风险度量是一种对潜在损失进行量化分析的手段. 1994年, JP Morgan公司引入了风险值(Value at Risk, VaR), 但因其不能反映极端损失情形, 并且不具有次可加性. 因此, 1999年Arztner等人提出了一致风险度量的概念. Kusoka(2001) 给出了具有分布不变性的条件风险度量(Conditional Value at Risk, CVaR). 2003年, Landsman和Valdez提出了条件尾部期望(Conditional-Tail-Expectation, CTE). 随后, 多名学者对CTE进行了讨论, 其中, Krokhmal和Palmquist等人对CTE的应用进行了研究Cherny(2006)认为CTE未能表现出投资者的偏好, 为此提出了加权风险值(Weight Value at Risk, WVaR). Cont(2010)等人认为一致风险度量缺乏稳健性以及对异常值非常敏感, 因此提出了区域风险值(Range Value at Risk, RVaR). 但是其并未讨论RVaR和WVaR在多种投资组合下的表现.

金融市场上, 投资人为了对冲风险会选择多种头寸.因此不少学者对多维风险度量进行了研究. Li(1996a)等人提供了具有固定边际的多元随机向量的分布. 2013年, Cousina和Di Bernardino得到了单变量向量值VaR的多元推广, 多元向量值VaR具有平移不变性, 正齐次性等. 2014年, Cousina和Di Bernardino得到了单变量向量值CTE的多元推广, 多元向量值CTE同样也具有平移不变性, 正齐次性、共单调可加性等. 但是, 这两种风险度量并未考虑投资者的偏好.

本文引入多元向量值WVaR和RVaR, 并对其基本性质进行研究. 相较于VaR和CTE, WVaR和RVaR能够更好的刻画出投资者的偏好和降低对异常值的敏感度.

设($ \Omega $, $ \mathscr{F} $, $ \mathbb{P} $)为一完备的概率空间, 记$ \mathcal{X}=L^ {+\infty}_{+} $($ \Omega $, $ \mathscr{F} $, $ \mathbb{P} $), 即为($ \Omega $, $ \mathscr{F} $, $ \mathbb{P} $)上有界非负随机变量全体, 1$ < p < +\infty $.设$ X $是投资人的损失, 且X$ \in \mathcal{X} $, 其分布函数为$ F_X(x) $, 生存函数为$ S_X(x)=1-F_X(x) $. 记

$ \begin{equation*} F_X^{-1}(\alpha):=\inf\{x\in R:F_X(x) \geq \alpha\}, \overline{F}_X^{-1}(\alpha):=\inf\{x\in R:\overline{F}_{X}(x) \leq 1-\alpha\}, \alpha \in (0, 1). \end{equation*} $

置信水平为$ \alpha $的风险值($ VaR_{\alpha} $)的定义如下:

$ \begin{equation*} VaR_{\alpha}(X):=inf\{x \in R:F_{X}(x)\geq \alpha\}, \end{equation*} $

其中置信水平$ \alpha \in (0, 1) $.

置信水平为$ \alpha $的条件尾部期望($ CTE_{\alpha} $)的定义如下:

$ \begin{equation*} CTE_{\alpha}(X):=-\frac{1}{1-\alpha}\int^{1}_{\alpha}{VaR_{t}(X)dt}, \alpha \in (0, 1). \end{equation*} $

关于测度$ \mu $的加权风险值($ WVaR_{\mu} $)的定义如下：

$ \begin{equation*} WVaR_{\mu}(X):=\int^{1}_{0}{CTE_{\alpha}(X)\mu(d\alpha)}, \end{equation*} $

其中$ \mu $为[0, 1]上的概率测度, 若$ \mu \ll L[0, 1] $, 根据Radon-Nikodym定理, 存在$ \omega $使得$ d\mu(\alpha)=\omega(\alpha)d\alpha $. 因此WVaR$ _{\mu}(X) $又可以表示为

$ \begin{equation*} WVaR_{\mu}(X):=\int^{1}_{0}{CTE_{\alpha}(X)\omega(\alpha)d\alpha} . \end{equation*} $

置信水平为$ \alpha, \beta $的区域风险值($ RVaR_{\alpha, \beta} $)的定义如下:

$ \begin{equation*} RVaR_{\alpha, \beta}(X)=E[X|VaR_{\alpha}(X) \leq X \leq VaR_{\beta}(X)]=-\frac{1}{\beta-\alpha}\int^{\beta}_{\alpha}{VaR_{t}(X)dt}, 0 \leq \alpha \leq \beta \leq 1 . \end{equation*} $

由于在单变量的情形下$\{ VaR_{\alpha}(X) \leq X\leq VaR_{\beta}(X) \}$, $\{ 1-\beta \leq \overline{F}_X $(X)$ \leq $ 1-$ {\alpha} \}$以及$\{ \alpha \leq F_X(x)\leq $ $ {\beta} \}$表示的是相同的事件集合. 因此, $ RVaR_{\alpha, \beta}(X)=E[X|\alpha \leq F_X(x) \leq \beta]. $

设$ d\geq 1 $, 记$ \mathcal{X}_i $=$ L^p $($ \Omega $, $ \mathscr{F}_i $, $ \mathbb{P}_i $), 设$ \mathcal{X}^{d} $为一$ d $维乘积空间$ \mathcal{X}_{1} \times \cdot \cdot \cdot\times \mathcal{X}_{d} $, $ i=1, \cdot \cdot \cdot, d, $ $ {\textbf{X}}=(X_1, \cdot \cdot \cdot, X_d) \in \mathcal{X}^{d}, X_i \in \mathcal{X}_{i} $, 即$ X_i $为投资人的边际损失. $ {\textbf{X}} $的联合分布函数为$ F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) $=$ P(X_1 \leq x_1, \cdot \cdot \cdot, X_d \leq x_d) $, 联合生存函数$ \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) $=$ P(X_1 \geq x_1, \cdot \cdot \cdot, X_d \geq x_d) $.设$ {\textbf{X}} $满足以下常规条件：$ (1) $$ {\textbf{X}} $绝对连续; $ (2) $E(X$ _i) < +\infty $, $ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $.

