考虑如下三维稳态带有Poission项的Navier-Stokes方程:

$ \begin{equation} \begin{cases} \operatorname{div}(\rho {\bf u})=0, \\ \operatorname{div}(\rho {\bf u}\otimes {\bf u})- \nu\Delta {\bf u}-(\lambda + \nu)\nabla \operatorname{div} {\bf u} +\nabla P =\kappa\rho\nabla\Phi, \\ \Delta\Phi=\rho-\rho_0, \end{cases} \end{equation} $

(1.1)

其中$ \rho, {\bf u} $和$ \Phi $分别表示密度、速度以及牛顿重力势能. $ P $表示压力, 由于$ \gamma $法则可以得到$ P(\rho)=a\rho^\gamma(a>0, \gamma>1) $. 粘性系数$ \lambda $和$ \nu $满足物理的要求$ \nu>0 $且$ 3\lambda+2\nu>0 $. $ \kappa $是一个物理常数, 它的符号表示力的性质. 如果$ \kappa>0 $表示斥力, 则$ \kappa<0 $表示引力.

在研究偏微分方程的正则性时, 我们很自然地会考虑方程的Liouville型定理. 直至目前, 对于稳态情形下流体力学方程的Liouville型定理仍未解决. 注意到在方程(1.1)中, 若$ \kappa=0 $ (且没有(1.1)的第三个方程), 则方程(1.1)得到稳态可压缩Navier-Stokes方程.关于该方程Liouville型定理的研究, 已经有大量结果. 在文献[1]中, D.Chae研究了$ N $维空间中稳态可压缩Navier-Stokes方程的Liouville型定理, 特别地, 在三维空间中得到了若

$ \begin{equation*} \begin{split} \|\rho\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}+\|\nabla {\bf u}\|_{L^2(\mathbb{R}^3)}+\|{\bf u}\|_{L^\frac{3}{2}(\mathbb{R}^3)}<\infty, \end{split} \end{equation*} $

则$ {\bf u}=0 $且$ \rho= $常数. 随后, 在文献[2]中, 作者提高了[1]的结果, 在如下假设条件下

$ \begin{equation*} \begin{split} \|\rho\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}+\|\nabla {\bf u}\|_{L^2(\mathbb{R}^3)}+\|{\bf u}\|_{L^\frac{9}{2}(\mathbb{R}^3)}<\infty. \end{split} \end{equation*} $

最近, 本文第一作者在文献[3]中, 研究了Lorentz空间中的Liouville型定理. 对于稳态Navier-Stokes-Poission方程的Liouville型定理, 结果较少. D.Chae在文献[1]中证明了在三维空间中若假设

$ \begin{equation*} \begin{split} \|\rho\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}+\|\Phi\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}+\|\nabla {\bf u}\|_{L^2(\mathbb{R}^3)}+\|{\bf u}\|_{L^\frac{3}{2}(\mathbb{R}^3)}<\infty \end{split} \end{equation*} $

条件下的Liouville型定理, 进一步又得到了$ N $维空间中的结果. 关于其他流体力学方程的Liouville型定理, 感兴趣的读者可参考文献[4-8].

本文考虑稳态情形下Navier-Stokes-Poission方程的Liouville型定理, 得到了在Lorentz空间中的结果.

主要结果如下

定理1.1  假设$ \rho, {\bf u}, \Phi $是方程(1.1)在$ \mathbb{R}^3 $中的光滑解. 如果$ \rho\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $, $ \Phi\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $且$ {\bf u}\in L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)\cap L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3) $, 则

$ \begin{equation} \begin{split} D({\bf u}):=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {\bf u}|^2 \, dx \leq C_0 M({\bf u}), \end{split} \end{equation} $

(1.2)

其中$ M({\bf u}):=\|{\bf u}\|_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}^3+\|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)} $. 如果额外假设

$ \begin{equation} \begin{split} M({\bf u})\leq \delta D({\bf u}), \end{split} \end{equation} $

(1.3)

其中$ 0<\delta<\frac{1}{C_0} $, 则在$ \mathbb{R}^3 $中$ {\bf u}=0 $. 进一步, $ (\Phi, \rho) $是如下方程的解

$ \begin{equation} \begin{cases} \rho \nabla \Phi =\frac{a}{\kappa}\nabla \rho^\gamma, \\ \Delta\Phi=\rho-\rho_0. \end{cases} \end{equation} $

(1.4)

本文组织如下: 第一部分引入Lorentz空间的定义以及本文证明中所需要的不等式, 第二部分给出主要结论的证明.

