Kakeya在1917年提出了寻找单位直线段可以在其内部调转方向并且具有最小面积的平面集的问题, 也就是连续地移动此单位直线段而不离开此集使它旋转$ 180^{\circ} $并回到原来位置, 这个问题基本上可归结为寻找包含每个方向单位直线段的最小区域的问题. 1928年, Besicovitch发现了一个平面上的单位直线段可以在其内部转到相反方向, 但其面积却可以任意小的令人惊奇的集的构造.即有如下定理.

定理1.1 有一个面积为零的平面集, 它在所有方向上都包含一单位直线段.

上述定理的证明参考文献[1]. $ \mathbb{R}^{n} $中在每个方向包含有一个直线段的集合称为Besicovitch集, 定理1.1证明了$ \mathbb{R}^{2} $中存在Besicovitch集; 取这种集与$ \mathbb{R}^{n-2} $的乘积集, 就得到了$ \mathbb{R}^{n} $上的Besicovitch集.随着这个问题的解决, 一个很自然的问题摆在眼前, 就是如下著名的Kakeya猜想.

猜想 $ \mathbb{R}^{n} $空间中的任意Besicovitch集的Hausdorff维数等于$ n $.

关于Kakeya猜想, 国际上已经有很多数学家(如Wolff, Bourgain, Tao等)做了大量的工作, 其中$ n = 2 $的情形已完全解决, 并存在好几种证明方法(见文献[1-3]).而对于高维$ (n\geq3) $的情形, 虽然目前还没得到彻底解决, 但是有许多著名的数学家做出了本质的推进. 1985年, Christ-Duoandikoetxea-Rubio de Francia^[4]首先证明了下界为$ \frac{n+1}{2} $. 1991年, 著名数学家Bourgain^[3]利用一个称为“bush”的构造将其改进为$ \frac{n+1}{2}+\varepsilon_{n} $, 这里$ \varepsilon_{n} $是一个固定的数, 只与$ n $有关.而这项工作最突出的结果来自于Wolff^[5], 1995年Wolff利用另一个称为“hairbrush”的更有效的构造再次将这个下界提高至$ \frac{n+2}{2} $, 其中对于$ 3\leq n\leq8 $.这仍然是目前最好的结果.而对于$ n\geq9 $, 之后Katz–Tao^[6]于2000年将其提高至$ \frac{4n+3}{7} $.

由上述可知在高维空间Kakeya猜想虽然已得到丰富的结果, 但是可以看到, 即使是$ n = 3 $的情形, 最好的结果也仅是$ 2.5 $, 距离最终结果$ 3 $还差了很多.针对$ n = 3 $, 利用已有的构造和方法要想进一步提高这个下界是相当困难的.那么一个比较自然的想法是, 若仅对一类特殊的Besicovitch集进行维数估计, 能否推出这类Besicovitch集的Hausdorff维数等于$ 3 $呢?本文以此作为出发点.将Kakeya问题二维情形的一种证明方法(参考文献[2])推广到$ R^{3} $空间, 接下来将定义一类圆盘型Besicovitch集, 具体如下.

定义1.1 令$ E $为$ \mathbb{R}^{n} $中的圆盘型Besicovitch集, $ E $包含以所有$ \xi\in S^{n-2}\; (n\geq3) $为法向量, 点$ a $为圆心的各个方向的单位圆盘, 即$ E = \{x\in R^{n}:|(x-a)|\leq1, (x-a)\cdot\xi = 0\}. $为方便起见, 将这类型的Besicovitch集简记为$ E $集.下面是与之相关的$ \delta $ -圆盘概念:

定义1.2 令$ 0<\delta\ll1 $, 对$ E $中任一方向的圆盘, 给其增加$ \delta $厚度, 使其成为一个$ \delta $ -圆盘, 记为$ D_{\xi}^{\delta}(a) $, 即$ D_{\xi}^{\delta}(a) = \{x\in \mathbb{R}^{n}:|(x-a)\cdot\xi|\leq\delta, |(x-a)^{\perp}|\leq1\}, $这里$ x^{\perp} = x-(x\cdot\xi)\cdot\xi. $

回顾了Kakeya猜想的研究背景和研究现状, 针对上面定义的圆盘型Besicovitch集, 本文的主要结论如下.