根据Cousina和Di(2013), $ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 若$ {\textbf{X}} $满足常规条件, $ \alpha \in (0, 1) $, 定义$ \underline{VaR}_{\alpha} $如下：

$ \begin{equation*} \underline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}):= E[{\textbf{X}}| F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=\alpha]= \left( \begin{array}{c} E[X_1|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=\alpha]\\ \vdots \\ E[X_d|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=\alpha]\ \end{array} \right) , \end{equation*} $

则称$ \underline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}) $为置信水平为$ \alpha $的下象限多元向量值风险价值.记$ \underline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \underline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}) $的第$ i $个分量($ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $). 同理, 定义$ \overline{VaR}_{\alpha} $如下:

$ \begin{equation*} \overline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}):= E[{\textbf{X}}|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=1-\alpha]= \left( \begin{array}{c} E[X_1|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=1-\alpha]\\ \vdots \\ E[X_d|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})=1-\alpha] \end{array} \right) , \end{equation*} $

则称$ \overline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}) $为置信水平为$ \alpha $的上象限多元向量值风险值. 记$ \overline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \overline{VaR}_{\alpha}({\textbf{X}}) $的第$ i $个分量($ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $).

根据Cousina和Di(2014), $ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 若$ {\textbf{X}} $满足常规条件, 定义$ \underline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $如下:

$ \begin{equation*} \underline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}):= E[{\textbf{X}}|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \geq \alpha]= \left( \begin{array}{c} E[X_1|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\geq\alpha]\\ \vdots \\ E[X_d|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\geq\alpha] \end{array} \right) , \end{equation*} $

则称$ \underline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $为置信水平为$ \alpha $的下象限多元向量值条件尾部期望.记$ \underline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \underline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $的第$ i $个分量($ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $). 同理, 定义$ \overline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $如下:

$ \begin{equation*} \overline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}):= E[{\textbf{X}}|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq 1-\alpha]= \left( \begin{array}{c} E[X_1|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-\alpha]\\ \vdots \\ E[X_d|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-\alpha] \end{array} \right) \mbox{，} \end{equation*} $

称$ \overline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $为置信水平为$ \alpha $的上象限多元向量值条件尾部期望.记$ \overline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \overline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $的第$ i $个分量($ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $).

WVaR$ _{\mu}({\textbf{X}}) $可以看作是CTE$ _{\alpha}({\textbf{X}}) $的加权平均值. 自然地, 可以通过$ \overline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $和$ \underline{CTE}_{\alpha}({\textbf{X}}) $来表示$ \overline{WVaR}_ {\mu}({\textbf{X}}) $和$ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $.

定义2.1   对任意的随机向量$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 若$ {\textbf{X}} $满足常规条件, $ i=1, 2, \cdot \cdot \cdot, d, $置信水平$ \alpha \in (0, 1) $.定义$ \underline{WVaR}_{\mu} $如下:

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}):= \left( \begin{array}{c} \int_{0}^{1}{\underline{CTE}^1_{\alpha}({\textbf{X}})\omega(\alpha)d\alpha}\\ \vdots \\ \int_{0}^{1}{\underline{CTE}^d_{\alpha}({\textbf{X}})\omega(\alpha)d\alpha}\\ \end{array} \right) \end{equation*} $

则称$ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $为下象限多元向量值加权风险值.定义$ \overline{WVaR}_{\mu} $如下:

$ \begin{equation*} \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}):= \left( \begin{array}{c} \int_{0}^{1}{\overline{CTE}^1_{\alpha}({\textbf{X}})\omega(\alpha)d\alpha}\\ \vdots \\ \int_{0}^{1}{\overline{CTE}^d_{\alpha}({\textbf{X}})\omega(\alpha)d\alpha}\\ \end{array} \right) \end{equation*} $

则称$ \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $为的上象限多元向量值加权风险值.

记$ \underline{WVaR}_{\mu} $($ {\textbf{X}} $)=$ (\underline{WVaR}_{\mu}^{1} $($ {\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, \underline{WVaR}_{\mu}^{d} $($ {\textbf{X}}))^{'} $, $ \overline{WVaR}_{\mu} $($ {\textbf{X}} $)=$ (\overline{WVaR}_{\mu}^{1} $($ {\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, $ $ \overline{WVaR}_{\mu}^{d} $($ {\textbf{X}}))^{'} $.如果$ {\textbf{X}} $是可交换的随机向量, 则$ \underline{WVaR}_{\mu}^i $($ {\textbf{X}} $)=$ \underline{WVaR}_{\mu}^j $($ {\textbf{X}} $)和$ \overline{WVaR}_{\mu}^i({\textbf{X}}) $= $ \overline{WVaR}_{\mu}^j({\textbf{X}}) $, $ i, j=1, \cdot \cdot \cdot $, $ d $.当$ d $=1时, $ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})=\overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})=WVaR_{\mu}({\textbf{X}}). $

命题2.2   令函数h为h($ x_1, .., x_d $)=$ (h_1(x_1), \cdot \cdot \cdot, h_d(x_d)) $, 对任意$ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $,

(1) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非降函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}^i(h({\textbf{X}}))=\int_{0}^{1}{\underline{CTE}^i_{\alpha}(h({\textbf{X}}))\omega(\alpha)d\alpha}, \overline{WVaR}_{\mu}^i(h({\textbf{X}}))=\int_{0}^{1}{\overline{CTE}^i_{\alpha}(h({\textbf{X}}))\omega(\alpha)d\alpha}. \end{equation*} $

(2) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非增函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}^i(h({\textbf{X}}))=\int_{0}^{1}{v^i_1(\alpha)\omega(\alpha)d\alpha}, \overline{WVaR}_{\mu}^i(h({\textbf{X}}))=\int_{0}^{1}{v^i_2(\alpha)\omega(\alpha)d\alpha}, \end{equation*} $

其中$ v_1^i(\alpha)=E[h_i(\mbox{X}_i)|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\geq \alpha] $, $ v_2^i(\alpha)=E[h_i(\mbox{X}_i)|F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-\alpha], i=1, \cdot \cdot \cdot, d $.

