考虑方程

$ \begin{equation} Ly: = -y^{\prime \prime }+q(x)y+\delta (x)\int_{0}^{1}\delta (x)ydx = \lambda y \end{equation} $

(1.1)

带有边值条件

$ \begin{equation} y^{\prime }(0) = y(1) = 0 \end{equation} $

(1.2)

其中$ q(x)\in L^{2}(0, 1) $, $ \delta (x) $是狄拉克函数. 这里算子$ L $是自伴的并且是Sturm-Liouville算子$ L_{0}y: = -y^{\prime \prime }+q(x)y $带有边值条件(1.2)的一个一维奇异扰动. 由文献[1]知, 算子$ L_{0} $在$ L^{2}(0, 1) $上是自伴的且下半有界, 它的谱由特征值组成.

本文的目的是通过运用Sturm-Liouville算子的逆谱理论(见文献[1]), 由算子$ L_{0} $及$ L $的谱重构(1.1)中的势函数$ q(x) $. 然而, 方程(1.1)的初值问题无法直接解出. 结合文献[2]中的方法, 我们研究的逆问题可以由Sturm-Liouville算子的逆谱理论有效地解决.

Sturm-Liouville算子的一维扰动的谱问题^[2-5]中已有所研究. 关于逆问题, 扰动项是属于$ L^{2}(0, 1) $中函数的算子已被考虑过, 例如文献[6, 7]. 由文献[2], 我们知道扰动项的函数可以为奇异函数. 我们的文章考虑的算子$ L_{0} $的扰动项是$ \delta(x) $. 通过运用文献[2]中的方法, 我们得到了算子$ L $的特征值函数, 这为我们之后考虑的逆问题提供了一个必要的准备. 关于其它的Sturm-Liouville算子的一维扰动的逆问题, 见文献[8, 9].

本文的主要结论是, 已知算子$ L_{0} $的谱为$ \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $, 如果一列实数列$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $满足一个交替性质及渐近式, 则存在势函数$ q(x) $使得算子$ L $的谱是$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $. 下一节我们将陈述这个主要结论及证明, 并且给出重构$ q(x) $的具体算法.

首先我们提及一些需要用到的预备知识, 参见文献[2, P8-10].

引入关于算子$ L_{0} $的如下的线性赋范空间$ H_{\pm 1}(L_{0}) $. 定义$ H_{+1}(L) $是$ D(L^{1/2}) $以

$ \begin{equation*} ||\varphi ||_{H_{+1}} = ||(L_{0}+1)^{1/2}\varphi ||_{L^{2}(0, 1)} \end{equation*} $

为范数的线性赋范空间, 易知, $ H_{+1}(L_{0}) $是完备的; $ H_{-1}(L) $是$ L^{2}(0, 1) $以

$ \begin{equation*} ||\varphi ||_{H_{-1}} = ||(L_{0}+1)^{-1/2}\varphi ||_{L^{2}(0, 1)} \end{equation*} $

为范数后完备化得到的线性赋范空间. $ H_{+1}(L_{0}) $和$ H_{-1}(L_{0}) $是对偶的, $ \phi $在$ H_{+1}(L_{0}) $中的对偶函数$ \eta $由$ l_{\phi}(\eta) = \int_{0}^{1}\phi(x)\eta(x)dx $给出.

由Sobolev估计我们得到, 对于任意函数$ y\in H_{+1}(L_{0}) $有

$ \begin{equation*} |y(0)|^{2}\leq c(y, (L_{0}+1)y), \end{equation*} $

即$ \delta (x)\in H_{-1}(L_{0}) $. 令$ b $是$ H_{+1}(L_{0}) $上的二次型, 定义如下

$ \begin{equation*} b(\eta _{1}, \eta _{2}) = \overline{\eta _{1}(0)}\eta _{2}(0). \end{equation*} $

我们便可得到由$ L_{0}+b $作为二次型且满足$ H_{\pm 1}(L) = H_{\pm 1}(L_{0}) $的自伴算子$ L $, 我们将算子$ L $记为(1.1)的形式.

如果$ \Delta $是$ \mathbb{R} $上的有界子区间, $ E_{\Delta }(L_{0}) $是$ H_{-1}(L_{0}) $到$ H_{+1}(L_{0}) $上$ L_{0} $. 的谱映射, 那么我们能定义一个如下的谱测度:

$ \begin{equation*} \mu _{L_{0}}(\Delta ) = (\delta , E_{\Delta }(L_{0})\delta ). \end{equation*} $

令

$ \begin{equation} F(z) = (\delta , (L_{0}-z)^{-1}\delta )\equiv \int \frac{d\mu _{L_{0}}(x)}{x-z}. \end{equation} $

(2.1)

在下面的引理中, 我们将给出算子$ L $的谱及特征值函数.

引理2.1  算子$ L $的谱由简单的实特征值$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $组成. 算子$ L $的特征值函数是

$ \begin{equation} \Delta(\lambda ) = \Delta_{0} (\lambda )(F(\lambda +i0)+1), \end{equation} $

(3.1)

其中$ \Delta_{0} (\lambda ) $是算子$ L_{0} $的特征值函数.

