在研究线性回归模型时, 往往直接或间接地假设误差服从正态分布, 取得了大量令人满意的结果(参见文献[1-2]). 但在很多情况下, 误差并不服从正态分布, 由此将会产生一些用正态分布无法解决的问题. 由于P-范分布包含拉普拉斯分布、正态分布、均匀分布、退化分布等在内的一类重要分布, 在某些情况下(如地图数字化误差)它比正态分布更适合描述误差分布. 另外, 在常用的估计最小准则下, 参数的估值与总体服从P-范分布时的极大似然估值一致(参见文献[3]). 基于这些, 越来越多的人研究P-范分布及其相关问题, 如: 文献[3]研究了P-范分布及其抽样分布; 文献[4]系统地研究了P- 范分布理论及其在现代测量数据处理中的应用; 文献[5]对P-范分布参数的估计方法进行了改进, 建立了P-范分布的参数估计的实数阶矩估计方法; 文献[6]用P- 范分布对上证指数的日收益率进行拟合, 得到较好的结果. 似然比方法是一种应用很广泛的检验方法, 深入的结果有很多, 如: 文献[7]用似然比方法对线性混合模型的方差参数进行了检验; 文献[8]运用Skovgaard's修正似然比方法研究指数族非线性模型, 得到了修正似然比统计量近似服从分布; 文献[9]讨论了高维正态向量独立性的假设检验问题, 得到了似然比统计量的极限分布. 文献[10]用Lq似然比方法对广义极值分布的形状参数进行了检验; 文献[11]针对一般的污染分布提出了具有稳健性的Lq似然比检验, 得到了Lq似然比检验统计量的渐近分布; 文献[12]提出了基于似然比检验的二阶段多项式曲线控制图, 并通过平均运行长度来衡量控制图的性能表现.

尽管研究P-范分布和运用似然比检验方法的成果很多, 但是运用似然比方法对P-范分布中的参数进行检验的文献甚少. 为此, 本文用似然比方法对P-范分布中尺度参数的检验进行了研究.

本节简要介绍P-范分布及其抽样分布, 详细内容请参见文献[3-4].

定义2.1  若随机变量$ X $的密度函数为

$ \begin{equation} f(x)=\frac{p\lambda}{2\sigma\Gamma(1/p)}\exp\Big\{-\Big[\lambda\frac{|x-\mu|}{\sigma}\Big]^p\Big\}, \end{equation} $

(2.1)

则称$ X $服从一元P-范分布(其中$ \lambda=(\Gamma(3/p)/\Gamma(1/p))^{1/2} $, 位置参数为$ \mu $, 尺度参数为$ \sigma>0) $.

注  易知拉普拉斯分布(令$ p=1 $)、正态分布(令$ p=2 $)、均匀分布(令$ p\rightarrow \infty $) 与退化分布(令$ p\rightarrow0 $)均为一元P-范分布(2.1)的特例. 由此可知, P- 范分布揭示了表面上毫不相关的几个分布的内在本质联系.

定义2.2  设随机变量$ X_1, X_2, \cdots, X_n $独立同分布, 服从$ \mu=0 $、$ \sigma=1 $的一维P-范分布, 则称随机变量$ Y= \sum\limits_{i=1}^n|X_i|^p $服从自由度为$ n $的$ \chi^p $分布, 记为$ Y\thicksim\chi^p(n) $, 其密度函数为

$ \begin{array}{c} f(y)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n/p)}y^{n/p-1}e^{-\lambda^{p}y}, & y>0\\ 0, & y\leq0 \end{array} \right. \end{array} $

(2.2)

定义2.3  设$ X $服从$ \mu=0 $、$ \sigma=1 $的一维P-范分布, $ Y $服从$ \chi^p(n) $分布, 且$ X $与$ Y $相互独立, 则

$ \begin{equation} T=\frac{X}{(Y/n)^{1/p}}, \end{equation} $

(2.3)