证   根据定义2.1 $ \underline{WVaR}_{\mu}^i $ $ (h $($ {\textbf{X}} $))=$ \int_{0}^{1}{\underline{CTE}^i_{\alpha}\omega(\alpha)d\alpha} $, 对i=1, $ \cdot \cdot \cdot $, $ d $, 令

$ \begin{equation*} F_{h(x)}(y_1, \cdot \cdot \cdot, y_d)= \left\{ \begin{array}{l} F_{{\textbf{X}}}(h^{-1}(y_1), \cdot \cdot \cdot, h^{-1}(y_d)), \mbox{若}h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d\mbox{为非降函数}\\ \overline{F}_{{\textbf{X}}}(h^{-1}(y_1), \cdot \cdot \cdot, h^{-1}(y_d)), \mbox{若}h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d\mbox{为非增函数} \end{array} , \right. \end{equation*} $

则上述结果成立.

命题2.3   对任意$ \alpha \in (0, 1) $, $ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $, $ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $和$ \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $满足以下性质:

(1) 正齐性: 对任意的$ \textbf{c} $=($ c_1, \cdot \cdot \cdot, c_d)^{'} $ $ \in\mathbb{R}^{d}_{+} $,

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}(c_{1}X_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{d}X_{d})=(c_{1}\underline{WVaR}^1_{\mu}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, c_{d}\underline{WVaR}^d_{\mu}({\textbf{X}})), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{WVaR}_{\mu}(c_{1}X_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{d}X_{d})=(c_{1}\overline{WVaR}^1_{\mu}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, c_{d}\overline{WVaR}^d_{\phi}({\textbf{X}})). \end{equation*} $

(2) 平移不变性: 对任意的$ \textbf{c} $$ \in \mathbb{R}^{d}_{+} $,

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}(\textbf{c}+{\textbf{X}})=\textbf{c}+\underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}), \overline{WVaR}_{\mu}(\textbf{c}+{\textbf{X}})=\textbf{c}+\overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}). \end{equation*} $

证   根据Cousina和Di(2014)中命题2.2, 易证命题2.3成立.

推论2.4   设$ h $为线性函数, $ h $($ x_1, .., x_d $)=$ (h_1(x_1), \cdot \cdot \cdot, h_d(x_d)) $, 则如下结论成立

(1) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非降函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}(h({\textbf{X}}))= h(\underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})), \overline{WVaR}_{\mu}(h({\textbf{X}}))= h(\overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}))\mbox{;} \end{equation*} $

(2) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非增函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}(h({\textbf{X}}))=h(\int_{0}^{1}{[\frac{E({\textbf{X}})}{1-\hat{K}(\alpha)}-\frac{\hat{K}(\alpha)}{1-\hat{K}(\alpha)}\overline{CTE}_{1-\alpha}({\textbf{X}})] \omega(\alpha)}{d\alpha}), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{WVaR}_{\mu}(h({\textbf{X}}))=h(\int_{0}^{1}{[\frac{E({\textbf{X}})}{{K}(1-\alpha)}-\frac{1-{K}(1-\alpha)}{1-\hat{K}(\alpha)}\underline{CTE}_{1-\alpha}({\textbf{X}})] \omega(1-\alpha)}{d\alpha}), \end{equation*} $

其中K为$ {\textbf{X}} $的核分布函数, $ K(x)=P(F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq x) $, $ \hat{K}(x)=P(\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq x) $, 对任意的$ x\in(0, 1) $.

证   推论2.4由Cousin and Di Bernardino (2014)中推论2.3易证.

定义2.5   设$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 若存在随机变量$ Z $和非降函数$ f_1, \cdot \cdot \cdot , f_d $, 使得$ {\textbf{X}} $=$ ((f_1(Z), \cdot \cdot \cdot, f_d(Z))) $, 则称$ {\textbf{X}} $是共单调的.

定义2.6   设$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}}\in \mathcal{X}^d $, 称($ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $)二元$ d $维随机向量对, 若存在一个随机变量$ {\textbf{Z}} \in \mathcal{X}^d $和非降函数$ f_1, \cdot \cdot \cdot , f_d, g_1, \cdot \cdot \cdot , g_d $, 使得($ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $): =$ ((f_1(Z_1), \cdot \cdot \cdot, f_d(Z_d)), (g_1(Z_1), \cdot \cdot \cdot, g_d(Z_1))) $, 则称($ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $)是$ \pi $-共单调的.

命题2.7   若($ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $)是$ \pi $-共单调的, 则下列等式成立:

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu }({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})= \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})+ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{Y}}), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})=\overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})+ \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{Y}}). \end{equation*} $

证  根据Cousin and Di Bernardino (2014)性质2.3易证.对于两个独立且各自元素之间相互独立的随机向量, 他们之间存在次可加性.

命题2.8   对任意的$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} \in \mathcal{X}^d $且$ {\textbf{X}} $满足常规条件, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 若$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $的各个分量X$ _1 $, $ \cdot \cdot \cdot $, X$ _d $, Y$ _1 $, $ \cdot \cdot \cdot $, Y$ _d $之间相互独立, 则具有如下不等式：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})\leq \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}})+\underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{Y}}). \end{equation*} $

证   由Cousin and Di Bernardino(2014)中的性质2易证.

同样的, RVaR$ _{\alpha, \beta}(X) $也可以扩展到多元情形.

