一般类型的Riccati方程, 1841年法国数学家Liouville证明了不能用初等积分法求解. 而Riccati方程

$ \begin{eqnarray} \frac{d\varphi}{d\xi} = b+\varphi^2, \ b\in \mathbb{R} \end{eqnarray} $

(1.1)

在流体力学、弹性振动理论、生物学、工程技术和科学、控制理论、向量场分支理论、最优滤波分析系统等领域中都有着广泛且重要的应用[1-7], 求解Riccati方程(1.1)是非线性科学领域经常遇到的问题.

众所周知, Riccati方程(1.1)已具有三角函数和有理函数类型的显式精确解[6]. Riccati方程(1.1)的精确解对偏微分方程精确解的研究及Riccati函数展开法均具有探讨价值和意义[1-7]. 文献[7]提出了Riccati方程(1.1)的十二种类型的显式精确解.

Riccati方程(1.1)无法直接转化为可解的代数方程, 通常是很难解析求解的, 需要在数学方法上进行创新和探索解析求解的一些新方法及技巧. 在前人工作[5-6]和文献[7]的基础上, 利用直觉尝试各种观察试凑函数方法[8], 采用某些初等函数作为Riccati方程(1.1)解的试探函数, 如幂试探函数、三角试探函数、指数试探函数、双曲试探函数、有理试探函数等. 对解的形态及类型作预先判断和假设, 选取准确的试探函数形式, 应用数学软件REDUCE进行符号处理和求导运算, 将难于求解的非线性Riccati方程(1.1)转化为相对易于求解的非线性代数方程组. 最后通过求解所得的非线性代数方程组, 并且确定有关待定参数, 可简洁获得Riccati方程(1.1)的多种类型显式精确解析解. 如若假设三角有理函数

$ \varphi(\xi) = \frac{p_{1}\cos(\omega \xi)+p_{2}}{p_{3}\sin(\omega \xi)+p_{4}} $

是Riccati方程(1.1)的解, 其中$ p_{i}(i = 1, 2, 3, 4), \omega $是待确定的常数. 则将$ \varphi(\xi) $的表达式代入Riccati方程(1.1), 运用数学软件REDUCE编程计算, 去分母整理可得关于$ \cos^{2}(\omega \xi) $, $ \cos(\omega \xi) $, $ \sin (\omega \xi) $的代数方程

$ \begin{eqnarray*} &&\cos^{2}(\omega \xi)(p_{1}^{2}-bp_{3}^{2})+\cos(\omega \xi)p_{2}(\omega p_{3}+2p_{1}) \\ &&+\sin(\omega \xi)p_4(2bp_3+\omega p_1)+b(p_{3}^{2}+p_{4}^{2})+\omega p_{1}p_{3}+p_{2}^{2} = 0. \end{eqnarray*} $

若令$ \cos^{2}(\omega \xi) $, $ \cos(\omega \xi) $, $ \sin (\omega \xi) $的所有系数为零, 则进一步得到关于$ p_{i}(i = 1, 2, 3, 4), b, \omega $的非线性代数方程组

$ p_{1}^{2}-bp_{3}^{2} = 0, \ p_{2}(\omega p_{3}+2p_{1}) = 0, \ p_4(2bp_3+\omega p_1) = 0, \ b(p_{3}^{2}+p_{4}^{2})+ \omega p_{1}p_{3}+p_{2}^{2} = 0. $

再利用吴消元法可求得$ p_{i}(i = 1, 2, 3, 4) $, $ \omega $, 进而得到Riccati方程(1.1)的显式精确解. 为了行文简洁, 省略一一列举和详细求解过程, 仅将所有八种类型的新精确解结果列于表 1, 表 1中的显式精确解文献[1-7]中没有给出.

Tanh函数法[9]用于构造非线性偏微分方程的精确解, 数学原理简单, 应用范围广泛, 代数算法的基本思想是针对给定的非线性偏微分方程

$ \begin{equation} P(u, u_{t}, u_{x}, u_{tt}, u_{xx}, u_{xt}, \cdots) = 0, \end{equation} $

(2.1)

其中$ u = u(t, x) $是未知函数, $ P $是关于变元$ u, u_t, u_x, u_{tt}, u_{xx}, u_{xt}, \cdots $的多项式, 并且含有最高阶导数项和非线性项. 采用孤立波解可表示为双曲函数的多项式的特征, 假设方程(2.1)的解的表达式可写成

$ \begin{equation} u(t, x) = V(\xi) = \sum\limits_{i = 0}^{n}q_{i}(\tanh(\xi))^{i}, \ \xi = k(x-ct)+ \xi_{0}, \end{equation} $

(2.2)

其中$ \xi_{0} $为常数, $ k, c, q_0, \cdots, q_n $为待定参数, $ n $为正整数, 可通过平衡方程(2.1)中的非线性项和最高阶导数项而确定. 把表达式(2.2)代入方程(2.1), 并且令$ (\tanh(\xi))^{i}(i = 0, 1, \cdots, n) $的系数为零, 则可获得关于待定参数$ k, c, q_0, \cdots, q_n $的方程组, 求解此方程组可得到$ k, c, q_0, \cdots, q_n $, 代回方程(2.2), 可得到方程(2.1)的孤立波解.

