考虑随机微分方程

$ \begin{equation} X_{t, s}=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}b(X_{u, v})\, du\, dv+W^{\alpha, \beta}_{t, s}, \quad (t, s)\in[0, T]^2, \end{equation} $

(1.1)

其中$ \; b\; $为一个Lipschitz函数, 即存在一个常数$ L_b>0 $, 满足

$ \begin{equation} |b(x)-b(y)|\leq L_b|x-y|, \quad x, y \in \mathbb R, \end{equation} $

(1.2)

$ \; (W^{\alpha, \beta}_{t, s})_{(t, s)\in[0, T]^2}\; $是一个分数布朗单, 即它是一个初始值为0, 均值为$ 0 $的双参数高斯过程, 其协方差函数满足

$ \begin{equation*} \mathbb{E}\left[W^{\alpha, \beta}_{t, s} W^{\alpha, \beta}_{u, v}\right] =\frac{1}{2}\left(t^{2\alpha}+u^{2\alpha}-|t-u|^{2\alpha}\right)\frac{1}{2}\left(s^{2\beta}+v^{2\beta}-|s-v|^{2\beta}\right), \quad t, s, u, v \in [0, T]. \end{equation*} $

这里, $ \alpha, \beta \in (0, 1)\; $为Hurst参数. 特别地, 当$ \; \alpha=\beta=\frac{1}{2}\; $时, 它是一个标准布朗单, 参见文献[1].

给定一个度量空间$ \; (E, d)\; $, 假设$ \; \mathcal F\; $是$ \; (E, d)\; $上的$ \; \sigma\; $代数, 满足$ \; d(\cdot, \cdot)\; $是$ \; \mathcal{F}\times \mathcal{F}\; $可测的. 设$ \; \mathcal{M}(E)\; $为$ \; E\; $上所有概率测度组成的集合. 给定两个概率测度$ \; \mu, \nu\in\mathcal{M}(E) $, 定义$ \; \mu\; $与$ \; \nu\; $之间的Wasserstein距离为

$ \begin{equation} W_{p, d}(\mu, \nu) = \mathop{\inf}_{\pi\in\Pi(\mu, \nu)}\begin{pmatrix} \int_{E} \int_{E}d(x, y)^p d\pi(x, y)\end{pmatrix} ^{1/p}, \quad p\geq1 . \end{equation} $

(1.3)

其中$ \; \Pi(\mu, \nu)\; $是乘积空间$ \; E \times E\; $上边缘分布分别为$ \; \mu\; $和$ \; \nu $的概率测度全体. $ \; \nu\; $关于$ \; \mu\; $的相对熵定义为

$ \begin{equation} H(\nu\mid\mu)= \begin{cases} \int_E \ln\frac{d\nu}{d\mu}d\nu, &\mbox{若 } \nu \ll \mu;\\ +\infty, &\mbox{其它}. \end{cases} \end{equation} $

(1.4)

称概率测度$ \mu $满足$ \; (E, d)\; $上的$ \; L^p\; $传输不等式, 若存在一个常数$ \; C\geq0\; $, 使得对任意的概率测度$ \; \nu\in\mathcal{M}(E) $,

$ \begin{equation} W_{p, d}(\mu, \nu)\leq \sqrt{2CH(\nu\mid\mu)}. \end{equation} $

(1.5)

我们将这种关系记做$ \; \mu \in T_p(C) $. 其中, $ \; p=1\; $和$ \; p=2\; $的情形得到了广泛而深刻的研究, 它们与测度集中性紧密相关. 传输不等式与log-Sobolev不等式, Poincaré 不等式之间也有着紧密联系, 参见文献[2] 等. 最近, 传输不等式在金融、统计学方面也有广泛的应用, 例如Lacker在文献[3] 中利用集中不等式建立了一个用于搭建流动性风险模型的框架, Massart在文献[4] 中利用集中不等式研究了模型选择方面的问题.

我们回顾一下关于随机(偏) 微分方程的传输不等式的结果. Talagrand^[5]关于高斯测度首次证明了$ \; T_2(C) $, 后来Feyel和Üstünel^[6]将结果推广到了抽象的Wiener空间. 利用Girsanov变换和鞅表示定理, Djellout, Guillin和Wu^[7]证明了随机微分方程在Cameron-Martin度量和$ \; L^2\; $度量下的$ \; T_2(C) $, 后来Wu和Zhang^[8]将该结论推广到了一致度量意义下. Saussereau^[9]研究了分数布朗运动驱动的随机微分方程的$ \; T_2(C) $. 利用Lyons的粗糙路径理论, S. Riedel^[10]研究了由一般高斯过程驱动的随机微分方程的$ \; T_2(C) $. 针对随机偏微分方程, Wu和Zhang^[11]利用Galerkin逼近研究了$ \; L^{2}\; $度量下的$ \; T_2(C) $; 针对随机热方程, Boufoussi和Hajji^[12]在可加时空白噪声时关于一致度量证明了$ \; T_2(C) $, 在可乘时空白噪声时关于$ \; L^2\; $度量证明了$ \; T_2(C) $, Shang和Zhang^[13]在可乘时空白噪声时关于一致度量证明了$ \; T_2(C) $; 针对随机波动方程, Li和Wang^[14]在加权$ \; L^2\; $度量下证明了$ \; T_2(C) $.

