边界唯一性定理是将Schwarz引理应用到边界上时产生的. 1994年, Burns-Krantz^[1]研究边界上的Schwarz引理, 得到了全纯映射的一些刚性结果, 也就是边界唯一性的结果, 主要分别得到了在单位圆盘, 单位球和强拟凸域上的一些结论.他们在单位球上的结论如下.

定理1.1^[1](Burns-Krantz)设$f:B^{n}\rightarrow B^{n}$是单位球到自身的全纯映射, 满足当$z\rightarrow {\bf{1}}$时(这里${\bf{1}}=(1, 0, \cdots, 0)$) $ f(z)=z+O(|z-{\bf{1}}|^{4}), $ 则$f(z)\equiv z$于单位球内.

自从Burns-Krantz的工作之后, 边界Schwarz引理开始被越来越多的学者研究.例如2015年Liu-Wang-Tang做出了单位球中的一类边界Schwarz引理^[2], 2018年Tu-Zhang得到了对称双圆盘上的边界Schwarz引理^[3].在1995年X. Huang将其做到有界弱拟凸域上和强凸域上^[4], 其在强凸域中设定一个不动点, 然后把上述定理中的$4$次降到了$3$次.其在单位球上的相关结论如下.

定理1.2^[4](Xiaojun Huang)设$f:B^{n}\rightarrow B^{n}$是单位球到自身的全纯映射, 满足当$z\rightarrow {\bf{1}}$时$ f(z)=z+O(|z-{\bf{1}}|^{3})$且$f(z_{0})=z_{0}$, 其中$z_{0} \in B^{n}$, 则$f(z)\equiv z$.

以上两个定理是在单位球上的经典结果, 接下来我们看一下在Fock-Bargmann-Hartogs域上已有的结果.首先引入这类区域的定义, Fock-Bargmann-Hartogs域$D_{n, m}$定义如下

$ \begin{equation*} D_{n, m}:= \{(z, w)\in \mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}^{m}:\|z\|^{2}< e^{-\mu\|w\|^{2}}, \mu > 0\}. \end{equation*} $

Fock-Bargmann-Hartogs域是一类无界强拟凸域, 2013年Yamamori给出了这类域的Bergman核函数^[5], 2016年Bi-Feng-Tu给出了这个域上的平衡度量^[6], 可以从上述两个文献中更好地了解Fock-Bargmann-Hartogs域.

2006年, Baracco-Zaitsev-Zampieri将之前Burns-Krantz的边界唯一性结果推广到了强拟凸流形上^[7], 我们提取其在Fock-Bargmann-Hartogs域上的结论如下.

定理1.3^[7](Baracco-Zaitsev-Zampieri)设$f:D_{n, m}\rightarrow D_{n, m}$是从Fock-Bargmann-Hartogs域到自身的全纯映射, 满足当$(z, w)$非切向逼近$({\bf{1}}, {\bf{0}})$时(这里${\bf{0}}=(0, \cdots, 0)$)

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, w)+O(|(z, w)-({\bf{1}}, {\bf{0}})|^{4}), \end{equation*} $

则$F(z, w)\equiv (z, w)$.

2018年, Liu-Chen-Pan得到了一种单位球上不等维的边界唯一性定理^[8], 他们将$f$第一个分量函数设定为仅关于$z$第一个分量的恒等函数, 并在边界点${\bf{1}}$增加了$C^2$的条件之后也得到了可以把指数估计降低一阶的结果, 而且直接做出不等维情形的结果.如下定理是他们的主要结论.

定理1.4^[8](Liu-Chen-Pan)设$f:B^n\rightarrow B^N , N\geq n\geq 1$是从单位球$B^{n}$到$B^{N}$的全纯映射, 满足当$z \rightarrow {\bf{1}}$时

$ \begin{equation*} f(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-{\bf{1}}|^{3}). \end{equation*} $

若$f$在点${\bf{1}}$处是$C^{2}$的, 并且$f_{1}(z)=z_{1}$, 这里$f_{1}$是$f$的第一个分量函数, $z_1$是$z$的第一个坐标分量, 则$f(z)\equiv (z, {\bf{0}})$.