服从自由度为$ n $的$ t_p $分布, 记为$ T\sim t_p(n) $, 其密度函数为

$ \begin{equation} f(t)=\frac{p\Gamma((n+1)/p)}{2\Gamma(1/p)\Gamma(n/p)n^{1/p}}\left(1+\frac{|t|^p}{n}\right)^{-(n+1)/p}. \end{equation} $

(2.4)

定义2.4  设$ X $、$ Y $分别服从自由度为$ m, n $的$ \chi^p $分布, 且$ X $与$ Y $相互独立, 则

$ \begin{equation} Z=\frac{X/m}{Y/n} \end{equation} $

(2.5)

服从第一自由度为$ m $、第二自由度为$ n $的$ F_p $分布, 记为$ Z\sim F_p(m, n) $, 其密度函数为

$ \begin{equation} f(z)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{(m/n)^{m/p}}{B(m/p, n/p)}z^{m/p-1}\left(1+\frac{m}{n}z\right)^{-\frac{m+n}{p}}, & z>0\\ 0, & z\leq0 \end{array} \right. \end{equation} $

(2.6)

式中$ B(x, y) $为贝塔函数.

本节假定$ \mu $已知, 不失一般性假定$ \mu=0 $. 当$ \mu $未知时, 由于此时一元P-范分布的极大似然估计(参见文献[5])不易求出, 所以在实际应用中用其矩估计$ \bar{x}=n^{-1} \sum\limits_{i=1}^nx_i $替代, 仍可采用下面的密度函数进行近似计算.

本小节我们考虑单个总体的尺度参数的假设检验问题. 设随机样本$ x_1, x_2, \cdots, x_n $独立同分布, 取自参数为$ \mu $和$ \sigma $的P-范分布, 检验问题为

$ H_0:\sigma\in\Theta_0\leftrightarrow H_1:\sigma\in\Theta_1, $

其中$ \Theta_0 $和$ \Theta_1 $分别为原假设和备择假设的参数空间. 如记

$ \begin{equation} \begin{aligned} l_n(\sigma)&=\log L(\sigma;x_1, x_2, \cdots, x_n)= \sum\limits_{i=1}^n\log{f(x_i;\sigma)}\\ &= \sum\limits_{i=1}^n\log\left\{\frac{p\lambda}{2\sigma\Gamma(1/p)}\exp\left\{-\left(\lambda\frac{|x_i|}{\sigma}\right)^p\right\}\right\}\\ &=n\log\left\{\frac{p\lambda}{2\sigma\Gamma(1/p)}\right\}- \sum\limits_{i=1}^n\left(\lambda\frac{|x_i|}{\sigma}\right)^p, \end{aligned} \end{equation} $

(3.1)

则似然比检验统计量定义为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \lambda_n&=-2\left\{\sup\limits_{\sigma\in\Theta_0}l_n(\sigma)-\sup\limits_{\sigma\in\Theta_0\cup\Theta_1}l_n(\sigma)\right\}\\ &=2\sup\limits_{\sigma\in\Theta_0}\left\{n\log\sigma+\lambda^p/\sigma^p \sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p\right\} -2\sup\limits_{\sigma\in\Theta_0\cup\Theta_1}\left\{n\log\sigma+\lambda^p/\sigma^p \sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p\right\}. \end{aligned} \end{equation} $

(3.2)

定理3.1  记$ \sigma^p $的极大似然估计为

$ \begin{equation} {\hat{\sigma}_n}^p=\frac{p}{n}\lambda^p \sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p. \end{equation} $

(3.3)

对于检验$ H_0:\sigma=\sigma_0\leftrightarrow H_1:\sigma\neq\sigma_0 $问题, 有

(1) 似然比检验统计量

$ \begin{equation} \frac{\lambda_n}{n}=2(\log\sigma_0-\log\hat{\sigma}_n)+\frac{2\lambda^p}{n} \sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}-\frac{|x_i|^p}{{\hat{\sigma}_n}^p}\right)\stackrel{D}{\longrightarrow}-\frac{2}{p}\log\xi, \end{equation} $

(3.4)

其中$ \xi=\frac{p\lambda^p}{n} \sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p} $的分布为$ \chi^p(n) $.

