给定$ \beta>0 $且$ n $为正整数, 若$ n $维随机向量$ \mu=(\mu_1,...,\mu_n) $具有联合密度函数:

$ \begin{equation} f_{\beta}({x}_1,...,{x}_n)=K_{n}^{\beta} \prod\limits_{{1}\le{i}\le{j}\le{n}}\left |{x}_i-{x}_j\right |^{\beta} \cdot{e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n{{x}_i}^2}}, \end{equation} $

(1.1)

则称其为一个以$ n $和$ \beta $为参数的$ \beta $-Hermite系综. 其中

$ \begin{equation*} K_{n}^{\beta}=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{\Gamma\left(1+\frac{\beta}{2}\right)} {\Gamma\left(1+\frac{\beta}{2}i\right)} \end{equation*} $

是规范化系数.

设$ n $, $ p $为正整数且$ p>n $, 若非负随机向量$ \lambda:=(\lambda_1,...,\lambda_n) $具有联合概率密度:

$ \begin{equation} f_{n,{\beta}}({x}_1,...,{x}_n)=c_{n}^{{\beta},p}\prod\limits_{{1}\le{i}\le{j}\le{n}} \left |{x}_i-{x}_j\right |^{\beta} \prod\limits_{i=1}^n{x}_{i}^{\frac{\beta}{2}(p-n+1)-1}\cdot{e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n{x}_i}}, \end{equation} $

(1.2)

则称其为一个以$ p $, $ n $和$ \beta $为参数的$ \beta $-Laguerre系综. 其中

$ \begin{equation*} c_{n}^{{\beta},p}=2^{-\frac{\beta np}2}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{\Gamma\left(1+\frac{\beta}{2}\right)} {\Gamma\left(1+\frac{\beta}{2} i\right)\Gamma\left(\left(p-n+i\right)\frac{\beta}{2}\right)} \end{equation*} $

是规范化系数.

$ \beta $系综为量子力学中非常重要的一个研究主体. 与著名的GOE、GUE以及Wishart矩阵、正交多项式和Selberg积分都有紧密的联系. 其相关研究也非常热烈, 有很多成熟的结果.

Dumitriu和Edelman在其著名工作^[1]中将$ \beta $-Hermite系综和$ \beta $-Laguerre系综分别对应为两个对称的三对角随机矩阵特征值的联合密度函数(也见文献[2]), 文献[3]在文献[1]的基础上, 给出了$ \beta $-Hermite和$ \beta $-Laguerre系综矩的极限定理.

接下来, 我们简单介绍本文中需要用到的两个距离. 设$ \pi_1 $和$ \pi_2 $为定义在$ \left(\mathbb{R}^n,\; \mathcal{B}\right) $上的两个概率测度, 其中$ \mathbb{R}^n $为$ n $维欧氏空间, $ \mathcal{B} $为Borel-$ \sigma $代数. 定义$ \pi_1 $和$ \pi_2 $的全变差距离$ \left\| \pi_1-\pi_2\right\| _{\rm{TV}} $为:

$ \begin{equation*} \left\| \pi_1-\pi_2\right\| _{\rm{TV}}=2\sup\limits_{A\in\mathcal{B}}\left|\pi_1\left(A\right)-\pi_2\left(A\right)\right| =\int_{\mathbb{R}^n}\left|f(x)-g(x)\right|dx, \end{equation*} $

其中$ f $和$ g $分别为$ \pi_1 $和$ \pi_2 $相对于Lebesgue测度的密度函数.

定义$ \pi_1 $与$ \pi_2 $的Kullback-Leibler距离为:

$ \begin{equation*} D_{\rm{KL}}(\pi_1|\pi_2)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{d\pi_1}{d\pi_2}\log{\frac{d\pi_1}{d\pi_2}}d\pi_2. \end{equation*} $

两个距离之间满足Pinsker不等式:

$ \begin{equation} \left\| \pi_1-\pi_2\right\| _{\rm{TV}}^2\le 2D_{\rm{KL}}(\pi_1|\pi_2). \end{equation} $

(1.3)

