非线性波是应用研究的重要领域之一. 目前, 已有很多科研人员建立了数学模型来研究非线性波动现象. Diederik Korteweg和Gustav de Vries^[1]于1895年发现的KdV方程是描述单向运动的浅水波偏微分方程, 是非线性色散方程的典型代表. 自从发现KdV方程, 人们便对这个方程及其变化形式进行了大量研究. 盛秀兰^[2]基于Crank-Nicolson方法对KdV方程周期边界问题提出一个两层线性化隐式差分格式, 其收敛阶数为$ O(\tau+h^2) $. 李家永^[3]对定界的KdV方程提出一个二阶三层线性差分格式. Poochinapan等人^[4]对齐次边界的KdV方程提出两个四阶精度的有限差分格式. 何育宇等人^[5]对KdV方程提出一个四阶三层线性紧致有限差分格式, 并证明了该格式是绝对稳定的. 正则化长波(RLW)方程最早是Peregrine^[6]提出的一种河道内小振幅长波的模型. Santarelli^[7]研究了广义RLW方程中两个孤立波的非弹性碰撞. Chegini et al.^[8]采用非多项式样条(NPS)基函数得到正则化长波(RLW)方程的近似解. Koide和Furihata^[9]对RLW方程提出了四种守恒格式, 并用离散能量法证明了其中一种格式数值解的稳定性和收敛性.

Ghiloufi et al.^[10]对RLW-KdV方程提出一种非线性守恒差分格式, 该格式在时间上二阶收敛, 在空间上四阶收敛. 利用能量法证明了近似解的存在性和差分格式的收敛性. Rouatbi et al.^[11]提出了一种求解非线性色散RLW-KdV方程的高阶非线性保守差分格式方法. 利用Brouwer不动点定理证明了解的存在性. 此外, 证明了差分格式的无条件稳定性和唯一性. 在离散$ L^\infty $-范数下, 证明了该方法在空间上是四阶收敛, 在时间上是二阶收敛. 此外, 还给出了不同振幅的孤立波的相互作用. Rouatbi和Omrani^[12]提出了非线性色散RLW-KdV方程的两种保守差分格式. 第一种格式是二阶非线性隐式, 第二种是三层线性隐式, 证明了解的存在性. 用离散能量法证明了这两种格式是唯一可解和无条件稳定的, 并且在$ L^\infty $-范数上具有二阶收敛性, 提出了一种求解非线性格式的迭代算法. Bayarassou等人^[13]对RLW-KdV方程提出了一个系数矩阵为七对角矩阵的三层线性化隐式格式, 并利用离散能量法证明了该格式在空间上四阶收敛, 在时间上二阶收敛.

本文考虑一维三阶的非线性RLW-KdV方程^[13]

$ \begin{eqnarray} &&u_{t}-u_{xxt}+\alpha u_{xxx}+u_{x}+\beta u^{p}u_{x}=0, \quad (x, t)\in[x_{l}, x_{r}]\times(0, T], \end{eqnarray} $

(1.1)

$ \begin{eqnarray} &&u(x, 0)=u_{0}(x), x\in[x_{l}, x_{r}], \end{eqnarray} $

(1.2)

$ \begin{eqnarray} &&u(x_{l}, t)=u(x_{r}, t)=0, \quad u_{x}(x_{l}, t)=u_{x}(x_{r}, t)=0, \quad t\in(o, T], \end{eqnarray} $

(1.3)

其中$ u_0(x) $是已知的光滑函数, $ \alpha $和$ \beta $是任意实数. 本文利用Taylor展开式建立了一个三层线性紧致差分格式, 在时间上为二阶收敛, 在空间上为四阶收敛, 格式的系数矩阵只有五对角, 这与七对角相比减少了运算量.

对求解区域$ [x_{l}, x_{r}]\times[0, T] $进行网格剖分, 取正整数$ J, N $, 并令空间步长为$ h=(x_{r}-x_{l})/J $及时间步长为$ \tau=T/N $, 网格点$ (x_{j}, t^{n}) $定义为$ x_{j}=x_{l}+jh, 0\leq j\leq J $和$ t^{n}=n\tau, 0\leq n\leq N $. 设$ u^{n}_{j}=(x_{j}, t^{n}) $为精确解, $ U^{n}_{j}\approx(x_{j}, t^{n}) $为数值解. 定义

$ Z^{0}_{h}=\{U=(U_{j})|U_{-1}=U_{0}=U_{1}=U_{J}=U_{J+1}=0, \quad -1\leq j\leq J+1\}. $

