用$\Delta=\{z: |z|<1\}$表示全平面$\mathbb{C}$上的单位圆盘, 用$S^1=\{z\in \mathbb{C}: |z|=1 \}$表示单位圆周.如果单位圆$\Delta$内一个复值函数$f$满足
称它是调和的, 这里偏导数$\frac{\partial}{\partial{z}}$与$\frac{\partial}{\partial{\overline{z}}}$定义为
单位圆$\Delta$内的调和映射$f$具有标准的分解$f=h+\overline{g}$, 其中$h$和$g$在$\Delta$内解析且$g(0)=0$.通过Lewy定理(见文献[1, 2]), 知道$f$是局部单叶的当且仅当$f$的雅可比行列式$J_{f}=|h'|^{2}-|g'|^{2}$在单位圆$\Delta$内不为零.因此, 如果$f$在单位圆内是局部单叶的, 则或者$J_{f}>0$, 或者$J_{f}<0$.如果雅可比行列式$J_{f}>0$, 称$f$是保向的; 如果$J_{f}<0$, 则称其是反向的.对于一个保向的局部单叶调和映射$f$, $\omega_f=\frac{g'}{h'}$是单位圆内的一个解析函数且$|\omega_f|<1$, 称之为$f$的第二复伸缩商.
设$f$是区域$\Omega$上一个保向同胚, $k$是一个实数且$0\le k<1$, 如果$f$在$\Omega$内的水平和垂直线上是绝对连续的, 且满足下列方程
则称$f$是$\Omega$内的一个$k$-拟共形映射, 其中$\mu(z)$被称为$f$复伸缩商且$\| \mu\|_{\infty} \le k<1$. $0$-拟共形映射是共形映射. $f$的第二复伸缩商定义为$\omega_f=\overline{f_{\bar{z}}}/f_{z}$.注意到$|\omega_f|=|\mu_f|$, 所以$f$是拟共形映射当且仅当$|\omega_f|\le k<1$ (见文献[3, 4]).
设$\varphi$是$\Delta$内的局部单叶解析函数, 它的pre-Schwarian导数$P_{\varphi}$和Schwarian导数$S_{\varphi}$定义为
Nehari在文献[5]中证明如果$\Delta$内的局部单叶解析函数$\varphi$满足
则$\varphi$在$\Delta$内单叶.后来, Ahlfors和Weil在文献[6]中将这一结果推广, 他们证明如果局部单叶解析函数$\varphi$满足
这里$0\le t<1$, 则$\varphi$在$\Delta$内单叶且可以$t$-拟共形延拓至全平面$\mathbb{C}$.
利用pre-Schwarzian导数, Becker在文献[7]中证明如果单位圆内的局部单叶解析函数$\varphi$满足
那么$\varphi$在$\Delta$内单叶且可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$. Ahlfors在文献[8]中具体构造这样一个拟共形映射.
Hernández和Martin在文献[9]和[10]中将这些结果推广至调和映射.为了陈述他们的结果, 首先叙述一些定义和记号.
设$f$是单位圆$\Delta$内一个局部单叶调和映射, 具有标准分解$f=h+\overline{g}$, 它的pre-Schwarzian导数$P_{f}^{H}$定义为
这里$\omega$是$f$的第二复伸缩商.它的Schwarzian导数$S_{f}^{H}$定义为
见文献[11].容易看出, 如果$f$是解析函数, 则$\omega=0$, 所以$P_{f}^{H}$和$S_{f}^{H}$的定义与(1.1)的定义是一致的(见文献[11]).
Hernández和Martin在文献[9]中证明下列结果
定理HM1 (见文献[9]) 设$f=h+\overline{g}$是单位圆内的一个保向局部单叶调和映射且$\|\omega\|_{\infty}<1$.如果对所有的$z\in \Delta$,
其中$k$满足
则$f$在$\Delta$内单叶且可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$.
借助于$f$的Schwarzian导数, 他们在文献[10]中也得到如下结果.
定理HM2 (见文献[10]) 设$f=h+\overline{g}$是单位圆内的一个保向局部单叶调和映射且$\|\omega\|_{\infty}<1$.则存在常数$\delta_0>0$, 使得若对所有的$z\in \Delta$,
则$f$是单叶的并且可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$, 这里$0\le t<1$.
