在可积系统理论中起着重要作用. 文献[25]-[28]分别讨论了方程(1.2)的多孤子解、类孤子解、有理解, 新的类孤子解, Grammian和Pfaffian解以及精确周期波解.

当$ m_1=0, m_2=2, m_3=0, m_4=1, m_5=3, m_6=-3 $时, 方程(1.1)化简为

$ \begin{equation} 2u_{yt}+u_{xxxy}+3u_xu_{xy}+3u_{xx}u_y-3u_{xz}=0, \end{equation} $

(1.3)

该方程是典型的(3+1)维Jimbo–Miwa(JM)方程^[29], 在物理中用来描述具有弱色散的三维非线性波的传播. 研究(3+1)维JM方程对于观察各种类型的高色散孤子非常重要. 文献[30]-[32]分别讨论了方程(1.3)的精确解、行波解、孤子分子和相互作用解, 文献[33]讨论了方程(1.3) 的Bäcklund变换、Lax系统、无穷守恒律和多孤子解.

在诸多领域, 变系数非线性演化方程比常系数非线性演化方程能够提供更多的信息, 更有效地描述实际现象. 本文基于方程(1.2)和(1.3)研究更一般的变系数方程(1.1), 结构如下: 第二部分基于Bell多项式获得方程(1.1)的双线性形式和孤子解, 并分析孤子解的传播与演化; 第三部分在某种约束下, 利用Bell多项式构造方程(1.1)的双线性Bäcklund变换和Lax对; 第四部分利用级数展开求出方程(1.1)的无穷守恒律; 最后给出本文的结论.

定义2.1.1 ^[34]  多维Bell多项式也称$ Y $-多项式, 定义为$ {Y_{{n_1}{x_1}, \cdots, {n_l}{x_l}}}(f)\equiv{Y_{{n_1}, \cdots, {n_l}}}({f_{{r_1}{x_1}, \cdots, {r_l}{x_l}}})=e^{-f}{\partial _{{x_1}}^{{n_1}}\cdots\partial _{{x_l}}^{{n_l}}}e^{f} \nonumber, $其中, $ f=f(x_1, \cdots, x_n) $是具有$ n $个独立变量的函数, $ l $是任意的非负整数. $ {f_{{r_1}{x_1}, \cdots, {r_l}{x_l}}}={\partial_{{x_1}}^{{r_1}}\cdots\partial_{{x_l}}^{{r_l}}}f({r_1}=0, \cdots, n_1;\cdots;{r_l}=0, \cdots, n_l) $. 当$ f=f(x, y) $时, 对应的$ Y $-多项式为

$ \begin{eqnarray} \begin{split} \nonumber &Y_{x}(f)=f_x, \;\;Y_{2x}(f)=f_{2x}+f_x^2, \\ &Y_{x, y}(f)=f_{x, y}+{f_x}{f_y}, \;\; Y_{3x}(f)=f_{3x}+3{f_{2x}}{f_x}+f_{x}^3, \\ &\cdots \end{split} \end{eqnarray} $

定义2.1.2 ^[34]  多维双Bell多项式也称$ {\cal Y} $-多项式, 定义为

$ \begin{equation} {{\cal Y}_{{n_1}{x_1}, ..., {n_l}{x_l}}}(v, w)= {Y_{{n_1}{x_1}, ..., {n_l}{x_l}}}\left( f \right)\left| {_{{f_{{r_1}{x_1}, ..., {r_l}{x_l}}}= \left\{ \begin{array}{l} {v_{{r_1}{x_1}, ..., {r_l}{x_l}}}, {r_1} + \cdots + {r_l}\mbox{为奇数}, \\ {w_{{r_1}{x_1}, ..., {r_l}{x_l}}}, {r_1} + \cdots + {r_l}\mbox{为偶数}, \end{array} \right.}} \right. \nonumber \end{equation} $

其中, $ v=v(x_1, \cdots, x_n) $和$ w=w(x_1, \cdots, x_n) $是具有$ n $个独立变量的函数. 当$ v=v(x, y) $, $ w=w(x, y) $时, 对应的$ {\cal Y} $-多项式为

$ \begin{eqnarray} \begin{split} &{\cal Y}_{x}(v, w)=v_x, \;\;{\cal Y}_{2x}(v, w)=w_{2x}+v_x^2, \\ &{\cal Y}_{x, y}(v, w)=w_{x, y}+{v_x}{v_y}, \;\;{\cal Y}_{3x}(v, w)=v_{3x}+3{v_x}{w_{2x}}+v_x^3, \\ &\cdots \end{split} \end{eqnarray} $

(2.1)

性质2.1.1 ^[14]  $ {\cal Y} $-多项式和Hirota双线性$ D $-算子的关系为

$ \begin{equation} {{\cal Y}_{{n_1}{x_1}, \cdots {n_l}{x_l}}}(v = \ln f/g, w = \ln fg) = {(fg)^{ - 1}}D_{{x_1}}^{{n_1}} \cdots D_{{x_l}}^{{n_l}}f \cdot g, \end{equation} $