对任意$ U^{n}, V^{n}\in Z^{0}_{h} $, 定义如下差分算子、内积和范数

$ \begin{eqnarray*} &&(U^n_j)_x=\frac{U^n_{j+1}-U^n_j}{h}, \quad (U^n_j)_{\bar{x}}=\frac{U^n_{j}-U^n_{j-1}}{h}, \quad (U^n_j)_{\hat{x}}=\frac{U^n_{j+1}-U^n_{j-1}}{2h}, \\ &&(U^n_j)_t=\frac{U^{n+1}_{j}-U^n_{j}}{\tau}, \quad (U^n_j)_{\hat{t}}=\frac{U^{n+1}_{j}-U^{n-1}_{j}}{2\tau}, \quad \bar{U}^n_j=\frac{U^{n+1}_{j}+U^{n-1}_{j}}{2}, \\ &&\langle U^n, V^n \rangle=h\sum\limits^{J-1}_{j=1}U^n_jV^n_j, \quad \|U^n\|^2=\langle U^n, U^n \rangle, \quad \|U^n\|_{\infty}=\max\limits_{1 \leq j \leq J-1}|U^n_j|. \end{eqnarray*} $

令

$ \begin{eqnarray} &&w=u_{xxt}-\alpha u_{xxx}-u_x-\frac{\beta}{p+1}(u^{p+1})_x, \end{eqnarray} $

(2.1)

则方程(1.1)可以写成$ w=u_t $. 由Taylor展开式, 得

$ \begin{eqnarray} &w^n_j=(\partial_tu)^n_j=(U^n_j)_{\hat{t}}+O(\tau^2), & \end{eqnarray} $

(2.2)

$ \begin{eqnarray} w^n_j&=&[(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{t}}-\frac{h^2}{12}(\partial^4_x\partial_tu)^n_j] -\alpha[(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}-\frac{h^2}{4}(\partial^5_xu)^n_j] -[(U^n_j)_{\hat{x}}-\frac{h^2}{6}(\partial^3_xu)^n_j]\\ &&-\frac{\beta}{p+1}\bigg\{[(U^n_j)^{p+1}]_{\hat{x}}-\frac{h^2}{6}(\partial^3_xu^{p+1})^n_j\bigg\}+O(h^4). \end{eqnarray} $

(2.3)

由(2.1)式, 可得

$ \begin{eqnarray} \alpha(\partial^5_xu)^n_j=-(\partial^2_xw)^n_j+(\partial^4_x\partial_tu)^n_j -(\partial^3_xu)^n_j-\frac{\beta}{p+1}(\partial^3_xu^{p+1})^n_j. \end{eqnarray} $

(2.4)

将(2.4)式代入(2.3)式, 得

$ \begin{eqnarray} w^n_j&=&(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{t}}-\alpha(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}-(U^n_j)_{\hat{x}} -\frac{\beta}{p+1}[(U^n_j)^{p+1}]_{\hat{x}} +\frac{ h^2}{6}(\partial^4_x\partial_tu)^n_j-\frac{h^2}{12}(\partial^3_xu)^n_j\\ &&-\frac{\beta h^2}{12(p+1)}(\partial^3_xu^{p+1})^n_j-\frac{h^2}{4}(\partial^2_xw)^n_j+O(h^4). \end{eqnarray} $

(2.5)

用二阶精度进行逼近, 有

$ \begin{eqnarray} &&(\partial^4_x\partial_tu)^n_j=(U^n_j)_{xx\bar{x}\bar{x}\hat{t}}+O(h^2), \end{eqnarray} $

(2.6)

$ \begin{eqnarray} &&(\partial^3_xu)^n_j=(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}+O(h^2), \end{eqnarray} $

(2.7)

$ \begin{eqnarray} &&(\partial^3_xu^{p+1})^n_j=[(U^n_j)^{p+1}]_{x\bar{x}\hat{x}}+O(h^2), \end{eqnarray} $

(2.8)

$ \begin{eqnarray} &&(\partial^2_xw)^n_j=(W^n_j)_{x\bar{x}}+O(h^2). \end{eqnarray} $

(2.9)

将(2.6)–(2.9)式代入(2.5)式, 我们得到以下紧致差分格式

$ \begin{eqnarray} &&(U^n_j)_{\hat{t}}-(1-\frac{h^2}{4})(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{t}}+(\alpha+\frac{h^2}{12})(\bar{U}^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}} +(\bar{U}^n_j)_{\hat{x}}-\frac{h^2}{6}(\bar{U}^n_j)_{xx\bar{x}\bar{x}\hat{t}} +\frac{\beta}{p+1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}\\ &&\quad+\frac{\beta h^2}{12(p+1)}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{x\bar{x}\hat{x}}=0, \quad 1 \leq j \leq J-1, \quad 1\leq n\leq N-1, \end{eqnarray} $

(2.10)

$ \begin{eqnarray} &&U^0_j=u_0(x_j), \quad 0 \leq j \leq J, \end{eqnarray} $

(2.11)

$ \begin{eqnarray} &&U^n_{0}=U^n_J=0, \quad (U^n_{0})_{\hat{x}}=(U^n_J)_{\hat{x}}=0, \quad 0\leq n\leq N. \end{eqnarray} $

(2.12)

由于差分格式(2.10)–(2.12)是三层线性隐式格式, 所以需要下面的两层线性格式来计算$ U^1 $

$ \begin{eqnarray} &&(U^0_j)_t-(1-\frac{h^2}{4})(U^0_j)_{x\bar{x}t}+(\alpha+\frac{h^2}{12})(U^{\frac{1}{2}}_j)_{x\bar{x}\hat{x}} +(U^{\frac{1}{2}}_j)_{\hat{x}}-\frac{h^2}{6}(U^{\frac{1}{2}}_j)_{xx\bar{x}\bar{x}{t}} +\frac{\beta}{p+1}[(U^0_j)^{p}(\bar{U}^{\frac{1}{2}}_j)]_{\hat{x}}\\ &&\quad+\frac{\beta h^2}{12(p+1)}[(U^0_j)^{p}(\bar{U}^{\frac{1}{2}}_j)]_{x\bar{x}\hat{x}}=0, \quad 1 \leq j \leq J-1, \end{eqnarray} $

(2.13)

其中$ U^{\frac{1}{2}}_j=\frac{1}{2}(U^1_j+U^0_j) $.

