集合论作为现代数学的基础, 是19世纪末由伟大的德国数学家Cantor创立起来的. Cantor于1883年引入后来以他名字命名的Cantor集. Cantor集使得我们对集合论和点集拓扑以及分形等方面有了更加深刻的认识, 它是分数维的点集, 同时也是分形的重要例子. 它的测度为0并且为不可数集, 打破了我们对集合的传统认知. 其次由Cantor集的构造过程可知, Cantor集是自相似的集合, 也就是分形. 该集合具有无处稠密并且完备的性质, 在集合论、拓扑学、实分析、测度论、分形理论等各个数学分支中都扮演着非常重要的角色. 而Cantor函数为定义在Cantor开集和Cantor集上的函数, 由于它具有极其特殊的处处连续但不绝对连续、导数几乎处处为0的性质, 打破了常规, 可以使得我们对函数有一个更加深刻的认识, 并且以Cantor函数经常作为反例可以加深对相关问题的认识. 将Cantor集中第$ n $次分割去掉的小区间的长度由$ 1/3^n $推广到$ \left( 1-\alpha \right) /3^n $(其中$ 0\leq \alpha < 1 $)便得到了正测度Cantor集, 而当$ \alpha =0 $的时候, 便是Cantor集, 由此可见正测度Cantor集为Cantor集的推广. 那么我们是否也能在正测度Cantor集与正测度Cantor开集上定义一个正测度Cantor函数去作为Cantor函数的一种推广呢？本文首先给出Cantor集和正测度Cantor集的定义和相关性质, 然后对比Cantor函数去定义正测度Cantor函数, 进一步探索与Cantor函数类似的相关性质, 并给出正测度Cantor函数的一些应用.

将闭区间$ \left[ 0, 1 \right] $三等分, 去掉中间长度为$ \left( 1-\alpha \right) /3 $的开区间, 留剩下两段闭区间, 再将剩下的两段闭区间再分别去掉中间一段长度为$ \left( 1-\alpha \right) /3^2 $的开区间, 剩下更短的四段闭区间, $ \cdots\cdots $, 将这样的操作一直继续下去, 直至无穷, 由于在不断分割舍弃过程中, 所形成的闭区间数目越来越多, 长度越来越小, 在极限的情况下, 得到一个疏朗集, 称其为正测度Cantor集^[1], 记为$ P_{\alpha} $(其中$ 0\leq \alpha < 1 $). 把剩下的集合称为正测度Cantor开集. 而当$ \alpha =0 $的时候, 正Cantor集测度就是经典的Cantor集^[2].

下面以对比的方法给出Cantor集与正测度Cantor集的定义及性质, 如下表:

定义Cantor函数$ f\left( x \right) $如下^[3]: 令$ f\left( 0 \right) =0 $, $ f\left( 1 \right) =1 $, 在$ G_{11} $上定义$ f\left( x \right) =1/2 $, 在$ G_{21} $上定义$ f\left( x \right) =1/4 $, 在$ G_{22} $上定义$ f\left( x \right) =3/4 $. 在$ G_{kj} $上定义$ f\left( x \right) =\left( 2j-1 \right) /2^k $ ($ j=1, 2, 3, \dots, 2^{k-1} $). 当$ x\in P $, 且$ x\notin \{0, 1\} $时定义$ f(x)=\sup\{ f (t)|t\in G, t<x \} $. Cantor函数挑战了关于连续性和测度的天然直觉; 尽管它处处连续, 但是几乎处处导数为零, 并且可以作为很多例子的反例. 所以我们思考对Cantor函数的推广是有意义的.

定义正测度Cantor函数$ \theta \left( x \right) $: 令$ \theta \left( 0 \right) =0 $, $ \theta \left( 1 \right) =1 $, 在$ G_{11\alpha} $上定义$ \theta \left( x \right) =1/2 $, 在$ G_{21\alpha} $上定义$ \theta(x)=1/4$, 在$ G_{22\alpha} $上定义$ \theta \left( x \right) =3/4 $. 在$ G_{kj\alpha} $上定义$ \theta \left( x \right) =\left( 2j-1 \right) /2^k $ ($ j=1, 2, 3, \dots, 2^{k-1} $). 当$ x\in P_{\alpha} $, 且$ x\notin \{0, 1\} $时定义$ \theta (x)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<x \} $.

可以直观的看出, 当$ \alpha =0 $的时候, 正测度Cantor函数就是Cantor函数. 故正测度Cantor函数可以看作是Cantor函数的一种推广.

下面对正测度Cantor函数的一些性质进行讨论:

1) 正测度Cantor函数为[0, 1]上单调不减的函数.

$ \forall x<y $, 若$ x, y\in P_{\alpha} $, 则由定义可得, $ \theta (x)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<x \}\le \theta (y)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<y \} $.