(2.2)

其中$ {n_1} + {n_2} + \cdots + {n_l} \ge 1 $, Hirota双线性$ D $-算子定义为

$ \begin{equation} D_{{x_1}}^{{n_1}} \cdots D_{{x_l}}^{{n_l}}f \cdot g \equiv {({\partial _{{x_1}}} - {\partial _{x_1'}})^{{n_1}}} \cdots {({\partial _{{x_l}}} - {\partial _{x_l'}})^{{n_l}}}f({x_1}, \cdots , {x_l})g(x_1', \cdots , x_l')\left| {_{x_1' = {x_1}, \cdots , x_l' = {x_l}}} \right. \nonumber. \end{equation} $

特别地, 当$ f = g $时, 式(2.2)被化为

$ \begin{equation} \label{ident1} \begin{array}{l} {f^{ - 2}}D_{{x_1}}^{{n_1}} \cdots D_{{x_l}}^{{n_l}}f \cdot f = {{\cal Y}_{{n_1}{x_1}, \cdots {n_l}{x_l}}}(0, w = 2\ln f) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \left\{ \begin{array}{c} 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{n_1} + \cdots + {n_l}\mbox{为奇数}, \\ {P_{{n_1}{x_1}, \cdots , {n_l}{x_l}}}(w), {n_1} + \cdots + {n_l}\mbox{为偶数}, \\ \end{array} \right. \nonumber \\ \end{array} \end{equation} $

其中$ P_{{n_1}{x_1}, \cdots , {n_l}{x_l}}(w)={\cal Y}_{{n_1}{x_1}, \cdots {n_l}{x_l}}(0, w = 2\ln f) $称为$ P $-多项式. 例如$ w=w(x, y, t) $时, $ P $-多项式为

$ \begin{eqnarray} \begin{split} &{P_{t, x}}(w) = {w_{t, x}}, \;\;{P_{2x}}(w) = {w_{2x}}, \;\;{P_{3x, y}}(w) = {w_{3x, y}} + 3{w_{2x}}{w_{x, y}}, \\ &\cdots \end{split} \end{eqnarray} $

(2.3)

定理2.2.1  做变换$ u={\frac{3m_4}{m_5}}(2 \ln f)_x-\phi(y, z)(m_5\neq0) $, 则方程(1.1)的双线性形式为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \left[m_1{D_x}{D_t}+m_2{D_y}{D_t}+m_3{D_x}{D_y}+m_4D_x^3{D_t}-\phi_y(y, z) m_5D_x^2+m_6{D_x}{D_z}\right]f\cdot f=0, \end{aligned} \end{equation} $

(2.4)

其中$ f $是关于$ x, y, z $和$ t $的函数, $ \phi(y, z) $是关于$ y $和$ z $的函数.

证  引入辅助变量$ q $和$ \phi(y, z) $, 其中$ q $是关于$ x, y, z $和$ t $的实函数, $ \phi(y, z) $是关于$ y $和$ z $的函数, 并且令

$ \begin{equation} u=cq_x-\phi(y, z), \end{equation} $

(2.5)

其中$ c $是待确定的常数. 将方程(2.5)带入方程(1.1), 并且等式两边对$ x $积分一次得

$ \begin{equation} E(q)\equiv m_1q_{x, t}+m_2q_{y, t}+m_3q_{x, y}+m_4q_{3x, y}+cm_5q_{2x}q_{x, y}-\phi_y(y, z) m_5q_{2x}+m_6q_{x, z}=0. \end{equation} $

(2.6)

取$ c=\frac{3m_4}{m_5}(m_5\neq0) $, 上式化为

$ \begin{equation} E(q)\equiv m_1q_{x, t}+m_2q_{y, t}+m_3q_{x, y}+m_4(q_{3x, y}+3q_{2x}q_{x, y})-\phi_y(y, z) m_5q_{2x}+m_6q_{x, z}=0. \end{equation} $

(2.7)

并根据式(2.3), 则方程(2.7)可转化为如下$ P $-多项式形式

$ \begin{equation} \begin{aligned} m_1P_{x, t}(q)+m_2P_{y, t}(q)&+m_3P_{x, y}(q)+m_4P_{3x, y}(q)-\phi_y(y, z) m_5P_{2x}(q)+m_6P_{x, z}(q)=0. \end{aligned} \end{equation} $

(2.8)

作变量变换

$ \begin{equation} q=2 \ln f, \end{equation} $

(2.9)

且由性质(2.1.1), 可得方程(1.1)的双线性形式

$ \begin{equation} \nonumber \begin{aligned} \left[m_1{D_x}{D_t}+m_2{D_y}{D_t}+m_3{D_x}{D_y}+m_4D_x^3{D_t}-\phi_y(y, z) m_5D_x^2+m_6{D_x}{D_z}\right]f\cdot f=0. \end{aligned} \end{equation} $

证毕.