本文将在一致度量下证明方程(1.1) 的传输不等式. 文章中有两个困难点: 一是我们方程中的两个参数$ t, s $均是与时间相关的，这与传统随机热方程中的时空双参数有很大的区别, 为了解决这个困难, 我们在后续证明中需要利用到新的Girsanov变换; 二是方程中的随机项为分数布朗单, 这也将在我们后续的计算过程中带来一定的困难, 本文利用了集中不等式来克服这个难点.

本文的框架如下: 在第二章中, 我们给出分数布朗单的性质和方程解的存在唯一性的证明; 在第三章中, 我们在一致度量下证明了方程(1.1) 的$ \; T_2(C) $; 在第四章中, 我们给出一些有用的推论.

我们首先回顾分数布朗单的性质, 参考文献[15] 第二章中结论, 当$ \; \alpha, \; \beta \in (0, 1)\; $时, 定义一个Volterra核函数$ K_{\alpha}(t, s) $, 当$ \; s<t\; $时, 其形式为:

$ \begin{equation} K_{\alpha}(t, s)=c_{\alpha}((\frac{t}{s})^{\alpha-\frac{1}{2}}(t-s)^{\alpha-\frac{1}{2}}-(\alpha-\frac{1}{2})s^{\frac{1}{2}-\alpha}\int_{s}^{t}u^{\alpha-\frac{3}{2}}(u-s)^{\alpha-\frac{1}{2}} du), \end{equation} $

(2.1)

其中, 常数$ c_{\alpha} $满足下式

$ \begin{equation*} \label{eq:7} c_{\alpha}=\sqrt{\frac{2\alpha\Gamma(\frac{3}{2}-\alpha)}{\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})\Gamma(2-2\alpha)}}, \end{equation*} $

这里$ \; \Gamma\; $为Gamma函数. 当$ \; \alpha \in (0, 1)\; $时, 分数布朗运动$ \; W_{t}^{\alpha}\; $与标准布朗运动$ \; W_{t}\; $有下述关系(参见文献[16], 定理5.2)：

$ \begin{equation} W_{t}^{\alpha}=\int_{0}^{t}K_{\alpha}(t, s)\, dW_{s}. \end{equation} $

(2.2)

定义$ \; K_{\alpha}(t, s)\; $的逆算子$ \; K_{\alpha}^{-1}(t, s) $,

$ \begin{equation} K_{\alpha}^{-1}(t, s)=c_{\alpha}^{1}\left(\left(\frac{t}{s}\right)^{\alpha-\frac{1}{2}}(t-s)^{\frac{1}{2}-\alpha}-\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)s^{\frac{1}{2}-\alpha}\int_{s}^{t}u^{\alpha-\frac{3}{2}}(u-s)^{\frac{1}{2}-\alpha} du\right), \end{equation} $

(2.3)

其中, 常数$ \; c_{\alpha}^{1}\; $满足

$ \begin{equation*} \label{eq:10} c_{\alpha}^{1}=\frac{\sqrt{\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})\Gamma(2-2\alpha)}}{\beta(\frac{3}{2}-\alpha, \alpha+\frac{1}{2})\sqrt{2\alpha \Gamma(\frac{3}{2}-\alpha)}}, \end{equation*} $

$ \; \beta\; $为Beta函数. 由(2.2) 和逆算子的定义, 可以得出结论(参见文献[16], 定理5.2)

$ \begin{equation} W_{t}=\int_{0}^{t}K_{\alpha}^{-1}(t, s)\, dW_{s}^{\alpha}. \end{equation} $

(2.4)

下面, 我们考虑双参数时的情形. 定义核函数$ \; K_{\alpha, \beta}(t, s, v, u)\; $满足如下表达式

$ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)=K_{\alpha}(t, u)K_{\beta}(s, v), \quad t>u, s>v, \quad t, s, u, v \in [0, T], \end{equation} $

(2.5)

根据文献[1] 中章节3.1的结论, 我们得到下列式子

$ \begin{equation} W_{t, s}^{\alpha, \beta}=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, dW_{u, v}. \end{equation} $

(2.6)

类似地, 考虑逆算子

$ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}^{-1}(t, s, u, v)=K_{\alpha}^{-1}(t, s)K_{\beta}^{-1}(u, v), \quad t>u, s>v, \quad t, s, u, v \in [0, T], \end{equation} $

(2.7)

可知,

$ \begin{equation} W_{t, s}=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}^{-1}(t, s, u, v)\, dW_{u, v}^{\alpha, \beta}. \end{equation} $

(2.8)

这表明在双参数的意义下, 分数布朗单与标准布朗单之间也具有关联性. 即可以利用核函数$ \; K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\; $通过双参数的标准布朗单来构造双参数的分数布朗单, 反过来结论也是成立的.

