在代数系统中, 一个具有形式ˆa=a+εa0的元素称为对偶元素, 其中a和a0分别称为ˆa的实部和对偶部. ε称为对偶元, 满足法则ε≠0, 0ε=ε0=0, 1ε=ε1=ε和ε2=0. 对偶数的概念最早由Clifford在1873年提出, 而对偶数的应用最早来源于Study[1]在1901年用对偶数来表示空间几何学中的对偶角. 在过去几十年里, 对偶数被广泛应用于多个领域, 如运动学分析[2]、机器人[3]、刚体运动分析[4]等.
作为对偶数概念的推广, 元素为对偶数的矩阵称为对偶矩阵. 令A和A0是两个m×n的实矩阵, 则ˆA=A+εA0称为m×n的对偶矩阵, 且A和A0分别称为ˆA的实部和对偶部. 由于在许多运动学与机械系统领域的问题中需要求解线性对偶方程组, 与复矩阵和实矩阵类似的是, 对偶广义逆是研究对偶线性方程组的解与最小二乘解的重要工具, 所以对偶矩阵及其对偶广义逆广泛应用于这些领域. 然而, 对偶矩阵的对偶广义逆的许多重要性质不同于复矩阵和实矩阵的广义逆, 例如, 复矩阵的Moore-Penrose逆总是存在的, 但对偶矩阵的对偶Moore-Penrose逆却有可能不存在. 对偶广义逆的存在性对于运动学与机械系统领域中产生的对偶线性方程组的数值解问题有重要影响, 例如, 一个线性对偶方程组通常需要分裂成实部和对偶部, 且实部和对偶部所对应的两个实系数线性方程组需要独立计算, 但若该线性对偶方程组的系数对偶矩阵的对偶广义逆存在, 则计算过程可在一步完成, 从而可以提高计算的效率. 基于此原因, 讨论对偶矩阵的对偶广义逆的存在性及表示不仅具有重要理论意义, 同时在运动学和机械系统等领域也有应用价值.
对偶矩阵的对偶广义逆是近年来的一个研究热点, 关于各种对偶广义逆的存在性与表示有大量研究, 如文献[5-8]研究了对偶Moore-Penrose逆的存在性与表示, 文献[9]研究了对偶群逆的存在性与表示, 文献[10]介绍了对偶指标的概念, 并研究了对偶核逆的存在性与表示. 本文将研究长方对偶矩阵的加权对偶群逆的存在性与表示, 给出长方对偶矩阵的加权对偶群逆存在的充分必要条件, 并在加权对偶群逆存在时给出其显式表示, 同时推广对偶群逆的相关结论.
需要指出的是, 复矩阵的加权群逆已有相关研究. 2007年, 岑建苗[11]给出了长方矩阵加权群逆的定义, 研究了长方矩阵加权群逆的存在性, 给出了长方矩阵加权群逆存在的一些充分必要条件以及计算公式. 之后长方矩阵的加权群逆得到关注和研究, 陈永林[12]给出了加权群逆一些新的存在条件与表示, 并研究了Cline和Greville定义的加权群逆的存在性与表示. 武玲玲等[13]研究了长方矩阵加权群逆的扰动. 胡春梅等[14]给出了计算长方矩阵加权群逆的三种迭代法. 胡振英等[15]讨论了加权群逆的有限算法. 此外, 长方矩阵加权群逆的相关结论也被推广到Banach空间有界线性算子上(见文献[16-18]).
记Cm×n和Rm×n分别为所有m×n复矩阵和实矩阵组成的集合, Dm×n为所有m×n对偶矩阵组成的集合. 对矩阵A∈Cm×n, r(A)表示A的秩. n阶方阵A的指标,记为Ind(A), 是指满足r(Ak)=r(Ak+1)的最小非负整数k. In表示n阶单位矩阵, 在不引起混淆的情况下简记为I.
下面给出加权群逆的定义.
定义2.1[11] 令A∈Cm×n, W∈Cn×m. 如果存在X∈Cm×n使得
则称X为A的加W权群逆, 记为A#W. 若A∈Cn×n且W=In, 则X即为A的群逆A#.
类似的, 可以给出长方对偶矩阵的加权对偶群逆的定义.
定义2.2 令ˆA∈Dm×n, ˆW∈Dn×m. 如果存在ˆX∈Dm×n使得
则称ˆX为ˆA的加ˆW权对偶群逆, 记为ˆA#ˆW. 若ˆA∈Dn×n且ˆW=In, 则ˆX即为ˆA的对偶群逆ˆA#.
引理2.1[12] 设A∈Cm×n, W∈Cn×m. 则A的加W权群逆A#W存在当且仅当AW和WA的群逆均存在并满足r(AW)=r(WA)=r(A). 若A#W存在, 则它是唯一的, 并且可表示为A#W=(AW)#A(WA)#=A[(WA)#]2=[(AW)#]2A.