定义2.9   设$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 若$ {\textbf{X}} $满足常规条件i=1, 2, $ \cdot \cdot \cdot $, $ d $, 置信水平$ 0 < \alpha \leq \beta < 1 $, 定义$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta} $如下:

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({{\textbf{X}}}):= E[{\textbf{X}}| {\alpha} \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq {\beta}]= \left( \begin{array}{c} E[X_1| {\alpha} \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq {\beta}]\\ \vdots \\ E[{\mbox{X}}_d| {\alpha} \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq {\beta}]\\ \end{array} \right), \end{equation*} $

则称$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $为[$ \alpha, \beta $]上的下象限多元向量值区域风险值.定义$ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta} $如下:

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}):= E[{\textbf{X}}|1-\beta \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-{\alpha}]= \left( \begin{array}{c} E[X_1|1-\beta \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-{\alpha}]\\\ \vdots \\ E[X_d|1-\beta \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-{\alpha}]\\ \end{array} \right) , \end{equation*} $

则称$ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $为[$ \alpha, \beta $]上的上象限多元向量值区域风险值. 同样的, 记$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $= $ (\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^{1}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^{d}({\textbf{X}}))^{'} $, $ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $=$ (\overline{RVaR}_{\alpha, \beta}^{1}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}^{d}({\textbf{X}}))^{'}. $如果$ {\textbf{X}} $是可交换的随机向量, 则

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^i({\textbf{X}})=\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^j({\textbf{X}}), \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}^i({\textbf{X}})=\overline{RVaR}_{\alpha, \beta}^j({\textbf{X}}), i, j=1, \cdot \cdot \cdot, d. \end{equation*} $

当$ d $=1时, $ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $=$ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})={RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $. $ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({{\textbf{X}}}) $可以表示为:

$ \begin{equation} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({{\textbf{X}}})=\frac{1}{{K}(\beta)-{K}(\alpha)}\int_{\alpha}^{\beta}{ \underline{VaR}_{\gamma}({\textbf{X}}) \hat{K}^{'}(\gamma) d{\gamma}}, \end{equation} $

(2.1)

其中$ K $为$ {\textbf{X}} $的核分布函数, $ K(x $)=P(F$ _{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) $$ \leq x $), $ \hat{K}(x $)=P($ \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) $$ \leq x $), 对任意的$ x \in (0, 1) $.

命题2.10   令函数$ h $为$ h $($ x_1, .., x_d $)=$ (h_1(x_1), \cdot \cdot \cdot, h_d(x_d)) $, $ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $则以下结论成立:

(1) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非降函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))= E[h_i(\mbox{X}_i)| \alpha \leq {F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta], \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))= E[h_i(\mbox{X}_i)|1-\beta \leq \overline{F}_{\textbf{X}}({\textbf{X}})\leq 1-\alpha]\mbox{;} \end{equation*} $

(2) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非增函数, 则下列关系成立：

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))= E[h_i(\mbox{X}_i)|\alpha \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq \beta ]. \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))=E[h_i(\mbox{X}_i)| 1-\beta \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq 1-\alpha]. \end{equation*} $

证明方法与命题2.2类似.

命题2.11   对任意$ \alpha \in (0, 1) $, $ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $, $ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $和$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $满足以下性质:

(1) 正齐性: 对任意的$ \textbf{c} $=($ c_1, \cdot \cdot \cdot, c_d)_{'} $ $ \in\mathbb{R}^{d}_{+} $,

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}(c_{1}X_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{d}X_{d})=(c_{1}\underline{RVaR}^1_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, c_{d}\underline{RVaR}^d_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}(c_{1}X_{1}, \cdot \cdot \cdot, c_{d}X_{d})=(c_{1}\overline{RVaR}^1_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}), \cdot \cdot \cdot, c_{d}\overline{RVaR}^d_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})). \end{equation*} $

(2) 平移不变性: 对任意的$ \textbf{c}\in \mathbb{R}^{d}_{+} $,

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}(\textbf{c}+{\textbf{X}})=\textbf{c}+\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}), \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}(\textbf{c}+{\textbf{X}})=\textbf{c}+\overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}). \end{equation*} $

证   不妨令$ h_i(X_i)=c_i+X_i $, 根据命题2.10(1), 易证.

推论2.12   设$ h $为线性函数, $ h $($ x_1, .., x_d $)=$ (h_1(x_1), \cdot \cdot \cdot, h_d(x_d)) $,

(1) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非降函数, 则下列关系成立:

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))= h(\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})), \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))= h(\overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}))\mbox{;} \end{equation*} $

(2) 若$ h_1, \cdot \cdot \cdot, h_d $为非增函数, 则下列关系成立:

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))=h(\frac{\overline{CTE}^i_{1-\beta}({\textbf{X}})}{\hat{K}(\beta)-\hat{K}(\alpha)}-\frac{\hat{K}(\alpha) }{\hat{K}(\beta)-\hat{K}(\alpha)}\overline{CTE}^i_{1-\alpha}({\textbf{X}})) , \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}}))=h(\frac{\underline{CTE}^i_{1-\beta}({\textbf{X}})}{{K}(1-\alpha)-{K}(1-\beta)}-\frac{1-{K}(1-\alpha) }{{K}(1-\alpha)-{K}(1-\beta)}\underline{CTE}^i_{1-\alpha}({\textbf{X}})). \end{equation*} $

证   不妨令$ h({\textbf{X}})=(b_1-a_1{X_1}, \cdot \cdot \cdot, b_d-a_d{X_d}), a_i\geq 0 $, $ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 由命题2.10可得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \underline{RVaR}^i(h({\textbf{X}}))&= E[b_i-a_iX_i|\alpha \leq \overline{F}({\textbf{X}})\leq \beta ]\\&=b_i-a_iE[ X_i|\alpha \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq \beta ] , \end{aligned} \end{equation*} $

由全期望公式可得:

$ \begin{equation*} \begin{aligned} E[ X_i|\alpha \leq \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq \beta ]&=\frac{1}{\hat{K}(\beta)-\hat{K}(\alpha)} \{E[X|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta]-E[X|\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \alpha]P(\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}})\leq \alpha)\}\\ &=\frac{1}{\hat{K}(\beta)-\hat{K}(\alpha)}\{\underline{CTE}^i_{1-\beta} ({\textbf{X}})-\hat{K}(\alpha)\underline{CTE}^i_{1-\alpha}({\textbf{X}})\}, \end{aligned} \end{equation*} $

整理可得. $ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}(h({\textbf{X}})) $同理可证.