定理2.3.1   方程(1.1)有N-孤子解

$ \begin{equation} u = \frac{6m_4}{m_5}{\left[\ln \left(\sum\limits_{\mu = 0, 1}^{} {{e^{\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _i}{\xi _i} + \sum\limits_{1 \le j < s}^{} {{\mu _j}{\mu _s}{A_{js}}} } }}} \right)\right]_x}-\phi(y, z), \end{equation} $

(2.10)

其中对$ \mu $的求和应取$ \mu_j=0, 1(j=1, 2, \cdots) $所有可能的组合,

$ \begin{equation} \nonumber \xi _j=w_jt+k_jx+p_jy+l_jz+{\xi _j}^{(0)}, \end{equation} $

$ \begin{equation} \nonumber \begin{aligned} e^{A_{js}}=&-\frac{m_1(w_j-w_s)(k_j-k_s)+m_2(w_j-w_s)(p_j-p_s)+m_3(k_j-k_s)(p_j-p_s)}{symb_{js}}\\ &-\frac{m_4(k_j-k_s)^3(p_j-p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j-k_s)^2+m_6(k_j-k_s)(l_j-l_s)}{symb_{js}}, \\ symb_{js}=&m_1(w_j+w_s)(k_j+k_s)+m_2(w_j+w_s)(p_j+p_s)+m_3(k_j+k_s)(p_j+p_s)\\ &+m_4(k_j+k_s)^3(p_j+p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j+k_s)^2+m_6(k_j+k_s)(l_j+l_s), \end{aligned} \end{equation} $

这里

$ \begin{equation} \nonumber w_j=-\frac{m_3k_jp_j+m_4{k_j}^3p_j-\phi_y(y, z)m_5{k_j}^2+m_6k_jl_j}{m_1k_j+m_2p_j}, \end{equation} $

$ m_1k_j+m_2p_j\neq0 $, 且$ k_j $，$ p_j $，$ l_j $，$ {\xi _j}^{(0)}(j=1, 2, \cdots, n) $是任意常数.

证  将式(2.4)中的$ f $按参数展开成级数

$ \begin{equation} f=1+f^{(1)}\varepsilon+f^{(2)}\varepsilon^2+\cdots+f^{(j)}\varepsilon^j+\cdots, \end{equation} $

(2.11)

将展开式(2.11)带入双线性方程(2.4), 比较$ \varepsilon $的同次幂系数有

$ \begin{equation} m_1f_{tx}^{(1)}+m_2f_{ty}^{(1)}+m_3f_{xy}^{(1)}+m_4f_{xxxy}^{(1)}-\phi_y(y, z)m_5f_{xx}^{(1)} +m_6f_{xz}^{(1)}=0, \end{equation} $

(2.12)

$ \begin{equation} \begin{aligned} &2[m_1f_{tx}^{(2)}+m_2f_{ty}^{(2)}+m_3f_{xy}^{(2)}+m_4f_{xxxy}^{(2)}-\phi_y(y, z)m_5f_{xx}^{(2)}+m_6f_{xz}^{(2)}] \\ =&-\left[m_1D_xD_t+m_2D_yD_t+m_3D_xD_y+m_4D_x^3D_t-\phi_y(y, z)m_5D_x^2+m_6D_xD_z\right]f^{(1)}\cdot f^{(1)}, \end{aligned} \end{equation} $

(2.13)

$ \begin{equation} \begin{aligned} &2[m_1f_{tx}^{(3)}+m_2f_{ty}^{(3)}+m_3f_{xy}^{(3)}+m_4f_{xxxy}^{(3)}-\phi_y(y, z)m_5f_{xx}^{(3)}+m_6f_{xz}^{(3)}] \\ &=-\left[m_1D_xD_t+m_2D_yD_t+m_3D_xD_y+m_4D_x^3D_t-\phi_y(y, z)m_5D_x^2+m_6D_xD_z\right]f^{(1)}\cdot f^{(2)}, \end{aligned} \end{equation} $

(2.14)

$ \begin{equation} \vdots \nonumber \end{equation} $

(ⅰ) 单孤子解

方程(2.12)是关于$ f^{(1)} $的一个线性微分方程, 容易得到指数形式解

$ \begin{equation} f^{(1)}=e^{\xi _1}, \;\;\;\xi _1=w_1t+k_1x+p_1y+l_1z+{\xi ^{(0)}_1}, \end{equation} $

(2.15)

其中

$ \begin{equation} \nonumber w_1=-\frac{m_3k_1p_1+m_4{k_1}^3p_1-\phi_y(y, z)m_5{k_1}^2+m_6k_1l_1}{m_1k_1+m_2p_1}, \end{equation} $

这里$ m_1k_1+m_2p_1\neq0 $, 且$ k_1 $，$ p_1 $，$ l_1 $，$ {\xi ^{(0)}_1} $是任意常数.