称一个单连通区域$\Omega$是一个拟圆, 如果存在全平面$\mathbb{C}$到自身的拟共形映射, 使得$\Omega$是单位圆在这个映射下的像.郭辉引入可积Teichmüller空间并且证明了下列结果
定理G (见文献[12])设$2\le p$, ${\varphi}$是单位圆$\Delta$到拟圆$\Omega$的共形映射.则下列陈述等价
A1 $\iint_{\Delta} |P_{\varphi}(z)|^p(1-|z|^2)^{p-2}dxdy <\infty;$
A2 $\iint_{\Delta} |S_{\varphi}(z)|^p(1-|z|^2)^{2p-2}dxdy <\infty;$
A3 共形映射${\varphi}$可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$使得它的复伸缩商$\mu$满足
这里指出, 当$p=2$时, 所对应的Teichmüller空间由崔贵珍在文献[13]中引进, 这一空间被称为Weil-Petersson Teichmüller空间, 它在数学和物理中都有重要应用.关于可积Teichmüller空间的更多结果, 请参见文献[14-17].
自然的问题是, 对于调和映射, 是否也有对应于定理G的结果?在文献[18]中, 作者证明了以下定理.
定理TF 设$f=h+\overline{g}$是单位圆内的一个保向局部单叶调和映射, 满足(1.7)式, 其中$k$满足(1.8)式, 且
如果
则调和映射$f$在单位圆内单叶且可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$使得它的复伸缩商$\mu$满足
本文进一步研究这一问题, 主要结果如下
定理1 设$2\le p$, $f=h+\overline{g}$是单位圆内的一个保向局部单叶调和映射, 满足(1.7)式, 其中$k$满足(1.8)式, 且
则下列陈述等价
B1 $\iint_{\Delta} |P^H_{f}(z)|^p(1-|z|^2)^{p-2}dxdy <\infty;$
B2 $\iint_{\Delta} |S^H_{f}(z)|^p(1-|z|^2)^{2p-2}dxdy <\infty.$
此外, 如果条件$\textbf{B1}$或者$\textbf{B2}$满足, 则调和映射$f$在单位圆内单叶且可以拟共形延拓至整个复平面$\mathbb{C}$使得它的复伸缩商$\mu$满足
不知道定理1的第二个论断的反向是否成立.由定理G知道, 当$f$是共形映射时, 反向是成立的.
本节将证明定理1.
首先证明$\bf {B1} \Leftrightarrow \bf {B2}$.因为$f=h+\overline{g}$是单位圆内的一个保向局部单叶调和映射, 满足(1.7)式, 其中$k$满足(1.8)式, 由文献[9]中的定理2可知$f$可以单叶的延拓至$\bar{\Delta}=\{z\in \mathbb{C}: |z|\le 1 \}$, 记其为$f^*$, 并且函数$h$是共形映射.所以由共形映射理论, 有
(见文献[2, 19]).根据调和映射的Schwarzian导数的定义, 有
因为$f$满足(1.7)式, 所以
其中$k$满足(1.8)式.于是由(2.2)式和(2.3)式, 推出
注意到$\omega$是单位圆$\Delta$到自身的解析映射, 由文献[20]中的结果可知存在常数$C>0$, 使得
由此可以推出
注意到$\|\omega\|_{\infty}<1$, 由(2.3)式也可以推出
所以如果$\bf {S2}$成立, 则由(1.12), (2.2), (2.4), (2.6)以及(2.7)式, 可以推出
又因为$h$是共形映射, 由定理G, 知道(2.8)式等价于
根据pre-Schwarzian导数的定义可知
由(2.9)和(1.12)式, 推出
反之, 假定$\bf {S1}$成立.由定义得到
由(1.12), (2.11)和(2.3)式, 推出(2.9)式成立.又根据定理G, 有(2.8)式成立.所以再次由$f$的Schwarzian导数的定义, 得到
于是由(2.4), (2.6), (2.7)和(2.8)式, 得到
因此完成了$\bf {S1} \Leftrightarrow \bf {S2}$的证明.
接下来证明定理1的第二部分.不妨假定$\bf {S1}$成立.则由文献[9]的定理2, 知道$f$在$\Delta$内单叶且可以由下列公式拟共形延拓至整个复平面
其中
现在证明拟共形映射$F$的复伸缩商$\mu_F$满足要求.事实上, 如果$|w|<1$, 则有$|\mu_F(w)|=|\omega(w)|$.所以由条件(1.12), 得到
现在假定$|w|>1$, 令$z=\frac{1}{\bar{w}}$.通过直接的计算, 得到
所以有
通过直接的计算, 也得到
注意到$\|\omega\|_{\infty}<1$, 推出
所以由(2.14)和(2.15)式, 通过变量替换$z=\frac{1}{\bar{w}}$, 得到
定理1证毕.