例1   若$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $服从边际均匀分布, 且$ h_i(x)=1-x, x\in (0, 1), i=1, \cdot \cdot \cdot $, d, 则有

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=1-\underline{RVaR}^i_{1-\beta, 1-\alpha}(\textbf{1}-{\textbf{X}})+\frac{\hat{K}(1-\beta)}{\hat{K}(1-\alpha)-\hat{K}(1-\beta)}\overline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}), \end{equation*} $

其中$ \hat{K} $为向量$ \textbf{1} $-$ {\textbf{X}}=(1-X_1, \cdot \cdot \cdot, 1-X_d) $的核分布函数.若$ {\textbf{X}} $与$ \textbf{1} $-$ {\textbf{X}} $有相同的分布函数, 则称随机向量$ {\textbf{X}} $是对称不变的, 且下列等式成立：

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=1-\underline{RVaR}^i_{1-\beta, 1-\alpha}(\textbf{1}-{\textbf{X}})+\frac{{K}(1-\beta)}{{K}(1-\alpha)-{K}(1-\beta)}\overline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}). \end{equation*} $

命题2.13   若($ {\textbf{X}}, {\textbf{Y}} $)是$ \pi $-共单调的, 则下列等式成立:

(1) $ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})= \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})+ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), $

(2) $ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})= \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})+ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}). $

证   由于$ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $与$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $的证明相似, 因此在这里只证明$ \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $. 若$ {\textbf{X}}=(X_1, \cdot \cdot \cdot, X_d), {\textbf{Y}}=(Y_1, \cdot \cdot \cdot, Y_d) $是$ \pi $-共单调的, 则存在一个向量$ {\textbf{Z}}=(Z_1, \cdot \cdot \cdot, Z_d) $, $ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 有$ X_i=f_i(Z_i) $, $ Y_i=g_i(Z_i) $, $ f_i, g_i $为非降函数, 令$ h_i=f_i+g_i $, $ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $.因为h为非降函数, 由命题2.6可得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})&=E[h_i(Z_i)|\alpha \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta]\\ &=E[f_i(Z_i)|\alpha \leq F_{{\textbf{Z}}}({\textbf{Z}}) \leq \beta]+E[g_i(Z_i)|\alpha \leq F_{{\textbf{Z}}}({\textbf{Z}}) \leq \beta]\\&=\underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})+\underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), \end{aligned} \end{equation*} $

即证.

对于两个独立且各自元素之间相互独立的随机向量, 他们之间存在次可加性.

命题2.14   当$ \beta $固定时, 设$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}}\in \mathcal{X}^d $, 且$ {\textbf{X}} $满足常规条件, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $.若$ X_1 $, $ \cdot \cdot \cdot $, X$ _d $, Y$ _1 $, $ \cdot \cdot \cdot $, Y$ _d $之间相互独立, 则$ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}+{{\textbf{Y}}}) $具有如下不等式：

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}})\leq \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})+\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), \end{equation*} $

证   要证$ E[X_i+Y_i|\alpha \leq F_{{\textbf{X}}+{\textbf{Y}}}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}}) \leq \beta]\leq \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})+\underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}) $, 由于$ X_i+Y_i $与$ X_j+Y_j(i\neq j) $相互独立, $ i\neq j $, 因此只需证:

$ \begin{equation*} \frac{E[X_i+Y_i, \alpha \leq F_{{\textbf{X}}+{\textbf{Y}}}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}}) \leq \beta]}{P(\alpha \leq F_{{\textbf{X}}+{\textbf{Y}}}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}}) \leq \beta)}\leq \frac{E[X_i, \alpha \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta]}{P(\alpha \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta)} +\frac{E[Y_i, \alpha \leq F_{{\textbf{Y}}}({\textbf{X}}) \leq \beta]}{P(\alpha \leq F_{{\textbf{Y}}}({\textbf{Y}}) \leq \beta)}. \end{equation*} $

令$ {\textbf{U}}=(U_1, \cdot \cdot \cdot, U_d) $, $ U_i:=F_{X_i+Y_i}(X_i+Y_i), i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, $ {\textbf{V}}=(V_1, \cdot \cdot \cdot, V_d) $, $ V_i:=F_{X_i}(X_i), i=1, \cdot \cdot \cdot, d $由于$ X_i+Y_i $与$ X_j+Y_j $相互独立, 对于任意的$ i, j=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 则有

$ \begin{equation*} E[X_i+Y_i|\alpha \leq F_{{\textbf{X}}+{\textbf{Y}}}({\textbf{X}}+{\textbf{Y}}) \leq \beta] =E[X_i+Y_i|\hat{\alpha}_i \leq F_{X_i+Y_i}(X_i+Y_i) \leq \beta], \end{equation*} $

记$ \hat{\alpha} =\frac{\alpha}{\prod_{i=1, i\neq j}^d{U_i}} $. 运用单变量下$ \underline{RVaR}^i $($ {\textbf{X}} $)的次可加性, 则下列等式成立:

$ \begin{equation*} \begin{aligned} E[X_i+Y_i, \hat{\alpha} \leq F_{X_i+Y_i}(X_i+Y_i) \leq \beta|U_{i, i\neq j}] \leq E[X_i, \hat{\alpha} \leq F_{X_i}(X_i) \leq \beta|U_{i, i\neq j}]\\+E[Y_i, \hat{\alpha} \leq F_{Y_i}(Y_i) \leq \beta|U_{i, i\neq j}] \end{aligned}. \end{equation*} $

由于($ U_1, \cdot \cdot \cdot, X_i, \cdot \cdot \cdot, U_d) $具有相同的分布, $ (V_1, \cdot \cdot \cdot, X_i, \cdot \cdot \cdot, V_d) $具有相同的边际分布和相依结构, 因此

$ \begin{equation*} E[X_i, \hat{\alpha} \leq F_{X_i}(X_i) \leq \beta|U_{i, i\neq j}]=E[X_i, \alpha \leq F_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) \leq \beta|V_{i, i\neq j}]. \end{equation*} $

同理,

$ \begin{equation*} E[Y_i, \hat{\alpha} \leq F_{Y_i}(X_i) \leq \beta|U_{i, i\neq j}]=E[Y_i, \alpha \leq F_{{\textbf{Y}}}({\textbf{Y}}) \leq \beta|V_{i, i\neq j}]. \end{equation*} $

因此, 上述结论成立.