设随机向量$ \mu $和$ \lambda $分别具有如($ \rm 1.1) 和 (\rm1.2 $) 的概率密度函数. 对$ 1\le i\le n $, 令$ \nu_i=\frac{\lambda_i-\beta p}{\sqrt{2\beta p}} $. 分别用$ \mathcal{L}(\nu) $和$ \mathcal{L}(\mu) $表示$ \nu $和$ \mu $的联合分布. Jiang在文献[4] 中证明了, 在$ \lim\limits_{{n\rightarrow +\infty}}\frac{n^3}{p}=0 $的条件下, $ \|\mathcal{L}(\nu)-\mathcal{L}(\mu)\|_{\rm TV} $趋于0. 第三作者和合作者在文献[5] 即在此条件下, 一个$ \beta $-Laguerre系综本质上可以看作一个$ \beta $-Hermite系综. 之后本文第三作者和Jiang综合Pinsker不等式和随机正交矩阵的特点, 给出了正交矩阵被独立标准正态逼近的充要条件. 之后本文第三作者和Shen在文献[6]中给出了$ \beta $-Laguerre系综逼近$ \beta $-Jacobi系综的充要条件. 从文献[4]的结果出发, 我们关心的问题是:

(1) 在同样的条件下, 是否可以把全变差距离换成其他比较强的距离, 比如Kullback-Leibler距离?

(2) 在全变差距离下, 条件$ \lim\limits_{{n\rightarrow +\infty}}\frac{n^3}{p}=0 $是否已达最优? 利用Jiang和Ma在文献[5] 中的方法, 得到本文的主要结果如下:

Theorem 1.1  设随机向量$ \mu=(\mu_1,...,\mu_n) $的联合概率密度$ f_{\beta} $如($ \rm 1.1 $) 中所示, 非负随机向量$ \lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n) $的联合概率密度函数$ f_{n,\beta} $如($ \rm 1.2 $) 中所示. 对$ 1\le i\le n $, 令$ \nu_i=\frac{\lambda_i-\beta p}{\sqrt{2\beta p}} $. 记$ d\left(\mathcal{L}(\nu), \mathcal{L}(\mu)\right) $为$ \mathcal{L}(\nu) $与$ \mathcal{L}(\mu) $的全变差距离或Kullback-Leibler距离, 我们有:

(1) 若$ \lim\limits_{{n\rightarrow +\infty}}\frac{n^3}{p}=0 $, 则$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}d\left(\mathcal{L}(\nu), \mathcal{L}(\mu)\right)= 0, $

(2) 若$ \lim\limits_{{n\rightarrow +\infty}}\frac{n^3}{p}=\gamma \in (0,+\infty) $, 则$ \varliminf\limits_{n\rightarrow +\infty}d\left(\mathcal{L}(\nu), \mathcal{L}(\mu)\right)> 0. $

在主要证明过程开始前, 我们先给出随机向量$ \nu=(\nu_1,...\nu_n) $的联合密度函数$ \tilde{f}_{n,{\beta}} $. 由$ \lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n) $的联合密度函数$ f_{n,{\beta}} $易知, 当$ \nu_i\ge -\sqrt\frac{\beta p}{2} $, 对任意$ 1\le i\le n $,

$ \begin{equation} \tilde{f}_{n,{\beta}}(x)=\tilde{c}_{n}^{\beta,p} \prod\limits_{{1}\le{i}\le{j}\le{n}}\left |x_i-x_j\right |^{\beta} \prod\limits_{i=1}^n\left(1+{\sqrt{\frac{2}{\beta p}}x_i}\right)^{\frac{\beta}{2}(p-n+1)-1} \cdot{\exp\left({-{\sqrt{\frac{\beta p}{2}}}\sum\limits_{i=1}^n{x_i}}\right)}, \end{equation} $

(2.1)

否则为$ 0 $, 其中$ \tilde{c}_{n}^{\beta,p}=c_{n}^{\beta,p}(\beta p)^{\frac{\beta np}{2}-\frac{n(n-1)\beta}{4}-\frac n2}2^{\frac{\beta n(n-1)}{4}+\frac{n}{2}}e^{-\frac{\beta n p}{2}} $为规范化系数. 由此可得,

$ \begin{equation} \begin{aligned} D_{\rm{KL}}\left(\mathcal{L}(\nu)|\mathcal{L}(\mu)\right)&=\int_{\mathbb{R}^n}\log\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(x)}{f_{\beta}(x)}\tilde{f}_{n,\beta}(x)\,dx_1...dx_n=\mathbb{E}\left(\log\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\nu)}{f_{\beta}(\nu)}\right), \end{aligned} \end{equation} $

(2.2)

其中随机向量$ \nu $具有如$ \rm{(2.1)}\; $的联合概率密度$ \tilde{f}_{n,\beta} $.