取$ f^{(j)}=0(j=2, 3, \cdots) $, 则双线性方程(2.4)有解

$ \begin{equation} f=1+e^{\xi_1}, \end{equation} $

(2.16)

注意这里扰动参数$ \varepsilon $可被吸收到任意常数$ {\xi ^{(0)}_1} $中. 进而方程(1.1)的单孤子解为

$ \begin{equation} u=\frac{6m_4}{m_5}{\Big[\ln (1 + {e^{{\xi _1}}})\Big]_x}-\phi(y, z). \end{equation} $

(2.17)

(ⅱ) 双孤子解

由于(2.12)是关于$ f^{(1)} $的线性微分方程, 所以$ f^{(1)} $有叠加解

$ \begin{equation} f^{(1)}=e^{\xi_1}+e^{\xi_2}, \;\;\xi_j=w_jt+k_jx+p_jy+l_jz+\xi_j^{(0)}(j=1, 2), \end{equation} $

(2.18)

其中

$ \begin{equation} \nonumber w_j=-\frac{m_3k_jp_j+m_4{k_j}^3p_j-\phi_y(y, z)m_5{k_j}^2+m_6k_jl_j}{m_1k_j+m_2p_j}(j=1, 2). \end{equation} $

将(2.18)代入(2.13)得

$ \begin{equation} \begin{aligned} &m_1f_{tx}^{(2)}+m_2f_{ty}^{(2)}+m_3f_{xy}^{(2)}+m_4f_{xxxy}^{(2)}-\phi_y(y, z)m_5f_{xx}^{(2)}+m_6f_{xz}^{(2)}\\ &=-\left[{m_1(w_1-w_2)(k_1-k_2)+m_2(w_1-w_2)(p_1-p_2)+m_3(k_1-k_2)(p_1-p_2)}\right.\\ &\left.{+m_4(k_1-k_2)^3(p_1-p_2)-\phi_y(y, z)m_5(k_1-k_2)^2+m_6(k_1-k_2)(l_1-l_2)}\right]e^{\xi_1+\xi_2}. \end{aligned} \end{equation} $

(2.19)

解得

$ \begin{equation} f^{(2)}=e^{\xi_1+\xi_2+A_{12}}, \end{equation} $

(2.20)

其中

$ \begin{equation} \nonumber \begin{aligned} e^{A_{12}}=&-\frac{m_1(w_1-w_2)(k_1-k_2)+m_2(w_1-w_2)(p_1-p_2)+m_3(k_1-k_2)(p_1-p_2)}{symb_{12}}\\ &-\frac{m_4(k_1-k_2)^3(p_1-p_2)-\phi_y(y, z)m_5(k_1-k_2)^2+m_6(k_1-k_2)(l_1-l_2)}{symb_{12}}, \\ symb_{12}=&m_1(w_1+w_2)(k_1+k_2)+m_2(w_1+w_2)(p_1+p_2)+m_3(k_1+k_2)(p_1+p_2)\\ &+m_4(k_1+k_2)^3(p_1+p_2)-\phi_y(y, z)m_5(k_1+k_2)^2+m_6(k_1+k_2)(l_1+l_2). \end{aligned} \end{equation} $

取$ f^{(3)}=f^{(4)}=f^{(5)}=\cdots=0 $, 双线性方程(2.4)有解

$ \begin{equation} f=1+e^{\xi_1}+e^{\xi_2}+e^{\xi_1+\xi_2+A_{12}}, \end{equation} $

(2.21)

从而方程(1.1)的双孤子解为

$ \begin{equation} u=\frac{6m_4}{m_5}{\Big[\ln (1 + {e^{\xi _1}}+e^{\xi_2}+e^{\xi_1+\xi_2+A{12}})\Big]_x}-\phi(y, z). \end{equation} $

(2.22)

(ⅲ) 三孤子解

类似地可得方程(1.1)的三孤子解为

$ \begin{align} u = &\frac{6m_4}{m_5}{\Big[\ln (1 + {e^{{\xi _1}}} + {e^{{\xi _2}}} +{e^{{\xi _3}}} + {e^{{\xi _1} + {\xi _2} + {A_{12}}}}+{e^{{\xi _1} + {\xi _3} + {A_{13}}}}+{e^{{\xi _2} + {\xi _3} + {A_{23}}}}+{e^{{\xi _1} + {\xi _2} + {\xi _3} {A_{12}}+{A_{13}}+{A_{23}}}})\Big]_x} \\ &-\phi(y, z), \end{align} $

(2.23)