定理2.1 $ \mathbb{R}^{3} $上的$ E $集的Hausdorff维数为$ 3 $.

在这一节, 将介绍Hausdorff维数和$ \delta $ -分隔子集的概念, 并做一些符号的约定.

定义3.1 令$ E\in \mathbb{R}^{n}, \alpha>0 $, 对$ 0<\delta\leq1 $, 定义$ H_{\alpha}^{\delta}(E) = \inf\limits_{\kappa_{\delta}}(\sum\limits_{i = 1}^\infty r_{i}^{\alpha}), $这里$ \kappa_{\delta} $是$ E $的可数覆盖, 由半径$ r_{i}<\delta $的小球$ B(x_{i}, r_{i}) $构成的集合, 即

$ \kappa_{\delta} = \{K\supset E\mid K = \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}B(x_{i}, r_{i}), r_{i}<\delta\}. $

令$ \delta\rightarrow0 $, 得到$ E $的$ \alpha $-Hausdorff测度$ H_{\alpha}(E) = \lim\limits_{\delta\rightarrow0}H_{\alpha}^{\delta}(E). $

对任意$ E\in \mathbb{R}^{n} $, $ H_{\alpha}^{\delta}(E) $为$ \alpha $的非增函数.一步, 若$ \alpha<\beta $, 则$ H_{\alpha}^{\delta}(E)\geq\delta^{-(\beta-\alpha)}H_{\beta}^{\delta}(E) $, 从而若$ H_{\beta}(E)>0 $, 则$ H_{\alpha}(E)>0 $为无穷.因而存在唯一的数, 记为dim$ _{H}E $, 称为$ E $的Hausdorff维数, 满足若$ 0\leq\alpha<{\hbox{dim}}_{H}E $, 则$ H_{\alpha}(E) = \infty $; 若dim$ _{H}E\leq\alpha<\infty $, 则$ H_{\alpha}(E) = 0 $.

定义3.2 令$ E\in \mathbb{R}^{n}, S\subset E $, 若任意不同的两点$ x, y\in S $满足$ |x-y|\geq\delta, $那么称$ S $为$ E $的$ \delta $ -分隔子集.

为了方便叙述, 做如下约定

(1) $ \sharp A $表示集合A中元素的个数;

(2) 对于$ f $和$ g $两个函数, $ f\lesssim g $表示存在常数C, 独立于$ f $和$ g $, 使得$ f\leq Cg $.

在这一节, 将Córdoba^[2]的方法推广到$ \mathbb{R}^{3} $上, 给出定理2.1的证明.下面将通过如下的两个定理给出证明.

定理4.1 令$ \Omega\subseteq S^{1} $, $ \xi\in\Omega $, $ D_{\xi}^{\delta} $为$ \mathbb{R}^{3} $中的$ \delta $ -圆盘, 并且法向量$ \xi $是$ \delta $ -分隔的, 假设

$ \|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}\|_{2}\lesssim\delta^{-\varepsilon}(\sum\limits_{\xi\in \Omega}|D_{\xi}^{\delta}|)^{\frac{1}{2}} $

成立, 那么$ \mathbb{R}^{3} $上的$ E $集的Hausdorff维数为$ 3 $.

证 需要证$ \forall\varepsilon_{0}>0 $, $ H_{3-\varepsilon_{0}}(E) = +\infty. $

下面将用反证法证明.假设$ \exists\varepsilon_{0}>0 $, 使得$ H_{3-\varepsilon_{0}}(E)<+\infty $.

$ \Leftrightarrow\exists\varepsilon_{0}>0 $, 使得$ H_{3-\varepsilon_{0}}(E)\leq M $.

$ \Leftrightarrow\exists\varepsilon_{0}>0 $, 使得$ \forall N>0 $, 当$ j\geq N $时, $ \Lambda = \{B\} $, 有$ \sum\limits_{B\in\Lambda}r(B)^{3-\varepsilon_{0}}\leq M+1 $, 其中$ \{B\} $是$ E $的一个球覆盖且$ r(B)\leq2^{-j} $.

