Turnpike性质的研究源自于经济学领域. 简单来说, turnpike性质就是我们可以根据系统所研究的最优控制问题来设置相应的参考系统及控制问题, 进而得到最优解的近似描述. 近些年来, 许多学者研究了连续控制系统的最优控制问题的turnpike性质. 例如, Porretta和Zuazua在[1]中针对线性系统提出在能控和能观的假设条件下, 最优解在足够大的时间范围内保持指数接近于参考控制问题的最优解, 并把这种定量行为称作指数turnpike性质. 此外, 在[2]中, 作者提出在适当的能控性条件和其他的假设下, 可以建立非线性控制系统的有限维最优控制问题的局部指数turnpike性质. 在[3]中, 作者指出[1]和[2]中的参考问题需要满足一些稳定性条件, 为此作者放宽约束条件, 提出了松弛最优控制问题并证明了松弛最优控制问题的积分turnpike性质与均方turnpike性质.

脉冲控制是一种非常重要的控制方式. 在许多情况下, 脉冲控制可以提供一种有效的方法来处理无法承受连续控制输入的系统, 具有非常广泛的应用(参考[4]–[6]). 关于脉冲控制系统的一些常用理论可参考[7]–[12]. 本文在已有理论的基础上, 针对一类常微分方程周期脉冲控制系统的最优控制问题, 提出了相应的控制问题作为参考, 并利用两个问题的最大值原理得到了最优控制问题的均方turnpike性质以及最优控制的近似估计.

在本文中, 我们用$ \mathbb{N}^+ $表示全体正整数的集合; $ \mathbb{N} $表示全体自然数的集合; $ M^\top $表示矩阵$ M $的转置; $ \sigma(M) $表示矩阵$ M $的全体特征值的集合. 给定$ T_0>0 $, $ 0<\tau<T_0 $, 设$ A\in\mathbb{R}^{n\times n} $, $ B\in \mathbb{R}^{n\times m} $ (其中$ n $, $ m\in\mathbb{N}^+ $). 本文考虑以$ T_0 $为周期的常微分方程脉冲控制系统:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dy(t)}{dt}=Ay(t), & t\in [0, +\infty]\backslash \{\tau+kT_0\}_{k\in\mathbb{N}}, \\ y(\tau+kT_0)=y^-(\tau+kT_0)+Bu_k, &k\in\mathbb{N}, \\ y(0)=y_0. \end{cases} \end{equation} $

(1.1)

在该系统中, $ y_0\in\mathbb{R}^n $是系统的初始状态, $ u=(u_k)_{k\in\mathbb{N}}\in l^2(\mathbb{N};\mathbb{R}^m) $为系统的控制, 控制以脉冲的形式在时刻$ \tau+kT_0\;(k\in\mathbb{N}) $加入到系统中. 在这里以及本文中, 我们用$ y^-(t) $表示函数$ y(\cdot) $在$ t $时刻的左极限, 将系统(1.1)的解记为$ y(\cdot;u) $.

首先, 我们介绍本文要考虑的长时间最优控制问题. 设$ z\in\mathbb{R}^n $. 任给$ T>T_0 $, 记

$ N_T:=\max\{k\in\mathbb{N}\;:\;\tau+kT_0\leq T\}\;\mbox{及}\;\Lambda_T:=\{0, 1, ..., N_T\}. $

对于任意的$ u=(u_k)_{k\in{\Lambda_T}}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $, 我们将方程(1.1)限制在$ [0, T] $上的解仍记为$ y(\cdot;u) $. 设目标泛函$ J^T(\cdot):l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m)\to\mathbb{R} $按照如下方式定义:

$ \begin{equation*} \label{key-1:2} J^T(u):=\int_0^T\|y(t;u)-z\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|u_k\|_{\mathbb{R}^m}^2, \;\;\forall\; u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m). \end{equation*} $

长时间最优控制问题$ (P_T) $: 寻找最优控制$ u^T\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $, 使得$ J^T(u^T)=\inf_{u\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m)}J^T(u). $相应地, 我们称$ y(\cdot;u^T) $是问题$ (P_T) $的最优状态, 简记为$ y^T(\cdot) $.

