设$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$是一概率空间, $(X, {\mathcal{A}})$和$(\Theta, {\mathcal{B}})$均为任意的可测空间, ${\vec \xi}=\{\xi_n:n\geq0\}$和${\vec X}=\{X_n:n\geq0\}$分别是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$\Theta$和$X$的随机序列, $\{P(\theta):\theta\in\Theta\}$是$(X, {\mathcal{A}})$上的一族转移函数, 且假设对任意的$A\in {\cal A}, ~P(\cdot~\!;~\!\!\!\cdot~\!\!\!, A)$是${\mathcal{B}}\times {\cal A}$可测的, $\{K(\cdot~\!, ~\!\cdot)\}$是$(\Theta, {\mathcal{B}})$上的转移函数, 且假设对任意$B\in\mathcal{B}, ~K(\cdot, B)$是关于$\mathcal{B}$可测的.对任意序列${\vec\eta}=\{\eta_n:n\geq0\}$, 记${\vec{\eta}}_k^{~\!r}=\{\eta_n:k\le n\le r\}, ~0\le k\le r\le\infty.$设$\Xi=\displaystyle\prod_{j=0}^{\infty} {\Theta}_j, ~{\vec{\mathcal{B}}}= \displaystyle\prod_{j=0}^{\infty}{\mathcal{B}}_j$, 这里${\Theta}_j=\Theta, ~{\mathcal{B}}_j ={\mathcal{B}}, ~j\geq0.$

如果对任意$A\in{\mathcal{A}}, ~n\ge 0$, 有

$ \begin{eqnarray}\label{e1} P(X_0 \in A~\!|~\!\vec {\xi})=P(X_0 \in A~\!|~\!\xi_0), ~~~~P(X_{n+1} \in A~\!|~\!{\vec{X}_0^n}, {\vec{\xi}})=P(\xi_n ; X_n, A), \end{eqnarray} $

(1.1)

则称$\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链, 称$\vec {\xi}$为随机环境序列.若$\vec {\xi}$是一马氏序列, 则称$\vec X$为马氏环境$\vec {\xi}$中的马氏链.

本文假设$\vec {\xi}$是一步转移概率为$K(\theta, B)$的马氏链, 对任意的$E\in{\mathcal{A}}\times {\cal B}$, 记$P^n(E)=P((X_n, \xi_n)\in E)$.约定:文中出现的$C$总表示正常数, 它在不同的地方可以代表不同的值.集合$A$的示性函数记为$I_A$.

20世纪80年代初, Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论, 取得了一系列深刻的结果^[1-3]. Orey^[4]在Cogburn等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行了深入的研究, 并提出了一系列的问题, 引起了众多概率论学者的广泛关注, 使得随机环境中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域进行了深入的研究^[5-9].目前, 随机环境中马氏链的强大数定律这方面研究的相关文献比较多^[10-13], 如由李应求(2003)首先提出具有离散参量的马氏环境中马氏链函数的强大数定律, 并且给出了直接加于链和过程样本函数上的充分条件.随后, 郭明乐(2004)同样也研究了随机环境中马氏链的强大数定律.近年来, 不同于李应求和郭明乐等人所研究的, 吴艳蕾等人(2011)和宋明珠等人(2016)又分别研究了随机环境中马氏链的强大数定律成立的一系列充分条件.大家知道, 极限定理一直是经典马氏链理论研究中的热门课题, 取得的结果已十分深入.鉴于此, 本文研究了随机环境中马氏链函数的极限性质, 给出了随机环境中马氏链函数强大数定律成立的一系列充分条件.本文结构安排如下:首先, 本文定理1给出了马氏序列的强大数定律成立的两个充分条件且得到了之前学者的相似结论; 然后, 在定理1的基础上对偶函数列$g_{n}(x)$取适合的函数, 即可得到之前学者的一系列充分条件, 故此充分条件较已有结论相对弱一些, 从而推广了之前学者的一系列充分条件; 最后, 利用本文所给出的充分条件重新给出了随机环境中马氏链函数强大数定律成立的一系列充分条件.因此, 本文拓宽了已有结论的适用范围.