(2) $ -\frac{2n}{p}\log{\xi} $的密度函数为

$ f(y)=\frac{1}{2\Gamma(n/p)}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}-\frac{py}{2n}\right\}. $

(3) 当$ n $足够大时, $ \lambda_n $的近似密度函数为

$ g(y)=C^{-1}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}, -\infty<y<\infty. $

其中$ C=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}dy $.

证  (1) 由(3.2)和(3.3)式得

$ \begin{equation} \begin{aligned} \lambda_n&=2n\log{\frac{\sigma_0}{\hat{\sigma}_n}}+2\lambda^p\left\{\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p-\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\hat{\sigma}_n}\right|^p\right\}\\ &=2n\log{\frac{\sigma_0}{\hat{\sigma}_n}}+2\lambda^p\left\{\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p-\frac{n}{p}\left(\frac{\Gamma(3/p)}{\Gamma(1/p)}\right)^{-p/2}\right\}\\ &=-2n\log{\hat{\sigma}_n}+2n\log{\sigma_0}+2\left(\frac{\Gamma(3/p)}{\Gamma(1/p)}\right)^{p/2}\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p-\frac{2n}{p}\\ &=2\lambda^p\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p-\frac{2n}{p} -\frac{2n}{p}\log\left\{\sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}\right\}-\frac{2n}{p}\log\left\{\frac{p}{n}\lambda^p\sigma_0^p\right\}+2n\log\sigma_0\\ &=-\frac{2n}{p}\log\left\{\frac{p\lambda^p}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}\right\}+n\left(\frac{2\lambda^p}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}-\frac{2}{p}\right). \end{aligned} \end{equation} $

(3.5)

注意到$ E\chi^p(n)=\frac{n}{p\lambda^p}, Var\chi^p(n)=\frac{n}{p\lambda^{2p}} $(参见文献[4]), 由大数定理容易证明:

$ \begin{equation} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p\stackrel{P}{\longrightarrow}E\left\{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p\right\}=\frac{1}{p\lambda^p}, \end{equation} $

(3.6)

由此得到

$ \begin{equation} \frac{2\lambda^p}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{x_i}{\sigma_0}\right|^p\stackrel{P}{\longrightarrow}\frac{2}{p}, \end{equation} $

(3.7)

于是

$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\lambda_n}{n}&=-\frac{2}{p}\log{\xi}+2\lambda^p\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}-\frac{1}{p\lambda^p}\right)\\ &=-\frac{2}{p}\log{\xi}+o_p(1)\\ &\stackrel{D}{\longrightarrow}-\frac{2}{p}\log{\xi}, \end{aligned} \end{equation} $

(3.8)

其中$ \xi={\frac{p\lambda^p}{n}} \sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p} $的分布是$ \chi^p(n) $.

(2) 由$ \xi $密度函数

$ \begin{equation} \begin{aligned} h(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n/p)}\left(\frac{n}{p\lambda^p}\right)^{n/p}x^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{nx}{p}\right\}, \end{aligned} \end{equation} $

(3.9)

可得到$ -\frac{2n}{p}\log\xi $的密度函数为

$ \begin{align*} f(y)&=\left(\frac{n}{p\lambda^p}\right)^{n/p}\frac{\lambda^n}{\Gamma(n/p)}\left(\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right\}\cdot\left(\frac{p}{2n}\right)\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\\ &=\frac{1}{2\Gamma(n/p)}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}-\frac{py}{2n}\right\}. \end{align*} $

(3) 当$ n\rightarrow \infty $时, 有$ \frac{py}{2n}\rightarrow0 $和$ \exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\approx 1-\frac{py}{2n} $, 从而有

$ \begin{align*} \exp\left\{-\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}-\frac{py}{2n}\right\}&\approx\exp\left\{-\frac{n}{p}\left(1-\frac{py}{2n}\right)-\frac{py}{2n}\right\}\\ &=\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}-\frac{n}{p}\right\}, \end{align*} $

