1995年, Enochs和Jenda在文献[1]中引入了Gorenstein内射模和Gorenstein投射模的概念.自此, Gorenstein同调代数逐渐被人们所关注, 至今已发展成一个比较完整的理论体系. 2010年, Bennis和Nahdou在文献[2]中证明了$ \mathrm{sup}\{\mathrm{Gpd}_{R}M\mid M\; \text{是左}R $ -模$ \} $ = $ \mathrm{sup}\{\mathrm{Gid}_{R}M\mid M\; \text{是左}R $ -模$ \} $, 并把这个值定义为环$ R $的左整体Gorenstein维数. 2004年, Holm在文献[3]中证明了对左$ R $ -模$ M, \; N $, 如果$ \mathrm{Gpd}_{R}M<\infty, \; \mathrm{Gid}_{R}N<\infty $, 那么对任意的$ i\geq0, \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\cong \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N), $并由此定义了Gorenstein导出函子$ \mathrm{GExt}_{R}^{i}(-, -). $在文献[4, 5]中Asadollahi和Salarian研究了三角范畴中的Gorenstein同调理论. 2014年, Ren和Liu在文献[6]中研究了三角范畴的整体Gorenstein维数和三角范畴中的Gorenstein导出函子. 2015年, Wang在文献[7]中研究了正合范畴中的Gorenstein投射性和Tate上同调.

受以上工作启发, 本文研究正合范畴的整体Gorenstein维数和正合范畴中的Gorenstein导出函子.全文分为三个部分:第一部分介绍一些相关的概念及事实; 第二部分证明了在有足够多投射对象, 足够多内射对象, 有可数直和及可数直积的正合范畴$ \mathcal{A} $中, $ \mathrm{sup}\{\mathrm{Gpd}M\; |\; M\in\mathcal{A}\} = \mathrm{sup}\{\mathrm{Gid}M\; |\; M\in\mathcal{A}\} $, 由此将这个值定义为$ \mathcal{A} $的整体Gorenstein维数; 第三部分, 证明在有足够多投射对象和足够多内射对象的正合范畴$ \mathcal{A} $中, 对任意的$ M, \; N\in\mathcal{A} $, 如果$ \mathrm{Gpd}M<\infty, \; \mathrm{Gid}N<\infty $, 那么$ \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\cong \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N). $由此把这个同构意义下唯一的Abel群定义为$ \mathcal{A} $中对象$ M, \; N $确定的Gorenstein上同调群.

设$ \mathcal{A} $是一个加法范畴, $ \mathcal{A} $中的核-余核对$ (i, p) $是可合成的态射$ A'\xrightarrow i A\xrightarrow p A'' $, 使得$ i $是$ p $的核, $ p $是$ i $的余核.令$ \mathcal{E} $是$ \mathcal{A} $中一些核-余核对构成的类.称$ \mathcal{A} $中的态射$ i $是可许单的, 如果存在态射$ p $, 使得$ (i, p)\in\mathcal{E} $; 称$ \mathcal{A} $中的态射$ p $是可许满的, 如果存在态射$ i $, 使得$ (i, p)\in\mathcal{E} $.用$ \rightarrowtail $表示可许单态射, $ \twoheadrightarrow $表示可许满态射.

定义1.1^[8] 设$ \mathcal{A} $是加法范畴, $ \mathcal{E} $是$ \mathcal{A} $中一些核-余核对构成的类, 且$ \mathcal{E} $关于同构封闭.称$ \mathcal{E} $是$ \mathcal{A} $上的正合结构, 如果

[E$ _{0} $]对任意$ A\in\mathcal{A} $, 单位态射$ 1_{A} $是可许单的.

[E$ _{0}^{\mathrm{op}} $]对任意$ A\in\mathcal{A} $, 单位态射$ 1_{A} $是可许满的.

[E$ _{1} $]可许单态射的类关于合成封闭.

[E$ _{1}^{\mathrm{op}} $]可许满态射的类关于合成封闭.

[E$ _{2} $]一个可许单态射沿着任意一个态射都存在一个推出并得到一个可许单态射.

[E$ _{2}^{\mathrm{op}} $]一个可许满态射沿着任意一个态射都存在一个拉回并得到一个可许满态射.

称加法范畴$ \mathcal{A} $和其上的正合结构$ \mathcal{E} $构成的二元组($ \mathcal{A}, \mathcal{E} $)为正合范畴, $ \mathcal{E} $中的元素称为可许对或短正合序列.以下将正合范畴$ (\mathcal{A, E}) $简记为$ \mathcal{A} $.