引理2.2 设矩阵A∈Cm×n, W∈Cn×m, r(A)=r. 若A#W存在,则存在可逆矩阵P∈Cm×m和Q∈Cn×n使得
其中A1和W1均为r阶可逆矩阵.
此时, A#W具有表示
证 若A#W存在, 则由引理2.1, AW和WA的群逆均存在, 且由于AW和WA有相同的秩和非零特征值, 从而由AW和WA的若尔当标准形可知存在可逆矩阵P∈Cm×m和Q∈Cn×n使得AW=P[C000]P−1,WA=Q[D000]Q−1,其中C和D均为r阶可逆矩阵.
不妨将A和W分别表示为A=P[A1A2A3A4]Q−1,W=Q[W1W2W3W4]P−1,其中A1和W1均为r阶方阵.
由(AW)A=A(WA)可得
于是CA2=0, A3D=0. 因为C和D均为可逆矩阵, 所以A2=0, A3=0.
类似的, 由(WA)W=W(AW)可得W2=0和W3=0. 于是由
可得A1W1=C. 由于C为可逆矩阵, 所以A1和W1均为r阶可逆矩阵.
此外, 由于r=r(A)=r(A1)+r(A4)且r(A1)=r, 所以A4=0. 这就证明了A和W具有(2.1)中的表示.
若A#W存在, 则由引理2.1,
引理2.3[19] 令A∈Cm×n, B∈Cm×m, C∈Cn×n, 其中B和C的指标均为1, 则
本节研究长方对偶矩阵的加权对偶群逆的存在性与表示, 给出加权对偶群逆存在的充分必要条件, 并在加权对偶群逆存在时给出其表示.
首先给出一个对偶矩阵是某个长方对偶矩阵的加权对偶群逆的充分必要条件.
引理3.1 令ˆA=A+εA0∈Dm×n, ˆW=W+εW0∈Dn×m, 其中A,A0∈Rm×n, W,W0∈Rn×m. 则对偶矩阵ˆG=G+εG0∈Dm×n是ˆA的加ˆW权对偶群逆当且仅当G=A#W且
证 由ˆA=A+εA0, ˆW=W+εW0, ˆG=G+εG0可得
若ˆG=G+εG0是ˆA=A+εA0的加ˆW权对偶群逆, 则由定义2.2可得ˆAˆWˆGˆWˆA=ˆA, ˆGˆWˆAˆWˆG=ˆG, ˆAˆWˆG=ˆGˆWˆA. 比较这三个等式的实部和对偶部可得
于是由定义2.1可知A的加W权群逆存在且G=A#W. 此外, 等式(3.1)–(3.3)也成立.
反之, 若A的加W权群逆存在且G=A#W, 等式(3.1)–(3.3)也成立, 则由定义2.2直接可得ˆG=G+εG0∈Dm×n是ˆA=A+εA0的加ˆW权对偶群逆, 证毕.
文献[11]说明若A的加W权群逆存在, 则一定唯一. 下面证明该结论也适用于加权对偶群逆.
定理3.1 设ˆA=A+εA0∈Dm×n, ˆW=W+εW0∈Dn×m, 其中A,A0∈Rm×n, W,W0∈Rn×m. 若ˆA的加ˆW权对偶群逆存在, 则是唯一的.
证 由引理3.1, 若ˆA的加ˆW权对偶群逆存在, 则ˆA#ˆW具有形式ˆA#ˆW=A#W+εR. 假设A#W+εR1和A#W+εR2是ˆA的两个加ˆW权对偶群逆, 下面证明R1=R2.
由(3.1)式可得
两式相减可得
同样的,由(3.2)式可得
最后, 由(3.3)式可得
在(3.4)式右边乘以WA#W并利用(3.6)式可得
再将AW(R1−R2)=(R1−R2)WA=0代入(3.5)式即可得R1−R2=0, 证毕.
下面给出矩阵ˆA=A+εA0∈Dm×n的加ˆW权对偶群逆存在的一些充分必要条件, 并在ˆA#ˆW存在时给出其显示表示.
定理3.2 设ˆA=A+εA0∈Dm×n, ˆW=W+εW0∈Dn×m, 其中A,A0∈Rm×n, W,W0∈Rn×m. 则下面命题等价:
(ⅰ) ˆA#ˆW存在;
(ⅱ) A#W存在, 且ˆA=P[A1000]Q−1+εP[˜A1˜A2˜A30]Q−1, ˆW=Q[W100W4]P−1+εQ[˜W1˜W2˜W3˜W4]P−1, 其中P,Q,A1,W1均为可逆矩阵;
(ⅲ) A#W存在且(I−A#WWAW)A0(I−WAWA#W)=0;
(ⅳ) A#W存在且r[A0AWWA0]=2r(A).