引理1^[11] 设$\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链, 则$\{(X_n , {\vec {\xi} _n}^{\infty}):n\ge 0\}$是马氏链.

定理1 设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列. $\{g_{n}(x), n\geq 0\}$为$R$上的偶函数序列, 在区间$(0, ~\infty)$上取正值, 且对任意的$n\geq 0$, 存在$\lambda >0, $使得下述条件之一成立

(ⅰ) $g_{n}(x)$在$(0, ~\infty)$内单调不减, 当$0<x\leq 1$时, $g_{n}(x)\geq \lambda x^{\theta}(0<\theta \leq1), $且$Ef_n(X_n)=0, ~n\geq 0;$

(ⅱ)

$ {g_n}(x) \ge \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda {x^\alpha }(0 < \alpha \le 2), }&{0 < x \le 1, }\\ {\lambda {x^\beta }(\beta \ge 1), }&{x > 1.} \end{array}} \right. $

同时对于正常数序列$\{a_{n}, n\geq 0\}$, 满足$a_{n}\uparrow \infty$, 有

$ \begin{eqnarray}\label{e2} \sum\limits_{m=0}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_{m}}\Big)<\infty, \end{eqnarray} $

(2.2)

则对任意的$ k\ge1$, 有

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})}{a_m}~~\text{a.s.}~\mbox{收敛}, $

(2.3)

及

$ \begin{eqnarray}\label{e4} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k}))=0~~\text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.4)

这里约定:对任意的$k\ge1, ~X_{-k}\equiv0, ~Y_{-k}\equiv0$.

证 先考虑$k=1$的情况.在条件(ⅰ)下, 当$|f_n(X_n)|>a_n$时, 由于$g_{n}(x)$在$(0, ~\infty)$内单调不减, 且有$g_{n}(1)\geq \lambda.$从而

$ \begin{eqnarray}\label{e5} &&\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(|f_m(X_m)|> a_m) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}EI_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\nonumber \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}(1)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)<\infty. \end{eqnarray} $

(2.5)

$ \begin{eqnarray}\label{e6} & &E\Big(\sum\limits_{m=0}^{\infty}\Big|E\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_m}I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)\Big|\Big)\nonumber\\ &=&E\Big(\sum\limits_{m=0}^{\infty}\Big|E\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_m}I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)\Big|\Big)\nonumber\\ &\le&E\Big(\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m} I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)\Big)\nonumber\\ &=&\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m} I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\Big) \leq \sum\limits_{m=1}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^\theta}{a^\theta_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)<\infty. \end{eqnarray} $

(2.6)

在条件(ⅱ)下, 当$|f_n(X_n)|> a_n$时, 利用$g_{n}(x)\geq \lambda x^{\beta}(\beta \geq1, ~x>1), $可知

$ \begin{eqnarray}\label{e7} &&\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(|f_m(X_m)|> a_m) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}EI_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}} %&\leq & \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}(1)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\nonumber\\ \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^\beta}{a^\beta_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)<\infty. \end{eqnarray} $

(2.7)

$ \begin{eqnarray}\label{e8} & &E\Big(\sum\limits_{m=0}^{\infty}\Big|E\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_m}I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)\Big|\Big)\nonumber\\ &\le&E\Big(\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m} I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)\Big) =\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m} I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\Big)\nonumber\\ &\leq& \sum\limits_{m=1}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^\beta}{a^\beta_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)<\infty. \end{eqnarray} $

(2.8)

由(2.5)式或(2.7)式知

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}<\infty~~\text{a.s.}, $

即$P(|f_m(X_m)|> a_m:~{\rm i.o.})=0$, 因而

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{f_m(X_m)}{a_m}I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}}~~\text{a.s.}~\mbox{收敛}. $

(2.9)