引理3.1^[14]  对任意两个网格函数$ U^n, V^n\in Z^0_h $, 则

$ \begin{eqnarray*} &&\langle U^n_{\bar{x}}, V^n\rangle=-\langle U^n, V^n_{x}\rangle, \quad \langle U^n_{\hat{x}}, V^n\rangle=-\langle U^n, V^n_{\hat{x}}\rangle, \quad \langle U^n_{\hat{x}}, U^n\rangle=0, \quad \langle U^n_{x\bar{x}\hat{x}}, U^n\rangle=0, \\ &&\langle U^n_{\hat{t}}, 2\bar{U}^n\rangle=\|U^n\|^2_{\hat{t}}, \quad \langle U^n_{x\bar{x}}, U^n\rangle=-\|U^n_x\|^2\quad \langle U^n_{xx\bar{x}\bar{x}}, U^n\rangle=\|U^n_{x\bar{x}}\|^2. \end{eqnarray*} $

定理3.1   设$ u_0\in H^2_0[x_l, x_r], \quad u(x, t)\in C^{6, 3}_{x, t}[x_l, x_r], $则差分格式(2.10)–(2.12)关于以下离散质量和离散能量是守恒的, 即

$ \begin{eqnarray} &&Q^n=Q^{n-1}=\cdot\cdot\cdot=Q^0, \end{eqnarray} $

(3.1)

$ \begin{eqnarray} &&E^n=E^{n-1}=\cdot\cdot\cdot=E^0, \end{eqnarray} $

(3.2)

其中

$ \begin{eqnarray*} Q^n=h\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^{n+1}_j+U^n_j), \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} E^n&=&\|U^{n+1}\|^2+\|U^n\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^n_x\|^2)-\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^n_{x\bar{x}}\|^2)\\ &&+\frac{\beta\tau h}{3(p+1)}\sum\limits^{n}_{\ell=1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^\ell_j)^{p}(\bar{U}^{\ell}_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^\ell_{j-1}+10\bar{U}^\ell_{j}+\bar{U}^\ell_{j+1}), \quad 0\leq n\leq N. \end{eqnarray*} $

证  将(2.10)式两端乘以$ h $后对$ j $求和, 根据边界条件(2.12), 可得

$ \begin{eqnarray*} h\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^{n+1}_j-U^{n-1}_j)=0, \end{eqnarray*} $

即$ h\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^{n+1}_j+U^{n}_j)=h\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^{n}_j+U^{n-1}_j), $从而(3.1)式得证. 将(2.10)式两端与$ 2\bar{U}^n $作内积, 由引理3.1可得

$ \begin{eqnarray} &&\|U^n\|^2_{\hat{t}}+(1-\frac{h^2}{4})\|U^n_x\|^2_{\hat{t}} -\frac{h^2}{6}\|U^n_{x\bar{x}}\|^2_{\hat{t}} +\frac{\beta}{p+1}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle \\ &&+\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle=0. \end{eqnarray} $

(3.3)

由引理3.1, 有

$ \begin{eqnarray} &&\quad\frac{\beta}{p+1}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle +\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle \\ &&=\frac{12\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^n_j) +\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^n_{j+1}-2\bar{U}^n_{j}+\bar{U}^n_{j-1})\\ &&=\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^n_{j+1}+10\bar{U}^n_j+\bar{U}^n_{j-1}). \end{eqnarray} $

(3.4)

将(3.4)式代入(3.3)式, 可得

$ \begin{eqnarray} &&\|U^n\|^2_{\hat{t}}+(1-\frac{h^2}{4})\|U^n_x\|^2_{\hat{t}} -\frac{h^2}{6}\|U^n_{x\bar{x}}\|^2_{\hat{t}} +\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^n_{j+1}+10\bar{U}^n_j+\bar{U}^n_{j-1})\\&=&0. \end{eqnarray} $

(3.5)

即

$ \begin{eqnarray} &&\quad\|U^{n+1}\|^2+\|U^n\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^n_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^n_{x\bar{x}}\|^2)\\ &&\quad+\frac{\beta h\tau}{3(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^n_{j+1}+10\bar{U}^n_j+\bar{U}^n_{j-1})\\ &&=\|U^{n}\|^2+\|U^{n-1}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n}_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{n-1}_{x\bar{x}}\|^2). \end{eqnarray} $

(3.6)