同时,

$ \begin{equation} \begin{split} \left\| \mathcal{L}(\nu)-\mathcal{L}(\mu)\right\| _{\rm{TV}}&=\int_{\mathbb{R}^n}\ \left|\tilde{f}_{n,\beta}(x)-f_{\beta}(x)\right|\,dx_1...dx_n=\mathbb{E}\left|\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)}-1\right|. \end{split} \end{equation} $

(2.3)

其中随机向量$ \mu $具有如$ \rm{(1.1)}\; $的密度函数$ f_{\beta} $. 以下分两部分证明定理结论.

先引入如下引理：

引理2.1  假设$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2}{p}=0 $, 当$ n $充分大时, 有$ \log\frac{\tilde{c}_{n}^{\beta,p}}{K_{n}^{\beta}}=-\frac{\beta n^3}{12p}+o\left(\frac{n^3}{p}\right) $.

证  由定义可得:

$ \begin{equation} \begin{split} \log\frac{\tilde{c}_{n}^{\beta,p}}{K_{n}^{\beta}}=&-\frac{\beta}{2}np+ \left(\frac{\beta}{4}n(n-1)+\frac{n}{2}-\frac{\beta np}{2}\right)\log 2+\frac{n}{2}\log (2\pi)\\ &+\left(\frac{\beta np}{2}-\frac{\beta n(n-1)}{4}-\frac n2\right)\log(\beta p)- \sum\limits_{i=0}^{n-1}\log\Gamma\left(\frac{\beta}{2}(p-i)\right). \end{split} \end{equation} $

(2.4)

根据Stirling公式, 当$ x $充分大时, 有:

$ \log\Gamma(x)=x\log x-x-\frac{1}{2}\log x+\log\sqrt{2\pi}+\frac{1}{12x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right). $

从而对任意$ 0\le i \le n-1 $, 当$ p $充分大时,

$ \begin{equation*} \begin{split} \log\Gamma\left(\frac{\beta}{2}(p-i)\right)&=(\frac{\beta}{2}(p-i)-\frac12)\log\frac{\beta\left(p-i\right)}{2}-\frac{\beta}{2}(p-i)+\log\sqrt{2\pi}+O\left(\frac{1}{p}\right). \end{split} \end{equation*} $

回忆条件$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2}{p}=0 $, 不难得到任意$ 0\le i \le n-1 $, 当$ p $充分大时,

$ \log\frac{\beta(p-i)}{2}=\log \frac{\beta p}2-\frac{i}{p}-\frac{i^2}{2p^2}+O\left(\frac{i^3}{p^3}\right). $

从而通过简单求和, 合并$ O(\frac{n^2}p), $有

$ \begin{equation*} \begin{split} \sum\limits_{i=0}^{n-1}\log\Gamma\left(\frac{\beta}{2}(p-i)\right)=&\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{\beta }{2}(p-i)-\frac12\right)\left(\log\frac{\beta p}{2}-\frac{i}{p}-\frac{i^2}{2p^2} \right)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{\beta}{2}(p-i)\\ &+\frac{n}{2}\log (2\pi)+O\left(\frac{n^4}{p^2}\right)\\ =&\left(\frac{\beta p n}{2}-\frac{\beta n(n-1)}{4}-\frac n2\right)\log\frac{\beta p}{2}-\frac{\beta p n}{2}+\frac{n^3}{12p}\\ &+\frac{n}{2}\log(2\pi)+O(\frac{n^2}{p}).\\ \end{split} \end{equation*} $

回到$ \left(2.4\right) $式, 最后得到在$ p $充分大时, $ \log\frac{\tilde{c}_{n}^{\beta,p}}{K_{n}^{\beta}}=-\frac{\beta n^3}{12p}+O\left(\frac{n^2}{p}\right). $

定理1. (1) 的证明

证  由Pinsker不等式$ (\rm{1.3}) $, 只需证明$ \mathcal{L}(\nu) $与$ \mathcal{L}(\mu) $的Kullback-Leibler距离在$ n\rightarrow +\infty $时趋于0即可. 记$ r:=\frac{\beta}{2}(p-n+1)-1 $, 由(2.1), 我们有