由(2.6)式或（2.8）式知

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_m}I_{\{|f_m(X_m)|> a_m\}} \big|X_{m-1}, Y_{m-1}\Big)~~\text{a.s.}~\mbox{收敛}. $

(2.10)

记

$ \begin{array}{c} Z_m=\frac{f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}}{{a_m}}-\frac{E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})}{{a_m}};\\ {\mathcal{B}}_m=\sigma({\vec X}_0^m , {\vec Y}_0^m). \end{array} $

由$\{(X_n, Y_n), n\ge0\}$的马氏性, 易知$\{Z_n, {\mathcal{B}}_n, n\ge0\}$为鞅差序列.在条件(ⅰ)下, 由鞅差序列的正交性知

$ \begin{eqnarray}\label{e11} && E\Big|\sum\limits_{m=0}^{n}Z_m\Big|^2=\sum\limits_{m=0}^{n}EZ_m^2\nonumber\\ &\le&C\sum\limits_{m=0}^{n}E\Big(\frac{f_m^2(X_m)}{a_m^2}I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\Big) \le C\sum\limits_{m=0}^{n}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^\theta}{a_m^\theta}I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\Big)\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big). \end{eqnarray} $

(2.11)

在条件(ⅱ)下, 同样有

$ \begin{eqnarray}\label{e12} && E\Big|\sum\limits_{m=0}^{n}Z_m\Big|^2=\sum\limits_{m=0}^{n}EZ_m^2\nonumber\\ &\le&C\sum\limits_{m=0}^{n}E\Big(\frac{f_m^2(X_m)}{a_m^2}I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\Big) \le C\sum\limits_{m=0}^{n}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^\alpha}{a_m^\alpha}I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}}\Big)\nonumber\\ &\leq& C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big)I_{\{|f_m(X_m)|\leq a_m\}} \leq C\sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{m}\Big(\frac{|f_m(X_m)|}{a_{m}}\Big). \end{eqnarray} $

(2.12)

由(2.2)式知$\displaystyle\sup\limits_{n\geq0}E\Big|\sum\limits_{m=0}^{n}Z_{m}\Big|^{2}<\infty, $即$\Big\{\sum\limits_{m=0}^{n}Z_m, {\mathcal{B}}_n, n\ge0\Big\}$为$L^2$有界鞅, 从而$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}Z_m~\text{a.s.} $收敛.结合(2.9), (2.10)两式知(2.3)式成立, 再由Kronecker引理易知(2.4)式成立.

下面再考虑$k>1$的情形.由$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$的马氏性易知, 对任意的$ n=1, ~2, ~3, $ $\cdots, k-1, ~\{(X_{mk+n}, Y_{mk+n}):m\ge0\}$是马氏链, 由(2.2)式显然有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^{\infty}Eg_{mk+n}\Big(\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})}{a_{mk+n}}\Big)<\infty, \end{eqnarray*} $

因此对任意的$n=1, ~2, ~3, \cdots, k-1$, 有

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n}) |X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}}~~\text{a.s.}~\mbox{收敛}, $

从而

$ \begin{eqnarray*} &&\displaystyle\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})}{a_m} \\ &=&\displaystyle\sum\limits_{m=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}}\\ &=&\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k-1}\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}}~~\text{a.s.}~\mbox{收敛}, \end{eqnarray*} $

亦即(2.3)式对$k>1$成立, 又由Kronecker引理知(2.4)式对$k>1$也成立.

注 本文定理1的充分条件中, 对偶函数列$g_{n}(x)$取适合的函数时, 例如当$0<r<1$时, $g_{n}(x)={|x|^{r}}/({1+|x|^{r}})$; 当$1\leq r \leq 2$时，$g_{n}(x)={|x|^{r}}/({1+|x|^{r-1}})$, 即可得到类似于之前学者已有结论.较之前学者已有结论, 如文献[12]的定理1和文献[13]的定理1, 本文的推论1和推论2都是在定理1的基础上对$g_{n}(x)$取不同的函数, 即可得已有结论.因此本文所给出的随机环境中马氏链函数强大数定律成立的两个充分条件拓宽了已有结论的适用范围.