性质2.1   若$ \; K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\; $为满足(2.6) 的核函数, 则有

$ \begin{equation*} \label{eq:16} \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K^2_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, du\, dv=t^{2\alpha}s^{2\beta}. \end{equation*} $

证

$ \begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K^2_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, du\, dv = \int_{0}^{t}K^2_{\alpha}(t, u)\, du \cdot \int_{0}^{s}K^2_{\beta}(s, v)\, dv=t^{2\alpha}s^{2\beta} \end{equation*} $

等式成立.

令$ E：=C([0, T]^{2}, \mathbb{R}) $为定义在从$ [0, T]^{2} $到$ \mathbb{R} $上所有实值连续函数全体, 在$ E $上赋予一致度量

$ \begin{equation*} d(\xi, \gamma)= \sup\limits_{(t, s) \in [0, T]^2}|\xi(t, s)-\gamma(t, s)|, \quad\forall \xi, \gamma \in E. \end{equation*} $

引理2.2^[17]   假设$ \; u(x, t), \; v(x, t)\; $为$ \; [0, T]^{2}\; $上的非负连续函数，对于任意正数$ \; c\; $, 满足式子$ u(x, t)\leq c+ \int_{0}^{t}\int_{0}^{x}v(\eta, \upsilon)u(\eta, \upsilon)\, d\eta\, d\upsilon, $则$ u(x, t)\leq c \exp\left( \int_{0}^{t}\int_{0}^{x}v(\eta, \upsilon)\, d\eta\, d\upsilon\right). $

引理2.3^[21]   [Borell-TIS不等式] 若$ E $为一个拓扑空间, $ \; \{f_{z}\}_{z\in E} $为$ E $上均值为零的高斯过程, $ \|f\|_{E}=\underset{z \in E}\sup|f_z|, $在$ E $上几乎处处有限, 令$ \delta_{E}^{2}=\underset{z \in E}\sup\mathbb E|f_z|^{2}, $则$ \; \delta_{E}^{2} $, $ \mathbb E\left(\|f\|_{E}\right) $均在$ E $上有限, 且对于任意$ u>0 $,

$ \begin{equation*} \mathbb P\left(\|f\|_{E}>\mathbb E\left(\|f\|_{E}\right)+u\right)<\exp\left(-\frac{u^2}{2\delta_{E}^{2}}\right). \end{equation*} $

定理2.4   假设$ \; b\; $满足(1.2), Hurst参数$ \; \alpha, \beta \in(0, 1)\; $, 初值$ \; X_{0, 0}=0\; $, 方程(1.1) 在空间$ E $上存在唯一解, 且解满足

$ \begin{equation} \mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\mid X_{t, s}\mid^2\right]<\infty. \end{equation} $

(2.9)

定理2.4的证明  由于$ \; b\; $为一个全局Lipschitz函数, 则$ b $满足线性增长条件: 存在常数$ K>0 $, 使得

$ \begin{equation} |b(x)|^{2}<K(1+|x|^{2}). \end{equation} $

(2.10)

固定$ \; w \in \Omega $, 构造一个Picard序列,

$ \begin{equation} \begin{cases} X_{t, s}^{(n+1)}= \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}b(X_{u, v}^{(n)})\, du\, dv+W_{t, s}^{\alpha, \beta}, \quad (t, s) \in [0, T]^2, \\ X_{t, s}^{(0)}=X_{0, 0}=0. \end{cases} \end{equation} $

(2.11)

由归纳可知, 对于任意的$ n\geq $ 1, 有

$ \begin{align*} \mathbb E[|X_{t, s}^{(n+1)}-X_{t, s}^{(n)}|^2] &=\mathbb E\left[\left|\int_0^t\int_0^s(b(X_{u, v}^{(n)})-b(X_{u, v}^{(n-1)}))\, du\, dv\right|^2\right]\\ &\leq T^2 \int_0^t\int_0^s\mathbb E[| b(X_{u, v}^{(n)})-b(X_{u, v}^{(n-1)})|^2]\, du\, dv\\ &\leq L_b^2T^2\int_0^t\int_0^s \mathbb E[|X_{u, v}^{(n)}-X_{u, v}^{(n-1)}|^2]\, du\, dv. \end{align*} $