$ \begin{equation} \begin{aligned} &\quad D_{\rm{KL}}(\mathcal{L}(\nu)|\mathcal{L}(\mu))=\mathbb{E}\left(\log\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\nu)}{f_{\beta}(\nu)}\right)\\ &=\log{\frac{\tilde{c}_n^{\beta,p}}{K_n^{\beta}}}+r\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\; \log\left(1+\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\nu_i\right) -\sqrt{\frac{\beta p}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i^2\\ &\le \log{\frac{\tilde{c}_n^{\beta,p}}{K_n^{\beta}}}+r\sum\limits_{i=1}^n\mathbb{E}\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\nu_i-\frac{\nu_i^2}{\beta p}+\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\right)^3\frac{\nu_i^3}{3}\right)-\sqrt{\frac{\beta p}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i^2\\ &=\log{\frac{\tilde{c}_n^{\beta,p}}{K_n^{\beta}}}-\frac{\beta (n-1)+2}{\sqrt{2\beta p}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i+\frac{\beta(n-1)+2}{2\beta p}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i^2+\frac{r}{3}\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\right)^3\sum\limits_{i=1}^n\mathbb{E}\nu_i^3.\\ \end{aligned} \end{equation} $

(2.5)

上式中不等号利用了基础不等式:

$ \begin{equation*} \log(1+x)\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3},\qquad x>-1. \end{equation*} $

由文献[5] 中引理$ 2.3 $知:

$ \begin{equation} \begin{array}{lcl} \sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i=0,\\ \sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i^2=\frac{\beta n^2}{2}+o\left(n^2\right),\\ \sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E}\nu_i^3=\sqrt{\frac{\beta}{8}}\frac{n^3}{\sqrt{p}}+o\left(\frac{n^3}{\sqrt{p}}\right). \end{array} \end{equation} $

(2.6)

结合引理2.1 , $ \left(2.5\right) $式以及$ \left(2.6\right) $式可得到当$ n\rightarrow +\infty $时,

$ \begin{equation*} \begin{split} D_{\rm{KL}}\left(\mathcal{L}(\nu)|\mathcal{L}(\mu)\right)&\le-\frac{n^3}{12p}+\frac{\beta n^3}{6p}+\frac{\beta(n-1)n^2+n^2}{4 p}+o\left(\frac{n^3}{p}\right). \end{split} \end{equation*} $

因此在条件$ \lim\limits_{p\to\infty}\frac{n^3}{p}=0 $下, 有$ \lim\limits_{p\to\infty}D_{\rm{KL}}\left(\mathcal{L}(\nu)|\mathcal{L}(\mu)\right)=0. $

定理1.(2) 的证明只需要考虑全变差距离情形下成立. 鉴于此目的, 我们需要给出$ \log \frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)} $的中心极限定理, 此处$ \mu $为Hermite系综. 为此, 先列出几个需要的引理.

引理3.1   设随机向量$ \mu=\left(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\right) $为一个参数为$ n,\; \beta $的Hermite系综, 则$ \forall\, k\in\mathbb{N}^+ $,

$ \begin{equation*} \mathbb{E}\sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}\right)^k=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{n}{16^{m}(m+1)}\binom{2m}{m}+o(n),&{k=2m};\\ \\ 0, &{k=2m-1}. \end{array}\right.\\ \end{equation*} $

下一个引理, 来自文献[3] Claim 3.2.1和3.2.2中部分结论.

引理3.2   设随机向量$ \mu=\left(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\right) $为一个参数为$ n,\; \beta $的Hermite系综. $ \forall \, k\in\mathbb{N}^+, $有

$ \begin{equation*} \begin{split} & {\rm Var}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}\right)^k\right)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{m}{\beta 16^{m}}\binom{2m}{m}^2+o(1), &{k=2m};\\ \\ \frac{8(2m-1)}{\beta 16^{m}}\binom{2(m-1)}{m-1}^2+o(1), &{k=2m-1}; \end{array}\right.\\ & {\rm Cov}\left(\sum\limits_{i=1}^n \frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}, \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}\right)^3 \right)=\frac{9}{16\beta}+o(1). \end{split} \end{equation*} $

引理3.3   设随机向量$ \mu=\left(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\right) $具有如$ \rm{(1.1)} $的联合概率密度$ f_{\beta} $, 设$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n^3}{p}=\gamma\in (0,+\infty) $, 则$ n\rightarrow +\infty $时,

$ \begin{equation*} \eta_n:=-\frac{\beta (n-1)+2}{\sqrt{2\beta p}}\sum\limits_{i=1}^n \mu_i+\frac{r}{3}\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\right)^3\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3\stackrel{w}\rightarrow N(0,\frac{\beta\gamma}{6}). \end{equation*} $

此处$ \stackrel{w}\rightarrow $表示弱收敛.