推论1 设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列. $\{\varphi_{n}(x), n\geq 0\}$为$R$上的偶函数序列, 在区间$(0, ~\infty)$上取正值, 且对任意的$n\geq 0$, 下述条件之一成立

(ⅲ) $\varphi_{n}(x), ~{x}/{\varphi_{n}(x)}$在$(0, ~\infty)$内不减, 且$Ef_n(X_n)=0, ~n\geq 0;$

(ⅳ) ${\varphi_{n}(x)}/{x}, ~{x^{2}}/{\varphi_{n}(x)}$在$(0, ~\infty)$内不减.

同时对于正常数序列$\{a_{n}, n\geq 0\}$, 满足$a_{n}\uparrow \infty$, 若有$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}E\varphi_{m}({f_m(X_m)})/\varphi_{m}({a_{m}})<\infty, $则有(2.3)和(2.4)式成立.

证 取$g_{n}(y)={\varphi_{n}(xy)}/{\varphi_{n}(x)}$, 对任意的$x\in (0, ~\infty), ~y\in R$, 则有

$ g_{n}(f_n(X_n)/{a_{n}})={\varphi_{n}(f_n(X_n))}/{\varphi_{n}(a_{n})}, $

且$g_{n}(y)$为在$(0, ~\infty)$内取正值的偶函数.

同时, 在条件(ⅲ)下, $g_{n}(y)$满足定理1的条件(ⅰ), 在条件(ⅳ)下, $g_{n}(y)$满足定理1的条件(ⅱ), 而且$\sum\limits_{m=0}^{\infty}Eg_{m}({f_m(X_m)}/{a_{m}})=\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\varphi_{m}({f_m(X_m)})/\varphi_{m}({a_{m}})<\infty, $于是由定理1知, 推论1的结论成立.

推论2 设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列. $\{a_{n}, n\geq 0\}$是正常数列, 满足$a_{n}\uparrow \infty$, 若有下述条件之一成立

(ⅴ) $\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big({|f_m(X_m)|^{r}}/({a_{m}^{r}+|f_m(X_m)|^{r}})\Big)<\infty$, 其中$0<r<1$且$Ef_n(X_n)=0, ~n\geq 0;$

(ⅵ) $\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big({|f_m(X_m)|^{r}}/({a_{m}^{r}+a_{m}|f_m(X_m)|^{r-1}})\Big)<\infty$, 其中$1\leq r\leq 2$,

则有(2.3)和(2.4)式成立.

证 当条件(ⅴ)成立时, 取$g_{n}(x)={|x|^{r}}/({1+|x|^{r}}), ~0<r<1$; 当条件(ⅵ)成立时, 取$g^{'}_{n}(x)={|x|^{r}}/({1+|x|^{r-1}}), ~1\leq r\leq 2$.那么对任意的$n\geq 0, ~g_{n}(x), ~g^{'}_{n}(x)$均为偶函数, 且在$(0, ~\infty)$内取正值, 不减.同时分别有

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;{g_n}(x) \ge \frac{1}{2}{x^r}, 0 < x \le 1, 0 < r < 1, \\ {{g'}_n}(x) \ge \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}{x^r}, }&{0 < x \le 1, 1 \le r \le 2, }\\ {\frac{1}{2}x, }&{x > 1.} \end{array}} \right. \end{array} $

若条件(ⅴ)被满足, 则

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}Eg_{n}\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_{m}}\Big) =\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^{r}}{|a_{m}|^{r}+|f_m(X_m)|^{r}}\Big)<\infty. $

若条件(ⅵ)被满足, 则

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}Eg_{m}^{'}\Big(\frac{f_m(X_m)}{a_{m}}\Big) =\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\Big(\frac{|f_m(X_m)|^{r}}{|a_{m}|^{r}+a_{m}|f_m(X_m)|^{r-1}}\Big)<\infty. $

于是由定理1知推论2成立.