又$ \mathbb E[|X_{t, s}^{(0)}|^2]=0 $, 且$ \mathbb E[|X_{t, s}^{(1)}|^2]<\infty $, 则当$ n=0 $时, 存在一个常数$ \; a $, 使得$ \mathbb E[|X_{t, s}^{(1)}-X_{t, s}^{(0)}|^2]\leq a $成立. 经过迭代, 可以得到估计式

$ \begin{equation*} \sup\limits_{(t, s)\in[0, T]^2}\mathbb E[| X_{t, s}^{(n+1)}-X_{t, s}^{(n)}|^2]\leq \frac{a(L_b^2T^4)^n}{n!}, \end{equation*} $

可知

$ \begin{align*} \mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\left|X_{t, s}^{(n+1)}-X_{t, s}^{(n)}\right|^2\right] & = \mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\left|\int_0^t\int_0^sb(X_{t, s}^{(n+1)})-b(X_{t, s}^{(n)})\, du\, dv\right|^2\right]\\ &\leq L_b^2T^2\int_0^T\int_0^T \mathbb E[|X_{t, s}^{(n+1)}-X_{t, s}^{(n)}|^2]\, du\, dv\\ &\leq T^4L_b^2\sup\limits_{(t, s)\in[0, T]^2}\mathbb E[|X_{t, s}^{(n)}-X_{t, s}^{(n-1)}|^2]\\ &\leq \frac{a(L_b^2T^4)^{n}}{(n-1)!}. \end{align*} $

从而

$ \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\mid X_{t, s}^{(n+1)}-X_{t, s}^{(n)}\mid^2\right]=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a(L_b^2T^4)^{n}}{(n-1)!}<\infty. \end{equation*} $

由Borel-Contelli引理, $ \{X_{t, s}^{(n)}\}_{(t, s) \in [0, T]^2} $几乎处处是空间$ \; E\; $上的Cauchy列, 由于$ \; E\; $是完备的, 则$ \{X_{t, s}^{(n)}\}_{(t, s) \in [0, T]^2} $几乎处处收敛到$ \{X_{t, s}\}_{(t, s)\in [0, T]^2} $, 对于序列(2.11) 取极限可得

$ \begin{equation*} X_{t, s}=\int_0^t\int_0^sb(X_{u, v})\, du\, dv+W_{t, s}^{\alpha, \beta}. \end{equation*} $

则$ X=X_{t, s} $是方程(1.1) 的一个解.

下证解的唯一性. 假设方程(1.1) 存在两个解$ X_{t, s}, Y_{t, s} $, 与上述证明步骤类似, 利用引理2.2可立即得到: $ \mathbb E[\mid X_{t, s}-Y_{t, s}\mid^2]\equiv0 $, 则唯一性得证.

最后证明$ X $满足$ \mathbb E[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\mid X_{t, s}\mid^2]<\infty $, 不妨令$ \; \lambda:=\mathbb E[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|W_{t, s}^{\alpha, \beta}|] $, 由[15] 中式子(3.8)可知

$ \begin{equation} \mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|W_{t, s}^{\alpha, \beta}|\right] \leq C\sqrt{T^{2\alpha}+T^{2\beta}}. \end{equation} $

(2.12)

其中$ C $为任意常数, 因此利用引理2.3和分部积分公式, 有

$ \begin{align*} &\mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|X_{t, s}|^2\right] \\ \leq& 2\mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\left|\int_{0}^{t}\int_0^s b(X_{u, v})\, du\, dv\right|^2\right]+2\mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|W_{t, s}^{\alpha, \beta}|^2\right]\\ \leq& 2T^2\mathbb E\left[\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup\int_{0}^{t}\int_0^s b^2(X_{u, v})\, du\, dv\right]+2\mathbb E\left[(\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|W_{t, s}^{\alpha, \beta}|)^2\right]\\ \leq& 2T^2K\int_0^T\int_0^T(1+\mathbb E[|X_{u, v}|^2])\, du\, dv+2\int_{-\lambda}^{\infty}(r+\lambda) \times \mathbb P\left(\underset {(t, s)\in [0, T]^{2}}\sup|W_{t, s}^{\alpha, \beta}|>r+\lambda\right)\, dr\\ \leq& 2T^4K\left(1+\sup\limits_{(t, s) \in [0, T]^{2}}\mathbb E[|X_{t, s}|^2]\right)+2\int_{-\lambda}^{\infty}\left(r+\lambda\right) \times \exp\left(-\frac{r^2}{2\underset{t, s\in[0, T]^2}\sup\mathbb E|W^{\alpha, \beta}_{t, s}|^2}\right)\, dr\\ <&\infty. \end{align*} $

证明结束.