设$ F $为$ \mathbb{R}^{3} $中的任意可测集, $ d_{\xi} $为方向向量$ \xi $所对应的$ E $中的单位圆盘.令$ H^{'}(d_{\xi})(F) = {\hbox{length}}(d_{\xi}\bigcap F) $, 定义

$ \mu(F) = \int_{S^{1}}H^{'}(d_{\xi})(F)d\sigma(\xi). $

由上述定义可得$ \mu(E)\geq1 $, 固定$ M, N, j(j\geq2), \varepsilon_{0} $, 则有

$ \sum\limits_{B\in\Lambda}\mu(B)\geq\mu(\bigcup\limits_{B\in\Lambda}B)\geq\mu(E)\geq1. $

故$ \exists k\geq j $, 使得$ \sum\limits_{B\in\Lambda:r(B) = 2^{-k}}\mu(B)\geq\frac{1}{k^{2}} $.因为$ \sum\limits_{k>j}k^{-2}<1 $.

令$ \delta = 2^{-k}, \; \Lambda_{k} = \{B|B\in\Lambda:r(B) = 2^{-k}\} $, $ \forall\xi\in S^{1}, \; B\in\Lambda_{k} $, 注意到

$ H^{'}(d_{\xi})(B)\lesssim\delta^{-1}\int_{B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dx, $

则有

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \mu(B) = \int_{S^{1}}H^{'}(d_{\xi})(B)d\sigma(\xi) \lesssim\delta^{-1}\int_{S^{1}}\int_{B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dxd\sigma(\xi), \end{split} \end{equation} $

故有

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \frac{1}{k^{2}} \leq\sum\limits_{B\in\Lambda_{k}}\mu(B) &\lesssim\delta^{-1}\int_{S^{1}}\int_{B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dxd\sigma(\xi) = \delta^{-1}\sum\limits_{B\in\Lambda_{k}}\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\int_{S^{1}}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)d\sigma(\xi)dx\\ &\lesssim\delta^{-1}\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\int_{S^{1}}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)d\sigma(\xi)dx = \delta^{-1}\int_{S^{1}}\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dxd\sigma(\xi). \end{split} \end{equation} $

可以找到互不相交的集合$ S_{1}, S_{2}, \cdot\cdot\cdot, S_{L}\in S^{1} $, 且$ L\lesssim\delta^{-1} $, 使得$ \bigcup\limits_{i = 1}^{L}S_{i} = S^{1}, $则有

$ \frac{1}{k^{2}}\lesssim\delta^{-1}\sum\limits_{i = 1}^{L}\int_{S_{i}}\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dxd\sigma(\xi). $

又$ \exists\xi_{1}\in S_{1}, \xi_{2}\in S_{2}, \cdot\cdot\cdot, \xi_{L}\in S_{L} $, 使得

$ \int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dx\geq\frac{1}{|S_{i}|} \int_{S_{i}}\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dxd\sigma(\xi). $

记$ \Omega = \{\xi_{1}, \xi_{2}, \cdot\cdot\cdot, \xi_{L}\} $, 则$ \Omega $是$ \delta $ -分隔的, 有

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \frac{1}{k^{2}} &\lesssim\delta^{-1}\sum\limits_{i = 1}^{L}|S_{i}|\cdot\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dx \lesssim\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}\sum\limits_{\xi\in\Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)dx\\ &\lesssim\|\sum\limits_{\xi\in\Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)\|_{2}\cdot(\int_{\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B}1dx)^{\frac{1}{2}} \lesssim\delta^{-\varepsilon}(\sum\limits_{\xi\in\Omega}|D_{\xi}^{\delta}|)^{\frac{1}{2}}\cdot|\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B|^{\frac{1}{2}}\\ &\lesssim\delta^{-\varepsilon}|\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B|^{\frac{1}{2}}. \end{split} \end{equation} $

