Kurzweil^[1]于1957年提出的广义常微分方程理论在处理常微分方程、脉冲微分方程、滞后型泛函微分方程及拓扑动力系统等问题时有重要作用, 已被许多作者进行深入广泛的研究, 并取得了一些新的成果^[2-4].以下区别于文献[5], 没有利用常数变易公式而利用Kurzweil-Stieltjes积分理论和正则函数的性质, 讨论了无限滞后脉冲测度泛函微分方程

$ \left\{ \begin{array}{ll} Dy=\mathcal{G}(y_{s}, s)D\mu+f(t)D\mu, ~\\ \Delta y(t_{k})=I_{k}(y(t_{k})), ~~~k=1, 2, \cdots, n, \\ y_{t_{0}}=\varphi \end{array} \right. $

(1)

解对参数的连续依赖性, 所得结果是对文献[5-6]已有结果的推广.

方程(1)等价于积分方程

$ \left\{\begin{array}{ll} y(t)=\varphi+\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}\mathcal{G}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu(s)+\int_{t_{0}}^{t}f(s)\mathrm{d}\mu(s)+\sum\limits_{k=1}^{n}I_{k}(y(t_{k})), \\ y_{t_{0}}=\varphi, \end{array} \right. $

(2)

其中$\mathcal{G}:O\times[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}$关于第一个变量是线性的, $f:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}.$符号$y_{t}:(-\infty, 0]\rightarrow\mathrm{R}^{n}, y_{t}(\tau)=y(t+\phi), \phi\in(-\infty, 0]$表示滞后的长度, $\lambda_{0}\in R, \rho>0, \Lambda=\{\lambda_{0}\in R:\|\lambda-\lambda_{0}\|<\rho\}.$为了证明主要的结果, 先引入相关的定义和引理及一些符号的说明.

$L(\bf{R}^{n})$表示由所有$n\times n$阶实矩阵构成的集合, $J\subset R$是一个有限或无限的区间, $\|\cdot\|$表示$L(\bf{R}^{n})$上的算子范数.对区间$[a, b]$的任何精细分划P, 使得$a=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{i+1}=b$, 若$\mathrm{var}_{a}^{b}A=\sup\{\sum\limits_{i=1}^{n(P)}\|A(s_{i})-A(s_{i-1})\|_{X}\}<\infty$, 则函数A(t)在$[a, b]$上是有界变差的, $BV([a, b], L(\bf{R}^{n}))$表示所有有界变差函数构成的全体. $G^{\ast}([a, b], L(\bf{R}^{n}))$表示所有正则函数$A(t):[a, b]\rightarrow L(\bf{R}^{n})$的全体.

设$O\subset G^{\ast}((-\infty, t_{0}+\sigma], \mathrm{R}^n)$是一个开集且具有以下性质(延拓性质):如果$y=y(t), $ $t\in[t_0, t_{0}+\sigma]$及$\bar{t}\in[t_0, t_{0}+\sigma], $那么$\bar{y}(t)\in O$且

$ {\bar{y}(t)}=\left\{ \begin{array}{ll} y(t), ~~~~t \in [~t_{0}, \bar{t}~], \\ y(\bar{t}+), ~~~~~t\in (~\bar{t}, t_{0}+\sigma]. \end{array} \right. $

显然, 当$y\in O\subset G^{\ast}((-\infty, t_{0}+\sigma], \mathrm{R}^n)$时, 对任意的$t\in[t_0, t_{0}+\sigma]$都有$x_{t}\in G^{\ast}([-r, 0], \mathrm{R}^n)$.

定义2.1 设$G:\Omega \rightarrow \bf{R}^{n}$, $\Omega\subseteq O\times[t_0, t_0+\sigma].$称函数$x:[\alpha, \beta]\rightarrow\bf{R}^{n}$为Kurzweil广义常微分方程

$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}=DG(x, t) $

(3)

在区间$[\alpha, \beta]$上的一个解是指对所有的$t\in[\alpha, \beta], (x(t), t)\in G, $有

$ x(s_2)-x(s_1)=\int_{s_1}^{s_2}DG(x(\tau), t), ~~s_1, s_2\in[\alpha, \beta] $

(4)