其次, 我们介绍$ [0, T_0] $上的周期最优控制问题. 考虑系统:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dx(t)}{dt}=Ax(t), & t\in [0, T_0]\backslash \{\tau\}, \\ x(\tau)=x^-(\tau)+Bu, \\ x(0)=x(T_0), \end{cases} \end{equation} $

(1.2)

其中$ u\in\mathbb{R}^m $是系统的控制. 在本文中, 我们假设系统(1.2)总有唯一的解, 记为$ x(\cdot;u) $(见注1.2). 设目标泛函$ J^0(\cdot):\mathbb{R}^m\to\mathbb{R} $按照如下方式定义:

$ \begin{equation*} \label{key-1:4} J^0(u):=\int_0^{T_0}\|x(t;u)-z\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+\|u\|_{\mathbb{R}^m}^2, \;\;\forall\; u\in \mathbb{R}^m. \end{equation*} $

周期最优控制问题$ (P_0) $: 寻找最优控制$ u^0\in\mathbb{R}^m $使得$ J^0(u^0)=\inf_{u\in\mathbb{R}^m}J^0(u). $相应地, 我们称$ x(\cdot;u^0) $是问题$ (P_0) $的最优状态, 简记为$ x^0(\cdot) $.

我们将问题$ (P_0) $的最优状态$ x^0(\cdot) $以$ T_0 $为周期延拓至$ [0, +\infty) $上, 仍记为$ x^0(\cdot) $, 即它满足方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dx^0(t)}{dt}=Ax^0(t), & t\in [0, T]\backslash \{\tau+kT_0\}_{k\in\mathbb{N}}, \\ x^0(\tau+kT_0)={x^0}^-(\tau+kT_0)+Bu^0, &k\in\mathbb{N}, \\ x^0(kT_0)=x^0((k+1)T_0), &k\in\mathbb{N}. \end{cases} \end{equation} $

(1.3)

本文的主要结果为下面的定理1.1.

定理1.1  假设

(ⅰ)任给$ u\in\mathbb{R}^m $, 系统(1.2)都有唯一的解,

(ⅱ)存在$ N_0\in\mathbb{N} $, 使得$ {\rm rank}\{e^{-A\tau}B, e^{-A(\tau+T_0)}B, \cdots, e^{-A(\tau+{N_0}T_0)}B\}=n, $

那么

$ \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T\|y^T(t)-x^0(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt= 0, $

并且

$ \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{N_T+1}\sum\limits_{k=0}^{N_T} \|u_k^T- u^0\|_{\mathbb{R}^m}^2=0. $

注1.1  ^[4] 当$ T\to\infty $时, 若$ \frac{1}{T} \int_0^T\|y^T(t)-x^0(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\rightarrow 0, $我们就称问题$ (P_T) $具有均方turnpike性质.

注1.2  事实上, 我们可以给出一些条件, 使得任给$ u\in\mathbb{R}^m $, 系统(1.2) 均有唯一的解. 例如, 假设任意$ \lambda\in\sigma(A) $, 均满足$ \rm{Re}\lambda<0 $, 并且$ T_0 $充分大. 此时, 我们考虑方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dz(t)}{dt}=Az(t), &t\in [0, T_0]\backslash \{\tau\}, \\ z(\tau)=z^-(\tau)+Bu, \\ z(0)=d_0, \end{cases} \end{equation} $

(1.4)

任给$ d_0\in\mathbb{R}^n $以及$ u\in\mathbb{R}^m $, 方程(1.4)均有唯一的解, 记为$ z(\cdot;u, d_0). $

设$ S_u(\cdot):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n $按照如下方式定义:

$ S_u(d_0):=z(T_0;u, d_0), \;\;\forall\;u\in\mathbb{R}^m. $

任取$ d_1 $, $ d_2\in\mathbb{R}^n $, 令$ h(t)=z(t;u, d_1)-z(t;u, d_2), \;\;\forall\;t\in [0, T_0], $则$ h(\cdot) $满足

$ \begin{equation*} \label{key-2:9} \begin{cases} \frac{dh(t)}{dt}=Ah(t), & t\in [0, T_0], \\ h(0)=d_1-d_2.\\ \end{cases} \end{equation*} $

那么$ h(t)=e^{At}(d_1-d_2), \;\;\forall\;t\in[0, T_0]. $设$ \lambda_1=\max\{\lambda:\lambda\in\sigma(A)\} $. 由假设可知, $ \lambda_1<0 $, 那么存在$ C>0 $, 使得

$ \|e^{At}d\|_{\mathbb{R}^n}\leq Ce^{\frac{\lambda_1}{2}t}\|d\|_{\mathbb{R}^n}, \;\;\forall\;d\in\mathbb{R}^n. $

因此, 只要$ T_0>\max\{0, -\frac{2\rm{ln}C}{\lambda_1}\} $, 就有

$ \|S_u(d_1)-S_u(d_2)\|_{\mathbb{R}^n}=\|h(T_0)\|_{\mathbb{R}^n}\leq \delta\|d_1-d_2\|_{\mathbb{R}^n}, $

其中$ \delta=Ce^{\frac{\lambda_1}{2} T_0}<1 $. 根据压缩映射原理可知, 存在唯一的$ d_0\in\mathbb{R}^n $, 使得$ x(T_0;u, d_0)=d_0 $. 故系统(1.2)在$ [0, {T_0}] $上有唯一解.