Lorentz空间是比Lesbegue空间更一般的空间. 我们首先回顾Lorentz空间的定义, 详细可参考文献[9].

定义2.1  对于任意的$ 1\leq p<\infty $, $ 1\leq q\leq\infty $. 如果$ \|f\|_{L^{p, q}(\mathbb{R}^3)}< +\infty, $ 我们就称可测函数$ f\in L^{p, q}(\mathbb{R}^3) $, 其中

$ \begin{equation*} \|f\|_{L^{p, q}(\mathbb{R}^3)}:= \begin{cases} \left(\int_0^{\infty}t^{q-1}|\{x\in \mathbb{R}^3: |f(x)|> t\}|^{\frac{q}{p}}\, dt\right)^{\frac{1}{q}}, \quad \quad q<+\infty, \\ \sup\limits_{t>0} t|\{x\in \mathbb{R}^3: |f(x)|> t\}|^{\frac{1}{p}}, \quad \quad q=+\infty. \end{cases} \end{equation*} $

注  $ \|\cdot\|_{L^{p, q}} $是拟范数, 即不满足三角不等式.代替地, 满足

$ \|f+g\|_{L^{p, q}}\leq C(p, q) (\|f\|_{L^{p, q}}+\|g\|_{L^{p, q}}), $

其中$ C(p, q)=2^{1/p}\max (1, 2^{(1-q)/ q}) $. 下面回顾Lorentz空间中的Hölder不等式.

引理2.2  (见文献[10])  假设$ 1\leq p_1, p_2\leq\infty $, $ 1\leq q_1, q_2\leq\infty, $ 且$ f\in L^{p_1, q_1}(\mathbb{R}^3) $, $ g\in L^{p_2, q_2}(\mathbb{R}^3) $, 则存在常数$ C>0 $, 使得如下不等式成立:

$ \begin{equation*} \label{2-1} \begin{split} \|fg\|_{L^{p, q}(\mathbb{R}^3)}\leq C\|f\|_{L^{p_1, q_1}(\mathbb{R}^3)}\|g\|_{L^{p_2, q_2}(\mathbb{R}^3)}, \end{split} \end{equation*} $

其中$ \frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2} $且$ \frac{1}{q}\leq \frac{1}{q_1}+\frac{1}{q_2} $.

证  我们首先引入一个径向截断函数$ \sigma \in C_0^\infty (\mathbb{R}^3) $, 满足

$ \begin{equation*} \label{3-1} \sigma(|x|)= \begin{cases} 1, \quad |x|< 1, \\ [0, 1], \quad 1\leq|x|\leq 2, \\ 0, \quad |x|> 2, \end{cases} \end{equation*} $

对于任意给定的$ R>0 $, 定义$ \sigma_R(x):=\sigma(\frac{|x|}{R}) $, $ x\in\mathbb{R}^3 $且满足$ \|\nabla^k \sigma_R\|_{L^\infty} \leqslant CR^{-k}, k=0, 1, 2, $ 其中常数$ C>0 $且与$ R $无关.

以$ {\bf u}\sigma_R^2 $为测试函数作用在(1.1)的第二个方程两边, 得到

$ \begin{equation} \begin{split} &\nu\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {\bf u}|^2 \sigma_R^2\, dx + (\lambda+\nu)\int_{\mathbb{R}^3}|\operatorname{div} {\bf u}|^2 \sigma_R^2\, dx\\ =&-2\nu\int_{\mathbb{R}^3} \sigma_R \nabla {\bf u}:({\bf u}\otimes\nabla\sigma_R)\, dx- 2(\lambda+\nu)\int_{\mathbb{R}^3}\sigma_R\operatorname{div} {\bf u}({\bf u}\cdot \nabla \sigma_R )\, dx \\ & -\int_{\mathbb{R}^3} (\rho {\bf u}\cdot\nabla){\bf u}\cdot {\bf u}\sigma_R^2\, dx+\int_{\mathbb{R}^3}\kappa \rho \nabla\Phi \cdot {\bf u}\sigma_R^2\, dx -\int_{\mathbb{R}^3}\nabla P\cdot {\bf u}\sigma_R^2\, dx\\ =&\sum\limits_{i=1}^5 I_i. \end{split} \end{equation} $