证  由文献[3]中的定理1.4, 可知$ \eta_n $作为$ \sum_{i=1}^n \mu_i $和$ \sum_{i=1}^n \mu_i^3 $的线性组合, 只要系数合适就会弱收敛到正态分布, 下面计算其期望和方差. 由引理3.1, 易得$ \mathbb{E}\eta_n=0 $. 关于$ {\rm Var}(\eta_n), $

$ \begin{aligned} {\rm Var}(\eta_n)&=C_1^2 {\rm Var}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i)+C_3^2 {\rm Var}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3)+2C_1 C_3 {\rm Cov}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i, \sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3). \end{aligned} $

由引理3.2, 有

$ \begin{aligned} C_1^2 {\rm Var}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i)&=2n\beta C_1^2\left(\frac{1}{2\beta}+o(1)\right)=\frac{\beta n^3}{2 p}+o\left(\frac{ n^3}{p}\right);\\ C_3^2 {\rm Var}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3)&=8\beta^3 n^3 C_3^2\left(\frac{3}{8\beta}+o(1)\right)=\frac{2\beta n^3}{3 p}+o\left(\frac{ n^3}{p}\right); \\ 2C_1 C_3 {\rm Cov}(\sum\limits_{i=1}^n \mu_i, \sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3)&=-\frac{8\beta^2 n^3}{3p}\left(\frac{9}{16\beta}+o(1)\right)=-\frac{3\beta n^3}{2p}+o(\frac{n^3}{p}). \end{aligned} $

故在$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3}{p}=\gamma $下, $ \lim\limits_{n\to\infty}{\rm Var}(\eta_n)=\frac{\beta \gamma}{6}. $证毕.

引理3.4  设$ \sigma_n=p^{-\frac32}\, \sum\limits_{i=1}^n \mu_i^5 \, h\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right) $, 其中$ \mu $具有如$ \rm{(1.1)} $的联合概率密度$ f_{\beta} $, $ h(x) $在$ \left(-1,+\infty\right) $上连续. 在条件$ \lim\limits_{{n\rightarrow +\infty}}\frac{n^3}{p}=\gamma\in (0,+\infty) $下, 当$ n\rightarrow +\infty $时, $ \sigma_n $依概率收敛到$ 0 $.

证  对任意$ \epsilon >0 $,

$ \begin{equation*} \begin{split} \mathbb{P}\left(\left|\sigma_n\right|>\epsilon\right)&=\mathbb{P}\left(\left|\sigma_n\right|>\epsilon,\; \max\limits_{i}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|\le \frac{1}{2}\right) +\mathbb{P}\left(\left|\sigma_n\right|>\epsilon,\; \max\limits_{i}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|> \frac{1}{2}\right)\\ &\le \mathbb{P}\left(\left|\sigma_n\right|>\epsilon,\; \max\limits_{i}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|\le \frac{1}{2}\right) +\mathbb{P}\left(\max\limits_{i}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|> \frac{1}{2}\right).\\ \end{split} \end{equation*} $

令$ \tau:=\sup\limits_{|x|\le{\frac{1}{2}}}|h(x)| $, 由$ h(x) $在$ (-1,+\infty) $上的连续性可知$ \tau<+\infty $.

在$ \max\limits_{i}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|\le \frac{1}{2} $限制下, 有$ \left|\sigma_n\right|\le \tau \cdot{p^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i^5} $. 由引理3.1和引理3.2, 易知:

$ \begin{equation*} \mathbb{E}\left(p^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i^5\right)=0,\; \; {\rm Var}\left(p^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i^5\right)=O\left(\frac{n^5}{p^{3}}\right). \end{equation*} $

故在$ n\rightarrow +\infty $时, $ p^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i^5\stackrel{\mathbb{P}}\rightarrow 0 $. 因此, 在$ n\rightarrow +\infty $时, 不等式右端第一项趋于$ 0 $. 由文献[4]中引理4.1, 知道$ \max\limits_{1\le i\le n}\left|\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right|\stackrel{\mathbb{P}}\rightarrow 0. $故在$ n\rightarrow +\infty $时, 不等式右端第二项也趋于$ 0 $. 因此有:

$ \begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathbb{P}\left(\left|\sigma_n\right|>\epsilon\right)=0. \end{equation*} $

证毕.