在(3.6)式两端同时加上$ \frac{\beta h\tau}{3(p+1)}\sum\limits^{n-1}_{\ell=1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^\ell_j)^{p}(\bar{U}^\ell_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^\ell_{j+1}+10\bar{U}^\ell_{j}+\bar{U}^\ell_{j-1}), $得

$ \begin{eqnarray} &&\quad\|U^{n+1}\|^2+\|U^n\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^n_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^n_{x\bar{x}}\|^2)\\ &&\quad+\frac{\beta h\tau}{3(p+1)}\sum\limits^{n}_{\ell=1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^\ell_j)^{p}(\bar{U}^\ell_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^\ell_{j+1}+10\bar{U}^\ell_{j}+\bar{U}^\ell_{j-1})\\ &&=\|U^{n}\|^2+\|U^{n-1}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n}_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{n-1}_{x\bar{x}}\|^2)\\ &&\quad+\frac{\beta h\tau}{3(p+1)}\sum\limits^{n-1}_{\ell=1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^\ell_j)^{p}(\bar{U}^\ell_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^\ell_{j+1}+10\bar{U}^\ell_{j}+\bar{U}^\ell_{j-1}), \end{eqnarray} $

(3.7)

即得$ E^n=E^{n-1}. $用$ \ell $代替(3.5)式的$ n $, 然后对$ \ell $从1到$ n $求和, 得

$ \begin{eqnarray} &&\quad\|U^{n+1}\|^2+\|U^n\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^n_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^n_{x\bar{x}}\|^2)\\ &&\quad+\frac{\beta h\tau}{3(p+1)}\sum\limits^{n}_{\ell=1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^\ell_j)^{p}(\bar{U}^\ell_j)]_{\hat{x}}(\bar{U}^\ell_{j+1}+10\bar{U}^\ell_{j}+\bar{U}^\ell_{j-1})\\ &&=\|U^{0}\|^2+\|U^{1}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{0}_x\|^2+\|U^{1}_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{0}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{1}_{x\bar{x}}\|^2), \end{eqnarray} $

(3.8)

即$ E^n=E^{n-1}. $ (3.7)式和(3.8)式表明$ E^n=E^{n-1}=\cdot\cdot\cdot=E^0. $证毕.

引理4.1^[14]  对任意的$ U^n\in Z^0_h $, 则有$ \|U_{\hat{x}}\|^2\leq\|U_{x}\|^2 $.

引理4.2   对任意的$ U^n\in Z^0_h $, 有$ \|U_{xx}\|^2\leq\frac{4}{h^2}\|U_{x}\|^2 $.

证  $ \|U^n_{xx}\|^2=h\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^n_j)^2_{xx} =h\sum\limits^{J-1}_{j=1}\bigg[\frac{(U^n_j)_x-(U^n_{j-1})_x}{h}\bigg]^2 \leq\frac{2}{h}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(U^n_j)^2_x+(U^n_{j-1})^2_x] =\frac{4}{h^2}\|U^n_x\|^2. $

引理4.3^[14] (离散Sobolev不等式)  对任意的$ U^n\in Z^0_h $, 则存在两个正常数$ C_1 $和$ C_2 $使得

$ \|U^n\|_\infty\leq C_1\|U^n\|+C_2\|U^n_x\|. $

引理4.4^[14] (离散Gronwall不等式)  设$ \{G^n\}^\infty_{n=0} $是非负数列, 且满足

$ G^0\leq A, \quad G^n\leq A+Bk\sum\limits^{n-1}_{i=0}G^i, \quad n=1, 2, ..., $

其中$ A $和$ B $均为非负常数, 则$ G^n\leq Ae^{Bnk}, \quad n=0, 1, 2, .... $

定理4.1   设$ u_0\in H^2_0[x_l, x_r] $, 则差分格式(2.10)–(2.12)的解满足下列不等式

$ \|U^n\|\leq C, \quad \|U^n_x\|\leq C, \quad\|U^n\|_\infty\leq C. $

证  用数学归纳法来证明. 由初值条件(2.11)有$ \|U^0\|^2\leq C. $由两层格式(2.13)可以算出$ U^1 $, 所以有$ \|U^1\|\leq C, \quad \|U^1_x\|\leq C, \quad\|U^1\|_\infty\leq C. $假设

$ \begin{eqnarray} \|U^k\|\leq C, \quad \|U^k_x\|\leq C, \quad\|U^k\|_\infty\leq C, \quad k=0, 1, ...., n. \end{eqnarray} $

(4.1)

将(2.10)式两端与$ 2\bar{U} $作内积, 并且运用引理3.1, 可得

$ \begin{eqnarray} &&\quad\|U^n\|^2_{\hat{t}}+(1-\frac{h^2}{4})\|U^n_x\|^2_{\hat{t}} -\frac{h^2}{6}\|U^n_{x\bar{x}}\|^2_{\hat{t}}\\ &&=-\frac{\beta}{p+1}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle -\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle. \end{eqnarray} $

(4.2)