证  由(2.1)和[1, p15]知,

$ \begin{equation} F(z) = G(0, 0, z) \end{equation} $

(3.2)

其中$ G(x, y, z) $是$ L_{0} $的Green函数. 由[1, p15, p29], $ G(0, 0, z) $是算子$ L_{0} $的Weyl函数并且是有简单极点的亚纯函数, 其极点为$ z = \lambda _{n} $, $ n\geq 0 $. 对于$ \lambda \in \mathbb{R} \backslash \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $, 有

$ \begin{equation*} F(\lambda +i0) = F(\lambda ) \end{equation*} $

和

$ \begin{equation} \frac{dF(\lambda +i0)}{d\lambda } = \int \frac{d\mu (y)}{(\lambda -y)^{2}}% <\infty . \end{equation} $

(3.3)

值得注意的是$ L_{0} $的谱由简单的实特征值$ \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $组成. 再由^[2]中的定理I.6, 有

$ \begin{equation*} \mathrm{Im}F(\lambda +i0) = \left\{ \begin{array}{l} \infty , \lambda \in \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty }, \\ 0, \lambda \in %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion \backslash \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty }, % \end{array}% \right. \end{equation*} $

因此, 由(6)和^[2]中的定理II.2, $ L $的谱由实特征值$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $组成并且

$ \begin{equation} \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } = \{\lambda \in %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion |F(\lambda +i0)+1 = 0\}. \end{equation} $

(3.4)

(3.3)意味着$ F(\lambda +i0) $在$ \mathbb{R}\backslash \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $上是单调递增的. 再由文献[1, p29-30], 有

$ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda \rightarrow \lambda _{n}^{-}}F(\lambda +i0) = +\infty , \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda \rightarrow \lambda _{n}^{+}}F(\lambda +i0) = -\infty \end{equation} $

(3.6)

和

$ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda \rightarrow -\infty }F(\lambda +i0) = 0. \end{equation} $

(3.7)

因此, $ F(\lambda +i0)+1 $在$ (-\infty , \lambda _{0}) $上没有零点且在$ (\lambda _{n}, \lambda _{n+1}) $上恰有一个零点. 这就意味着

$ \begin{equation} \lambda _{n}<\mu _{n}<\lambda _{n+1}, \end{equation} $

(3.8)

即算子$ L $的特征值是简单的. 因此, 由(3.4), 要证明$ \Delta(\lambda ) $是算子的特征值函数即证明$ \Delta(\lambda ) = 0 $当且仅当$ F(\lambda +i0)+1 = 0 $.

易知, $ F(\lambda +i0)+1 = 0\Rightarrow \Delta% (\lambda ) = 0 $. 下面我们证明$ \Delta(\lambda ) = 0\Rightarrow F(\lambda +i0)+1 = 0 $. 假设$ \Delta(x_{0}) = 0 $, $ x_{0}\in %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion $. 如果$ F(x_{0}+i0)+1\neq 0 $, 则$ \Delta_{0} (x_{0}) = 0 $, 即, $ x_{0} = \lambda _{k}, k\geq 0 $. 由[1]中的定理1.1.2, $ \Delta_{0} (\lambda ) $的零点是简单的, 有

$ \begin{equation*} \dot{\Delta_{0}}(\lambda _{k})\neq 0. \end{equation*} $

其中$ \dot{\Delta_{0}} = \frac{d\Delta_{0} (\lambda )}{d\lambda } $. 由假设$ \Delta(x_{0}) = 0 $, 我们有

$ \begin{equation} \frac{\Delta(\lambda _{k})}{\dot{\Delta_{0}}(\lambda _{k})} = 0. \end{equation} $

(3.9)

由[1]中的定理1.4.6, $ \frac{\dot{\Delta_{0}}(\lambda _{k})}{% \Delta(\lambda _{k})} $是[1]中(1.1.17)定义的权数且不能是无穷, 这与(3.9)矛盾. 我们有$ F(x_{0}+i0)+1 = 0 $, 引理得证. 本文的主要结论如下:

定理2.2   令$ \{\lambda _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $是$ L_{0} $的谱. 一列实数列$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $成为算子$ L $的谱的充要条件是(3.8)和

$ \begin{equation} \sqrt{\mu _{n}} = (\frac{1}{2}+n)\pi +\frac{\int_{0}^{1}q(\tau )d\tau -2}{% 2n\pi }+\frac{\kappa _{n}}{n}, \kappa _{n}\in l_{2}. \end{equation} $

(3.10)

成立.