成立, 其中右端积分是函数$U(\tau, t)=G(x(\tau), t)$在$[s_1, s_2]$上的Kurzweil积分.当(3)式中的$G(x, t)=A(t)x+g(t)$时, 称为Kurzweil广义线性常微分

$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}=D[A(t)x+g(t)]. $

(5)

用更为传统的符号$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm{d}[A(\tau)]x(\tau)$来代替$\displaystyle\int_{a}^{b}D[A(t)x(\tau)], $其中$A:[a, b]\rightarrow L(\bf{R}^{n})$为$[a, b]$上的$n\times n$矩阵值函数, $g:[a, b]\rightarrow\bf{R}^{n}$上的$n$维列向量函数, 且$A, g$在$[a, b]$上是有界变差的.将(5)式简记为

$ \mathrm{d}x=\mathrm{d}[A]x+\mathrm{d}g. $

(6)

引理2.2^[2]设$A\in BV([a, b], L(\mathrm{R}^{n})), ~g\in G^{\ast}([a, b], \mathrm{R}^{n})$, 称$x:[a, b]\rightarrow \mathrm{R}^{n}$为广义线性微分方程

$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\mathrm{d}[A(t)x(t)+g(t)] $

(7)

满足初始条件$x(t_{0})=x_{0}\in X$在区间$[a, b]$上的解, 是指对任意的$t\in[a, b], $有

$ x(t)=x_{0}+\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A(t)]x+g(t)-g(t_{0}) $

(8)

且$x\in G^{\ast}([a, b], \mathrm{R}^{n}).$

引理2.3^[5]若$g, g_{n}\in G^{\ast}([a, b], \mathrm{R}^{n}), A, A_{k}\in BV([a, b], L(\mathrm{R}^{n})), $对每个$k\in N$且

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|g_{k}-g\|_{\infty}=0, $

(9)

$ \begin{array}{l} \alpha^{\ast}=\sup\{\mathrm{var}_{a}^{b}A_{k}:k\in N\}<\infty, \\ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|A_{k}-A\|_{\infty}=0, \end{array} $

(10)

则有

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}]g_{k}-\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A]g\Big\|_{\infty}=0. $

(11)

证 因为正则函数是有限阶梯函数的一致极限, 所以对任意的$\varepsilon>0, $存在有限阶梯函数$\tilde{g}:[a, b]\rightarrow\mathrm{R}^{n}$及$n_{0}\in N, $使得$\parallel g-\tilde{g}\parallel_{\infty}<\varepsilon$及对任意的$k\geq n_{0}, $有$\parallel g_{k}-\tilde{g}\parallel_{\infty}<\varepsilon, \\ \parallel A_{k}-A\parallel_{\infty}<\varepsilon.$由文献[3, 命题10]及文献[7, 引理3.1], 对$t\in[a, b], k\geq n_{0}, $则有

$ \begin{align*} \Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}]g_{k}-\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A]g\Big\|_{\infty}&=\Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}](g _{k}-\tilde{g})+\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}-A]\tilde{g}+\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A](\tilde{g}-g)\Big\|_{\infty}\\ &\leq\Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}](g _{k}-\tilde{g})\Big\|_{\infty}+\Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A_{k}-A]\tilde{g}\Big\|_{\infty} +\Big\|\int_{a}^{t}\mathrm{d}[A](\tilde{g}-g)\Big\|_{\infty}\\ &\leq(2\alpha^{\ast}+2\parallel\tilde{g}\parallel_{BV}+\mathrm{var}_{a}^{b}A)\cdot\varepsilon \end{align*} $

由$\varepsilon$的任意性可得(11)式成立.

下面主要介绍无限滞后脉冲测度微分方程

$ \left\{\begin{array}{ll} y_{k}(t)=y_{k}(t_{0})+\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}\mathcal{G}_{k}((y_{k})_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)+\int^{t}_{t_{0}}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)+\sum\limits_{k=1}^{n}I_{k}^{p}(y(t_{k})), \\ (y_{k})_{t_{0}}=\varphi_{k} \end{array} \right. $

(12)

解对参数的连续依赖性.其中$\mu_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}$是不减的, $\mathcal{G}_{k}:O\times[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}$关于第一个变量是线性的, $f_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}$且$\varphi_{k}\in O.$对$p=1, 2, \cdots$及$y\in S$, 定义如下函数