若$ x, y\in G_{\alpha} $, 则分三种讨论.

(1) $ x, y $在同一个$ G_{kj\alpha} $, 则$ \theta (x)\le \theta (y) $显然成立(事实上$ \theta (x)= \theta (y) $).

(2) $ x, y $在同一个$ G_{k\alpha} $, 而不在同一个$ G_{kj\alpha} $(也就是同一次分割的不同区间段上). 因为$ x<y $, 则$ x $所在的$ G_{ki\alpha} $中的$ i $小于$ y $所在的$ G_{kj\alpha} $中的$ j $. 故$ \theta \left( x \right) =\left( 2i-1 \right) /2^k \le \theta \left( x \right) =\left( 2j-1 \right) /2^k $.

(3) $ x, y $在不同的$ G_{k\alpha} $(也就是不是同一次分割). 由函数的构造可得$ \theta (x) \le \theta (y) $(类似Cantor函数在其相应定义域上的单调性).

若$ x\in G_{\alpha} $, $ y\in P_{\alpha} $, 此时$ \theta (y)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<y \} $而$ x<y $, 故$ \theta (x)\le \theta (y) $.

若$ x\in P_{\alpha} $, $ y\in G_{\alpha} $, 此时因为$ x<y $, $ \theta (x)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<x \} $. 而对于$ \forall t< x<y(t\in G_{\alpha}) $, $ \theta (t)\le \theta (y) $(在$ G_{\alpha} $上$ \theta (x) $单调不减(上面已证明)). 故$ \theta (x)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<x \}\le \theta (y)=\sup\{ \theta (t)|t\in G_{\alpha}, t<y \} $.

故$ \theta (x) $为单调不减的函数.

2) $ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上取值为$ \left[ 0, 1 \right] $上的一切二进制有理数.

$ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上取值为$ \left[ 0, 1 \right] $上的一切二进制有理数. (可从Cantor函数在G上取值为$ \left[ 0, 1 \right] $上的一切二进制有理数理解.)

也可以这样理解. 因为$ \left( 2j-1 \right) /2^k $在十进制中为有理数, 故$ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上取值只能为有理数. 再放到二进制中, $ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上可取值到任意二进制有限位的有理数(容易证明)且由于$ \left( 2j-1 \right) /2^k $中的$ k\to +\infty $, 故$ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上可取值到一切二进制有理数.

3) 正测度Cantor函数是连续函数.

由上面证明知: 正测度Cantor函数在$ G_{\alpha} $上取值为$ [0, 1] $上的一切二进制有理数.

假设$ \theta (x) $在$ x_{0} $ $ \in [0, 1] $处间断, 则由于$ \theta (x) $的单调有界性, 故$ x_{0} $为第一类间断点.

由于在两个区间上单调有界, $ \lim\limits_{x \to x_{0} ^{+} } \theta (x) $与$ \lim\limits_{x \to x_{0} ^{-} } \theta (x) $都存在, 并且由于$ x_{0} $为间断点, 故$ \lim\limits_{x \to x_{0} ^{+} } \theta (x)\ne \lim\limits_{x \to x_{0} ^{-} } \theta (x) $. 在区间$ (\lim\limits_{x \to x_{0} ^{-} } \theta (x), \lim\limits_{x \to x_{0} ^{+} } \theta (x)) $中不含$ \theta (x) $的任何一个函数值. 而又从$ \theta (x) $在$ G_{\alpha} $上取值为$ [0, 1] $上的一切二进制有理数得知$ \theta (x) $的值在$ [0, 1] $中稠密. 因而得矛盾. 故无间断点, $ \theta (x) $为连续函数.

4) 正测度Cantor函数在$ P_{\alpha} $中分割区间的端点上不可微, 在$ G_{\alpha} $上可微.

首先明确在不同的$ G_{kj\alpha} $上($ k $不同或者$ j $不同)都会导致$ \theta (x) $值不同.

取$ r_{\left( n+1 \right)}=\left( 1/3 \right) ^{\left( n+1 \right)}\left( 1-\alpha \right) +\alpha /2^{\left( n+1 \right)} $, 并且使得$ n $足够大. 为证明$ \theta (x) $在$ P_{\alpha} $中分割区间的端点上不可微, 只需证明在$ P_{\alpha} $中分割区间的端点上极限$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\theta (x+\Delta x)-\theta (x)}{\Delta x} $不存在即可.

首先证明, $ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{kj\alpha} $最近且分别在其左右侧的第$ k+1 $次分割的区间$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $, $ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+1} $.

$ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值为$ \left( 2j-1 \right) /2^k $, 而由于$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $为离$ G_{kj\alpha} $最近且在其左侧的第$ k+1 $次分割的区间, 故$ m_{1}=2j-1 $, $ \theta (x) $在$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $值为$ \left( 4j-3 \right) /2^{k+1} $, 相差为$ 1 /2^{k+1}$.

$ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值为$ \left( 2j-1 \right) /2^k $, 而由于$ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $为离$ G_{kj\alpha} $最近且在其右侧的第$ k+1 $次分割的区间, 故$ n_{1}=2j $, $ \theta (x) $在$ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $值为$ \left( 4j-1 \right) /2^{k+1} $, 相差为$ 1 /2^{k+1}$.

其次来看: $ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{kj\alpha} $最近且分别在其左右侧的第$ k+2 $次分割的区间$ G_{(k+2)m_{2}\alpha} $, $ G_{(k+2)n_{2}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+2}$.

前面已证明$ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{kj\alpha} $最近且分别在其左右侧的第$ k+1 $次分割的区间$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $, $ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+1} $.

故$ \theta (x) $在$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{(k+1)m_{1}\alpha} $最近并且在其右侧的第$ k+2 $次分割的区间$ G_{(k+2)n_{2}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+2} $; $ \theta (x) $在$ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{(k+1)n_{1}\alpha} $最近且在其左侧的第$ k+2 $次分割的区间$ G_{(k+2)m_{2}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+2} $. 因此, $ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{kj\alpha} $最近且在其左右侧的第$ k+2 $次分割的区间$ G_{(k+2)m_{2}\alpha}, G_{(k+2)n_{2}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+2} $.

由此下去, 可以证明出$ \theta (x) $在$ G_{kj\alpha} $的值与$ \theta (x) $在离$ G_{kj\alpha} $最近且在其左右侧的第$ k+i $次分割的区间$ G_{(k+i)m_{i}\alpha} $, $ G_{(k+i)n_{i}\alpha} $的值相差为$ 1 /2^{k+i} $. 因为($ 1/2^{\left( k+1 \right)}-1/2^{\left( k+2 \right)}-1/2^{\left( k+3 \right)}- \dots -1/2^{\left( k+i \right)}=1/2^{\left( k+i \right)} $)

若$ x\in P_{\alpha} $, 且$ x $为$ G_{kj\alpha} $分割区间右端点时, $ x+r_{\left( k+1 \right)} $刚好到达离$ G_{kj\alpha} $最近且在其右侧的第$ k+1 $次分割的区间端点.

若$ x\in P_{\alpha} $, 且$ x $为$ G_{kj\alpha} $分割区间左端点时, $ x-r_{\left( k+1 \right)} $刚好到达离$ G_{kj\alpha} $最近且在其左侧的第$ k+1 $次分割的区间端点.

由此得出$ \forall x\in P_{\alpha} $:

(1) $ x $为分割区间的右端点时, $ \theta \left( x+r_n \right) -\theta \left( x \right) =\ 1 /2^{n} $ ($ n $足够大);

(2) $ x $为分割区间的右端点时, $ \theta \left( x-r_n \right) -\theta \left( x \right) =0 $(n足够大);

(3) $ x $为分割区间的左端点时, $ \theta \left( x-r_n \right) -\theta \left( x \right) =0 $(n足够大);

(4) $ x $为分割区间的左端点时, $ \theta \left( x-r_n \right) -\theta \left( x \right) =\ 1 /2^{n} $ (n足够大).

对于极限$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\theta (x+\Delta x)-\theta (x)}{\Delta x} $, 有一个路径为0, 另一个路径为$ 1/\alpha $, 明显不为0. 由海涅定理可知$ \theta (x) $在分割区间的端点上不可微. 而对于$ \forall x \in G_{\alpha} $, 由于其为常值函数, 故其可微.

5) $ \theta (x) $一致连续于闭区间$ [0, 1] $. 由于$ \theta (x) $在闭区间$ [0, 1] $连续, 故其在$ [0, 1] $上一致连续.

6) $ \theta (x) $为可测函数. 由于$ \theta (x) $在闭区间$ [0, 1] $连续, 故其为可测函数.

7) $ \theta (x) $在$ [0, 1] $上的积分. 由于$ \theta (x) $为闭区间$ [0, 1] $上的连续函数, 所以$ \theta (x) $可积, 且其积分等于所有小区间$ G_{kj\alpha} $面积之和, 即:

$ \begin{align} \int_{0}^{1}\theta (x)&=\frac{(1-\alpha )}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{(1-\alpha )}{3^{2} } \times (\frac{1}{2^{2}}+\frac{3}{2^{2}}) +\frac{(1-\alpha )}{3^{3} } \times (\frac{1}{2^{3}}+\frac{3}{2^{3}}+\frac{5}{2^{3}}+\frac{7}{2^{3}})+\dots \\ &=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1-\alpha }{3^{n} } \times (\frac{1}{2^{n} } +\frac{3}{2^{n} } +\frac{5}{2^{n} } +\frac{7}{2^{n} } +\dots +\frac{2^{n}-1}{2^{n} } ) \\ &=\frac{1-\alpha }{4} \times \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{2}{3}) ^{n} \\ &=\frac{1-\alpha }{2} \end{align} $