其中

$ \begin{equation} \nonumber \begin{aligned} e^{A_{js}}=&-\frac{m_1(w_j-w_s)(k_j-k_s)+m_2(w_j-w_s)(p_j-p_s)+m_3(k_j-k_s)(p_j-p_s)}{symb_{js}}\\ &-\frac{m_4(k_j-k_s)^3(p_j-p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j-k_s)^2+m_6(k_j-k_s)(l_j-l_s)}{symb_{js}}, \\ symb_{js}=&m_1(w_j+w_s)(k_j+k_s)+m_2(w_j+w_s)(p_j+p_s)+m_3(k_j+k_s)(p_j+p_s)\\ &+m_4(k_j+k_s)^3(p_j+p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j+k_s)^2+m_6(k_j+k_s)(l_j+l_s), \end{aligned} \end{equation} $

$ \begin{equation} \nonumber \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(j<s, j, s=1, 2, 3). \end{equation} $

(ⅳ) N-孤子解

归纳可得方程(1.1)的N-孤子解为

$ \begin{equation} \nonumber u = \frac{6m_4}{m_5}{\left[\ln \left(\sum\limits_{\mu = 0, 1}^{} {{e^{\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _i}{\xi _i} + \sum\limits_{1 \le j < s}^{} {{\mu _j}{\mu _s}{A_{js}}} } }}} \right)\right]_x}-\phi(y, z), \end{equation} $

其中对$ \mu $的求和应取$ \mu_j=0, 1(j=1, 2, \cdots) $所有可能的组合,

$ \begin{equation} \nonumber \xi _j=w_jt+k_jx+p_jy+l_jz+{\xi _j}^{(0)}, \end{equation} $

$ \begin{equation} \nonumber \begin{aligned} e^{A_{js}}=&-\frac{m_1(w_j-w_s)(k_j-k_s)+m_2(w_j-w_s)(p_j-p_s)+m_3(k_j-k_s)(p_j-p_s)}{symb_{js}}\\ &-\frac{m_4(k_j-k_s)^3(p_j-p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j-k_s)^2+m_6(k_j-k_s)(l_j-l_s)}{symb_{js}}, \\ symb_{js}=&m_1(w_j+w_s)(k_j+k_s)+m_2(w_j+w_s)(p_j+p_s)+m_3(k_j+k_s)(p_j+p_s)\\ &+m_4(k_j+k_s)^3(p_j+p_s)-\phi_y(y, z)m_5(k_j+k_s)^2+m_6(k_j+k_s)(l_j+l_s), \end{aligned} \end{equation} $

这里

$ \begin{equation} \nonumber w_j=-\frac{m_3k_jp_j+m_4{k_j}^3p_j-\phi_y(y, z)m_5{k_j}^2+m_6k_jl_j}{m_1k_j+m_2p_j}, \end{equation} $

$ m_1k_j+m_2p_j\neq0 $, 且$ k_j $，$ p_j $，$ l_j $，$ {\xi _j}^{(0)}(j=1, 2, \cdots, n) $是任意常数.

接下来以$ \phi_y(y, z)=2 $为例, 讨论孤子解的传播和相互作用.

图 1–图 6给出了系数$ m_4 $为常数($ m_4=1 $)和$ t $的线性函数($ m_4=t $)时, 单孤子解、双孤子解和三孤子解在$ x-t $、$ y-t $和$ z-t $平面上的传播. 从图中可以看出, 单孤子解是亮孤子解, 波在传播过程中振幅保持不变; 双孤子解和三孤子解中, 孤波发生碰撞后会快速恢复到原来的形状, 保持振幅不变. 同时, 当系数$ m_4 $为常数时, 波的传播方向不改变; 当系数$ m_4 $为$ t $的线性函数时, 波的传播方向发生改变.

定理3.1.1  假设$ f $和$ g $是双线性方程(2.4)的两个解, 则方程(1.1)的双线性Bäcklund变换为

$ \begin{align} &(D_xD_y-\lambda D_x)f \cdot g=0, \end{align} $

(3.1a)

$ \begin{align} &\big[m_1D_t+m_3D_y-m_5\phi_y(y, z)D_x+m_6D_z\big]f \cdot g=0, \end{align} $

(3.1b)

$ \begin{align} &(m_2D_t+m_4D_x^3)f \cdot g=0. \end{align} $

(3.1c)

证  设$ q=2\ln f $和$ \tilde{q}=2\ln g $均是方程(2.7)的解, 引进两个新的独立变量

$ \begin{equation} w=\frac{\tilde{q}+q}{2}=\ln (fg), v=\frac{\tilde{q}-q}{2}=\ln {\frac{f}{g}}, \end{equation} $

(3.2)

则

$ \begin{equation} q=w-v, \tilde{q}=w+v, \end{equation} $

(3.3)

且由式(2.7)知, $ q $和$ \tilde{q} $满足二场条件

$ \begin{eqnarray} \begin{split} E(\tilde{q})-E(q)&=E(w+v)-E(w-v)\\ &=2m_1v_{xt}+2m_2v_{yt}+2m_3v_{xy}+m_4\Big[2v_{3x, y}+3(2w_{2x}v_{xy}+2w_{xy}v_{2x})\Big]\\ &\;\;\;-2m_5\phi_y(y, z)v_{2x}+2m_6v_{xz}. \end{split} \end{eqnarray} $