$ \text{(i)}~~ {F_{k}(y, t)}(v)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, ~~~~~~-\infty<v\leq t_0, \\ \displaystyle\int_{t_0}^{v}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s), ~~~t_0\leq v\leq t \leq t_0+\sigma, \\ \displaystyle\int_{t_0}^{t}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s), ~~~t_0\leq t\leq v\leq t_0+\sigma, \end{array} \right. $

(13)

$ \text{(ii)}~~ {(g_{k}(t))}(v)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, ~~~~~~-\infty< v\leq t_0, \\ \displaystyle\int_{t_0}^{v}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s), ~~~t_0\leq v\leq t \leq t_0+\sigma, \\ \displaystyle\int_{t_0}^{t}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s), ~~~t_0\leq t\leq v\leq t_0+\sigma. \end{array}~~~~~~~ \right. $

(14)

给定一个$t_{k}^{c}\in[t_{0}, \infty)$, 定义

$ ~~~{\int_{k}^{c}(t)}=\left\{ \begin{array}{ll} 0, ~~~t_{0}\leq t\leq t_{k}^{c}, \\ 1, ~~~~t_{k}^{c}<t. \end{array} \right. $

则方程(2)中的脉冲项可定义为

$ \text{(iii)}~~ {J_{k}(y, t)}(v)=\sum\limits_{k=1}^{n}\int_{k}^{c}(t)\int_{k}^{c}(v)I_{k}^{p}(y(t_{k})). $

(15)

方程(12)右端的积分是关于不减函数$\mu_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow \mathrm{R}$的Kurzweil-Stieltjes积分, 而且$\mathcal{G}_{k}, f_{k}, I_{k}^{p}:\mathrm{R}^{n}\rightarrow\mathrm{R}^{n}$需满足以下条件

$(\mathrm{H_{1}})$对任意的$y\in O, ~t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]$, 使得$\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}\mathcal{G}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)$存在, $k\in N$;

$(\mathrm{H_{2}})$对任意的$y, z\in O$, $s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, t_{0}+\sigma], $存在一个函数$M_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{+}$关于$\mu_{k}$是Kurzweil-Stieltjes积分, 使得

$ \Big|\Big|\int^{s_{2}}_{s_{1}}(\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)-\mathcal{G}_{k}(z_{s}, s))\mathrm{d}\mu_{k}(s)\Big|\Big| \leq \int^{s_{2}}_{s_{1}}M_{k}(t)\|y_{s}-z_{s}\|_{\infty}\mathrm{d}\mu_{k}(s); $

$(\mathrm{H_{3}})$对任意的$k\in N$, 积分$\displaystyle\int^{s_{2}}_{s_{1}}f_{k}(s)d\mu_{k}(s)$存在;

$(\mathrm{H_{4}})$对任意的$k\in N, $存在一个函数$N_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{+}$关于$\mu_{k}$是Kurzweil-Stieltjes积分, 使得

$ \Big|\Big| \int^{s_{2}}_{s_{1}}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)\Big|\Big|\leq \int^{s_{2}}_{s_{1}}N_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s); $

$(\mathrm{H_{5}})$对任意的$k\in\{1, 2, \cdots, m\}, p=0, 1, \cdots, x\in\mathrm{R}^n, Q_{1}>0, $有

$ \|I_{k}^{p}(x)\|\leq Q_{1}; $

$(\mathrm{H_{6}})$对任意的$k\in\{1, 2, \cdots, m\}, x, y\in\mathrm{R}^n, Q_{2}>0, $有

$ \|I_{k}^{p}(x)-I_{k}^{p}(y)\|\leq Q_{2}|x-y|. $

定理3.1 对任意的$k\in N, ~p=0, 1, \cdots, $定义$A_{k}(t)y=F_{k}(y, t)+J_{k}(y, t).$假设$\mu_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow \mathrm{R}$是不减的左连续函数, $\mathcal{G}_{k}, f_{k}, I_{k}^{p}$满足条件(H$_{1}$)-(H$_{6})$, 且满足以下条件

(1) 对任意的$y\in O, $ $\lim \limits_{k\rightarrow\infty}\sup\limits_{t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\Big\|\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)-\int^{t}_{t_{0}}\mathcal{G}_{0}(z_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{0}(s)\Big\|=0.$