于是可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} f(y)&=\frac{1}{2\Gamma(n/p)}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}-\frac{py}{2n}\right\}\\ &\approx\frac{1}{2\Gamma(n/p)}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}-\frac{n}{p}\right\}\\ &=\frac{1}{2\Gamma(n/p)}\exp\left\{-\frac{n}{p}\right\}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}\\ &=C^{-1}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}, \end{aligned} \end{equation} $

(3.10)

其中

$ C=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}dy, $

因此, $ \lambda_n $的近似密度函数为

$ g(y)=C^{-1}\left(\frac{n}{p}\exp\left\{-\frac{py}{2n}\right\}\right)^{n/p-1}\exp\left\{\frac{(n-p)y}{2n}\right\}, -\infty<y<\infty. $

注  当$ |\lambda_n| $偏大时, 拒绝$ H_0 $, 认为两总体方差有显著性差异; 当$ |\lambda_n| $接近0时, 接受$ H_0 $, 认为两总体方差没有显著性差异.

注意到$ (\Gamma(3)/\Gamma(1))^{1/2}=\sqrt{2} $和$ (\Gamma(3/2)/\Gamma(1/2))^{1/2}=1/\sqrt{2} $, 由定理3.1容易得到下面的两个推论, 在此略去证明.

推论3.1  (拉普拉斯分布) 令$ p=1 $, $ \hat{\sigma}_n=\frac{\sqrt{2}}{n} \sum\limits_{i=1}^n|x_i| $, 则$ \frac{\lambda_n}{n}\stackrel{D}{\longrightarrow}-2\log\xi $, 其中$ \xi=\frac{\sqrt{2}}{n} \sum\limits_{i=1}^n\frac{|x_i|}{\sigma_0} $服从$ \chi(n) $. 且$ \lambda_n $的近似密度函数为

$ f(y)=\frac{1}{2\Gamma(n)}\left(n\exp\left\{-\frac{y}{2n}\right\}\right)^{n-1}\exp\left\{-n\exp\left\{-\frac{y}{2n}\right\}-\frac{y}{2n}\right\}. $

推论3.2  (正态分布)令$ p=2 $, 则$ \frac{\lambda_n}{n}\stackrel{D}{\longrightarrow}-\log\xi $, 其中$ \xi=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n{\frac{x_i^2}{\sigma_0^2}} $服从的分布是$ \chi^2(n) $. 进而$ \lambda_n $的近似密度函数为

$ f(y)=\frac{1}{2\Gamma(n/2)}\left(\frac{n}{2}\exp\left\{-\frac{y}{n}\right\}\right)^{n/2-1}\exp\left\{-\frac{n}{2}\exp\left\{-\frac{y}{n}\right\}-{\frac{y}{n}}\right\}. $

本小节我们考虑两个总体的尺度参数的假设检验问题. 设随机样本$ x_1, x_2, \cdots, x_n $独立同分布, 取自参数为$ \mu_1, \sigma_1 $的P-范分布; $ y_1, y_2, \cdots, y_n $独立同分布, 均取自参数为$ \mu_1, \sigma_1 $的P-范分布; 而且两个样本相互独立. 仍不妨假定$ \mu_1=0, \mu_0=0 $. 检验如下问题