证  必要性  令$ s = \sqrt{\lambda } = \alpha +\beta i $并且$ \beta >0 $. 由引理2.1, 定义如(3.1)的$ \Delta(\lambda ) $是算子$ L $的特征值函数. 由(3.2)和文献[1]中的定理1.1.3, 我们得到如下$ \Delta (\lambda ) $渐近式

$ \begin{equation} \Delta(\lambda ) = \cos s-\frac{\sin s}{s}+\frac{1}{s}% \int_{0}^{1}q(\tau )\sin \{s(1-\tau )\}\cos s\tau d\tau +O(\frac{\exp (|\beta |)}{s^{2}}). \end{equation} $

(3.11)

由Rouche定理, 对于充分大的$ n $, 在$ \Gamma _{n}(\varepsilon ) = \{\rho :|\rho -(\frac{% \pi }{2}+n\pi )|\leq \varepsilon \} $中恰好存在$ \Delta(\lambda ) $的一个零点, 记为$ s_{n} = \sqrt{\mu _{n}} $. 因为$ \varepsilon >0 $是任意的, 有

$ \begin{equation} s_{n} = \frac{\pi }{2}+n\pi +\varepsilon _{n}, \rm{ }\varepsilon _{n} = o(1), n\rightarrow \infty . \end{equation} $

(3.12)

将(3.12)代入到(3.11)中得到

$ \begin{equation} (\frac{\pi }{2}+n\pi +\varepsilon _{n})\cos (\frac{\pi }{2}+n\pi +\varepsilon _{n})+(\frac{1}{2}\int_{0}^{1}q(\tau )d\tau -1)\sin (\frac{\pi }{2}+n\pi +\varepsilon _{n})+\kappa _{n} = 0, \kappa _{n}\in l_{2}. \end{equation} $

(3.13)

则$ \varepsilon _{n} = O(\frac{1}{n}) $. 再由(3.13), 我们得到

$ \begin{equation*} \varepsilon _{n} = \frac{\int_{0}^{1}q(\tau )d\tau -2}{2n\pi }+\frac{\kappa _{n}}{n}, \end{equation*} $

即(3.10)成立. 进一步用文献[1]中定理1.1.4的相同的方法, 得到

$ \begin{equation} \Delta(\lambda ) = \prod\limits_{n = 0}^{\infty }\frac{\mu _{n}}{(\frac{% \pi }{2}+n\pi )^{2}}(1-\frac{\lambda }{\mu _{n}}). \end{equation} $

(3.14)

充分性  由已知数列$ \{\lambda _{n}, \mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $, 我们构造如下函数$ w(\lambda ) $通过

$ \begin{equation*} w(\lambda ) = \frac{\Delta(\lambda )}{\Delta_{0} (\lambda )}, \end{equation*} $

其中$ \Delta(\lambda ) $由(3.14)得到并且

$ \begin{equation*} \Delta_{0} (\lambda ) = \prod\limits_{n = 0}^{\infty }\frac{\lambda _{n}}{(\frac{\pi }{2}+n\pi )^{2}}(1-\frac{\lambda }{\lambda _{n}}). \end{equation*} $

由(3.10)), 易知, 对于固定的$ \lambda $, $ \Delta(\lambda ) $收敛. 由文献[1]中的定理1.1.4, $ \Delta_{0} (\lambda ) $是算子$ L_{0} $的特征值函数. 由(3.8)和文献[10]中的定理2.1, 函数$ w(\lambda ) $是Herglotz函数. 由文献[10]中的Herglotz表示定理, $ w(\lambda ) $有如下表达式

$ \begin{equation*} w(\lambda ) = 1-\sum\limits_{n = 0}^{\infty }\frac{a_{n}}{\lambda -\lambda _{n}}, \end{equation*} $

并且$ a_{n} $可由如下公式计算得到

$ \begin{equation*} a_{n} = \frac{\Delta(\lambda _{n})}{\dot{\Delta_{0}}(\lambda _{n})}, \end{equation*} $

其中$ \dot{\Delta_{0}}(\lambda ) = \frac{d\Delta_{0} (\lambda )}{d\lambda } $.

由文献[1]中的定理1.5.2, 我们需要找到$ \frac{1}{a_{n}} $的渐近式. 由渐近式(3.10)和文献[1]中的定理1.5.2, 存在一个算子$ \tilde{L}_{0}y: = -y^{\prime \prime }+q_{0}(x)y $($ q_{0}(x)\in L^{2}(0, 1) $并且$ q_{0}(x) $不唯一. 带有边值条件$ y^{\prime }(0)+y(0) = y(1) = 0 $使得算子$ \tilde{L}_{0} $的谱是$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $, 则$ \Delta(\lambda ) $是算子$ \tilde{L}_{0} $的特征值函数. 再由文献[1]中的(1.1.15)和(1.1.29), 我们能得到

$ \begin{equation*} \Delta(\lambda _{n}) = (-1)^{n+1}+O(\frac{1}{n}). \end{equation*} $

由文献[1]中引理1.1.1, 有$ \dot{\Delta_{0}}(\lambda _{n}) = (-1)^{n+1}\frac{\pi }{2}+\frac{\kappa _{n1}}{n}% , \{\kappa _{n1}\}\in l_{2}. $因此, 我们得到$ \frac{1}{a_{n}} = \frac{\pi }{2}+\frac{\kappa _{n2}}{n}% , \{\kappa _{n2}\}\in l_{2} $. 由文献[1]中的定理1.5.2, 存在函数$ q(x)\in L_{2}(0, 1) $使得算子$ L $的谱是$ \{\mu _{n}\}_{n = 0}^{\infty } $. 充分性得证.