令$ z_1=(t_1, s_1) $, $ z_2=(t_2, s_2) $, $ z_1, z_2 \in [0, T]^2 $. 定义偏序关系: $ z_1\leq z_2 $当且仅当$ t_1\leq t_2 $, $ s_1\leq s_2 $; $ z_1< z_2 $当且仅当$ t_1< t_2 $, $ s_1<s_2 $, 且$ [z_1, z_2]=[t_1, t_2]\times[s_1, s_2] $. 在概率空间$ \left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P\right)\; $上, 令$ \; \{\mathcal{F}_z; z \in [0, T]^2\} $为一簇$ \mathcal{F}\; $的子$ \; \sigma\; $代数, 且满足对任意的$ \; z_1 \leq z_2\; , \mathcal{F}_{z_1} \subset \mathcal{F}_{z_2} $, $ \; \mathcal{F}_{0}\; $包含$ \; \mathcal{F}\; $中所有的零测集, $ \; \mathcal{F}_z =\underset{z<\tilde{z}} \cap \mathcal{F}_{\tilde{z}} $.

定义3.1^[19]   称一个过程$ M=\{M_z; z\in[0, T]^{2}\} $为鞅, 若对任意的$ z_1\leq z_2, E\left[M_{z_2}|\mathcal{F}_{z_1}\right]=M_{z_1} $.

定理3.2   $ \; \{X_{t, s}, (t, s) \in [0, T]^2\}\; $为方程(1.1) 的唯一解, 在空间$ \; E\; $上的分布为$ P $. $ \; \alpha, \beta \in (0, 1) $, 且$ b $满足Lipschitz条件(1.2), 则存在一个常数$ \; C_{\alpha, \beta, T, L_{b}} =T^{2(\alpha+\beta)+2}e^{L_{b}^{2}T^{4}} $, 使得概率测度$ \; P\; $满足定义在空间$ \; E\; $上的$ \; T_2(C_{\alpha, \beta, T, L_{b}}) $不等式.

令$ Q $为$ \; E\; $上任意满足$ \; Q\ll P\; $的概率测度, 在带流的概率空间$ \left(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal {F}_{t, s}\}_{(t, s) \in[0, T]^2}, \mathbb P\right)\; $上定义一个新的概率测度$ \tilde{\mathbb{P}} $, 满足

$ \begin{equation} d\tilde{\mathbb{P}}:=\frac{dQ}{dP}(X(., .))d\mathbb{P}. \end{equation} $

(3.1)

定义限制在流$ \{\mathcal{F}_{t, s}\} $上的Radon-Nikodym导数$ M(t, s) $为

$ \begin{equation} M(t, s):=\mathbb {E}^{\mathbb P}\left(\frac{dQ}{dP}(X(., .))\Big| \mathcal{F}_{t, s}\right)=\frac{d\tilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}}\Big|_{\mathcal{F}_{t, s}}, \quad \forall (t, s)\in[0, T]^2. \end{equation} $

(3.2)

特别地, $ M(t, s)\; ((t, s)\in[0, T]^2) $在测度$ \mathbb P $下为两参数鞅.

引理3.3    在概率空间$ \left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P\right)\; $中存在一个适应过程$ \; h=\{h(t, s)\}_{(t, s)\in [0, T]^{2}} $, 满足

$ \begin{equation} \mathbb {P}\left\{\int_0^T\int_0^Th^2(u, v)\, du\, dv<\infty\right\}=1, \end{equation} $

(3.3)

且$ \; \tilde{W}_{t, s}:[0, T]\times[0, T]\longrightarrow\mathbb{R} $,

$ \begin{equation} \tilde{W}_{t, s}=W_{t, s}-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}h(u, v)\, du\, dv, \quad \end{equation} $

(3.4)

是测度$ \; \tilde{\mathbb {P}}\; $下的布朗单. 此外

$ \begin{equation} \mathcal{H}(Q\mid P)=\frac{1}{2}E^{\tilde{\mathbb{P}}}\left[\int_{0}^{T}\int_{0}^{T}h^2(u, v)\, dt\, ds\right]. \end{equation} $

(3.5)

证  引理3.3的证明实际为文献[7] 中引理5.6的推广.

定义$ \tau:=\{z=(t, s):M(t, s)=0, \forall \varepsilon>0, M(t-\varepsilon, s)>0 $或$ M(t, s-\varepsilon)>0\} $, 由$ \; M(t, s)\; $的定义可知$ \; \mathbb{\tilde{P}}\left (\tau=(T, T)\right)=1 $. 由文献[19] 章节2.3中的结论, 存在一个适应过程$ h(t, s) $满足

$ \begin{equation} \mathbb {P}\left\{\int_0^T\int_0^Th^2(u, v)\, du\, dv<\infty\right\}=1, \end{equation} $

(3.6)

使得对于任意$ \; z=(t, s)<\tau $, 有结论

$ \begin{equation} M(t, s)=\exp\left(\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}h(u, v)W(\, du\, dv)-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}h^2(u, v)\, du\, dv\right). \end{equation} $