故$ |\bigcup\limits_{B\in\Lambda_{k}}B|\gtrsim\frac{1}{k^{4}}\cdot\delta^{2\varepsilon}, $ $ \sharp\Lambda_{k}\geq\frac{|\bigcup_{B\in\Lambda_{k}}B|}{|B|}\gtrsim2^{k\cdot3}\cdot\frac{1}{k^{4}}\cdot\delta^{2\varepsilon}. $因此

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \sum\limits_{B\in\Lambda_{k}}r(B)^{3-\varepsilon_{0}} \geq2^{-k(3-\varepsilon_{0})}\cdot\sharp\Lambda_{k} \geq2^{-k(3-\varepsilon_{0})}\cdot2^{k\cdot3}\cdot\frac{1}{k^{4}}\cdot\delta^{2\varepsilon} = \frac{2^{k[\varepsilon_{0}-2\varepsilon]}}{k^{4}}. \end{split} \end{equation} $

令$ k\rightarrow\infty $, 则不等式右边趋于$ \infty $, 与前面假设矛盾, 证毕.

定理4.2  令$ \Omega\subseteq S^{1} $, $ \xi\in\Omega $, $ D_{\xi}^{\delta} $为$ \mathbb{R}^{3} $中的$ \delta $ -圆盘, 并且法向量$ \xi $是$ \delta $ -分隔的, 有不等式

$ \|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}\|_{2}\lesssim(\log\frac{1}{\delta})^{\frac{1}{2}}(\sum\limits_{\xi\in \Omega}|D_{\xi}^{\delta}|)^{\frac{1}{2}}. $

证 对上式左边进行平方, 得

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}\|_{2}^{2} = \int|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)|^{2}dx = \int\sum\limits_{\xi\in \Omega}\sum\limits_{\xi^{'}\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}(x)\chi_{D^{\delta}_{\xi^{'}}}(x)dx = \sum\limits_{\xi\in \Omega}\sum\limits_{\xi^{'}\in \Omega}|D_{\xi}^{\delta}\bigcap D^{\delta}_{\xi^{'}}|. \end{split} \end{equation} $

固定$ \xi\in\Omega $, 则有

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber \sum\limits_{\xi^{'}\in \Omega}|D_{\xi}^{\delta}\bigcap D^{\delta}_{\xi^{'}}| & = |D_{\xi}^{\delta}|+\sum^{\log\frac{1}{\delta}}_{k = 0}\sum\limits_{\xi^{'}\in \Omega, \angle(\xi, \xi^{'})\sim2^{-k}}|D_{\xi}^{\delta}\bigcap D^{\delta}_{\xi^{'}}|\\ &\lesssim|D_{\xi}^{\delta}|+\sum\limits_{0\leq k\leq log\frac{1}{\delta}}\sum\limits_{\xi^{'}\in \Omega, \angle(\xi, \xi^{'})\sim2^{-k}}2^{k}\delta|D_{\xi}^{\delta}|\\ &\lesssim|D_{\xi}^{\delta}|+\sum\limits_{0\leq k\leq log\frac{1}{\delta}}\frac{2^{-k}}{\delta}\cdot2^{k}\delta\cdot|D_{\xi}^{\delta}|\\ &\lesssim(\log\frac{1}{\delta})|D_{\xi}^{\delta}|. \end{split} \end{equation} $

所以

$ \|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}\|_{2}^{2}\lesssim\sum\limits_{\xi\in \Omega}\log\frac{1}{\delta}|D_{\xi}^{\delta}|, $

故

$ \|\sum\limits_{\xi\in \Omega}\chi_{D_{\xi}^{\delta}}\|_{2}\lesssim(\log\frac{1}{\delta})^{\frac{1}{2}}(\sum\limits_{\xi\in \Omega}|D_{\xi}^{\delta}|)^{\frac{1}{2}}. $

结合定理4.1和定理4.2, 即得定理2.1.

本文在$ \mathbb{R}^{3} $空间定义了一类圆盘型Besicovitch集并对其进行维数估计, 证明了该圆盘型Besicovitc集的Hausdorff维数为3.因为Kakeya二维情形已有的证明方法无法推广到高维空间上, 所以接下来将会致力于寻找高维情形新的证明方法.