(3.4)

根据式(2.1), 条件(3.4)可以重新写作

$ \begin{eqnarray} \begin{split} \frac{1}{2}\Big[E(\tilde{q})-E(q)\Big]&=\partial x\Big[m_1{\cal Y}_t(v, w)+m_3{\cal Y}_y(v, w)-m_5\phi_y(y, z){\cal Y}_x(v, w)+m_6{\cal Y}_z(v, w)\Big]\\ &\;\;\;+\partial y\Big[m_2{\cal Y}_t(v, w)+m_4{\cal Y}_{3x}(v, w)\Big]+3m_4R(v, w), \end{split} \end{eqnarray} $

(3.5)

其中

$ \begin{equation} R(v, w)=Wr\big[{\cal Y}_{x, y}(v, w), {\cal Y}_x(v, w)\big]. \end{equation} $

(3.6)

这里$ Wr $代表$ Wronski $行列式, $ Wr\big[{\cal Y}_{x, y}(v, w), {\cal Y}_x(v, w)\big]=w_{xy}v_{2x}-w_{2x, y}v_x-v^2_xv_{xy} $.

引入限制条件

$ \begin{equation} {\cal Y}_{x, y}(v, w)-\lambda {\cal Y}_x(v, w)=0, \end{equation} $

(3.7)

其中$ \lambda $是常数, 则$ R(v, w)=0 $, 从而方程(1.1)有以下$ {\cal Y} $-多项式型的$ B\ddot{a}cklund $变换

$ \begin{align} &{\cal Y}_{x, y}(v, w)-\lambda {\cal Y}_x(v, w)=0, \end{align} $

(3.8a)

$ \begin{align} &m_1{\cal Y}_t(v, w)+m_3{\cal Y}_y(v, w)-m_5\phi_y(y, z){\cal Y}_x(v, w)+m_6{\cal Y}_z(v, w)=0, \end{align} $

(3.8b)

$ \begin{align} &m_2{\cal Y}_t(v, w)+m_4{\cal Y}_{3x}(v, w)=0. \end{align} $

(3.8c)

结合$ {\cal Y} $-多项式和Hirota双线性$ D $-算子的关系式(2.2), 可得到方程(1.1)的双线性$ B\ddot{a}cklund $变换

$ \begin{align} &(D_xD_y-\lambda D_x)f \cdot g=0, \end{align} $

(3.9a)

$ \begin{align} &\big[m_1D_t+m_3D_y-m_5\phi_y(y, z)D_x+m_6D_z\big]f \cdot g=0, \end{align} $

(3.9b)

$ \begin{align} &(m_2D_t+m_4D_x^3)f \cdot g=0. \end{align} $

(3.9c)

证毕.

定理3.2.1  通过Hopf-Cole变换, 方程(1.1)的Lax对为

$ \begin{align} &\psi_{x, y}-\lambda \psi_{x}+\frac{m_5}{3m_4}\big[u_y+\phi_y(y, z)\big]\psi=0, \end{align} $

(3.10a)

$ \begin{align} &(m_1+m_2)\psi_t+m_5\big[u_x-\phi_y(y, z)\big]\psi_x+m_4\psi_{3x}+m_3\psi_y+m_6\psi_z=0, \end{align} $

(3.10b)

其中$ \lambda $是任意参数.

证  做Hopf-Cole变换$ v=\ln \psi $, 结合式(2.1)和(3.3)可得

$ \begin{eqnarray} \begin{split} &{{\cal Y}_t}(v, w)={{\cal Y}_t}(v, v+q)={\psi_t}/\psi, \quad {{\cal Y}_x}(v, w)={{\cal Y}_x}(v, v+q)={\psi_x}/\psi, \\ &{{\cal Y}_y}(v, w)={{\cal Y}_y}(v, v+q)={\psi_y}/\psi, \quad {{\cal Y}_z}(v, w)={{\cal Y}_z}(v, v+q)={\psi_z}/\psi, \\ &{{\cal Y}_{x, y}}(v, w)={{\cal Y}_{x, y}}(v, v+q)=q_{x, y}+{\psi_{x, y}}/\psi, \\ &{{\cal Y}_{3x}}(v, w)={{\cal Y}_{3x}}(v, v+q)=3q_{2x}{\psi_x}/\psi+{\psi_{3x}}/\psi. \end{split} \end{eqnarray} $

从而$ {\cal Y} $-多项式型的$ B\ddot{a}cklund $变换(3.8)被线性化为含有参数$ \lambda $的线性系统

$ \begin{align} &\psi_{x, y}-\lambda \psi_{x}+q_{x, y}\psi=0, \end{align} $

(3.11a)

$ \begin{align} &m_1\psi_t+m_3\psi_y-m_5\phi_y(y, z)\psi_x+m_6\psi_z=0, \end{align} $

(3.11b)