由引理3.1和引理4.1, 得

$ \begin{eqnarray} &&-\frac{\beta}{p+1}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle -\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{U}^n\rangle \\ &=&\frac{2\beta h}{p+1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)(\bar{U}^n_j)_{\hat{x}} +\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)(\bar{U}^n_{j+1}-2\bar{U}^n_{j}+\bar{U}^n_{j-1})_{\hat{x}}\\ &\leq& C(\|U^n\|^2+\|U^{n+1}\|^2+\|U^{n-1}\|^2+\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2). \end{eqnarray} $

(4.3)

令

$ \begin{eqnarray} A^n=\|U^{n+1}\|^2+\|U^{n}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^{n}_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{n}_{x\bar{x}}\|^2). \end{eqnarray} $

(4.4)

应用引理4.2, 有

$ \begin{eqnarray} A^n+A^{n-1}&=&\|U^{n+1}\|^2+2\|U^n\|^2+\|U^{n-1}\|^2 +(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+2\|U^n_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2)\\ &&-\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+2\|U^{n}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{n-1}_{x\bar{x}}\|^2)\\ &\geq&\|U^{n+1}\|^2+2\|U^n\|^2+\|U^{n-1}\|^2 +(\frac{1}{3}-\frac{h^2}{4})(\|U^{n+1}_x\|^2+2\|U^{n}_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2). \end{eqnarray} $

(4.5)

由(4.2)–(4.5)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} A^n-A^{n-1}&\leq&C\tau(\|U^{n+1}\|^2+\|U^n\|^2+\|U^{n-1}\|^2+\|U^{n+1}_x\|^2+\|U^{n-1}_x\|^2)\nonumber\\ &\leq&C\tau(A^n+A^{n-1}), \end{eqnarray*} $

根据引理4.2和引理4.4, 当$ \tau $足够小使得$ 2C\tau\leq\frac{N-1}{2N} $时, 有

$ \begin{eqnarray} A^n&\leq&A^0e^{4C\tau}\\ &\leq&\bigg[\|U^{1}\|^2+\|U^{0}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|U^{1}_x\|^2+\|U^{0}_x\|^2) +\frac{h^2}{6}(\|U^{1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{0}_{x\bar{x}}\|^2)\bigg]e^{4C\tau}\\ &\leq&\bigg[\|U^{1}\|^2+\|U^{0}\|^2+(\frac{5}{3}-\frac{h^2}{4})(\|U^{1}_x\|^2+\|U^{0}_x\|^2)\bigg]e^{4C\tau}. \end{eqnarray} $

(4.6)

由(4.1)式, 得(4.6)式的左边$ A^n $有界. 又由引理4.2, 得

$ \begin{eqnarray*} &&\|U^{n+1}\|^2+\|U^{n}\|^2+(\frac{1}{3}-\frac{h^2}{4})(|U^{n+1}_x\|^2+\|U^{n}_x\|^2)\\ &\leq&\|U^{n+1}\|^2+\|U^{n}\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(|U^{n+1}_x\|^2+\|U^{n}_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|U^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|U^{n}_{x\bar{x}}\|^2)\\ &=&A^n\leq C. \end{eqnarray*} $

当$ h $足够小时, 有$ \|U^n\|\leq C, \quad \|U^n_x\|\leq C $. 由引理4.3即可得$ \|U^n\|_\infty\leq C $. 证毕.

定理4.2   假设$ u_0\in H^2_0[x_l, x_r] $, 则差分格式(2.10)–(2.12)的解$ U^n $依$ L^\infty $范数收敛到(1.1)–(1.3)的精确解, 并且收敛阶为$ O(\tau^2+h^4) $.

证  设$ e^n_j=u^n_j-U^n_j $, 则(2.10)–(2.12)式的截断误差为

$ \begin{eqnarray} &&r^n_j=(e^n_j)_{\hat{t}}-(1-\frac{h^2}{4})(e^n_j)_{x\bar{x}\hat{t}} +(\alpha+\frac{h^2}{12})(\bar{e}^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}+(\bar{e}^n_j)_{\hat{x}} -\frac{h^2}{6}(\bar{e}^n_j)_{xx\bar{x}\bar{x}\hat{t}}\\ &&\qquad+\frac{\beta}{p+1}[(u^n_j)^{p}(\bar{u}^n_j)]_{\hat{x}} -\frac{\beta}{p+1}[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{\hat{x}} \\&&\qquad+\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\{[(u^n_j)^{p}(\bar{u}^n_j)]_{x\bar{x}\hat{x}} -[(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)]_{x\bar{x}\hat{x}}\}, \quad 1\leq j\leq J-1, \quad 1\leq n\leq N-1,\end{eqnarray} $

(4.7)

$ \begin{eqnarray} e^0_j=0, \quad 0\leq j\leq J, \end{eqnarray} $

(4.8)

$ \begin{eqnarray} &&e^n_{0}=e^n_J=0, \quad (e^n_{0})_{\hat{x}}=(e^n_J)_{\hat{x}}=0, \quad 0\leq n\leq N. \end{eqnarray} $

(4.9)

由Taylor展开式可得

$ \begin{eqnarray} \max\limits_{j, n}|r^n_j|\leq C(\tau^2+h^4). \end{eqnarray} $

(4.10)