$ H_0:\sigma_1=\sigma_2\leftrightarrow H_1:\sigma_1\neq\sigma_2. $

为了将(3.5)式适用于两个总体的尺度参数检验, 我们将它适当修改成如下似然比检验统计量

$ \begin{equation} \begin{aligned} \lambda_n&=2\sup\limits_{\sigma_1\in\tilde{\Theta}_1}\left\{n\log\sigma+\lambda^p/\sigma^p \sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p\right\} -2\sup\limits_{\sigma_2\in\tilde{\Theta}_2}\left\{n\log\sigma+\lambda^p/\sigma^p \sum\limits_{i=1}^n|x_i|^p\right\}\\ &=2\left\{\log({\hat{\sigma}_{1n_1}}^{n_1}/{\hat{\sigma}_{2n_2}}^{n_2})+\lambda^p\left[\sum\limits_{i=1}^{n_1}\left|\frac{x_i}{\hat{\sigma}_{1n_1}}\right|^p-\sum\limits_{i=1}^{n_2}\left|\frac{y_i}{\hat{\sigma}_{2n_2}}\right|^p\right]\right\}\\ &=\frac{2}{p}\left\{\log({\hat{\sigma}_{1n_1}}^{pn_1}/{\hat{\sigma}_{2n_2}}^{pn_2})+(n_1-n_2)\right\}, \end{aligned} \end{equation} $

(3.11)

其中$ \tilde{\Theta}_1 $和$ \tilde{\Theta}_2 $分别为第一、二个总体所对应的参数空间, $ \sigma_1^p $和$ \sigma_2^p $对应的极大似然估计分别为

$ \hat{\sigma}_{1n_1}^p=\frac{p}{n_1}\lambda^p\sum\limits_{i=1}^{n_1}|x_i|^p, \hat{\sigma}_{2n_2}^p=\frac{p}{n_2}\lambda^p\sum\limits_{i=1}^{n_2}|y_i|^p, $

定理3.2  似然比统计量$ \lambda_n=\frac{2}{p}\left\{\log({\hat{\sigma}_{1n_1}}^{pn_1}/{\hat{\sigma}_{2n_2}}^{pn_2})+(n_1-n_2)\right\} $的密度函数为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \tilde{f}(y)=&\frac{n_1^{n_1/p-1}n_2^{n_2/p-1}p^{1-(n_1+n_2)/p}}{2\Gamma(n_1/p)\Gamma(n_2/p)\sigma_1^p\sigma_2^p}\exp\left\{(1-p)\left[\frac{y}{2}-\frac{n_1-n_2}{p}\right]\right\}\\ &\cdot\int_0^\infty z^{2/p-1}\exp\left\{-\frac{n_1\sqrt[n_1]{z}}{p\sigma_1^p}\exp\left\{\frac{py}{2n_1}-\left(1-\frac{n_2}{n_1}\right)\right\}-\frac{n_2\sqrt[n_2]{z}}{p\sigma_2^p}\right\}dz, -\infty<y<\infty. \end{aligned} \end{equation} $

(3.12)

证  经计算容易得到$ {\hat{\sigma}_n}^p=\frac{p}{n}\left(\Gamma(3/p)/\Gamma(1/p)\right)^{p/2}\sigma^p \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{|x_i|^p}{\sigma^p} $的密度函数如下:

$ \begin{equation} \begin{aligned} f(y)&=\frac{n}{p}\frac{\lambda^{n-p}}{\Gamma(n/p)\sigma^p}\left(\frac{y}{\frac{p}{n}\lambda^p{\sigma^p}}\right)^{n/p-1}\exp\left\{-\lambda^p\frac{y}{\frac{p}{n}\lambda^p{\sigma^p}}\right\}, y>0\\ &=\left(\frac{p}{n}\right)^{-n/p}\frac{1}{\Gamma(n/p)\sigma^p}y^{n/p-1}\exp\left\{-\frac{ny}{p\sigma^p}\right\}, y>0 \end{aligned} \end{equation} $

(3.13)

由此可以得到$ {\hat{\sigma}_n}^{pn}=\left\{\frac{p}{n}\lambda^p\sigma^p \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{|x_i|^p}{\sigma^p}\right\}^n $的密度函数为

$ \begin{equation} \begin{aligned} h(y)&=\frac{1}{n}\left(\frac{p}{n}\right)^{-n/p}\frac{1}{\Gamma(n/p)\sigma^p}y^{n^{-1}(n/p-1)}y^{n^{-1}-1}\exp\left\{-\frac{ny^{n^{-1}}}{p\sigma^p}\right\}\\ &=\frac{1}{n}\left(\frac{p}{n}\right)^{-n/p}\frac{1}{\Gamma(n/p)\sigma^p}y^{1/p-1}\exp\left\{-\frac{ny^{n^{-1}}}{p\sigma^p}\right\}, y>0 \end{aligned} \end{equation} $