(2.1)

下面逐项估计$ I_1 $, $ I_2 $...$ I_5 $.对于$ I_1 $, 计算得

$ \begin{equation*} \begin{split} I_1 &=\nu\int_{\mathbb{R}^3} {\bf u}\cdot\operatorname{div}({\bf u} \otimes \nabla (\sigma_R^2)) \, dx\\ &=\nu\int_{\mathbb{R}^3} {\bf u}\cdot (\nabla {\bf u} \cdot \nabla (\sigma_R^2)+{\bf u} \Delta (\sigma_R^2)) \, dx\\ &=\frac{\nu}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|{\bf u}|^2 \Delta (\sigma_R^2) \, dx\\ &=\nu\int_{\mathbb{R}^3}|{\bf u}|^2 (\sigma_R\Delta \sigma_R+|\nabla \sigma_R|^2) \, dx. \end{split} \end{equation*} $

由引理2.2可推出

$ \begin{equation} \begin{split} |I_1|&\leq \nu \int_{R\leq|x|\leq 2R}|{\bf u}|^2 (|\sigma_R\Delta \sigma_R|+|\nabla \sigma_R|^2) \, dx\\ &\leq C(\nu) R^{-2} \||{\bf u}|^2\|_{L^{\frac{9}{4}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)} \|1\|_{L^{\frac{9}{5}, 1}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq C(\nu) R^{-\frac{1}{3}}\|{\bf u}\|^2_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}. \end{split} \end{equation} $

(2.2)

对于$ I_2 $, 利用Young不等式以及嵌入关系$ L^2(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^{2, \infty}(\mathbb{R}^3) $, 可得

$ \begin{equation} \begin{split} |I_2|&\leq C(\lambda+\nu) \int_{R\leq|x|\leq 2R}| \sigma_R\operatorname{div} {\bf u}|| {\bf u}||\nabla \sigma_R| \, dx\\ &\leq C(\lambda+\nu) R^{-1}\| \sigma_R\operatorname{div} {\bf u}\|_{L^{\frac{9}{7}, 1}(R\leq|x|\leq 2R)}\|{\bf u}\|_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq C(\lambda+\nu) R^{-1}\| \sigma_R\operatorname{div} {\bf u}\|_{L^{2, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\|{\bf u}\|_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\|1\|_{L^{\frac{18}{5}, 1}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq C(\lambda+\nu) R^{-\frac{1}{6}}\| \sigma_R\operatorname{div} {\bf u}\|_{L^2(R\leq|x|\leq 2R)}\|{\bf u}\|_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq \frac{(\lambda+\nu)}{2} \| \sigma_R\operatorname{div} {\bf u}\|_{L^2(\mathbb{R}^3)}^2+CR^{-\frac{1}{3}}\|{\bf u}\|^2_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}.\\ \end{split} \end{equation} $

(2.3)

对于$ I_3 $, 利用方程$ \operatorname{div}(\rho {\bf u})=0 $以及分部积分可得

$ \begin{equation*} \begin{split} I_3&=-\int_{\mathbb{R}^3} (\rho {\bf u}\cdot \nabla) {\bf u}\cdot ({\bf u}\sigma_R^2) \, dx\\ &=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3} |{\bf u}|^2\operatorname{div}(\rho {\bf u}\sigma_R^2) \, dx\\ &=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3} |{\bf u}|^2(\sigma_R^2\operatorname{div}(\rho {\bf u})+2\sigma_R\nabla \sigma_R\cdot\rho {\bf u}) \, dx\\ &=\int_{\mathbb{R}^3}|{\bf u}|^2 \sigma_R\nabla \varphi_R\cdot\rho {\bf u} \, dx, \end{split} \end{equation*} $

则

$ \begin{equation} \begin{split} |I_3|&\leq C R^{-1}\|\rho\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\||{\bf u}|^3\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)} \|1\|_{L^{3, 1}(R\leq|x|\leq 2R)} \leq C \|{\bf u}\|_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}^3. \end{split} \end{equation} $

(2.4)