将(4.7)式两端与$ 2\bar{e} $作内积, 且运用引理3.1, 得

$ \begin{eqnarray} &&\|e^n\|^2_{\hat{t}}+(1-\frac{h^2}{4})\|e^n_x\|^2_{\hat{t}} -\frac{h^2}{6}\|e^n_{x\bar{x}}\|^2_{\hat{t}} =2\langle r^n, \bar{e}^n\rangle -\frac{\beta}{p+1}\langle[(u^n)^{p}(\bar{u}^n)-(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{e}^n\rangle\\ &&-\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(u^n)^{p}(\bar{u}^n)-(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{e}^n\rangle. \end{eqnarray} $

(4.11)

根据引理3.1, 引理4.1及定理4.1, 可得

$ \begin{eqnarray} &&-\frac{\beta}{p+1}\langle[(u^n)^{p}(\bar{u}^n)-(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{\hat{x}}, 2\bar{e}^n\rangle =\frac{2\beta h}{p+1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(u^n_j)^{p}(\bar{u}^n_j)-(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)](\bar{e}^n_j)_{\hat{x}}\\ &=&\frac{2\beta h}{p+1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(u^n_j)^{p}(\bar{u}^n_j)-(u^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)+(u^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)-(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)](\bar{e}^n_j)_{\hat{x}}\\ &=&\frac{2\beta h}{p+1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(u^n_j)^{p}(\bar{e}^n_j)(\bar{e}^n_j)_{\hat{x}} +\frac{2\beta h}{p+1}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(\bar{e}^n_j)\bigg[\sum\limits^{p-1}_{k=0}(u^n_j)^{p-1-k}(U^n_j)^{k}\bigg](\bar{U}^n_j)(\bar{e}^n_j)_{\hat{x}}\\ &\leq& C(\|e^n\|^2+\|\bar{e}^{n}_{\hat{x}}\|^2+\|\bar{e}\|^2). \end{eqnarray} $

(4.12)

同理, 有

$ \begin{eqnarray} &&-\frac{\beta h^2}{12(p+1)}\langle[(u^n)^{p}(\bar{u}^n)-(U^n)^{p}(\bar{U}^n)]_{x\bar{x}\hat{x}}, 2\bar{e}^n\rangle\\ &=&\frac{\beta h^3}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}[(u^n_j)^{p}(\bar{u}^n_j)-(U^n_j)^{p}(\bar{U}^n_j)](\bar{e}^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}\\ &=&\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(u^n_j)^p(e^n_j)(\bar{e}^n_{j+1}-2\bar{e}^n_{j}+\bar{e}^n_{j-1})_{\hat{x}}\\ &&\quad+\frac{\beta h}{6(p+1)}\sum\limits^{J-1}_{j=1}(e^n_j)\bigg[\sum\limits^{p-1}_{k=0}(u^n_j)^{p-1-k}(U^n_j)^{k}\bigg](\bar{U}^n_j)(\bar{e}^n_{j+1}-2\bar{e}^n_{j}+\bar{e}^n_{j-1})_{\hat{x}}\\ &\leq& C(\|e^n\|^2+\|\bar{e}^{n}_{\hat{x}}\|^2+\|\bar{e}\|^2). \end{eqnarray} $

(4.13)

将(4.12)–(4.13)式代入(4.11)式可得

$ \begin{eqnarray} \|e^n\|^2_{\hat{t}}+(1-\frac{h^2}{4})\|e^n_x\|^2_{\hat{t}} -\frac{h^2}{6}\|e^n_{x\bar{x}}\|^2_{\hat{t}} \leq C(\|e^n\|^2+\|\bar{e}^{n}_{\hat{x}}\|^2+\|\bar{e}\|^2)+\|r^n\|^2. \end{eqnarray} $

(4.14)

令$ G^n=\|e^{n+1}\|^2+\|e^n\|^2+(1-\frac{h^2}{4})(\|e^{n+1}_x\|^2+\|e^n_x\|^2) -\frac{h^2}{6}(\|e^{n+1}_{x\bar{x}}\|^2+\|e^{n}_{x\bar{x}}\|^2), $则(4.14)式可以写成以下形式$ G^n-G^{n-1}\leq C\tau(G^n+G^{n-1})+2\tau\|r^n\|^2. $进而有$ (1-C\tau)(G^n-G^{n-1})\leq 2C\tau G^{n-1}+2\tau\|r^n\|^2. $当$ \tau $足够小使得$ 1-C\tau>0 $时, 有

$ \begin{eqnarray} G^n-G^{n-1}\leq C\tau G^{n-1}+C\tau\|r^n\|^2. \end{eqnarray} $

(4.15)

对(4.15)式从1到$ n $求和, 得$ G^n\leq G^0+C\tau\sum\limits^{n-1}_{k=0}G^{k}+C\tau\sum\limits^{n}_{k=1}\|r^k\|^2. $由(2.13)式可以求得$ U^1 $, 所以有