(2) $\lim \limits_{k\rightarrow\infty}\sup\limits_{t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\Big\|\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)-\int^{t}_{t_{0}}f_{0}(s)\mathrm{d}\mu_{0}(s)\Big\|=0.$

(3) 存在一个常数$\eta>0, $使得$\displaystyle\int^{t}_{t_{0}}M_{k}(t)\mathrm{d}\mu_{k}(s)\leq\eta, $对$k\in N.$

(4) 对任意的$x\in\mathrm{R}^n, k=1, 2, \cdots, m, $使得$\lim\limits_{p\rightarrow\infty}I_{k}^{p}(x)=I_{k}^{0}(x).$

若$y_{k}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}, k=1, 2, \cdots$是方程(12)在$[t_{0}, t_{0}+\sigma]$上的一个解, 使得

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}y_{k}(s)=y_{0}(s). $

(16)

则$y_{0}:[t_{0}, t_{0}+\sigma]\rightarrow\mathrm{R}^{n}$是方程

$ \left\{ \begin{array}{ll} Dy=\mathcal{G}_{0}(y_{s}, s)D\mu(s)+f_{0}(t)D\mu(s), \\ \Delta y(t_{k})=I_{0}(y(t_{k})), ~~~k=1, 2, \cdots, m, \\ y_{t_{0}}=\varphi_{0} \end{array} \right. $

(17)

的一个解.

证 因$A_{k}(t)y=F_{k}(y, t)+J_{k}(y, t), $其中$F_{k}, J_{k}, g_{k}$分别由(13), (15), (14)式给出, $k\in N.$由文献[8, 定理3.2]知, $A_{k}, g_{k}$是正则且左连续函数.对区间$[t_{0}, t_{0}+\sigma]$的任意分划$t_{0}=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{k}=t_{0}+\sigma, $对$y\in G^{\ast}((-\infty, t_{0}], L(\mathrm{R}^{n})), $有

$ \begin{align*} \|A_{k}(t)y\|_{\infty}&\leq\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}|F_{k}(y, t)(v)|+\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}|J_{k}(y, t)(v)|\\ &\leq\sup\limits_{v\in[t_{0}, t]}\bigg\|\int_{t_{0}}^{v}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)\bigg\|+I_{k}^{p}(y(t_{k}))\int_{t_{k}}(v)\mathrm{var}_{t_{0}}^{t}(y)\\ &\leq\|y\|_{\infty}\int_{t_{0}}^{t}M_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)+Q_{1}\|y\|_{\infty}, \end{align*} $

则由函数$\mathcal{G}$的线性知, $A_{k}(t)\in L(\mathrm{R}^{n})$.即对$t_{0}\leq s_{i-1}<s_{i}\leq t_{0}+\sigma$及$y\in G^{\ast}((-\infty, t_{0}+\sigma], L(\mathrm{R}^{n}))$, 由条件(H$_{2})$, 有

$ \begin{align*} \|[A_{k}(s_{2})-A_{k}(s_{1})]y\|_{\infty}&\leq\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\parallel([A_{k}(s_{2})-A_{k}(s_{1})]y)(v)\parallel\\ &\leq\sup\limits_{v\in[s_{i-1}, s_{i}]}\Big\|\int_{s_{i-1}}^{v}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)\Big\|+I_{k}^{p}(y(t_{k}))\int_{t_{k}}(v)\mathrm{var}_{t_{0}}^{t}(y)\\ &\leq\|y\|_{\infty}\int_{s_{i-1}}^{s_{i}}M_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)+Q_{1}\|y\|_{\infty}. \end{align*} $

因此

$ \|A_{k}(s_{i})-A_{k}(s_{i-1})\|_{\infty}\leq\int_{s_{i-1}}^{s_{i}} M_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)+Q_{1}\leq\eta+Q_{1}. $

对任何$i=1, 2, \cdots, n$, 又有

$ \sum\limits_{i=1}^{n}\|A(s_{i})-A(s_{i-1})\|\leq\eta+Q_{1}. $

在上式右端对$[t_{0}, t_{0}+\sigma]$的所有分划取上确界得$\mathrm{var}_{a}^{b}A\leq\gamma, $其中$\gamma=\eta+Q_{1}.$对$t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma], $设