(3.7)

下面, 我们证明(3.4) 成立. 由于$ \; Q\; $为概率测度, 且在测度$ \; \mathbb P\; $下解$ \; X_{t, s}\; $的分布为$ \; P\; $, 有结论

$ \begin{equation} \int_{\Omega}\frac{dQ}{dP}(X(., .))\, d\mathbb {P}=\int_{C([0, T]^2, \mathbb R)}\frac{dQ}{dP}(w)dP(w)=Q[C([0, T]^2, \mathbb R)]=1. \end{equation} $

(3.8)

由Girsanov定理(文献[19], 定理2.3), 可得

$ \begin{equation} \tilde{W}_{t, s}=W_{t, s}-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}h(u, v)\, du\, dv, \quad \end{equation} $

(3.9)

为概率空间$ (\Omega, \mathcal{F}, \tilde {\mathbb P}) $上的布朗单. 最后, 证明(3.5) 成立. 由

$ \begin{align*} \mathcal{H}(Q\mid P) &=\int_{C([0, T]^2, \mathbb R)}\frac{dQ}{dP}\ln(\frac{dQ}{dP})dP =\int_{\Omega}\frac{dQ}{dP}(X)\ln(\frac{dQ}{dP}(X))d \mathbb P\\ & =\int_{\Omega}\frac{d\tilde{\mathbb P}}{d\mathbb{P}}\ln(\frac{d\tilde{\mathbb P}}{d\mathbb{P}})d\mathbb{P} =\mathcal{H}(\tilde{\mathbb P}\mid \mathbb{P}), \end{align*} $

参考文献[20] 中的局部化结论, 定义$ \; \tau_n :=\{z=(t, s)\in[0, \tau]: \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}h^2(u, v)\, du\, dv\geq n, \forall \varepsilon>0, \int_{0}^{t-\varepsilon}\int_{0}^{s}h^2(u, v)\, du\, dv<n $或$ \int_{0}^{t}\int_{0}^{s-\varepsilon}h^2(u, v)\, du\, dv<n\} $, 则$ \; \tau_n\uparrow\tau $, 有结论

$ \begin{align*} \mathcal{H}(Q\mid P)=\mathcal{H}(\tilde{\mathbb {P}}\mid\mathbb{P}) &=\mathbb{E}^{{\mathbb P}}[M(T, T)\ln(M(T, T))]=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}[\ln(M(T, T))]\\ &=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}[\ln(M(\tau))]=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}[\ln(M(\tau_n))], \end{align*} $

由于$ \; \tilde{W}\; $是$ (\Omega, \mathcal{F}, \tilde {\mathbb P}) $上的布朗单, 则关于$ \; \tilde{W}\; $的随机积分在测度$ \; \tilde {\mathbb{P}}\; $下的期望均为0. 我们可以得到结论

$ \begin{align*} \mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}[\ln(M(\tau_n))]&=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}\left[\int_{[0, \tau_n]}h(z)W(\, dz)-\frac{1}{2}\int_{[0, \tau_n]}h^2(z)\, dz\right]\\ &=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}\left[\int_{[0, \tau_n]}h(z)\tilde{W}(\, dz)+\frac{1}{2}\int_{[0, \tau_n]}h^2(z)\, dz\right]\\ &=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}\left[\frac{1}{2}\int_{[0, \tau_n]}h^2(z)\, dz\right], \end{align*} $

则

$ \begin{equation*} \mathcal{H}(Q\mid P)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}\left[\frac{1}{2}\int_{[0, \tau_n]}h^2(z)\, dz\right]=\mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}}\left[\frac{1}{2}\int_0^T\int_0^Th^2(u, v)\, du\, dv\right]. \end{equation*} $

定理3.2的证明   在空间$ E $上任意选取概率测度$ Q $, $ Q\ll P $, 测度$ \; \tilde{\mathbb {P}}\; $由(3.1) 定义, $ h\; $为引理3.3中定义的随机过程.

假设存在一个适应过程$ \; a = a(t, s) $, $ (t, s)\in[0, T]^{2} $, 满足变换

$ \begin{equation} \tilde{W}_{t, s}^{\alpha, \beta} = W_{t, s}^{\alpha, \beta}-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv. \end{equation} $

(3.10)

由章节2中的变换(2.6) $ \tilde{W}_{t, s}^{\alpha, \beta}= \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, d\tilde{ W}_{u, v}, $及(3.4) 可推得

$ \begin{equation} \tilde{W}_{t, s}^{\alpha, \beta}= \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, dW_{t, s} - \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)h(u, v)\, du\, dv. \end{equation} $

(3.11)