$ \begin{eqnarray} \|e^1\|\leq C(\tau^2+h^4), \quad \|e^1_x\|\leq C(\tau^2+h^4), \quad \|e^1_{xx}\|\leq C(\tau^2+h^4). \end{eqnarray} $

(4.16)

又由(4.10)式和(4.16)式, 可得$ G^n\leq C\tau\sum\limits^{n-1}_{k=0}G^{k}+C(\tau^2+h^4)^2. $由引理4.4, 得$ G^n\leq C(\tau^2+h^4)^2e^{CT}\leq C(\tau^2+h^4)^2, $即有$ \|e^n\|\leq C(\tau^2+h^4), \|e^n_x\|\leq C(\tau^2+h^4), \|e^n_{xx}\|\leq C(\tau^2+h^4). $由引理4.3, 有$ \|e^n\|_\infty\leq C(\tau^2+h^4) $. 证毕.

类似可证明下面的稳定性定理.

定理4.3   在满足定理4.2的条件下, 差分格式(2.10)–(2.12)的解在离散的$ L^\infty $范数下是稳定的.

利用泰勒公式展开, 可得

$ \begin{eqnarray} &&(U^n_j)_{\hat{t}}=\frac{U^{n+1}_j-U^{n-1}_j}{2\tau}, \end{eqnarray} $

(5.1)

$ \begin{eqnarray} &&(\bar{U}^n_j)_{\hat{x}}=\frac{1}{4h}(U^{n+1}_{j+1}-U^{n+1}_{j-1}+U^{n-1}_{j+1}-U^{n-1}_{j-1}), \end{eqnarray} $

(5.2)

$ \begin{eqnarray} &&(\bar{U}^n_j)_{x\bar{x}\hat{x}}=\frac{1}{2h^3}(U^{n+1}_{j+2}-2U^{n+1}_{j+1}+2U^{n+1}_{j-1}-U^{n+1}_{j-2})\\ &&\quad\quad\quad\quad\quad-\frac{1}{2h^3}(U^{n-1}_{j+2}-2U^{n-1}_{j+1}+2U^{n-1}_{j-1}-U^{n-1}_{j-2}), \end{eqnarray} $

(5.3)

$ \begin{eqnarray} &&(U^n_j)_{x\bar{x}\hat{t}}=\frac{1}{2\tau h^2}(U^{n+1}_{j+1}-2U^{n+1}_{j}+U^{n+1}_{j-1}) -\frac{1}{2\tau h^2}(U^{n-1}_{j+1}-2U^{n-1}_{j}+U^{n-1}_{j-1}), \end{eqnarray} $

(5.4)

$ \begin{eqnarray} &&(U^n_j)_{xx\bar{x}\bar{x}\hat{t}}=\frac{1}{2\tau h^4}(U^{n+1}_{j+2}-4U^{n+1}_{j+1}+6U^{n+1}_j-4U^{n+1}_{j-1}+U^{n+1}_{j-2})\\ &&\quad\quad\quad\quad\quad\quad-\frac{1}{2\tau h^4}(U^{n-1}_{j+2}-4U^{n-1}_{j+1}+6U^{n-1}_j-4U^{n-1}_{j-1}+U^{n-1}_{j-2}), \end{eqnarray} $

(5.5)

$ \begin{eqnarray} &&[(U^n_j)^p\bar{U}^n_j]_{\hat{x}}=\frac{1}{4h}[(U^n_{j+1})^pU^{n+1}_{j+1}-(U^n_{j-1})^pU^{n+1}_{j-1}]\\ &&\quad\quad\quad\quad\quad\quad+\frac{1}{4h}[(U^n_{j+1})^pU^{n-1}_{j+1}-(U^n_{j-1})^pU^{n-1}_{j-1}], \end{eqnarray} $

(5.6)

$ \begin{eqnarray} &&[(U^n_j)^p\bar{U}^n_j]_{x\bar{x}\hat{x}}=\frac{1}{2h^3}[(U^n_{j+2})^pU^{n+1}_{j+2}-2(U^n_{j+1})^pU^{n+1}_{j+1}+2(U^n_{j-1})^pU^{n+1}_{j-1}-(U^n_{j-2})^pU^{n+1}_{j-2}]\\ &&\quad\quad\quad\quad+\frac{1}{2h^3}[(U^n_{j+2})^pU^{n-1}_{j+2}-2(U^n_{j+1})^pU^{n-1}_{j+1}+2(U^n_{j-1})^pU^{n-1}_{j-1}-(U^n_{j-2})^pU^{n-1}_{j-2}], \end{eqnarray} $

(5.7)