(3.14)

由(3.11)和(3.14)式可得$ Z={\hat{\sigma}_{1n_1}}^{pn_1}/{\hat{\sigma}_{2n_2}}^{pn_2} $的密度函数为

$ \begin{equation} \begin{aligned} g(y)=&\int_{-\infty}^\infty|z|\frac{1}{n_2}\left(\frac{p}{n_2}\right)^{-n_2/p}\frac{1}{\Gamma(n_2/p)\sigma_2^p}z^{1/p-1}\exp\left\{-\frac{n_2z^{n_2^{-1}}}{p\sigma_2^p}\right\}\\ &\cdot\frac{1}{n_1}\left(\frac{p}{n_1}\right)^{-n_1/p}\frac{1}{\Gamma(n_1/p)\sigma_1^p}(zy)^{1/p-1}\exp\left\{-\frac{n_1(zy)^{n_1^{-1}}}{p\sigma_1^p}\right\}dz\\ =&\frac{n_1^{n_1/p-1}n_2^{n_2/p-1}p^{-(n_1+n_2)/p}}{\Gamma(n_1/p)\Gamma(n_2/p)\sigma_1^p\sigma_2^p}y^{1/p-1}\\ &\cdot\int_0^\infty z^{2/p-1}\exp\left\{-\frac{n_1(zy)^{n_1^{-1}}}{p\sigma_1^p}-\frac{n_2z^{n_2^{-1}}}{p\sigma_2^p}\right\}dz, y>0 \end{aligned} \end{equation} $

(3.15)

由(3.11)和(3.15)式可得$ \lambda_n=\frac{2}{p}\left\{\log({\hat{\sigma}_{1n_1}}^{pn_1}/{\hat{\sigma}_{2n_2}}^{pn_2})+(n_1-n_2)\right\} $的密度函数为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \tilde{f}(y)=&\frac{p}{2}\frac{n_1^{n_1/p-1}n_2^{n_2/p-1}p^{-(n_1+n_2)/p}}{\Gamma(n_1/p)\Gamma(n_2/p)\sigma_1^p\sigma_2^p}\exp\left\{\left(\frac{1}{p}-1\right)\left[\frac{py}{2}-(n_1-n_2)\right]\right\}\\ &\cdot\int_0^\infty z^{2/p-1}\exp\left\{-\frac{n_1z^{n_1^{-1}}}{p\sigma_1^p}\exp\left\{\frac{1}{n_1}(\frac{py}{2}-(n_1-n_2))\right\}-\frac{n_2z^{n_2^{-1}}}{p\sigma_2^p}\right\}dz\\ =&\frac{n_1^{n_1/p-1}n_2^{n_2/p-1}p^{1-(n_1+n_2)/p}}{2\Gamma(n_1/p)\Gamma(n_2/p)\sigma_1^p\sigma_2^p}\exp\left\{(1-p)\left[\frac{y}{2}-\frac{n_1-n_2}{p}\right]\right\}\\ &\cdot\int_0^\infty z^{2/p-1}\exp\left\{-\frac{n_1\sqrt[n_1]{z}}{p\sigma_1^p}\exp\left\{\frac{py}{2n_1}-\left(1-\frac{n_2}{n_1}\right)\right\}-\frac{n_2\sqrt[n_2]{z}}{p\sigma_2^p}\right\}dz. \end{aligned} \end{equation} $

(3.16)

由于定理3.2的结论较复杂不便于应用, 所以下面我们考虑其特殊情形, 即$ n_1=n_2=n $. 利用定理3.2及其证明容易得到如下较简单的结论:

推论3.3  若$ H_0 $成立, 且$ n_1=n_2=n $, 则$ \lambda_n=\frac{2n}{p}\log\left(\frac{\hat{\sigma}_{1n}}{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p $的密度函数为