可以得到$ \; a\; $与$ \; h\; $之间的关系

$ \begin{equation} \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv= \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)h(u, v)\, du\, dv.\quad \end{equation} $

(3.12)

由上述结论可得, 方程({1.1}) 的解$ \; X_{t, s}\; $满足下述方程

$ \begin{equation*} \label{eq:30} X_{t, s}=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}b(X_{u, v})\, du\, dv+\tilde{W}^{\alpha, \beta}_{t, s}+\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a_{v, u}\, du\, dv, \end{equation*} $

考虑如下方程的解

$ \begin{equation*} \label{eq:31} \tilde{X}_{t, s}=\int_{0}^ {t}\int_{0}^{s}b(\tilde{X}_{u, v})\, du\, dv+\tilde{W}^{\alpha, \beta}_{t, s}, \end{equation*} $

由引理4.2的证明过程可知, 在测度$ \; \tilde{\mathbb P}\; $意义下, $ \; (X, \tilde{X})\; $所对应的分布实际上为$ \; (Q, P)\; $的耦合, 由Wasserstein距离的定义, 可知

$ \begin{equation*} \label{eq:32} W_2(Q, P)^{2}\leq \mathbb{E}^{\tilde{\mathbb P}} \left[\underset{(t, s) \in [0, T]^{2}}{\sup}|\tilde{X}_{t, s}-X_{t, s}|^{2} \right]. \end{equation*} $

利用引理4.2的结论, 要证明传输不等式成立,

$ \begin{equation*} \label{eq:33} W_{2}(Q, P)\leq \sqrt{2C\mathcal{H}(Q\mid P)}, \end{equation*} $

只需要证明

$ \begin{equation*} \label{eq:34} \mathbb E\left[\sup\limits_{(t, s) \in [0, T]^{2}}|\tilde{X}_{t, s}-X_{t, s}|^{2}\right]\leq CE^{\tilde{\mathbb P}}\left[\int_{0}^{T}\int_{0}^{T}h^2(t, s)\, dt\, ds\right]. \end{equation*} $

为了简化计算, 接下来将符号$ \; \mathbb E^{\tilde{\mathbb P}}\; $简易地用$ \; \mathbb E\; $来表示. 首先考虑

$ \begin{align*} |\tilde{X}_{t, s}-X_{t, s}| & \leq \left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}b(\tilde{X}_{u, v})-b(X_{u, v})\, du\, dv\right|+\left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv\right| \\ &\leq \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}L_{b}|\tilde{X}_{u, v}-X_{u, v}|\, du\, dv+\left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv\right|, \end{align*} $

由引理2.2知

$ \begin{equation*} \label{eq:35} |\tilde{X}_{t, s}-X_{t, s}| \leq e^{\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}L_{b} dudv}\left |\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v) du\, dv\right| , \end{equation*} $

两边同时平方后取最大值, 再取期望, 有

$ \begin{equation*} \label{eq:36} \mathbb{E}\left[\sup\limits_{(t, s)\in[0, T]^2}|\tilde{X}_{t, s}-X_{t, s}|^{2}\right]\leq \mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv\right|^{2}\right] \cdot e^{L_{b}^{2}T^{4}}. \end{equation*} $

考虑$ a $与$ h $之间的关系(3.12), 利用Cauchy-Schwarz不等式和性质2.1, 可得

$ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(u, v)\, du\, dv\right|^2\right] &=\mathbb{E}\left[\left|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v) h(u, v)\, du\, dv\right|^2\right]\\ &\leq T^2\cdot\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\left(\int_{0}^{s}K_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)h(u, v)\, du\right)^2dv\right]\\ &\leq T^2\cdot\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K^2_{\alpha, \beta}(t, s, u, v)\, du\, dv\cdot\int_0^{t}\int_0^{s}h^{2}(u, v) \, du\, dv\right]\\ &\leq T^{2\alpha+2\beta+2}\mathbb{E}\left[\int_0^T\int_0^T h^{2}(u, v) \, du\, dv\right]. \end{align*} $

证明结束.

推论4.1    在定理3.1假设条件成立的情况下($ b $为Lipschitz函数且满足(1.2)), 对于$ \; D:=L^2([0, T]^{2}; dtds; \mathbb{R})\; $上的光滑柱形函数$ \; F \in \mathfrak{F}:=\{f(\langle u, h_1\rangle, \langle u, h_2\rangle, ...\langle u, h_{n}\rangle); n \geq 1, h_i\in \tilde{\bf{H}}, f \in \bf{C_{b}^{\infty}}(\mathbb{R}^n)\} $, 其中: $ \langle u_{1}, u_{2}\rangle:=\int_{0}^{T}\int_{0}^{T}u_{1}u_{2}\, dt\, ds $, $ \tilde{\bf{H}}=:\{h: \int_{0}^{T}\int_{0}^{T}h^2(t, s)\, dt\, ds<\infty\} $. Poincaré 不等式成立

$ \begin{equation*} \label{eq:37} Var_{P}(F) \leq T^{2(\alpha+\beta)+2}e^{L_{b}^{2}T^{4}} \int_{C([0, T]^{2}, \mathbb{R})}\|\nabla F(u)\|_{D}^{2}\, dP(u). \end{equation*} $

其中: $ \; Var_{P}(F)\; $为$ \; F\; $在测度$ \; P\; $下的方差, $ \; \nabla F \in D\; $, 且为$ \; F\; $在$ \; u\; $处的梯度.