受到他们的启发, 本文得到了一些不等维的边界唯一性定理的结果, 也就是对Burns-Krantz型定理从等维情形推广到不等维情形.

这一节介绍本文的主要结果及其证明, 本节前三个定理是对上一节中叙述到的边界唯一性定理的推广, 后两个定理是受前述结果启发做出的边界唯一性定理的结果.首先将Burns-Krantz单位球上的定理1.1推广为不等维单位球之间的定理.

定理2.1 设$f:B^{n}\rightarrow B^{m}, n\leq m$是一个全纯映射, 满足当$z \rightarrow {\bf{1}}$时有

$ \begin{equation*} f(z)= (z, {\bf{0}})+O(|z-{\bf{1}}|^{4}), \end{equation*} $

则$f(z)\equiv (z, {\bf{0}})$.

证 $n\leq m$, $f=(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m})$, 令$g=(f_{1}, \cdots, f_{n})$.由于

$ \begin{equation*} \begin{split} |g|^2 & =|f_{1}|^{2}+|f_{2}|^{2}+\cdots +|f_{n}|^{2} \leq |f_{1}|^{2}+|f_{2}|^{2}+\cdots+|f_{n}|^{2}+\cdots+|f_{m}|^{2} \\ & =|f|^{2} <1, \end{split} \end{equation*} $

则$g$是一个从单位球$B^n$到自身的全纯映照.注意到定理中的条件$ f(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-{\bf{1}}|^{4}), \ (z\rightarrow {\bf{1}})$再结合如下不等式$ |g(z)-z|\leq |f(z)-(z, {\bf{0}})|, $得到

$ g(z)=z+O(|z-{\bf{1}}|^{4}), \ (z\rightarrow {\bf{1}}). $

此时$g(z)$满足定理1.1中的条件, 则$g(z)\equiv z$.

设$f=(g, h)$, 当$z\rightarrow \partial B^{n}, z\in B^{n}$时, 有$|g|\rightarrow 1$, 而$|g|^{2}+|h|^{2}=1$, 则$|h|\rightarrow 0$.

由全纯函数的最大模原理可以得到: $h={\bf{0}}$.故$f(z)\equiv (z, {\bf{0}})$.定理2.1证毕.

注2.1 以上定理中有$n\leq m$的条件, 是由于当$n>m$时, 并不能有类似推广.也就是说如果$f:B^n\rightarrow B^m, n>m$是全纯映照, 满足当$z\rightarrow {\bf{1}}$时有

$ \begin{equation}\label{26} f(z)=(z_1, z_2, \cdots, z_m)+O(|z-{\bf{1}}|^4). \end{equation} $

(2.1)

此时不能得到$f(z)\equiv (z_1, z_2, \cdots, z_m)$.

在此举一个反例.令$f(z)=(z_1+\frac{1}{10}z_{m+1}^4, z_2, \cdots, z_m)$, 注意到如下不等式成立

$ \begin{equation*} \begin{split} |f(z)|^2 & =|z_1+\frac{1}{10}z_{m+1}^4|^2+|z_2|^2+\cdots +|z_m|^2 \\ & \leq |z_1|^2+\frac{1}{100}|z_{m+1}|^8+2|z_1| \frac{1}{10}|z_{m+1}|^4+|z_2|^2+\cdots+|z_m|^2\\ & \leq |z_1|^2+ |z_{m+1}|^2 +|z_2|^2+\cdots +|z_m|^2\\ & <1, \end{split} \end{equation*} $

则$f$是从$B^n$到$B^m$的全纯映照, 并且满足式(2.1)的条件, 但$f(z) \neq (z_1, z_2, \cdots, z_m)$.注2.1完毕.