广义Tanh函数法[6]的关键思想是充分利用Riccati方程(1.1)进行非线性反复迭代计算, 将$ \varphi $的所有导数转化成关于$ \varphi $的多项式函数, 将非线性偏微分方程的精确求解问题, 转化成非线性代数多项式方程组根的探究问题. 应用Riccati方程(1.1)的一个好处是参数$ b $的符号, 可用于判断所得行波解的数量和形状. 鉴于受Tanh函数法[9]和前人工作[1-7]的启发, 利用Riccati方程(1.1)及表 1中的精确解构造广义Tanh函数法, 算法的主要步骤和思想阐述如下：

第一步  作行波变换$ \xi = x-ct $, 其中$ c $为常数, 表示波速. 若假设方程(2.1)的行波解形如$ u(t, x) = U(\xi) $, 则方程(2.1)变形约化成关于$ U $的常微分方程

$ \begin{equation} P(U, -cU', U', c^{2}U'', U'', -cU'', \cdots) = 0. \end{equation} $

(2.3)

第二步  若可能, 可先对方程(2.3)两边关于变量$ \xi $同时积分一次或多次, 针对高阶微分方程则可降阶和减少计算量, 然后假设方程(2.3)的精确解的表达式可写成

$ \begin{equation} U(\xi) = q_{0}+q_{1}\varphi(\xi)+\cdots+q_{n}(\varphi(\xi))^{n}, \end{equation} $

(2.4)

其中$ \varphi = \varphi(\xi) $满足方程(1.1), 具体表达式可依据$ b $的符号从表 1中选取. 一般地, 借助于齐次平衡原理[10]及通过平衡方程(2.3)中最高阶导数项和非线性项, 可确定正整数$ n $, 而$ q_{i}(i = 0, 1, \cdots, n) $为待定实参数.

第三步  将$ U = U(\xi) $的表达式(2.4)代入方程(2.3), 采用数学软件REDUCE或MATLAB结合方程(1.1)反复计算整理之后, 令$ \varphi^{j}(j = 0, 1, \cdots) $的各项系数分别为零, 则可找到关于$ q_{i}(i = 0, 1, \cdots, n), b $和$ c $的非线性代数方程组.

第四步  利用吴消元法结合数学软件REDUCE或MATLAB计算, 把获得的参数$ q_{i}(i = 0, 1, \cdots, n) $和$ c $代入方程(2.4), 依据$ b $的符号从表 1中选取相应的函数表达式$ \varphi = \varphi(\xi) $, 进一步可找到方程(2.1)的行波解.

波Fitzhugh-Nagumo方程(3.1)可用于模拟遗传特性的散布、神经脉冲在神经轴突上的传播等[10-14].

$ \begin{equation} u_{t}-u_{xx} = u(1-u)(u-a), \end{equation} $

(3.1)

其中$ -1\leq a \leq 1 $, $ a $是与细胞膜性质相关的参数, 由细胞膜的电特性决定. 当$ a = 0 $时, 方程(3.1)变成Huxley方程, 当$ a = 1 $时, 方程(3.1)变成广义KPP方程, 当$ a = -1 $时, 方程(3.1) 变成Newell-Whitehead方程.

非线性波方程(3.1)的显式精确解, 特别是行波解和孤波解在研究非线性波现象中起着重要的作用, 近年来发展了许多有效的精确求解方法, 如Tanh函数法和齐次平衡法[6, 10]. 方程(3.1)的显式精确解与精确解法探讨一直受到学术领域诸多学者们的重视和研究[5-6, 11-14]. 为了探究和寻找方程(3.1)的显式行波解, 作变换

$ u(t, x) = U(\xi), \xi = x-ct, $

其中$ c $为常数, 表示波速. 于是方程(3.1)约化为常微分方程

$ \begin{equation} U''+cU'+U(1-U)(U-a) = 0. \end{equation} $

(3.2)