$ \begin{align} &m_2\psi_t+3m_4q_{2x}\psi_x+m_4\psi_{3x}=0. \end{align} $

(3.11c)

从而

$ \begin{align} &\psi_{x, y}-\lambda \psi_{x}+q_{x, y}\psi=0, \\ &(m_1+m_2)\psi_t+\big[3m_4q_{2x}-m_5\phi_y(y, z)\big]\psi_x+m_4\psi_{3x}+m_3\psi_y+m_6\psi_z=0. \end{align} $

(3.12)

通过变换(2.5), 求得方程(1.1)的Lax对

$\begin{align} &\psi_{x, y}-\lambda \psi_{x}+\frac{m_5}{3m_4}\big[u_y+\phi_y(y, z)\big]\psi=0, \\ &(m_1+m_2)\psi_t+m_5\big[u_x-\phi_y(y, z)\big]\psi_x+m_4\psi_{3x}+m_3\psi_y+m_6\psi_z=0. \end{align}$

容易验证相容性条件$ \psi_{xyt}=\psi_{txy} $可以推出方程(1.1), 证毕.

定理4.1  通过级数展开, 方程(1.1)有以下无穷守恒律

$ \begin{equation} {\cal J}_{n, t}+{\cal F}_{n, x}+m_4{\cal G}_{n, y}+m_6{\cal H}_{n, z}=0, \;\;n=1, 2, 3, \cdots, \end{equation} $

(4.1)

其中守恒密度$ {\cal J}_n $的显式公式为

$ \begin{equation} {\cal J}_n=m_1({\partial^{-1}_y{{\cal I}_{n, x}}})+m_2{{\cal I}_n}, n=1, 2, \cdots. \end{equation} $

(4.2)

第一个连带流$ {\cal F}_n $的递推公式为

$ \begin{equation} {\cal F}_n=m_3{\cal I}_n+m_4{{\cal I}_{n, 2x}}-m_5\phi _y(y, z)(\partial^{-1}_y {\cal I}_{n, x}), n=1, 2, \cdots. \end{equation} $

(4.3)

第二个连带流$ {\cal G}_n $的递推公式为

$ \begin{eqnarray} \begin{split} {\cal G}_1=&\frac{m_5}{m_4}u_x({\partial^{-1}_y {\cal I}_{1, x}}), \\ {\cal G}_2=&3(\partial^{-1}_y {\cal I}_{1, 2x})(\partial^{-1}_y {\cal I}_{1, x})+\frac{m_5}{m_4}u_x({\partial^{-1}_y {\cal I}_{2, x}}), \\ {\cal G}_n=&3\sum\limits_{k=1}^{n-1}({\partial^{-1}_y {\cal I}_{k, 2x}})({\partial^{-1}_y {\cal I}_{n-k, x}})+\frac{m_5}{m_4}u_x({\partial^{-1}_y {\cal I}_{n, x}}) \\ &+\sum\limits_{i+j+k=n}(\partial^{-1}_y {\cal I}_{i, x})(\partial^{-1}_y {\cal I}_{j, x})(\partial^{-1}_y {\cal I}_{k, x}), n=3, 4, \cdots. \end{split} \end{eqnarray} $

(4.4)

剩余连带流$ {\cal H}_n $的递推公式为

$ \begin{equation} {\cal H}_n=\partial^{-1}_y {\cal I}_{n, x}, n=1, 2, \cdots. \end{equation} $

(4.5)

这里守恒密度$ {\cal I}_n $的递归关系如下

$ \begin{eqnarray} \begin{split} {\cal I}_1&=-q_{2y}=-\frac{m_5}{3m_4}\big[\partial^{-1}_x \big(u_{2y}+\phi_{2y}(y, z)\big)\big], \\ {\cal I}_2&=-{\cal I}_{1, y}+\lambda {\cal I}_1=q_{3y}-\lambda q_{2y}\\ &=\frac{m_5}{3m_4}\big[\partial^{-1}_x\big(u_{3y}+\phi_{3y}(y, z)\big)\big]-\frac{\lambda m_5}{3m_4}\big[\partial^{-1}_x\big(u_{2y}+\phi_{2y}(y, z)\big)\big], \\ {\cal I}_n&=-{\cal I}_{n-1, y}+\lambda {\cal I}_{n-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-2}\partial^{-1}_x\partial y({\cal I}_k \partial^{-1}_y {{\cal I}_{n-k-1, x}}), n=3, 4, \cdots. \end{split} \end{eqnarray} $

(4.6)

证  由关系$ \partial x{\cal Y}_t(v)=\partial t{\cal Y}_x(v)=v_{x, t} $, $ \partial x{\cal Y}_z(v)=\partial z{\cal Y}_x(v)=v_{x, z} $, 则式(3.8)可以化为

$ \begin{align} &w_{xy}+v_xv_y-\lambda v_x=0, \end{align} $

(4.7a)