然后我们注意到类似上述定理2.1的方法还可以用来将1995年Huang的结果(定理1.2)推广到不等维的单位球之间, 如下定理是我们的结论.

定理2.2 设$f:B^{n}\rightarrow B^{m}, n\leq m$是一个全纯映射, 满足当$z \rightarrow {\bf{1}}$时有

$ \begin{equation*} f(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-{\bf{1}}|^{3}), \end{equation*} $

且存在$z_{0} \in B^{n}$使$ f(z_{0})= (z_{0}, {\bf{0}}), $则$f(z)\equiv (z, {\bf{0}})$.

证 $n\leq m$, $f=(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m})$.令$g=(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n})$, 由于

$ \begin{equation*} \begin{split} |g|^2 & =|f_{1}|^{2}+|f_{2}|^{2}+\cdots +|f_{n}|^{2} \leq |f_{1}|^{2}+|f_{2}|^{2}+\cdots+|f_{n}|^{2}+\cdots+|f_{m}|^{2} \\ & =|f|^{2} <1 \end{split} \end{equation*} $

则$g$是一个从单位球$B^n$到自身的全纯映照.注意到定理中的条件$ f(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-{\bf{1}}|^{3}), \ (z\rightarrow {\bf{1}})$再结合如下不等式$ |g(z)-z|\leq |f(z)-(z, {\bf{0}})|, $得到

$ \begin{equation*} g(z)=z+O(|z-{\bf{1}}|^{3}), \ (z\rightarrow {\bf{1}}) \end{equation*} $

由于$f(z_0)=(z_0, {\bf{0}})$, 故$g(z_{0})=z_{0}$.于是$g(z)$满足定理1.2中的条件, 则$g(z)\equiv z$.

令$f=(g, h)$, 当$z\rightarrow \partial B^{n}, z\in B^{n}$时, 有$|g|\rightarrow 1$, 又$|g|^{2}+|h|^{2}=1$, 则$|h|\rightarrow 0$.由全纯函数的最大模原理可以得到: $h={\bf{0}}$.故$f(z)\equiv (z, {\bf{0}})$.定理2.2证毕.

对于定理2.2也有类似定理2.1的注记, 即在$n>m$时没有类似推广, 可以列举出相应反例.

以上两个定理就是本文在单位球上的主要结论.接下来将着眼于本文探讨的第二类区域, Fock-Bargmann-Hartogs域, 下述定理是本文在此区域上的第一个主要定理, 是将2006年Baracco-Zaitsev-Zampieri的定理1.3推广到不等维.

定理2.3 设$F:D_{n, m}\rightarrow D_{N, M}, n\leq N, m\leq M$是一个全纯映射, 满足当$(z, w)$非切向逼近$({\bf{1}}, {\bf{0}})$时有

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})+O(|(z, w)-({\bf{1}}, {\bf{0}})|^{4}), \end{equation*} $

则$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.

证 $F=(f, g)=(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{N}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{M})$.令$G=(f_{1}, \cdots, f_{n}, g_{1}, \cdots, g_{m})$, 注意到如下不等式

$ \begin{equation*} \begin{split} |f_{1}|^{2}+\cdots +|f_{n}|^{2} \leq |f_{1}|^{2}+\cdots +|f_{N}|^{2} < e^{-\mu(|g_{1}|^{2}+\cdots +|g_{M}|^{2})} \leq e^{-\mu (|g_{1}|^{2}+\cdots +|g_{m}|^{2})}. \end{split} \end{equation*} $

则$G$是一个从Fock-Bargmann-Hartogs域$D_{n, m}$到自身的一个全纯映照.注意到定理中的条件当$(z, w)$非切向逼近$({\bf{1}}, {\bf{0}})$时

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})+O(|(z, w)-({\bf{1}}, {\bf{0}})|^{4}), \end{equation*} $