$ \begin{equation} \tilde{f}(y)=\frac{p}{2nB(n/p, n/p)}\exp\left\{\frac{y}{2}\left(1-\frac{n}{p}\right)\right\}\left[1+\exp\left(\frac{py}{2n}\right)\right]^{-2n/p}, -\infty<y<\infty. \end{equation} $

(3.17)

证  注意到

$ \begin{align*} \left(\frac{\hat{\sigma}_{1n}}{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p=\frac{{\lambda^p}\frac{p}{n_1}\sigma_1^p \sum\limits_{i=1}^{n_1}\frac{|x_i-\mu_1|^p}{\sigma_1^p}}{{\lambda^p}\frac{p}{n_2}\sigma_2^p \sum\limits_{i=1}^{n_2}\frac{|y_i-\mu_2|^p}{\sigma_2^p}}=\frac{\sigma_1^p}{\sigma_2^p}\frac{n_2 \sum\limits_{i=1}^{n_1}\frac{|x_i-\mu_1|^p}{\sigma_1^p}}{n_1 \sum\limits_{i=1}^{n_2}\frac{|y_i-\mu_2|^p}{\sigma_2^p}} =\frac{n_2 \sum\limits_{i=1}^{n_1}\frac{|x_i-\mu_1|^p}{\sigma_1^p}}{n_1 \sum\limits_{i=1}^{n_2}\frac{|y_i-\mu_2|^p}{\sigma_2^p}}\sim F_p(n, n). \end{align*} $

即$ \left({\hat{\sigma}_{1n}}/{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p $的密度函数为

$ \begin{equation} f(z)=\frac{1}{B(n/p, n/p)}z^{n/p-1}(1+z)^{-2n/p}, z>0 \end{equation} $

(3.18)

于是由(3.11)和(3.18)式得$ \lambda_n=\frac{2n}{p}\log\left(\frac{\hat{\sigma}_{1n}}{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p $的密度函数为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \tilde{f}(y)&=\frac{1}{B(n/p, n/p)}z^{n/p-1}(1+z)^{-2n/p}\\ &=\frac{p}{2nB(n/p, n/p)}\exp\left\{\frac{py}{2n}\left(\frac{n}{p}-1\right)\right\}\left[1+\exp\left(\frac{py}{2n}\right)\right]^{-2n/p}\\ &=\frac{p}{2nB(n/p, n/p)}\exp\left\{\frac{y}{2}\left(1-\frac{n}{p}\right)\right\}\left[1+\exp\left(\frac{py}{2n}\right)\right]^{-2n/p}, -\infty<y<\infty \end{aligned} \end{equation} $

(3.19)

由推论3.3易得推论3.4和推论3.5, 在此略去证明.

推论3.4  令$ p=1 $, 则在推论3.3的条件下, $ \lambda_n=2n\log({\hat{\sigma}_{1n}}/{\hat{\sigma}_{2n}}) $的密度函数为

$ \tilde{f}(y)=\frac{1}{2nB(n, n)}\exp\left\{\frac{y}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right\}\left[1+\exp\left\{\frac{y}{2n}\right\}\right]^{-2n}, -\infty<y<\infty $

推论3.5  令$ p=2 $, 则在推论3.3的条件下, $ \lambda_n=n\log({\hat{\sigma}_{1n}}^2/{\hat{\sigma}_{2n}}^2) $的密度函数为

$ \tilde{f}(y)=\frac{2}{2nB(n/2, n/2)}\exp\left\{\frac{y}{2}\left(1-\frac{2}{n}\right)\right\}\left[1+\exp\left\{\frac{y}{n}\right\}\right]^{-n}, -\infty<y<\infty $

注  当$ |\lambda_n| $偏大时, 拒绝$ H_0 $, 认为两总体方差有显著性差异; 当$ |\lambda_n| $接近0时, 接受$ H_0 $, 认为两总体方差没有显著性差异.