在本节中, 由于阿基米德类Coupla具有可交换性, 对具有边际分布的随机向量引入相同的多元风险度量.

定义3.1   设映射$ \phi $: $ [0, 1] $$ \rightarrow $ $ [0, +\infty) $为一连续严格单调递减的凸函数, 且$ \phi(1)=0 $. 记

$ \begin{equation*} \phi^{[-1]}(t)= \left\{ \begin{array}{l} \phi^{-1}(t), 0\leq t\leq \phi(0)\\ 0, \phi(0) < t < +\infty \end{array} , \right. \end{equation*} $

称$ \phi^{[-1]} $为$ \phi $的伪逆函数. 定义映射C: $ [0, 1]^d\rightarrow $ $ [0, 1] $: $ C(u_1, \cdot \cdot \cdot, u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1), \cdot \cdot \cdot, \phi(u_d)), $则称C为$ d $维阿基米德类Coupla, 并称$ \phi $为其生成函数.

命题3.2   设$ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 在阿基米德类Coupla下有

(1) $ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=\frac{1}{K(\beta)-K(\alpha)}\int_{\alpha}^{\beta}{[1-\int_{\gamma}^{1}{(1-\frac{\phi(u)}{\phi(\gamma)})^{d-1}du]K^{'}(\gamma)d{\gamma}}, } $

(2) $ \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=\frac{1}{K(1-\alpha)-K(1-\beta)}\int_{\alpha}^{\beta}{[1-\int_{\gamma}^{1}{(1-\frac{\phi(u)}{\phi(1-\gamma)})^{d-1}du]K^{'}(1-\gamma)d{\gamma}} } , $

(3) $ \underline{WVaR}_{\mu}^i({\textbf{X}})=\int_{0}^{1}\{{\frac{1}{1-K(\alpha)}\int_{\alpha}^{1}{[1-\int_{\gamma}^{1}{(1-\frac{\phi(u)}{\phi(\gamma)})^{d-1}du}]K^{'}(\gamma)d{\gamma}} } \omega (\alpha)\}d{\alpha} $,

(4) $ \underline{WVaR}_{\mu}^i({\textbf{X}})=\int_{0}^{1}\{{\frac{1}{K(1-\alpha)}\int_{\alpha}^{1}{[1-\int_{\gamma}^{1}{(1-\frac{\phi(u)}{\phi(1-\gamma)})^{d-1}du}]K^{'}(\gamma)d{\gamma}} } \omega (1-\alpha)\}d{\alpha}. $

例2   设C为Clayton coupla族, 此时$ \mu(u)=\frac{1}{\theta}(u^{-\theta}-1), u\in (0, 1) $.特别地当$ \theta=-1 $, 此时C为Counter-monotonic W函数; 当$ \theta=0 $, 此时C为Independent $ \Pi $函数; 当$ \theta=1 $, 此时C=$ \frac{\Pi}{\Sigma-\Pi} $; 当$ \theta=\infty $, 此时C为Comonotonic M函数.当$ X, Y $服从(0, 1)上的均匀分布时, 令$ \phi $取以下两种分布.

(1) 指数分布：

$ \begin{equation*} \omega(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}} {1-e^{-\lambda}}, x\in(0, 1), \lambda > 0, \end{equation*} $

其中$ \lambda $为投资者的容忍度;

(2) 幂分布:

$ \begin{equation*} \omega(x)= \left\{ \begin{array}{l} \lambda x^{\lambda-1}, 0 < \lambda < 1\\ \lambda (1-x)^{\lambda-1}, \lambda > 1 \end{array} , \mbox{对任意的}x\in(0, 1). \right. \end{equation*} $

在指数分布和幂函数($ 0 < \lambda < 1 $)分布下, 分别得到$ \underline{WVaR}^i_{\mu}(X, Y) $, 计算结果见表 1, 表 2.

特别地, 当C为Clayton函数族时, 无论$ \alpha $的分布函数是指数还是幂函数, $ \underline{WVaR}^i_{\mu}(X, Y) $都是关于相依参数$ \theta $的减函数, 见图 1和图 2.

例3   同理, 取不同的Coupla函数C计算得到$ \underline{RVaR}^i(X, Y) $, 结果见表 3.

特别地, 当C为Clayton coupla函数时, 当$ \beta $固定时, $ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(X, Y) $是关于$ \alpha $的增函数且为相依参数$ \theta $的减函数, 如图 3—图 6. 当C为Gumble coupla函数时, 取$ \theta=1 $, 当$ \beta $固定时, $ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}(X, Y) $是关于$ \alpha $的增函数, 如图 7—图 8.

对任意的$ x_1, x_2 \in R $以及任意的实数$ a\in $(0, 1), 若满足$ f(ax_1+(1-a)x_2)\geq \min \{f(x_1), f(x_2)\} $, 则称$ f(x) $为拟凹函数.特别地, 若$ x_1\neq x_2 $, 则称函数$ f(x) $为严格拟凹函数.