定理2 设$\vec X$为随机环境$\vec \xi$中的马氏链, $\{f_n:n\geq0\}$是$(X, \mathcal{A})$上可测函数序列, $0<a_n\uparrow\infty, $如果定理1(或推论1、推论2)条件成立, 则对任意的$k\ge1$, 有

$ \sum\limits_{m=0}^\infty\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \vec{\xi}_{m-k}^{\infty})}{a_m}~~\text {a.s.}~\mbox{收敛}, $

(2.13)

及

$ \begin{eqnarray}\label{e14} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, {\vec{\xi}}_{m-k}^{\infty}))=0~~\text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.14)

证 由引理1知$\{(X_n, \vec{\xi}_{n}^{\infty}), n\geq0\}$是马氏链, 从而由定理1(或推论1、推论2)知(2.13)和(2.14)式均成立.

定理3 在定理2的条件下, 则对任意的$ k\ge1$, 有

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})}{a_m}~~\text{a.s.}\mbox{收敛}, $

(2.15)

及

$ \begin{eqnarray}\label{e16} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k}))=0~~\text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.16)

证 同文献[11]中推论2的证明.

定理4 在定理3的条件下, 若存在$C>0, ~$对任意的$n\geq 0$, 都有$n/a_n\leq C$, 且

$ \begin{eqnarray}\label{e17} \limsup\limits_{k\rightarrow\infty} \sup\limits_{ m \atop (x, \theta_1) } \Big|\int(Q^k(x, \theta_1;dz, d\theta)-P^{m+k}(dz, d\theta))f_{m+k}(z)\Big|=0, \end{eqnarray} $

(2.17)

则

$ \begin{eqnarray}\label{e18} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m))=0~~\text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.18)

证 由于定理3的条件满足, 从而(2.16)式成立.又由于

$ \begin{eqnarray*} \Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m))\Big| &\leq&\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k}))\Big|\\ &\leq&\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})-E(f_m(X_m))\Big|. \end{eqnarray*} $

因此欲证(2.18)式成立, 只需证

$\begin{eqnarray}\label{e19} \limsup\limits_{k\to\infty}\limsup\limits_{n\to\infty}\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})-E(f_m(X_m))\Big|=0~~\text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.19)

由于$\{(X_n, \xi_n):n\ge 0\}$是一步转移概率为$Q(x, \theta;A\times B)=K(\theta, B)P(\xi;x, A)$的马氏链, 故有

$ \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{k\to\infty}\limsup\limits_{n\to\infty}\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})-E(f_m(X_m))\Big|\\ &=&\limsup\limits_{k\to\infty}\limsup\limits_{n\to\infty}\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n-k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_{m}, \xi_{m})-E(f_{m+k}(X_{m+k}))\Big|\\ &=&\limsup\limits_{k\to\infty}\limsup\limits_{n\to\infty}\Big|\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n-k}\int(Q^k(X_{m}, \xi_{m};dz, d\theta)-P^{m+k}(dz, d\theta))f_{m+k}(z)\Big|\\ &\leq&\limsup\limits_{k\to\infty}\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{n}{a_n}\sup\limits_{ m \atop (x, \theta_1) } \Big|\int(Q^k(x, \theta_1;dz, d\theta)-P^{m+k}(dz, d\theta))f_{m+k}(z)\Big|\\ &\leq&C \limsup\limits_{k\rightarrow\infty} \sup\limits_{ m \atop (x, \theta_1) } \Big|\int(Q^k(x, \theta_1;dz, d\theta)-P^{m+k}(dz, d\theta))f_{m+k}(z)\Big|~~\text{a.s.}. \end{eqnarray*} $

上述第一个等式是由于$m<k$时, 有$E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})=E(f_m(X_m)~\text{a.s.}$.从而由(2.17)式知(2.19)式成立, 继而(2.18)式成立.