再结合如下不等式

$ \begin{equation*} \begin{split} |G(z, w)-(z, w)| & =|(f_{1}-z_{1}, \cdots, f_{n}-z_{n}, g_{1}-w_{1}, \cdots, g_{m}-w_{m})| \\ & \leq |(f_{1}-z_{1}, \cdots, f_{n}-z_{n}, f_{n+1}, \cdots, f_{N}, g_{1}-w_{1}, \cdots, g_{m}-w_{m}, g_{m+1}, \cdots, g_{M})| \\ & =|F(z, w)-(z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})| \end{split} \end{equation*} $

得到当$(z, w)$非切向逼近$({\bf{1}}, {\bf{0}})$时

$ \begin{equation*} G(z, w)=(z, w)+O(|(z- {\bf{1}}, w)|^{4}). \end{equation*} $

此时$G(z, w)$满足定理1.3中的条件, 则$G(z, w)\equiv (z, w)$, 即

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, f_{n+1}, \cdots, f_{N}, w, g_{m+1}, \cdots , g_{M}). \end{equation*} $

注意如下不等式

$ \begin{equation*} \begin{split} |z|^{2} \leq |z|^{2}+|f_{n+1}|^{2}+ \cdots +|f_{N}|^{2} < e^{-\mu(|w|^{2}+|g_{m+1}|^{2}+ \cdots +|g_{M}|^{2})} \leq e^{-\mu |w|^2}. \end{split} \end{equation*} $

当$(z, w) \rightarrow \partial D_{n, m}, (z, w)\in D_{n, m}$时, 有$|z|^{2} \rightarrow e^{-\mu |w|^{2}}$.则由上述不等式可知

$ \begin{equation*} |f_{n+1}|^{2}+ \cdots +|f_{N}|^{2} \rightarrow 0, \ |g_{m+1}|^{2}+ \cdots +|g_{M}|^{2} \rightarrow 0. \end{equation*} $

由全纯函数的最大模原理可以得到$f_{n+1}=\cdots=f_{N}=g_{m+1}=\cdots=g_{N}=0, \ (z, w)\in D_{n, m}$.故$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.定理2.3证毕.

受Liu-Chen-Pan固定一个分量函数为对应坐标恒等函数的启发, 本文得到一个Fock-Bargmann-Hartogs域上的固定坐标分量函数的不等维边界唯一性定理结论, 这里的估计次数是$3$次, 对坐标分量及边界点处的条件要求比较高, 定理结论及证明如下.

定理2.4 设$F: D_{n, m}\rightarrow D_{N, M}, n\leq N, m\leq M$是一个全纯映照, $(e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)$是$D_{n, m}$的边界点.当$(z, w)\rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)$时, 有

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})+O(|(z, w)-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)|^3). \end{equation*} $

设$F=(f, g)=(f_1, \cdots, f_N, g_1, \cdots, g_M)$, $F$在点$(e^{-\frac{1}{2}\mu |w|^2}, 0, \cdots, 0, w)$处是$C^2$的, $f_1(z, w)=z_1$, $g_i(z, w)=w_i, \ 1\leq i\leq m$, 则$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.

证 固定$w_0$, 将$F(z, w_0)$看做关于$z$的全纯映射.当$(z, w_0)\rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0, w_0)$时有

$ \begin{equation*} F(z, w_0)=(z, {\bf{0}}, w_0, {\bf{0}})+O(|(z, w_0)-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0, w_0)|^3). \end{equation*} $

注意到

$ \begin{equation*} |f(z, w_0)-(z, {\bf{0}})|\leq |F(z, w_0)-(z, {\bf{0}}, w_0, {\bf{0}})|, \end{equation*} $

则当$z\rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0)$时有

$ \begin{equation*} f(z, w_0)=(z, {\bf{0}})+O(|z-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0)|^3). \end{equation*} $