从Cantor函数以及正测度Cantor函数构造的抽象性可以思考, 是否可以将其用于当作某些抽象命题的反例？下面通过几道例题来说明可以利用正测度Cantor函数作为一些命题反例:

只需说明正测度Cantor函数$ \theta (x) $在$ [0, 1]\setminus P_{\alpha } $所取的值, $ \theta (x) $在$ P_{\alpha } $上也均能取到即可. 而由$ \theta (x) $的定义这是明显的. 因为每个挖出来的区间的右端点都属于$ P_{\alpha } $, 而$ \theta (x) $在此点的取值等于$ \theta (x) $在该区间上的值. 所以$ \theta (P_{\alpha })=\theta ([0, 1])=[0, 1] $.

令$ \Phi (x)=\min \{|x-a|:a\in P_{\alpha }\}(x\in R) $, 下证明对一切$ x, y\in R $, $ |\Phi (x)-\Phi (y)|\le |x-y| $.

若$ x $, $ y $都在$ P_{\alpha } $上, 则$ |\Phi (x)-\Phi (y)=0|\le |x-y| $;

若$ x\in P_{\alpha } $, $ y\notin P_{\alpha } $时, 则$ |\Phi (x)-\Phi (y)|=\Phi (y) $, 因为$ x\in P_{\alpha } $, 故$ \Phi (y)\le |x-y| $;

若$ x\notin P_{\alpha } $, $ y\notin P_{\alpha } $时, 不妨设$ x<y $.

若$ x $, $ y $在同一个分割区间段上, 此时如果$ x $, $ y $同时靠近右端点$ n $近一点, $ |\Phi (x)-\Phi (y)|=|n-x-(n-y)|=|x-y| $.

若$ x $, $ y $同时靠近左端点近一点也同理.

如果$ x $, $ y $分别靠近左端点$ m $、右端点$ n $近一点时, $ \Phi (x)\le n-x $, $ \Phi (y)=n-y $. 故$ \Phi (x)-\Phi (y)\le y-x $. 又$ \Phi (y)\le y-m $, $ \Phi (x)=x-m $. 故$ \Phi (x)-\Phi (y)\ge x-y $. 因此$ |\Phi (x)-\Phi (y)|\le |x-y| $.

若$ x $, $ y $不在同一个分割区间段上, 并且设$ x $所在区间段上右端点为$ m $, $ x $所在区间段上左端点为$ n $, 此时$ |\Phi (x)-\Phi (y)|\le |\Phi (x)|+|\Phi (y)|\le m-x+y-m=|x-y| $. 证毕.

因此$ \Phi (x) $为连续函数, 并且其值非负. 当$ \Phi (x)=0 $时等价于$ x\in P_{\alpha } $. 令$ f(x)=\int_{0}^{x} \Phi (t)\mathit{d} t, (x\in R) $. 由于$ \forall x, y\in P_{\alpha } $, $ x $, $ y $之间都存在区间段, 使得$ \Phi (x) $为正数. 而对$ \forall x\notin P_{\alpha } $, $ \Phi (x) $为正数. 故$ f(x) $严格递增, 没有极值点, 而$ {f}' (x)=\Phi (x) $, 故$ \{x:{f}' (x)=0\}=P_{\alpha } $.

如正测度Cantor函数把$ P_{\alpha } $映成Lebesgue测度为1的区间$ [0, 1] $.

在正测度Cantor集上去类似定义Cantor函数得到正测度Cantor函数, 其可作为Cantor函数的一种推广. 定义了正测度Cantor函数后, 我们得到一个与$ \alpha $有关的函数. 通过控制$ \alpha $($ 0\le \alpha<1 $) 进而控制积分和调节函数图像, 从而得到一个定义在$ [0, 1] $上, 一致连续并且可测的理想函数. 由于其构造的特殊性, 我们经常可以应用到一些例子中充当反例.

笔者曾在文献^[6]中研究了Cantor集的分割可以看作为按比例(比例为$ 1/3 $)或者按照长度进行的分割. 因此, 除本文将Cantor集看作按照长度分割进而去构造的正测度Cantor函数外, 也可以构造出一个将其看作为按比例分割的Cantor集构造的类似的Cantor函数. 在用类似方法定义完成类似的Cantor函数后, 再接着对其函数的图像进行绘制以及对其性质进行探讨, 研究其与Cantor函数以及正测度Cantor函数的异同之处^[7](除此之外, 还可以在其他如: 四分Cantor集、广义Cantor集^[8]上类似定义). 这是下一步将要进行的工作.