注1.3  条件(ⅱ): 存在$ N_0\in\mathbb{N} $, 使得$ {\rm rank}\{e^{-A\tau}B, e^{-A(\tau+T_0)}B, \cdots, e^{-A(\tau+{N_0}T_0)}B\}=n. $一般称为能控性条件, 详情可参见[13].

本文剩余部分安排如下: 第2节介绍两个最优控制问题的最大值原理, 第3节给出定理1.1的证明.

定理2.1  给定$ T>T_0 $. 假设问题$ (P_T) $的最优状态, 最优控制分别为$ y^T(\cdot) $和$ u^T=(u_k^T)_{k\in\Lambda_T} $, 那么存在伴随状态$ p^T(\cdot)\in C^1([0, T];\mathbb{R}^n) $满足

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp^T(t)}{dt}=-A^\top p^T(t)+y^T(t)-z, & t\in [0, T], \\ p^T(T)=0, \end{cases} \end{equation} $

(2.1)

并且

$ \begin{equation} u_k^T=B^\top p^T(\tau+k{T_0}), \;\;\forall\; k\in\Lambda_T. \end{equation} $

(2.2)

证  由于$ u^T $是问题$ (P_T) $的最优控制, 因此对于任意的$ u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $都有

$ \begin{equation*} \frac{J^T(u^T+\lambda u)-J^T(u^T)}{\lambda}\geq 0, \;\;\forall\;\lambda>0, \end{equation*} $

即

$ \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\lambda}\int_0^T\left(\|y(t;u^T+\lambda u)-z\|_{\mathbb{R}^n}^2-\|y^T(t)-z\|_{\mathbb{R}^n}^2\right)dt\;\;\;\;\\ +\frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left(\|u_k^T+\lambda u_k\|_{\mathbb{R}^m}^2-\|u_k^T\|_{\mathbb{R}^m}^2\right)\geq0, \;\;\forall\;\lambda>0.\\ \end{split} \end{equation} $

(2.3)

任意给定$ u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $, 令

$ Y(t)=\frac{y(t;u^T+\lambda u)-y^T(t)}{\lambda}, \;\;\forall\;t\in[0, T], $

则$ Y(t) $满足

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dY(t)}{dt}=AY(t), & t\in [0, T]\backslash \{\tau+k{T_0}\}_{k\in\Lambda_T}, \\ Y(\tau+k{T_0})=Y^-(\tau+k{T_0})+Bu_k, &k\in\Lambda_T, \\ Y(0)=0. \end{cases} \end{equation} $

(2.4)

将$ Y(t) $代入到(2.3)中可得

$ \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{\lambda}\int_0^T\left(\|y^T(t)+\lambda Y(t)-z\|_{\mathbb{R}^n}^2-\|y^T(t)-z\|_{\mathbb R^n}^2\right)dt+ \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left(\|u_k^T+\lambda u_k\|_{\mathbb{R}^m}^2-\|u_k^T\|_{\mathbb{R}^m}^2\right)\geq 0, \\ \;\;\forall\;\lambda>0. \end{split} \end{equation*} $

进一步计算可得

$ \begin{equation*} \begin{split} \int_0^T\left(\lambda\|Y(t)\|_{\mathbb R^n}^2+2\left<Y(t), y^T(t)-z\right>_{\mathbb{R}^n}\right)dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left(\lambda\|u_k\|_{\mathbb{R}^m}^2+2\left<u_k, u^T_k\right>_{\mathbb{R}^m}\right)\geq 0, \forall\;\lambda>0. \end{split} \end{equation*} $

令$ \lambda\rightarrow 0^+ $, 则

$ \int_0^T\left<Y(t), y^T(t)-z\right>_{\mathbb{R}^n}dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<u_k, u^T_k\right>_{\mathbb{R}^m}\geq 0. $