命题3.3   若$ \omega $是严格拟凹函数, $ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 有下列不等式成立：

$ \begin{equation*} CTE^{i}_{\alpha}({\textbf{X}}) \leq \underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}}). \end{equation*} $

命题3.4   当$ \beta $固定时, 若$ F_{{\textbf{X}}} $为严格拟凹函数, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 有下列不等式成立：

$ \begin{equation*} VaR^{i}_{\alpha}({\textbf{X}}) \leq \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^i({\textbf{X}})\leq VaR^{i}_{\beta}({\textbf{X}}). \end{equation*} $

证   当$ \beta $固定时, 根据定义自然有$ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})\leq VaR^{i}_{\beta}({\textbf{X}}) $, 只需证明左边.记

$ \begin{equation*} \underline{L}(\alpha, \beta):=\{{\textbf{x}}\in R_{+}^d:\alpha \leq F_{{\textbf{X}}}( {\textbf{x}}) \leq \beta\}, \end{equation*} $

即为$ F_{{\textbf{X}}}({\textbf{x}}) $的($ \alpha, \beta $)-下水平集, $ \alpha\in (0, \beta) $, 记

$ \begin{equation*} \overline{L}(\alpha, \beta):=\{{\textbf{x}}\in R_{+}^d:1-\beta\leq\overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{x}}) \leq 1-\alpha\}, \end{equation*} $

即为$ \overline{F}_{{\textbf{X}}}({\textbf{X}}) $的$ (1-\beta, 1-\alpha) $-上水平集. 由分布函数的定义可得$ \partial \underline{L} $为$ F_{{\textbf{X}}} $在($ \alpha, \beta $)上的下界. 由于$ F_{{\textbf{X}}} $是一个严格拟凹函数, 因此, $ \underline{L}(\alpha, \beta $)为$ R_{+}^d $中的一个凸集, 对所有的$ {\textbf{X}} \in \underline{L}(\alpha, \beta $), $ X_1 \geq VaR_{\alpha}(X_1), \cdot \cdot \cdot, X_d \geq VaR_{\alpha}(X_d) $. 因此, $ VaR^{i}_{\alpha}({\textbf{X}}) \leq \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $, 即证.

命题3.5   若$ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $满足共单调, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 有下列等式成立：

$ \begin{equation*} \underline{WVaR }_{\mu}^{i}({\textbf{X}}) ={WVaR}^{i}_{\mu}(X)=\overline{WVaR}^{i}_{\mu}({\textbf{X}}) . \end{equation*} $

证   根据Di Bernardino(2014)中性质2.7可得.

命题3.6   若$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $满足共单调, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $, 有下列不等式成立：

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^{i}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) ={RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=\overline{RVaR}_{\alpha, \beta}^{i}({\textbf{X}}) . \end{equation*} $

命题3.7   当$ \beta $固定时, $ {\textbf{X}} \in \mathcal{X}^d $, 且满足常规条件, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $,

(1) 若$ \underline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \alpha $的非降函数, 则$ \underline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) \leq \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) \leq \underline{VaR}^i_{\beta}({\textbf{X}}) $;

(2) 若$ \underline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \alpha $的非降函数, 则$ \underline{CTE}^{i}_{\alpha}({\textbf{X}})\leq \underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}}), $

证   因为$ \underline{CTE}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $和$ \underline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为$ \alpha $的非降函数, 则易证命题3.7成立. $ \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $和$ \overline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}}) $也有相同的结论.

命题3.8   若$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}}\in \mathcal{X}^{d} $满足常规条件, 且$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $拥有相同的Coupla函数C, 若$ X_i $=$ Y_i(i=1, \cdot \cdot \cdot, d $), 那么下列等式成立

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=\underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})=\overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}) , \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}})=\underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{Y}}), \overline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}})=\overline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{Y}}). \end{equation*} $

证   根据Cousin和Di Bernardino(2013)中性质2.6和Cousin和Di Bernardino(2014)中性质2.9易证.

下面将给出$ {RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $和$ {WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}) $在一阶随机控制下的表现.

定义4.1   设$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}}\in \mathcal{X}^{d} $, $ \alpha \in (0, 1) $, 若满足$ Q_{\textbf{X}}(\alpha) \leq Q_{\textbf{Y}}(\alpha) $, 则称在一阶随机控制下$ {\textbf{X}} $小于$ {\textbf{Y}} $, 即$ X_i $ $ \preceq _{st} $$ Y_i(i=1, \cdot \cdot \cdot, d) $, 其中$ Q_{\textbf{X}}(\alpha) $为$ {\textbf{X}} $分布的$ \alpha $分位数.

命题4.2   令$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} \in \mathcal{X}^{d} $满足常规条件, 且有相同的Coupla函数C, 若$ X_i $ $ \preceq _{st} $ $ Y_i(i=1, \cdot \cdot \cdot, d) $, 则下列等式成立:

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) \leq \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) \leq \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}}), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}}) \leq \underline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{Y}}) , \overline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{X}}) \leq \overline{WVaR}^i_{\mu}({\textbf{Y}}). \end{equation*} $

证   根据Cousin和Di Bernardino(2013)中性质2.7和Cousin和Di Bernardino(2014)中性质2.10易证.

命题4.3   当$ \beta $固定时, 令$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}}\in \mathcal{X}^{d} $满足常规条件, 且$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{Y}} $有相同Coupla函数C, 若$ E(X_i|X_i \leq \beta) \leq E(Y_i|Y_i \leq \beta) $且$ \underline{VaR}^i({\textbf{X}}) $和$ \underline{VaR}^i({\textbf{Y}})(i=1, \cdot \cdot \cdot, d $) 满足单一截断条件, 即存在一个c$ \in (0, \beta) $, 使得当$ \alpha \in (0, c) $时, $ \underline{VaR}^i({\textbf{X}}) \geq \underline{VaR}^i({\textbf{Y}}) $; 当$ \alpha \in (c, \beta) $时, $ \underline{VaR}_{\alpha}^i({\textbf{X}}) \leq \underline{VaR}_{\alpha}^i({\textbf{Y}}), $则下列不等式成立：

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^i({\textbf{X}}) \leq \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}^i({\textbf{Y}}). \end{equation*} $

证   考虑一个函数G定义如下：

$ \begin{equation*} \begin{aligned} G(\alpha):&=(K(\beta)-K(\alpha))(\underline{RVaR^i}_{\alpha, \beta}({\textbf{Y}})-\underline{RVaR^i}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}))\\ &=\int^{\alpha}_{\beta}{(\underline{VaR^i}_{\gamma}({\textbf{Y}})-\underline{VaR^i}_{\gamma}({\textbf{X}}))K^{'}(\gamma)}{d{\gamma}}. \end{aligned} \end{equation*} $

$ \mbox{对任意的}\alpha < c $, 有

$ \begin{equation*} G(0)=(K(\beta)-K(0))(E(X_i|X_i \leq \beta) \leq E(Y_i|Y_i \leq \beta)) \geq 0, G(\beta)=0, \end{equation*} $

$ \begin{equation*} G^{'}(\alpha)=(\underline{VaR^i}_{\alpha}({\textbf{X}})-\underline{VaR^i}_{\alpha}({\textbf{Y}}))K^{'}(\alpha) \geq 0 . \end{equation*} $

当$ c \leq \alpha < \beta $时, $ G^{'}(\alpha) \leq 0 $, 因此$ G(\alpha) > 0 $进而上述不等式成立. $ \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})(i=1, \cdot \cdot \cdot, d) $也有类似的结论.