计算$ I_4 $得

$ \begin{equation*} \begin{split} I_4&=-\kappa\int_{\mathbb{R}^3} \Phi\operatorname{div} (\rho {\bf u}\sigma_R^2) \, dx\\ &=-\kappa\int_{\mathbb{R}^3} \Phi\operatorname{div} (\rho {\bf u})\sigma_R^2 \, dx-\kappa\int_{\mathbb{R}^3} \Phi\rho {\bf u}\cdot\nabla(\sigma_R^2) \, dx\\ &=-\kappa\int_{\mathbb{R}^3} 2\sigma_R\Phi\rho {\bf u}\cdot\nabla \sigma_R \, dx, \end{split} \end{equation*} $

则利用引理2.2得

$ \begin{equation} \begin{split} |I_4|&\leq C \int_{R\leq|x|\leq 2R}\rho|\Phi||{\bf u}||\nabla \sigma_R| \, dx\\ &\leq C R^{-1} \|\rho\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\|\Phi\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\|1\|_{L^{3, 1}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq C \|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}. \end{split} \end{equation} $

(2.5)

注意到

$ \nabla P=\nabla(a\rho ^\gamma)=\frac{a\gamma}{\gamma-1}\rho\nabla(\rho^{\gamma-1}). $

对于$ I_5 $, 可得

$ \begin{equation*} \begin{split} I_5&=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{a\gamma}{\gamma-1}\rho\nabla (\rho^{\gamma-1})\cdot {\bf u}\sigma_R^2 \, dx\\ &=\frac{a\gamma}{\gamma-1}\int_{\mathbb{R}^3}\rho^{\gamma-1}\operatorname{div}(\rho {\bf u} \sigma_R^2) \, dx\\ &=\frac{2a\gamma}{\gamma-1}\int_{\mathbb{R}^3}\rho^{\gamma}{\bf u}\cdot(\sigma_R\nabla \sigma_R)\, dx. \end{split} \end{equation*} $

进一步, 有

$ \begin{equation} \begin{split} |I_5|&\leq C \int_{R\leq|x|\leq 2R}\rho^{\gamma}|{\bf u}||\nabla \sigma_R| \, dx\\ &\leq C R^{-1} \|\rho\|^\gamma_{L^\infty(\mathbb{R}^3)}\|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(R\leq|x|\leq 2R)}\|1\|_{L^{3, 1}(R\leq|x|\leq 2R)}\\ &\leq C \|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}. \end{split} \end{equation} $

(2.6)

将(2.2)-(2.6)式代入(2.1) 式中, 可得

$ \begin{equation} \begin{split} &\nu \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {\bf u}|^2 \sigma_R^2 \, dx + \frac{(\lambda+\nu)}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|\operatorname{div} {\bf u}|^2\sigma_R^2 \, dx\\ &\, \leq C \left(R^{-\frac{1}{3}}\|{\bf u}\|^2_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)} + \|{\bf u}\|^3_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}+ \|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}\right), \end{split} \end{equation} $

(2.7)

其中常数$ C $与$ R $无关.

下面关于(2.7)式取$ R\rightarrow \infty $, 借助Levi渐升定理得

$ \begin{equation*} \begin{split} \nu \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {\bf u}|^2 \, dx + \frac{(\lambda+\nu)}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|\operatorname{div} {\bf u}|^2 \, dx \leq C \left(\|{\bf u}\|^3_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}+ \|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}\right), \end{split} \end{equation*} $

又因为$ 3\lambda+2\nu\geq 0, \nu>0 $, 我们得到

$ \begin{equation*} \begin{split} D({\bf u}):=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {\bf u}|^2 \, dx \leq C_0 \left(\|{\bf u}\|^3_{L^{\frac{9}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}+ \|{\bf u}\|_{L^{\frac{3}{2}, \infty}(\mathbb{R}^3)}\right). \end{split} \end{equation*} $

因此(1.2)式得证. 再结合假设(1.3), 可得

$ \begin{equation*} \begin{split} D({\bf u}) \leq C_0 M({\bf u})\leq C_0 \delta D({\bf u}). \end{split} \end{equation*} $

因为$ 0< C_0 \delta< 1 $, 我们得到在$ \mathbb{R}^3 $中$ {\bf u}=0 $. 再结合$ (1.1) $的第二个方程可证明(1.4)成立.