由上式及(2.1)和(2.4)可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} &\int_0^T\left<Y(t), \frac{dp^T(t)}{dt}+A^\top p^T(t)\right>_{\mathbb{R}^n}dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<u_k, u^T_k\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;&-\left<Y(0), p^T(0)\right>_{\mathbb{R}^n}+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<Y^-(\tau+k{T_0})-Y(\tau+k{T_0}), p^T(\tau+k{T_0})\right>_{\mathbb{R}^n}\\ \;&+\left<Y(T), p^T(T)\right>_{\mathbb {R}^n}+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<u_k, u^T_k\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;&\sum\limits_{k=0}^{N_T} \left<-Bu_k, p^T(\tau+k{T_0})\right>_{\mathbb{R}^n}+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<u_k, u^T_k\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;&\sum\limits_{k=0}^{N_T} \left<u_k, -B^\top p^T(\tau+k{T_0})+u_k^T\right>_{\mathbb{R}^m}\\ \geq\; &0.\\ \end{aligned} \end{equation} $

(2.5)

取$ v=(v_k)_{k\in\Lambda_T}=-u $, 由于$ u\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $是任取的, 故在上式中用$ v $代替$ u $, 不等号仍成立, 即$ \sum\limits_{k=0}^{N_T} \left<v_k, -B^\top p^T(\tau+k{T_0})+u_k^T\right>_{\mathbb{R}^m}\geq 0, $也即

$ \begin{equation} \sum\limits_{k=0}^{N_T} \left<u_k, -B^\top p^T(\tau+k{T_0})+u_k^T\right>_{\mathbb{R}^m}\leq 0. \end{equation} $

(2.6)

由(2.5)及(2.6)可得, 对于任意的$ u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $都有

$ \sum\limits_{k=0}^{N_T} \left<u_k, -B^\top p^T(\tau+k{T_0})+u_k^T\right>_{\mathbb{R}^m}= 0, $

故

$ u_k^T=B^\top p^T(\tau+k{T_0}), \;\;\forall \;k\in\Lambda_T. $

定理2.1证明完毕.

定理2.2  假设任给$ u\in\mathbb{R}^m $, 系统(1.2)均有唯一的解. 设问题$ (P_0) $的最优状态, 最优控制分别为$ x^0(\cdot) $和$ u^0, $那么存在伴随状态$ p^0(\cdot)\in C^1([0, T_0];\mathbb{R}^n) $满足

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp^0(t)}{dt}=-A^\top p^0(t)+x^0(t)-z, & t\in [0, T_0], \\ p^0(0)= p^0(T_0), \end{cases} \end{equation} $

(2.7)

并且$ u^0=B^\top p^0(\tau). $

证  由于$ u^0 $是问题$ (P_0) $的最优控制, 因此对于任意的$ u\in\mathbb{R}^m $都有

$ \begin{equation} \frac{J^0(u^0+\lambda u)-J^0(u^0)}{\lambda}\geq 0, \;\;\forall\;\lambda>0. \end{equation} $

(2.8)

任意给定$ u\in\mathbb{R}^m $, 令

$ X(t)=\frac{x(t;u^0+\lambda u)-x^0(t)}{\lambda}, \;\;\forall\; t\in[0, T_0], $

则$ X(t) $满足

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dX(t)}{dt}=AX(t), & t\in [0, T_0]\backslash \{\tau\}, \\ X(\tau)=X^-(\tau)+Bu, \\ X(0)=X(T_0). \end{cases} \end{equation} $

(2.9)

将$ X(t) $代入到(2.8)中整理并令$ \lambda\rightarrow 0^+ $可得

$ \int_0^{T_0}\left<X(t), x^0(t)-z\right>_{\mathbb{R}^n}dt+\left<u, u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\geq 0, $

又由(2.7), (2.9)及上式可知

$ \begin{equation} \begin{aligned} &\int_0^{T_0}\left<X(t), \frac{dp^0(t)}{dt}+A^\top p^0(t)\right>_{\mathbb{R}^n}dt+\left<u, u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;&-\left<X(0), p^0(0)\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<X^-(\tau)-X(\tau), p^0(\tau)\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<X(T_0), p^0(T_0)\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<u, u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;&\left<-Bu, p^0(\tau)\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<u, u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\\ =\;& \left<u, -B^\top p^0(\tau)+u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\\ \geq\;& 0.\\ \end{aligned} \end{equation} $

(2.10)