采用Riccati方程(1.1)和广义Tanh函数算法(2.4), 平衡方程(3.2)中$ U'' $与$ U^{3} $项, 可得到$ n = 1 $. 因此, 可假设方程(3.2)的解的表达式为

$ \begin{equation} U(\xi) = d_{0}+d_{1}\varphi(\xi), \end{equation} $

(3.3)

其中$ \varphi = \varphi(\xi) $满足Riccati方程(1.1), $ d_0, d_1 $是待定实参数. 把(3.3)式代入方程(3.2), 利用数学软件REDUCE计算, 整理得关于$ \varphi $的多项式函数方程

$ \begin{eqnarray*} &&\varphi^{3}d_{1}(2-d_{1}^{2})+\varphi^{2}d_{1}(ad_{1}-3d_{0}d_{1}+d_{1}+c) \\ &&+\varphi d_{1}(2ad_{0}-a-3d_{0}^{2}+2d_{0}+2b)+ad_{0}^{2}-ad_{0}-d_{0}^{3} +d_{0}^{2}+d_{1}bc = 0. \end{eqnarray*} $

分别令$ \varphi^{i}(i = 0, 1, 2, 3) $的系数为零, 得到关于$ d_{0}, d_{1}, b $和$ c $的非线性代数方程组

$ \begin{equation} d_{1} = \pm\sqrt{2}, \ c = \pm \sqrt{2}(3d_{0}-a-1), \ b = \frac{1}{2}a+\frac{3}{2}d_{0}^{2}-(a+1)d_{0}, \end{equation} $

(3.4)

$ \begin{equation} 8d_{0}^{3}-8(a+1)d_{0}^{2}+2(a^2+3a+1)d_{0}-a(a+1) = 0. \end{equation} $

(3.5)

先采用卡丹公式求出方程(3.5)的三个根$ d_{0} = \frac{1}{2}, \frac{a}{2} , \frac{a+1}{2} $, 进一步可获得方程组(3.4)和(3.5)的解分别为

$ d_{1} = \pm \sqrt{2}, \ d_{0} = \frac{1}{2}, \ c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1-2a), \ b = -\frac{1}{8}; $

$ d_{1} = \pm \sqrt{2}, \ d_{0} = \frac{a}{2}, \ c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(a-2), \ b = -\frac{a^{2}}{8}; $

$ d_{1} = \pm \sqrt{2}, \ d_{0} = \frac{a+1}{2}, \ c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(a+1), \ b = -\frac{(a-1)^2}{8}. $

鉴于找到的结果$ d_1 $, $ d_0 $和函数$ \varphi $是Riccati方程(1.1)的解, 依据$ b $的符号, 从表 1中选取Riccati方程(1.1)的解的表达式$ \varphi $, 再结合表达式(3.3), 可写出Fitzhugh-Nagumo方程(3.1)的许多显式行波解为

$ u(t, x) = \frac{1}{2}\pm \sqrt{2}\varphi(\xi), \ \xi = x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1-2a)t, \ b = -\frac{1}{8}; $

$ u(t, x) = \frac{a}{2}\pm \sqrt{2}\varphi(\xi), \ \xi = x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(a-2)t, \ b = -\frac{a^2}{8}; $

$ u(t, x) = \frac{a+1}{2}\pm \sqrt{2}\varphi(\xi), \ \xi = x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(a+1)t, \ b = -\frac{(a-1)^2}{8}. $

分别选取$ a = 0, 1, -1 $, 结合Fitzhugh-Nagumo方程的显式行波解表达式, 可分别写出Huxley方程、广义KPP方程及Newell-Whitehead方程的显式行波解, 主要部分结果分别列于表 2-4, 这些解文献[5-6, 11-14]均未给出.

给出了Riccati方程的八种类型的精确解, 结合广义Tanh函数法获得了Fitzhugh-Nagumo方程、Huxley方程、广义KPP方程及Newell-Whitehead方程的显式新行波解. 表 1中Riccati方程(1.1)的新精确解结合广义Tanh函数法，可用于求解其它非线性偏微分方程的新行波解. 如sine-Gordon方程$ u_{xt} = \sin u $, KdV-Burgers-Kuramoto方程$ u_{t}+uu_{x}+pu_{xx}+qu_{xxx}+ru_{xxxx} = 0, $ $ p, q, r $为常数. 如何找到Riccati方程(1.1)和Fitzhugh-Nagumo方程(3.1)的更多的新精确解, 以及当$ b>0 $时, 利用表 1中Riccati方程(1.1)的解给出Fitzhugh-Nagumo方程(3.1)的行波解, 都值得在今后的研究中进一步探索和深思.