$ {x_{k}(t)}(\vartheta)=\left\{ \begin{array}{ll} y_{k}(\vartheta), ~~~~\vartheta\in [t_{0}-r, t], \\ y_{k}(t), ~~~~~\vartheta\in [t, t_0+\sigma], \end{array} \right. $

$k=1, 2, \cdots$且

$ {x_{0}(t)}(\vartheta)=\left\{ \begin{array}{ll} y_{0}(\vartheta), ~~~~\vartheta\in [t_{0}-r, t], \\ y_{0}(t), ~~~~~\vartheta\in [t, t_0+\sigma]. \end{array} \right. $

则对$k\in N, $由引理2.2知$x_{k}:[t_{0}, t_0+\sigma]\rightarrow O$是方程(8)的一个解.

对$y\in O, $由$A_{k}(t)y, ~~k\in N$的定义有

$ \begin{align*} \parallel A_{k}(t)y-A_{0}(t)y \parallel_{\infty} \leq&\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\parallel[A_{k}(t)y-A_{0}(t)y](v)\parallel\\ \leq&\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\bigg\|\int^{v}_{t_{0}}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)-\int^{v}_{t_{0}}\mathcal{G}_{0}(z_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{0}(s)\bigg\|\\ &+\int_{t_{k}}(v)\big\|I_{k}^{p}(y)-I_{k}^{0}(y)\big\|. \end{align*} $

对任意的$t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma].$因此

$ \begin{align*} \sup\limits_{t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\parallel A_{k}(t)y-A_{0}(t)y \parallel_{\infty} \leq&\sup\limits_{v\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\bigg\|\int^{v}_{t_{0}}\mathcal{G}_{k}(y_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)-\int^{v}_{t_{0}}\mathcal{G}_{0}(z_{s}, s)\mathrm{d}\mu_{0}(s)\bigg\|\\ &+\int_{t_{k}}(v)\big\|I_{k}^{p}(y)-I_{k}^{0}(y)\big\|. \end{align*} $

故

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sup\limits_{t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\parallel A_{k}(t)y-A_{0}(t)y \parallel_{\infty}=0, ~~y\in O. $

类似地, 有

$ \|g_{k}(t)-g_{0}(t)\|_{\infty}\leq\sup\limits_{t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma]}\bigg\|\int^{v}_{t_{0}}f_{k}(s)\mathrm{d}\mu_{k}(s)-\int^{v}_{t_{0}}f_{0}(s)\mathrm{d}\mu_{0}(s)\bigg\|, ~~t\in[t_{0}, t_{0}+\sigma], $

且$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|g_{k}-g_{0}\|_{\infty}=0$成立.

由(16)式很容易证明$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|x_{k}-x_{0}\|_{\infty}=0.$由文献[6, 定理19, 定理20], 对$k\in N, $函数

$ {y_{k}}(\vartheta)=\left\{ \begin{array}{ll} x_{k}(t_{0})(\vartheta), ~~~~\vartheta\in [t_{0}-r, t_{0}], \\ x_{k}(\vartheta)(\vartheta), ~~~~~\vartheta\in [t_{0}, t_0+\sigma] \end{array} \right. $

是方程(12)的解, 且

$ \begin{align*} \parallel y_{k}(t)-y_{0}(t)\parallel&=\parallel x_{k}(t)(t)-x_{0}(t)(t)\parallel\\ &\leq\parallel x_{k}(t)-x_{0}(t)\parallel_{\infty}\\ &\leq\sup\limits_{\vartheta\in[t_{0}, t_0+\sigma]}\| x_{k}(\vartheta)-x_{0}(\vartheta)\|_{\infty}. \end{align*} $

故

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}y_{k}(s)=y_{0}(s). $

即$y_{0}$为方程(17)的解, 从而定理得证.

注 定理3.1主要是对无限滞后脉冲测度微分方程解对参数的连续依赖性结果的证明, 其结果是文^[5-6]中相应结果的推广.当然, 我们也可借助$\Phi$-有界变差函数理论与Kurzweil方程理论建立方程(2)的$\Phi$-有界变差解对参数的连续依赖性定理.