此外, 若ˆA#ˆW存在, 则
其中
证 (ⅰ)⇒(ⅱ): 若ˆA#ˆW存在, 则由引理3.1, ˆA#ˆW的实部为A#W, 即A#W存在. 不妨设ˆA#ˆW=A#W+εR.
因为A#W存在, 从而由引理2.2可知A和W具有(2.1)中的表示, A#W具有(2.2)中的表示. 令A0=P[˜A1˜A2˜A3˜A4]Q−1,W0=Q[˜W1˜W2˜W3˜W4]P−1,R=P[R1R2R3R4]Q−1.则由(3.1)式有AWA#WWA0+AWA#WW0A+AWRWA+AW0A#WWA+A0WA#WWA=A0, 即
由上式可得˜A4=0. 所以,
其中P,Q,A1,W1均为可逆矩阵.
(ⅱ) ⇒(ⅲ):
若ˆA=P[A1000]Q−1+εP[˜A1˜A2˜A30]Q−1,ˆW=Q[W100W4]P−1+εQ[˜W1˜W2˜W3˜W4]P−1, 其中P,Q,A1,W1均为可逆矩阵, 则
(ⅲ) ⇒(ⅰ): 若A#W存在, 由引理2.2, A和W分别具有(2.1)中的表示, A#W具有(2.2)中的表示. 令ˆA=P[A1000]Q−1+εP[˜A1˜A2˜A3˜A4]Q−1,ˆW=Q[W100W4]P−1+εQ[˜W1˜W2˜W3˜W4]P−1, 其中P,Q,A1,W1均为可逆矩阵. 则由(I−A#WWAW)A0(I−WAWA#W)=0不难得到˜A4=0.
令
则直接计算可得
由此可见, ˆAˆWˆG=ˆGˆWˆA.
此外,
由定义2.2, ˆA的加ˆW权对偶群逆存在且ˆA#ˆW=ˆG.
又因为
所以, ˆA#ˆW=ˆG=A#W+ε{[(AW)#]2A0(I−WAWA#W)+(I−A#WWAW)A0[(WA)#]2−A#WWAW0A#W−A#WW0AWA#W−(AW)#A0(WA)#}, 这就证明了(3.7)和(3.8)是成立的.
(ⅲ) ⇔(iv): 若A#W存在, 则由引理2.1, AW和WA的群逆均存在且r(AW)=r(WA)=r(A). 再由引理2.3可得
当且仅当[I−(AW)(AW)#]A0[I−(WA)(WA)#]=0. 又因为(AW)(AW)#=A#WWAW, (WA)(WA)#=WAWA#W, 所以(ⅲ)等价于(ⅳ). 证毕.
当ˆA∈Dn×n且ˆW=I, 即W=I, W0=0时, 由定理3.2可得到对偶群逆的存在性刻画及表示.
推论3.1[9] 设ˆA=A+εA0∈Dn×n, 其中A,A0∈Rn×n. 则下面命题等价:
(ⅰ) ˆA的对偶群逆存在;
(ⅱ) Ind(A)=1且ˆA=P[A1000]P−1+εP[˜A1˜A2˜A30]P−1, 其中P和A1均为可逆矩阵;
(ⅲ) (I−AA#)A0(I−AA#)=0;
(ⅳ) Ind(A)=1且r[A0AA0]=2r(A).
此外, 若ˆA#存在, 则
例3.1 令ˆA=A+εA0∈D3×4, ˆW=W+εW0∈D4×3, 其中
则
不难看出, AW和WA的指标均为1, 从而它们的群逆均存在. 又因为r(AW)=r(WA)=r(A)=2, 于是由引理2.1可知A#W存在, 且
此外, 由于
从而由定理3.2可知ˆA#ˆW存在, 且
最后给出ˆA#ˆW基于(ˆAˆW)#和(ˆWˆA)#的表示.
定理3.3 令ˆA=A+εA0∈Dm×n, ˆW=W+εW0∈Dn×m, 其中A,A0∈Rm×n, W,W0∈Rn×m. 若ˆA#ˆW存在, 则(ˆAˆW)#和(ˆWˆA)#均存在, 且
证 若ˆA#ˆW存在, 则由定理3.2, A#W存在, 于是由引理2.1可知(AW)#和(WA)#均存在. 此外, ˆA和ˆW分别具有如下表示:
于是
因为AW和WA分别是ˆAˆW和ˆWˆA的实部, 且二者的指标均为1, 于是由推论3.1以及上面ˆAˆW和ˆWˆA的表示可知(ˆAˆW)#和(ˆWˆA)#均存在, 且
直接计算可得
类似的, 可证明ˆA#ˆW=[(ˆAˆW)#]2ˆA=ˆA[(ˆWˆA)#]2.