命题4.4   设$ {\textbf{X}} $, $ {\textbf{X}}^{\star}\in \mathcal{X}^{d} $且满足常规条件, $ F_i(X_i)=F_i(X^{\star}_i) $, 对任意的$ i=1, \cdot \cdot \cdot, d $. 设C为$ {\textbf{X}} $的Coupla函数, $ \overline{C} $为$ {\textbf{X}} $的生存Coupla函数, $ C^{\star} $为$ {\textbf{X}}^{\star} $的Coupla函数, $ \overline{C^{\star}} $为$ {\textbf{X}}^{\star} $的生存Coupla函数,

(1) 记$ U_i=F_{X_i} $(X$ _i $), $ U_i^{\star}=F_{X^{\star}_i}(X^{\star}_i) $, $ {\textbf{U}} $=(U$ _1, \cdot \cdot \cdot, U_d $), $ {\textbf{U}} $ $ ^{\star} $=(U$ _1^{\star}, \cdot \cdot \cdot, U_d^{\star} $), 若

$ \begin{equation*} [U_i|\alpha \leq C({\textbf{U}})\leq \beta]\preceq_{st} [{\textbf{U}}^{\star}_i|\alpha\leq C({\textbf{U}}^{\star})\leq \beta], \end{equation*} $

则

$ \begin{equation*} \underline{RVaR}^{i}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})\leq \underline{RVaR}^{i}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}^{\star})\mbox{;} \end{equation*} $

(2) 记$ V_i=\overline{F}_{X_i} $(X$ _i $), $ V_i^{\star}=\overline{F}_{X^{\star}_i} $, $ {\textbf{V}} $=(V$ _1, \cdot \cdot \cdot, V_d $), $ {\textbf{V}} $$ ^{\star} $=(V$ _1^{\star}, \cdot \cdot \cdot, V_d^{\star} $), 若

$ \begin{equation*} [V_i|\alpha \leq C({\textbf{V}})\leq \beta] \preceq_{st} [{\textbf{V}}^{\star}_i|\alpha \leq C({\textbf{V}}^{\star})\leq \beta], \end{equation*} $

则

$ \begin{equation*} \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}})\leq \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}^{\star}). \end{equation*} $

证   $ U_1 \preceq_{st} U_2 $当且仅当$ E[f(U_1)] \leq E[f(U_2)] $, 对任意的非降函数$ f $. 取$ f(u)=Q_{X_i}(u), u\in(0, 1) $, 有

$ \begin{equation*} E[Q_{X_i}(U_i)\mbox {|}\alpha\leq C({\textbf{U}})\leq \beta]\leq E[Q_{X_i}(U_i^{\star})\mbox {|}\alpha\leq C({\textbf{U}}^{\star})\leq \beta]. \end{equation*} $

由于$ X_i $, $ X_i^{\star} $具有相同的分布, 因此

$ \begin{equation*} E[Q_{X_i^{\star}}(U_i^{\star})\mbox {|}\alpha\leq C({\textbf{U}}^{\star})\leq \beta]= E[Q_{X_i^{\star}}(U_i)\mbox {|}\alpha\leq C({\textbf{U}}^{\star})\leq \beta], \end{equation*} $

因此得到结果(1). 对于结果(2), 令$ f(u)=\overline{F}^{-1}_i(u), u\in(0, 1) $可得证. 根据Cousin和Di Bernardino(2014)的命题2.12, 对WVaR$ _{\mu} $($ {\textbf{X}} $)自然有相同的结果.

推论4.5   设$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^2 $且满足常规条件,

(1) 若C为阿基米德类Coupla, 则$ \underline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}), \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $是关于$ \theta $的一个减函数, $ \underline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $是关于$ \alpha $(或者$ \beta) $的一个增函数;

(2) 若$ \overline{C} $为阿基米德类Coupla, 则$ \overline{WVaR}_{\mu}({\textbf{X}}), \overline{RVaR}_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $是关于$ \theta $的一个增函数.

推论4.6   设$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $且满足常规条件,

(1) 若$ \underline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为关于$ \alpha $的非降函数, 则$ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $也是关于$ \alpha $的非降函数;

(2) 若$ \overline{VaR}^i_{\alpha}({\textbf{X}}) $为关于$ \alpha $的非降函数, 则$ \overline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $也是关于$ \alpha $的非降函数.

推论4.7   设$ {\textbf{X}}\in \mathcal{X}^d $满足常规条件, Coupla函数C和生存Coupla函数$ \overline{C} $,

(1) 若C为$ d $维阿基米德类Coupla, 则$ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $也是关于$ \alpha $的非降函数;

(2) 若$ \overline{C} $为$ d $维阿基米德类Coupla, 则$ \underline{RVaR}^i_{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $也是关于$ \alpha $的非降函数.

本文将加权风险值以及区域风险值扩展到多元情形. 研究结果表明: 推广的多元向量值加权和区域风险值满足正齐次性和平移不变性以及共单调性.另外, 本文还提供了一些计算例子, 将VaR$ _{\alpha}({\textbf{X}}) $、CTE$ _{\alpha}({\textbf{X}}) $与RVaR$ _{\alpha, \beta}({\textbf{X}}) $相比较, 并且讨论了多元向量值加权和区域风险值在一阶随机控制下的表现.