本节将选取不同的$ p $值进行似然比检验. 由下面3个例子可以看出, 检验结果均与模拟数据相符, 从而说明了我们理论结果的可靠性.

例1  在(2.1)式中令$ p=2, \mu=0, \sigma=2 $, 随机产生100组样本, 其中样本容量为100. 我们根据每组样本值求出统计量, 并将100个样本统计量求和取平均进行模拟实验(显著性水平取为$ \alpha=0.05 $).

(1) 检验$ H_0:\sigma=3\leftrightarrow H_1:\sigma\neq3 $.

根据样本可以计算得

$ \bar{\lambda}_n=2n(\log\sigma_0-\log\hat{\sigma}_n)+\lambda^p\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}-\frac{|x_i|^p}{{\hat{\sigma}_n}^p}\right)=54.4694 $

由定理3.1中(2)式得

$ 0.025=\int_{-\infty}^{q_1}f(y)dy, 0.975=\int_{-\infty}^{q_2}f(y)dy $

解得: $ q_1=-25.8983, q_2=29.8111 $. 由于$ \bar{\lambda}_n>q_2 $, 并且在计算100个样本统计量时, 结果显示最小的统计量$ \lambda_n $大于$ q_2 $, 所以得到拒绝$ H_0 $.

(2) 检验$ H_0:\sigma=2\leftrightarrow H_1:\sigma\neq2 $.

$ \bar{\lambda}_n=2n(\log\sigma_0-\log\hat{\sigma}_n)+\lambda^p\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{|x_i|^p}{\sigma_0^p}-\frac{|x_i|^p}{{\hat{\sigma}_n}^p}\right)=0.23336 $

由于$ q_1<\bar{\lambda}_n<q_2 $, 并且结果显示所求统计量$ \lambda_n $的最大值和最小值在$ (q_1, q_2) $, 所以接受$ H_0 $.

例2  在(2.1)式中令$ p=1, \mu_1=\mu_1=0, \sigma_1=2, \sigma_2=1 $, 从两个总体中分别随机产生容量为100的样本, 检验$ H_0:\sigma_1=\sigma_2\leftrightarrow H_1:\sigma_1\neq\sigma_2 $(显著性水平取为$ \alpha=0.05 $).

根据样本计算得

$ \bar{\lambda}_n=\frac{2n}{p}\log\left(\frac{\hat{\sigma}_{1n}}{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p=69.6176 $

由推论3.3中(3.17)式得

$ 0.025=\int_{-\infty}^{q_1}\tilde{f}(y)dy, 0.975=\int_{-\infty}^{q_2}\tilde{f}(y)dy $

其中$ q_1=-59.7589, q_2=47.4423 $. 由于$ \bar{\lambda}_n>q_2 $, 并且模拟结果显示, 统计量$ \lambda_n $最小值大于$ q_2 $, 所以拒绝$ H_0 $, 认为两总体方差有显著性差异.

例3  在(2.1)式中令$ p=4, \mu_1=\mu_1=0, \sigma_1=1, \sigma_2=1 $, 随机产生容量为100的两个样本, 检验$ H_0:\sigma_1=\sigma_2\leftrightarrow H_1:\sigma_1\neq\sigma_2 $(显著性水平取为$ \alpha=0.05 $).

根据样本计算得

$ \bar{\lambda}_n=\frac{2n}{p}\log\left(\frac{\hat{\sigma}_{1n}}{\hat{\sigma}_{2n}}\right)^p=0.0503 $

由推论3.3中(3.17)式得

$ 0.025=\int_{-\infty}^{q_3}\tilde{f}(y)dy, 0.975=\int_{-\infty}^{q_4}\tilde{f}(y)dy $

其中$ q_3=-32.4755, q_4=17.6155 $. 由于$ q_3<\bar{\lambda}_n<q_4 $, 并且结果显示所求统计量$ \lambda_n $的最大值和最小值在$ (q_1, q_2) $, 所以接受$ H_0 $, 认为两总体方差没有显著性差异.