$ \begin{align} &\partial t(m_1v_x+m_2v_y)+\partial x\big[m_3v_y+m_4v_{2x, y}-m_5\phi_y(y, z)v_x\big]+m_4\partial y(3w_{2x}v_x+{v_x}^3) \\ &+m_6\partial z(v_x)=0. \end{align} $

(4.7b)

引进一个新的势函数

$ \begin{equation} \eta=\frac{\tilde{q}_y-q_y}{2}, \end{equation} $

(4.8)

则由关系式(3.2)可得

$ \begin{equation} v_y=\eta, w_y=q_y+\eta. \end{equation} $

(4.9)

将(4.9)式代入(4.7)式, 得到一个Riccati型方程

$ \begin{equation} q_{xy}+\eta_x+\eta(\partial^{-1}_y\eta_x)-\lambda(\partial^{-1}_y\eta_x)=0, \end{equation} $

(4.10)

和一个离散型方程

$ \begin{eqnarray} \begin{split} &\partial t[m_1(\partial^{-1}_y\eta_x)+m_2\eta]+\partial x\big[m_3\eta+m_4\eta_{2x}-m_5\phi_y(y, z)(\partial^{-1}_y\eta_x)\big] \\ &+m_4\partial y \big[3(\partial^{-1}_y\eta_{xx}+q_{2x})(\partial^{-1}_y\eta_x)+(\partial^{-1}_y\eta_x)^3 \big]+m_6\partial z(\partial^{-1}_y\eta_x)=0. \end{split} \end{eqnarray} $

(4.11)

将展开式

$ \begin{equation} \eta=\varepsilon+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_n(q, q_x, q_{2x}, \cdots)\varepsilon^{-n}, \end{equation} $

(4.12)

代入方程(4.10)并令$ \varepsilon $各幂次系数为零

$ \begin{eqnarray} \begin{split} \varepsilon^0&:\partial^{-1}_y{\cal I}_{1, x}+q_{x, y}=0, \\ \varepsilon^{-1}&:{\cal I}_{1, x}+\partial^{-1}_y{\cal I}_{2, x}-\lambda(\partial^{-1}_y{\cal I}_{1, x})=0, \\ \varepsilon^{-2}&:{\cal I}_{2, x}+\partial^{-1}_y{\cal I}_{3, x}+{\cal I}_1(\partial^{-1}_y{\cal I}_{1, x})-\lambda(\partial^{-1}_y{\cal I}_{2, x})=0, \\ \varepsilon^{-3}&:{\cal I}_{3, x}+\partial^{-1}_y{\cal I}_{4, x}+{\cal I}_1(\partial^{-1}_y{\cal I}_{2, x})+{\cal I}_2(\partial^{-1}_y{\cal I}_{1, x})-\lambda(\partial^{-1}_y{\cal I}_{3, x})=0, \\ &\vdots \end{split} \end{eqnarray} $

(4.13)

得到守恒密度的递推关系式(4.6). 再将展开式(4.12)代入式(4.11), 有

$ \begin{eqnarray} \begin{split}\nonumber &\partial t[m_1(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n})+m_2\varepsilon+m_2\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_n\varepsilon^{-n}]+\partial x[m_3\varepsilon+m_3\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_n\varepsilon^{-n} \\ &+m_4\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, 2x}\varepsilon^{-n}-m_5\phi_y(y, z)(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n})] \\ &+m_4\partial y[3(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, 2x}\varepsilon^{-n})(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n})+3q_{2x}(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n})+(\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n})^3] \\ &+m_6\partial z[\partial^{-1}_y\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\cal I}_{n, x}\varepsilon^{-n}]=0, \end{split} \end{eqnarray} $

比较$ \varepsilon $的幂次系数, 可得无穷守恒律

$ \begin{equation} \nonumber {\cal J}_{n, t}+{\cal F}_{n, x}+m_4{\cal G}_{n, y}+m_6{\cal H}_{n, z}=0, \;\;n=1, 2, 3, \cdots. \end{equation} $

在无穷守恒律(4.1)中, 守恒密度的显式公式$ {\cal J}_n $由式(4.2)给出, 第一连带流$ {\cal F}_n $、第二连带流$ {\cal G}_n $和剩余连带流$ {\cal H}_n $分别由式(4.3)、(4.4)和(4.5)给出. 证毕.

本文研究了(3+1)维变系数广义浅水波方程(1.1)的可积性, 主要研究结果如下: 基于Bell多项式方法, 获得了方程(1.1)的双线性表达式(2.4); 进而推导出了方程(1.1)的单孤子解(2.17)、双孤子解(2.22)、三孤子解(2.23)以及N-孤子解(2.10), 通过图像发现孤波在传播过程中振幅保持不变, 且系数$ m_4 $影响孤波的传播方向; 除此之外, 运用Bell多项式方法构造了方程(1.1)的双线性Bäcklund变换(3.1)、Lax对(3.10)和无穷守恒律(4.1). 我们希望本文的论述能用于研究数学、物理等其他领域中的类似问题.