对$f(z, w_0)$的范围作如下估计

$ \begin{equation*} \begin{split} |f(z, w_0)|^2 & =|f_1(z, w_0)|^2+\cdots+|f_N(z, w_0)|^2 \\ & <e^{-\mu (|g_1(z, w_0)|^2+\cdots+|g_M(z, w_0)|^2)} \\ & \leq e^{-\mu (|g_1(z, w_0)|^2+\cdots+|g_m(z, w_0)|^2)} \\ & =e^{-\mu |w_0|^2}. \end{split} \end{equation*} $

则$f(z, w_0)$是如下关于$z$的全纯映照

$ \begin{equation*} f(z, w_0):\{z\in \mathbb{C}^n: |z|<e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}\}\rightarrow \{z\in \mathbb{C}^N: |z|<e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}\}. \end{equation*} $

由题设条件知, $f(z, w_0)$在点$(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0, w_0)$处是$C^2$的.接下来考虑$f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)$, 则其是定义在单位球$B^n$上的全纯映射.且有当$e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z \rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0)$时, 成立

$ \begin{equation*} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)=(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, {\bf{0}})+O(|e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0)|^3), \end{equation*} $

这也就是当$z\rightarrow (1, 0, \cdots, 0)$时成立

$ \begin{equation}\label{28} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)=e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}(z, {\bf{0}})+O(|z-(1, 0, \cdots, 0)|^3). \end{equation} $

(2.2)

构造函数

$ \begin{equation*} h(z)=e^{\frac{1}{2}\mu |w_0|^2} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0), \end{equation*} $

则$h:B^n\rightarrow B^N$是从单位球$B^n$到$B^N$的全纯映照, $h$在点$(1, 0, \cdots, 0)$处是$C^2$的.由于$f_1(z, w_0)=z_1$, 由$h$的表示式可以看出$h_1(z)=z_1$.并且由(2.2)式知当$z\rightarrow(1, 0, \cdots, 0)$时有

$ \begin{equation*} h(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-(1, 0, \cdots, 0)|^3), \end{equation*} $

则由定理1.4得$h(z)\equiv(z, {\bf{0}}), z\in B^n$.进而得到$f(z, w_0)=(z, {\bf{0}})$.由$w_0$的任意性, $f(z, w)=(z, {\bf{0}})$.故$F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, g_{m+1}, \cdots, g_{M})$.注意如下不等式

$ \begin{equation*} |z|^2<e^{-\mu(|w|^2+|g_{m+1}|^2+\cdots+|g_M|^2)}\leq e^{-\mu |w|^2}. \end{equation*} $

此时令$(z, w)\rightarrow \partial D_{n, m}, \ (z, w)\in D_{n, m}$, 则$|z|^2\rightarrow e^{-\mu|w|^2}$.则由上述不等式知$|g_{m+1}|^2+\cdots+|g_M|^2 \rightarrow 0$, 因此由全纯函数的最大模原理得: $g_{m+1}=\cdots=g_M=0$.故$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.定理2.4证毕.

然后继续顺着上述定理2.4的思路, 得到一个类似Burns-Krantz定理(定理1.1)推论的一个在Fock-Bargmann-Hartogs域上的结果, 其与定理2.4条件相比较减少了一个边界点处正则性的条件, 少固定了一个分量, 但其估计次数是$4$次.此定理结果表述如下.

定理2.5 设$F:D_{n, m}\rightarrow D_{N, M}, n\leq N, m\leq M$是一个全纯映照, $(e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)$是$D_{n, m}$的边界点.当$(z, w)\rightarrow(e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)$时, 有

$ \begin{equation*} F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})+O(|(z, w)-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w|^2}, 0, \cdots, 0, w)|^4), \end{equation*} $

设$F=(f, g)=(f_1, \cdots, f_N, g_1, \cdots, g_M)$, 其中$g_i(z, w)=w_i, 1\leq i\leq m$, 则$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.