证   不失一般性, 假设$ \; h_1, h_2..., h_n\; $为一组正交基, 对于任意的$ \; F \in \mathfrak{F}\; $, 定义映射

$ \begin{equation*} \label{eq:38} \Phi: u \longrightarrow (\langle u, h_1\rangle, ...\langle u.h_n\rangle), \quad D \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \end{equation*} $

$ \; \Phi\; $为一个Lipschitz函数, 满足$ \; \|\Phi\|_{{\rm{Lip}}}=\underset{u_1 \not= u_2}{\sup}\frac{\mid\Phi(u_1)-\Phi(u_2)\mid}{d(u_1, u_2)} \leq 1 $. 定义$ \; v:=P\circ\Phi^{-1} $, 由文献[7] 中引理2.1, 可知$ \; v\in T_{2}(C_{\alpha, \beta, T, L_{b}}) $. 再由文献[18] 中章节4.1中的结果, 可得

$ \begin{align*} Var_{P}(F)& = Var_{v}(f)\leq T^{2(\alpha+\beta)+2}e^{L_{b}^{2}T^{4}} \int_{\mathbb{R}^{n}} |\nabla f|^{2}\, dv \\ &= T^{2(\alpha+\beta)+2}e^{L_{b}^{2}T^{4}} \int_{C([0, T]^{2}, \mathbb{R})} \|\nabla F(u)\|_{D}^{2}\, dP(u). \end{align*} $

引理4.2^[2]   给定一个度量空间$ \; (E, d)\; $, 若存在一个常数$ \; C>0 $, 使得$ \; (E, d)\; $上的一个测度$ \; \mu $, 满足$ \; L_1\; $传输不等式($ \; \mu \in T_{1}(C)\; $), 当且仅当对于任意的一个Lipschitz函数$ \; F: (E, d)\rightarrow \mathbb{R}\; $, $ \; F\; $为$ \; \mu\; $可积的, 满足$ \int_{E}e^{\lambda(F-\int_{E}F\, d\mu)}\, d\mu \leq \exp(\frac{\lambda^{2}}{2}C\|F\|_{\rm{Lip}}^{2}), \forall\lambda\in\mathbb{R}, $其中$ \|F\|_{\rm{Lip}}=\sup_{x \neq y}\frac{|F(x)-F(y)|}{d(x, y)} < \infty, $在假设条件成立时, 有结论

$ \begin{equation} \mu\left(\left(F-\int_E F\, d\mu\right)>r\right) \leq \exp\left(-\frac{r^2}{2C\|F\|^2_{\rm{Lip}}}\right), \quad \forall r>0. \end{equation} $

(4.1)

推论4.3    令$ V:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $为Lipschitz函数且满足$ \; \|V \|_{\rm{{Lip}}}= \underset{x \not= y}{\sup} \frac {\mid v(x)-v(y)\mid}{\mid x-y\mid}\leq \delta\; $, 方程(1.1) 的解满足霍夫丁型不等式：任意选取$ r > 0 $,

$ \begin{equation*} \label{eq:41} P(\frac{1}{T^2}\int_0^T \int_0^T V(X_{t, s})dtds-\mathbb E [\frac{1}{T^2}\int_0^T\int_0^T V(X_{t, s}) dtds] \ge r )\le \exp(-\frac{r^2}{ 2\delta^2T^{2(\alpha+\beta)+2}e^{L_{b}^{2}T^{4} }} ). \end{equation*} $

证   我们考虑定义在$ C([0, T]^{2}, \mathbb {R}) $上的函数$ F_V $, 具体形式为$ F_V(u)=\frac{1}{T^2} \int_0^T\int_0^T V(u_{t, s})dtds, \quad $则函数$ F_V $在一致度量下是$ \delta $-Lipschitz连续函数, 满足

$ \begin{equation*} \label{eq:43} \|F_V \|_{{\rm{Lip}}}=\underset{u_1 \not= u_2}{\sup} \frac {\mid F(u_1)-F(u_2)\mid}{d(u_1, u_2)} \leq \delta. \end{equation*} $

又$ \; P \in T_2(C)\; $, 由Hölder不等式可推出$ \; P \in T_1(C) $, 利用引理4.2, 则结论易得.