取$ v=-u $, 由于$ u\in\mathbb{R}^m $是任取的, 故在上式中用$ v $代替$ u $, 不等号仍成立, 即$ \left<v, -B^\top p^0(\tau)+u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\geq0, $也即

$ \begin{equation} \left<u, -B^\top p^0(\tau)+u^0\right>_{\mathbb{R}^m}\leq0. \end{equation} $

(2.11)

由(2.10)及(2.11)可得, 对于任意的$ u\in\mathbb{R}^m $都有$ \left<u, -B^\top p^0(\tau)+u^0\right>_{\mathbb{R}^m}=0, $故

$ u^0=B^\top p^0(\tau). $

定理2.2证明完毕.

为了证明定理1.1, 我们先证明以下三个引理.

引理3.1  假设存在$ N_0\in\mathbb{N} $, 使得

$ \begin{equation} {\rm rank}\{e^{-A\tau}B, e^{-A(\tau+{T_0})}B, \cdots, e^{-A(\tau+N_0{T_0})}B\}=n, \end{equation} $

(3.1)

那么存在一个常数$ C_1>0 $, 使得

$ \begin{equation} \|p_0\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_1\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top e^{-A^\top(\tau+j{T_0})}p_0\|_{\mathbb{R}^m}^2, \;\;\forall\; p_0\in\mathbb{R}^n. \end{equation} $

(3.2)

证  反证法. 假设对于任意的$ k\in\mathbb{N}^+ $, 存在$ p_k\in\mathbb{R}^n $使得$ \|p_k\|_{\mathbb{R}^n}^2\geq k\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top e^{-A^\top(\tau+j{T_0})}p_k\|_{\mathbb{R}^m}^2. $令$ \tilde{p}_k=\frac{p_k}{\|p_k\|_{\mathbb{R}^n}}, $由上述不等式可得

$ \begin{equation} \frac{1}{k}\|\tilde{p}_k\|_{\mathbb{R}^n}^2\geq \sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top e^{-A^\top(\tau+j{T_0})}\tilde{p}_k\|_{\mathbb{R}^m}^2. \end{equation} $

(3.3)

因为$ \|\tilde{p}_k\|_{\mathbb{R}^n}=1, \;\;\forall\; k\in\mathbb{N}^+, $所以存在$ \{\tilde{p}_k\}_{k\in\mathbb{N}^+} $的子序列(仍记为$ \{\tilde{p}_k\}_{k\in\mathbb{N}^+} $)以及$ \tilde{p}_0\in\mathbb{R}^n $使得

$ \begin{equation} \lim\limits_{k\to\infty}\tilde{p}_k=\tilde{p}_0, \end{equation} $

(3.4)

且$ \|\tilde{p}_0\|_{\mathbb{R}^n}=1 $. 在(3.3)中令$ k\to\infty $, 由(3.4) 可得

$ \sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top e^{-A^\top(\tau+j{T_0})}\tilde{p}_0\|_{\mathbb{R}^m}^2=0, $

则

$ \tilde{p}_0^\top e^{-A(\tau+j{T_0})}B=0, \;\;\forall\; j\in\{0, ..., N_0\}. $

结合(3.1)可知$ \tilde{p}_0=0 $, 这与$ \|\tilde{p}_0\|_{\mathbb{R}^n}=1 $矛盾. 因此(3.2)成立.

引理3.1证明完毕.

引理3.2  假设存在$ N_0\in\mathbb{N} $, 使得$ {\rm rank}\{e^{-A\tau}B, e^{-A(\tau+{T_0})}B, \cdots, e^{-A(\tau+N_0{T_0})}B\}=n, $那么存在一个常数$ C_2>0 $, 使得对于任意的$ f(\cdot)\in L^2(0, \tau+N_0{T_0};\mathbb{R}^n) $及$ p_0\in \mathbb{R}^n $, 均有

$ \begin{equation} \|p_0\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_2\left(\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2+\int_0^{\tau+N_0{T_0}}\|f(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\right) \end{equation} $

(3.5)

成立, 其中$ p(\cdot)\in C^1([0, \tau+N_0{T_0}];\mathbb{R}^n) $是方程

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp(t)}{dt}=-A^\top p(t)+f(t), \; \;t\in[0, \tau+N_0{T_0}], \\ p(0)=p_0\\ \end{cases} \end{equation} $

(3.6)

的解.