证 用类似定理2.4中证明的方法, 将$w_0$固定, 则可以把$F(z, w_0)$看作是关于$z$的全纯映射.由于当$(z, w_0)\rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0, w_0)$时有

$ \begin{equation*} F(z, w_0)=(z, {\bf{0}}, w_0, {\bf{0}})+O(|(z, w_0)-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0, w_0)|^4). \end{equation*} $

注意到

$ \begin{equation*} |f(z, w_0)-(z, {\bf{0}})|\leq |F(z, w_0)-(z, {\bf{0}}, w_0, {\bf{0}})|, \end{equation*} $

则当$z\rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0)$时有

$ \begin{equation*} f(z, w_0)=(z, {\bf{0}})+O(|z-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0)|^4). \end{equation*} $

对$f(z, w_0)$的范围作如下估计

$ \begin{equation*} \begin{split} |f(z, w_0)|^2 & =|f_1(z, w_0)|^2+\cdots+|f_N(z, w_0)|^2 \\ & <e^{-\mu (|g_1(z, w_0)|^2+\cdots+|g_M(z, w_0)|^2)} \\ & \leq e^{-\mu (|g_1(z, w_0)|^2+\cdots+|g_m(z, w_0)|^2)} \\ & =e^{-\mu |w_0|^2}. \end{split} \end{equation*} $

则$f(z, w_0)$是如下关于$z$的全纯映照

$ \begin{equation*} f(z, w_0):\{z\in \mathbb{C}^n: |z|<e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}\}\rightarrow \{z\in \mathbb{C}^N: |z|<e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}\}. \end{equation*} $

接下来考虑$f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)$, 则其是定义在单位球$B^n$上的全纯映射.并且有当$e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z \rightarrow (e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}, 0, \cdots, 0)$时, 成立

$ \begin{equation*} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)=(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, {\bf{0}})+O(|e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z-(e^{-\frac{1}{2}\mu|w_0|^2}, 0, \cdots, 0)|^4), \end{equation*} $

这也就是当$z\rightarrow (1, 0, \cdots, 0)$时成立

$ \begin{equation}\label{29} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0)=e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}(z, {\bf{0}})+O(|z-(1, 0, \cdots, 0)|^4). \end{equation} $

(2.3)

构造函数

$ \begin{equation*} h(z)=e^{\frac{1}{2}\mu |w_0|^2} f(e^{-\frac{1}{2}\mu |w_0|^2}z, w_0). \end{equation*} $

则$h:B^n\rightarrow B^N$是从单位球$B^n$到$B^N$的全纯映照, 由(2.3)式知当$z\rightarrow(1, 0, \cdots, 0)$时有

$ \begin{equation*} h(z)=(z, {\bf{0}})+O(|z-(1, 0, \cdots, 0)|^4), \end{equation*} $

则由定理2.1得$h(z)\equiv (z, {\bf{0}}), z\in B^n$.进而得到$f(z, w_0)=(z, {\bf{0}})$.由$w_0$的任意性, $f(z, w)=(z, {\bf{0}})$.故$F(z, w)=(z, {\bf{0}}, w, g_{m+1}, \cdots, g_{M})$.注意如下不等式

$ \begin{equation*} |z|^2<e^{-\mu(|w|^2+|g_{m+1}|^2+\cdots+|g_M|^2)}\leq e^{-\mu |w|^2}. \end{equation*} $

再令$(z, w)\rightarrow \partial D_{n, m}, \ (z, w)\in D_{n, m}$, 则$|z|^2\rightarrow e^{-\mu|w|^2}$.则由上述不等式知$|g_{m+1}|^2+\cdots+|g_M|^2 \rightarrow 0$.由最大模原理得: $g_{m+1}=\cdots=g_M=0$.故$F(z, w)\equiv (z, {\bf{0}}, w, {\bf{0}})$.定理2.5证毕.