定理1.(2) 的证明  由$ (2.1) $式易得:

$ \begin{equation} \log{\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)}}=r\sum\limits_{i=1}^{n}\log\left(1+\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right)-\sqrt{\frac{\beta p}{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i^2+\log{\frac{\tilde{c}_{n}^{n,\beta}}{K_{n}^{\beta}}}, \end{equation} $

(3.1)

其中$ r=\frac{\beta}{2}(p-n+1)-1 $.

根据Taylor公式, 存在$ (-1,+\infty) $上的连续函数$ h(x) $, 使得:

$ \begin{equation} \log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+x^5{h(x)}. \end{equation} $

(3.2)

由$ \left(3.2\right) $式以及引理 , 可将$ \left(3.1\right) $式化为, 在$ n $充分大时,

$ \begin{equation} \begin{split} \log{\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)}}&=-\frac{\beta\gamma}{12}+C_1\sum\limits_{i=1}^n \mu_i+C_2\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^2+C_3\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^3\\ &\; \; +C_4\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^4+C_5\sum\limits_{i=1}^n h\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\mu_i\right)\mu_i^5+o(1),\\ \end{split} \end{equation} $

(3.3)

其中$ C_1, C_3 $如上述引理中所给定义, 且

$ \begin{equation*} C_2=\frac{\beta(n-1)+1}{2\beta p}, \; C_{4}=-\frac{r}{\beta^2 p^2}, \; C_5=\left(\sqrt{\frac{2}{\beta p}}\right)^5 r . \end{equation*} $

接下来我们证明

$ \begin{equation} \log{\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)}}\stackrel{w}{\longrightarrow }\xi\sim N(-\frac{7\beta\gamma}{192},\frac{\beta\gamma}{6}), \; n\to\infty. \end{equation} $

(3.4)

由表达式(3.3)、引理3.3和引理3.4, 我们只需要证明

$ C_2\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^2 +C_4\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^4 $

依概率收敛到$ \frac{3\beta\gamma}{64} $. 由引理3.1知,

$ \begin{aligned} C_2 \mathbb{E} \sum\limits_{i=1}^n \mu_i^2+C_4\mathbb{E} \sum\limits_{i=1}^n \mu_i^4 &=C_2 (2\beta n^2) \mathbb{E}\frac1n \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}\right)^2+C_4 (4\beta^2 n^3 )\mathbb{E}\frac1n \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{\mu_i}{\sqrt{2n\beta}}\right)^4\end{aligned} $

收敛到

$ \frac{\beta\gamma}{16}-\frac{\beta\gamma}{64}=\frac{3\beta\gamma}{64}. $

又由引理3.2,

$ \begin{equation*} {\rm Var}\left(C_2\sum\limits_{i=1}^n\mu_i^2\right)=O\left(\frac{n^4}{p^2}\right) \quad \rm{和} \quad \; \; {\rm Var}\left(C_4\sum\limits_{i=1}^n\mu_i^4\right)=O\left(\frac{n^4}{p^2}\right) \end{equation*} $

都收敛到$ 0 $. 故

$ C_2\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^2 +C_4\sum\limits_{i=1}^n \mu_i^4 $

依概率收敛到$ \frac{3\beta\gamma}{64}. $从而(3.4)得证. 最后由Fatou引理, 得到:

$ \begin{equation*} \varliminf_{n\rightarrow +\infty}\left\|\mathcal{L}(\nu)-\mathcal{L}(\mu)\right\| _{\rm{TV}}=\varliminf_{n\rightarrow +\infty}\mathbb{E}\left|\frac{\tilde{f}_{n,\beta}(\mu)}{f_{\beta}(\mu)}-1\right|>0. \end{equation*} $

至此, 我们证明了在$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3}{p}=\gamma\in\left(0,+\infty\right) $条件下, $ \varliminf\limits_{n\rightarrow +\infty}d\left(\mathcal{L}(\nu),\mathcal{L}(\mu)\right)> 0 $.