证  任意给定$ f(\cdot)\in L^2(0, \tau+N_0{T_0};\mathbb{R}^n) $及$ p_0\in \mathbb{R}^n $, 设$ p(\cdot) $是方程(3.6)的解. 令$ p_1(\cdot) $满足方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp_1(t)}{dt}=-A^\top p_1(t), &t\in[0, \tau+N_0{T_0}], \\ p_1(0)=p_0, \\ \end{cases} \end{equation} $

(3.7)

$ p_2(\cdot) $满足方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp_2(t)}{dt}=-A^\top p_2(t)+f(t), &t\in[0, \tau+N_0{T_0}], \\ p_2(0)=0.\\ \end{cases} \end{equation} $

(3.8)

显然,

$ \begin{equation} p(t)=p_1(t)+p_2(t), \;\;\forall\; t\in [0, \tau+N_0{T_0}]. \end{equation} $

(3.9)

余下的证明分为三步.

第一步. 我们证明存在一个独立于$ p_0 $的常数$ C_1'>0 $, 使得

$ \begin{equation} \|p_0\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_1'\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p_1(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2. \end{equation} $

(3.10)

由(3.7)可知$ p_1(\tau+j{T_0})=e^{-A^\top(\tau+j{T_0})}p_0, \;\;\forall \;j\in\{0, 1, ..., N_0\}, $故由假设条件及引理3.1可知(3.10)成立.

第二步. 我们证明存在一个独立于$ f(\cdot) $常数$ C_2'>0 $, 使得

$ \begin{equation} \|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_2'\int_0^{\tau+N_0{T_0}}\|f(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt, \;\;\forall \;t\in [0, \tau+N_0{T_0}]. \end{equation} $

(3.11)

我们将(3.8)中的第一个式子的左右两边同时与$ p_2(t) $作内积可得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2 &=-\left<A^\top p_2(t), p_2(t)\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<p_2(t), f(t)\right>_{\mathbb{R}^n}\\ &\leq\|A\|_{\mathbb{R}^{n\times n}}\|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2+\frac{1}{2}\|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2+\frac{1}{2}\|f(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2, \\ \end{aligned} \end{equation*} $

从而

$ \frac{d}{dt}\|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq (2\|A\|_{\mathbb{R}^{n\times n}}+1)\|p_2(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2+\|f(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2. $

已知$ p_2(0)=0 $, 由Gronwall不等式可知, 存在一个与$ f(\cdot) $无关的常数$ C_2'>0 $, 使得(3.11)成立.

第三步. 我们证明(3.5)成立.

由(3.9), (3.10), (3.11)可得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \|p_0\|_{\mathbb{R}^n}^2 &\leq C_1'\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p_1(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2\\ &\leq 2C_1'\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2+ 2C_1'\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p_2(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2.\\ &\leq 2C_1'\sum\limits_{j=0}^{N_0}\|B^\top p(\tau+j{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2+2C_1'N_0C_2'\|B^\top\|^2_{\mathbb{R}^{m\times n}}\int_0^{\tau+N_0{T_0}}\|f(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt. \end{aligned} \end{equation*} $

取$ C_2=\max\{2C_1', 2C_1'N_0C_2'\|B^\top\|^2_{\mathbb{R}^{m\times n}}\} $, 则(3.5)成立.

引理3.2证明完毕.

注3.1  引理3.1和引理3.2可以看作脉冲控制系统(1.1)的能观性不等式.

引理3.3  存在常数$ C_3>0 $, 使得对于任意的$ T>T_0 $及$ u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $, 均有

$ \begin{equation} \|y(T;u)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_3\left(\int_0^T\|y(t;u)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|u_k\|_{\mathbb{R}^m}^2\right) \end{equation} $

(3.12)

成立.

证  固定$ T>T_0 $及$ u=(u_k)_{k\in\Lambda_T}\in l^2(\Lambda_T;\mathbb{R}^m) $, 将系统(1.1)限制在$ [0, T] $上的解简记为$ y(\cdot) $. 注意到, $ y(\cdot) $在$ [T-{T_0}, T] $上满足方程:

$ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{dy(t)}{dt}=Ay(t), &t\in[T-{T_0}, T]\backslash \{\tau+N_T{T_0}\}, \\ y(\tau+{N_T}{T_0})=y^-(\tau+{N_T}{T_0})+Bu_{N_T}. \\ \end{cases} \end{equation*} $

那么当$ t\in[\tau+N_T{T_0}, T] $时, $ y(t)=e^{A(t-T)}y(T), $从而

$ \begin{equation} y(T)=e^{A(T-t)}y(t). \end{equation} $

(3.13)