将(5.1)–(5.7)式代入(2.10)式, 则差分格式(2.10)–(2.12)可以写成以下的方程组：

$ \begin{eqnarray*} &&\quad\left( \begin{array}{ccccccc} c_1 & d_1 & e_1 & & & & \\ b_2 & c_2 & d_2 & e_2 & & & \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & e_3 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a_{J-3} & b_{J-3} & c_{J-3} &d_{J-3} &e_{J-3}\\ & & & a_{J-2} &b_{J-2} & c_{J-2} & d_{J-2} \\ & & & & a_{J-1} & b_{J-1} & c_{J-1} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} U^{n+1}_1 \\ U^{n+1}_2 \\ U^{n+1}_3 \\ \vdots \\ U^{n+1}_{J-3} \\ U^{n+1}_{J-2} \\ U^{n+1}_{J-1} \\ \end{array} \right)\\ &&= \left( \begin{array}{ccccccc} c_1 & b_1 & a_1 & & & & \\ d_2 & c_2 & b_2 & a_2 & & & \\ e_3 & d_3 & c_3 & b_3 & a_3 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & e_{J-3} & d_{J-3} & c_{J-3} &b_{J-3} &a_{J-3}\\ & & & e_{J-2} &d_{J-2} & c_{J-2} & b_{J-2} \\ & & & & e_{J-1} & d_{J-1} & c_{J-1} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} U^{n-1}_1 \\ U^{n-1}_2 \\ U^{n-1}_3 \\ \vdots \\ U^{n-1}_{J-3} \\ U^{n-1}_{J-2} \\ U^{n-1}_{J-1} \\ \end{array} \right), \quad 1\leq n\leq N, \end{eqnarray*} $

其中,

$ \begin{eqnarray*} &&a_j=-\frac{\tau}{24h}-\frac{1}{6h^2}-\frac{\alpha\tau}{2h^3}-\frac{\beta\tau}{24h(p+1)}(U^n_{j-2})^p, \quad j=1, 2, ..., J-1, \\ &&b_j=\frac{1}{4}-\frac{5\tau}{12h}-\frac{1}{3h^2}+\frac{\alpha\tau}{h^3}-\frac{5\beta\tau}{12h(p+1)}(U^n_{j-1})^p, \quad j=1, 2, ..., J-1, \\ &&c_j=\frac{1}{2}+\frac{1}{h^2}, \quad j=1, 2, ..., J-1, \\ &&d_j=\frac{1}{4}+\frac{5\tau}{12h}-\frac{1}{3h^2}-\frac{\alpha\tau}{h^3}+\frac{5\beta\tau}{12h(p+1)}(U^n_{j+1})^p, \quad j=1, 2, ..., J-1, \\ &&e_j=\frac{\tau}{24h}-\frac{1}{6h^2}+\frac{\alpha\tau}{2h^3}+\frac{\beta\tau}{24h(p+1)}(U^n_{j+2})^p, \quad j=1, 2, ..., J-1. \end{eqnarray*} $

采用追赶法对以上系数矩阵为五对角矩阵的方程组逐层求解.

为验证紧致差分格式(2.10)–(2.12)的守恒性和收敛性, 我们选取以下模型^[13]:

$ \begin{eqnarray} &&u_t-u_{xxt}+u_{xxx}+u_x+uu_x=0, \quad x\in [0, 100], \quad t\in[0, 10], \end{eqnarray} $

(5.8)

$ \begin{eqnarray} &&u(x, 0)=Asech^2[B(x-x_0)], \quad x\in [0, 100]. \end{eqnarray} $

(5.9)

方程(5.8)–(5.9)精确解为

$ \begin{eqnarray*} u(x, t)=Asech^2\{B[x-x_0-(1+c)t]\}, \quad x\in [0, 100]. \end{eqnarray*} $

其中$ c=0.3 $, $ A=3c $, $ B=\sqrt{c/(4c+8)} $, $ x_0=40 $.

设

$ \|e\|_\infty=\|U^n-u^n\|_\infty=\max\limits_{1 \leq j \leq J-1}|U^n_j-u^n_j|, $

其中$ u^n_j=u(x_j, t^n) $为精确解, $ U^n_j $为格式(2.10)–(2.12)的解. 分别定义空间和时间的收敛阶为

$ \rm{Order}1=\log_2\bigg(\|e(h, \tau)\|_\infty/\|e(\frac{h}{2}, \frac{\tau}{4})\|_\infty\bigg), \quad \rm{Order}2=\log_2\bigg(\|e(h, \tau)\|_\infty/\|e(h, \frac{\tau}{2})\|_\infty\bigg). $

分别取$ h=0.5 $, $ \tau=0.25 $和$ h=0.25 $, $ \tau=0.125 $对格式(2.10)–(2.12)进行计算, 两种步长下不同时刻的数值解见图 1; 分别取$ h=0.5 $和$ h=0.25 $, $ \tau=h^2 $时守恒量(3.1)–(3.2)的数值模拟见表 1; $ \tau=h^2 $, $ T=1 $时, 不同步长下的误差和空间收敛阶见表 2; $ h=0.05 $, $ T=2 $时, 不同步长下的误差和时间收敛阶见表 3.

从图 1可以看出, 格式(2.10)–(2.12)的数值解与精确解具有很好的吻合, 表 1验证了格式的质量和能量的守恒性, 表 2验证了格式在空间上具有四阶的收敛精度, 表 3验证了格式在时间上具有二阶的收敛精度. 另外, 从表 2和表 3可以看出, 格式(2.10)–(2.12)的误差比文献[13]的误差小. 以上结果均表明所提的差分格式(2.10)–(2.12)是可靠的.