而当$ t\in[T-{T_0}, \tau+N_T{T_0}) $时, $ y(t)=e^{A(t-T)}y(T)-e^{A(t-\tau-N_T{T_0})}Bu_{N_T}, $从而

$ \begin{equation} y(T)=e^{A(T-t)}y(t)+e^{A(T-\tau-N_T{T_0})}Bu_{N_T}. \end{equation} $

(3.14)

由(3.13)可得

$ \int_{\tau+{N_T}{T_0}}^T\|y(T)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt= \int_{\tau+{N_T}{T_0}}^T\|e^{A(T-t)}y(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt. $

由(3.14)可得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int^{\tau+{N_T}{T_0}}_{T-{T_0}}\|y(T)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\leq & \;2\int^{\tau+{N_T}{T_0}}_{T-{T_0}}\|e^{A(T-t)}y(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\\&+2\int^{\tau+{N_T}{T_0}}_{T-{T_0}}\|e^{A(T-\tau-{N_T}{T_0})}Bu_{N_T}\|_{\mathbb{R}^n}^2dt. \end{aligned} \end{equation*} $

将上述两式相加可得

$ {T_0} \|y(T)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq 2\int_{T-{T_0}}^T\|e^{A(T-t)}y(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+2\int^{\tau+{N_T}{T_0}}_{T-{T_0}}\|e^{A(T-\tau-{N_T}{T_0})}Bu_{N_T}\|_{\mathbb{R}^n}^2dt. $

取$ M=\max_{t\in[0, T_0]}\{\|e^{At}\|_{\mathbb{R}^{n\times n}}\}, $则

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \|y(T)\|_{\mathbb{R}^n}^2&\leq2\frac{M^2}{{T_0}}\int_{T-{T_0}}^T\|y(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+2M^2\|B\|^2_{\mathbb{R}^{n\times m}}\|u_{N_T}\|^2_{\mathbb{R}^m}\\ &\leq 2\frac{M^2}{{T_0}}\int_{T-{T_0}}^T\|y(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+2M^2\|B\|^2_{\mathbb{R}^{n\times m}}\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|u_{k}\|^2_{\mathbb{R}^m}.\\ \end{aligned} \end{equation*} $

取$ C_3=\max\{2\frac{M^2}{{T_0}}, 2M^2\|B\|^2_{\mathbb{R}^{n\times m}}\} $, 故(3.12)成立.

引理3.3证明完毕.

为了得到定理1.1, 我们将问题$ (P_0) $的伴随状态$ p^0(\cdot) $以$ T_0 $为周期延拓至$ [0, +\infty) $上, 仍记为$ p^0(\cdot) $, 即$ p^0(\cdot) $满足方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dp^0(t)}{dt}=-A^\top p^0(t)+x^0(t)-z, & t\in [0, +\infty), \\ p^0(kT_0)= p^0((k+1)T_0), &k\in\mathbb{N}, \end{cases} \end{equation} $

(3.15)

并且

$ \begin{equation} u^0=B^\top p^0(\tau+kT_0), \;\;\forall\;k\in\mathbb{N}. \end{equation} $

(3.16)

定理1.1的证明  任意给定$ T>\tau+{N_0}{T_0} $. 为了方便起见, 在下面的证明中我们记$ \bar{y}(t)=y^T(t)-x^0(t), \;\bar{p}(t)=p^T(t)-p^0(t), \forall t\in[0, T], $及$ \bar{u}_k=u_k^T-u^0, \forall k\in\Lambda_T. $由(1.1), (1.3), (2.1), (2.2) 以及(3.15)和(3.16), 我们有

$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{d\bar{y}(t)}{dt}=A\bar{y}(t), & t\in [0, T]\backslash \{\tau+kT_0\}_{k\in\Lambda_T}, \\ \bar{y}(\tau+kT_0)=\bar{y}^-(\tau+kT_0)+B\bar{u}_k, &k\in\Lambda_T, \\ \frac{d{\bar{p}(t)}}{dt}=-A^\top \bar{p}(t)+\bar{y}(t), &t\in [0, T], \\ \bar{u}_k=B^\top\bar{p}(\tau+kT_0), &k\in\Lambda_T. \end{cases} \end{equation} $

(3.17)

将(3.17)的第三个式子的左右两边同时与$ \bar{y}(t) $作内积, 并在$ [0, T] $上做积分可得

$ \int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt=\int_0^T\left<\bar{y}(t), \frac{d\bar{p}(t)}{dt}\right>_{\mathbb{R}^n}dt+\int_0^T\left<\bar{y}(t), A^\top\bar{p}(t)\right>_{\mathbb{R}^n}dt. $

进一步, 由(3.17)可知

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt=\;&-\left<\bar{y}(0), \bar{p}(0)\right>_{\mathbb{R}^n}+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<\bar{y}^-(\tau+k{T_0})-\bar{y}(\tau+k{T_0}), \bar{p}(\tau+k{T_0})\right>_{\mathbb{R}^n}\\\;&+\left<\bar{y}(T), \bar{p}(T)\right>_{\mathbb {R}^n}\\ =\;&-\left<\bar{y}(0), \bar{p}(0)\right>_{\mathbb{R}^n}-\sum\limits_{k=0}^{N_T}\left<B\bar{u}_k, \bar{p}(\tau+k{T_0})\right>_{\mathbb{R}^n}+\left<\bar{y}(T), \bar{p}(T)\right>_{\mathbb {R}^n}\\ =\;&-\left<\bar{y}(0), \bar{p}(0)\right>_{\mathbb{R}^n}-\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|^2_{\mathbb{R}^n}+\left<\bar{y}(T), \bar{p}(T)\right>_{\mathbb {R}^n}.\\ \end{aligned} \end{equation*} $

因此

$ \begin{equation} \begin{aligned} \int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|^2_{\mathbb{R}^n}=\;&\left<\bar{y}(T), \bar{p}(T)\right>_{\mathbb {R}^n}-\left<\bar{y}(0), \bar{p}(0)\right>_{\mathbb{R}^n}\\ \leq\;&\|\bar{y}(T)\|_{\mathbb{R}^n}\|\bar{p}(T)\|_{\mathbb{R}^n}+\|\bar{y}(0)\|_{\mathbb{R}^n}\|\bar{p}(0)\|_{\mathbb{R}^n}\\ \leq\;&\varepsilon_1 \|\bar{y}(T)\|^2_{\mathbb{R}^n}+C(\varepsilon_1)\|p^0 (T)\|^2_{\mathbb{R}^n}+\varepsilon_2\|\bar{p}(0)\|^2_{\mathbb{R}^n}\\\;&+C(\varepsilon_2)\|y_0-x^0(0)\|^2_{\mathbb{R}^n}, \\ \end{aligned} \end{equation} $

(3.18)

其中$ \varepsilon_1 $, $ \varepsilon_2 $是任意常数, $ C(\varepsilon_1) $, $ C(\varepsilon_2) $分别是只依赖于$ \varepsilon_1 $, $ \varepsilon_2 $的常数. 由引理3.2, 引理3.3及(3.17)可知, 存在与$ T $无关的常数$ C_2 $, $ C_3>0 $, 使得

$ \begin{equation} \begin{aligned} \|\bar{p}(0)\|_{\mathbb{R}^n}^2&\leq C_2\left(\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|B^\top \bar{p}(\tau+k{T_0})\|_{\mathbb{R}^m}^2+\int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\right)\\ &=C_2\left(\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|_{\mathbb{R}^m}^2+\int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\right), \\ \end{aligned} \end{equation} $

(3.19)

以及

$ \begin{equation} \|\bar{y}(T)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leq C_3\left(\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|_{\mathbb{R}^m}^2+\int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\right). \end{equation} $

(3.20)

在(3.18)中取$ \varepsilon_1=\frac{1}{4C_2} $, $ \varepsilon_2=\frac{1}{4C_3} $, 将(3.19), (3.20)代入到(3.18)中可得

$ \int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt+\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|^2_{\mathbb{R}^m}\leq 2C(\varepsilon_1)\|p^0(T)\|^2_{\mathbb{R}^n}+2C(\varepsilon_2)\|y_0-x^0(0)\|^2_{\mathbb{R}^n}, \;\;\forall \;T>0. $

因此当$ T\to\infty $时$ \frac{1}{T} \int_0^T\|\bar{y}(t)\|_{\mathbb{R}^n}^2dt\to 0, $且$ \frac{1}{T}\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|^2_{\mathbb{R}^n}\to 0, $结合上式及$ N_T $的定义可知

$ \frac{1}{{N_T}+1}\sum\limits_{k=0}^{N_T}\|\bar{u}_k\|^2_{\mathbb{R}^n}\to 0. $

定理1.1证明完毕.