称$ \mathcal{A} $中的态射$ f: A\rightarrow B $是可许的, 如果存在可许单态射$ m $和可许满态射$ e $, 使得下图可交换

称可许态射的序列

是正合的, 如果$ I \stackrel{m}{\rightarrowtail} A $ $ \stackrel{e'}{\twoheadrightarrow} I' $是一个短正合序列.称$ \mathcal{A} $中的序列$ \cdots\rightarrow A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}} A_{i}\xrightarrow{f_{i}} A_{i-1}\rightarrow\cdots $正合, 如果对任意的$ i\in\mathbb{Z} $, $ f_{i} $是可许态射, 并且$ A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}} A_{i}\xrightarrow{f_{i}} A_{i-1} $是正合的.

设$ P\in\mathcal{A} $, 称$ P $是正合范畴$ \mathcal{A} $中的投射对象, 如果对$ \mathcal{A} $中的任意短正合序列$ A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C $, Abel群的序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P, A)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P, B)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P, C)\rightarrow 0 $

正合.用$ \mathcal{P} $表示$ \mathcal{A} $中所有投射对象的类.称正合范畴$ \mathcal{A} $有足够多的投射对象, 如果对任意的$ M\in\mathcal{A} $, 存在一个投射对象$ P $和可许满态射$ P\twoheadrightarrow M $.

设$ \mathcal{A} $是正合范畴, $ M\in\mathcal{A} $.对象$ M $的投射分解是正合序列$ \cdots\rightarrow P_{n}\rightarrow\cdots\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M $, 其中对任意的$ i\geq0 $, $ P_{i}\in\mathcal{P} $, $ P_{0}\twoheadrightarrow M $是一个可许满态射.设$ M\in\mathcal{A} $, 用$ \mathrm{pd}M $表示$ M $的投射维数, 定义为:当$ M = $0时, $ \mathrm{pd}M = -1 $; 当$ M\in\mathcal{P} $时, $ \mathrm{pd}M = 0 $; 设$ n $是一个正整数, 若存在短正合序列$ K\rightarrowtail P\twoheadrightarrow M $, 使得$ P\in\mathcal{P}, \; \mathrm{pd}K\leq n-1 $, 则$ \mathrm{pd}M\leq n $.用$ \widetilde{\mathcal{P}} $表示$ \mathcal{A} $中所有投射维数有限的对象构成的类.

对偶地, 可以定义$ \mathcal{A} $中的内射对象, $ \mathcal{A} $中对象的内射分解以及内射维数.用$ \mathcal{I} $表示$ \mathcal{A} $中所有内射对象构成的类, 用$ \widetilde{\mathcal{I}} $表示$ \mathcal{A} $中所有内射维数有限的对象构成的类.

以下总假定$ \mathcal{A} $是有足够多投射对象和足够多内射对象的正合范畴.此时, 由文献[8, 注12.11], 对任意的$ n\geq0 $及任意的$ M, N\in\mathcal{A} $, Ext群Ext$ _{\mathcal{A}}^{n}(M, N)\cong R^{n}\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bf{P}, N) $, Ext$ _{\mathcal{A}}^{n}(M, N)\cong R^{n}\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \bf{I}) $, 其中$ \bf{P}\twoheadrightarrow M $是$ M $的一个投射分解, $ N\rightarrowtail \bf{I} $是$ N $的一个内射分解.

命题1.2 设$ M $是$ \mathcal{A} $中的对象, $ n\geq 0, $则以下等价

(1) $ \mathrm{pd}M\leq n. $

(2) 对任意的$ N\in\mathcal{A} $和任意的$ i>n, \; \mathrm{Ext}^{i}_{\mathcal{A}}(M, N) = 0 $.

(3) 对任意的$ N\in\mathcal{A}, \; \mathrm{Ext}^{n+1}_{\mathcal{A}}(M, N) = 0 $.

(4) 对$ \mathcal{A} $中的任意正合序列$ K_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M $, 如果$ P_{0}, \ldots, P_{n-1}\in\mathcal{P} $, 那么$ K_{n}\in\mathcal{P} $.

证 $ (2)\Rightarrow (3) $显然.

$ (1)\Rightarrow (2) $因为$ \; \mathrm{pd}M\leq n $, 所以存在$ M $的投射分解

$ P_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M. $

因为对任意的$ i>n, \; P_{i} = 0 $, 所以$ \mathrm{Ext}^{i}_{\mathcal{A}}(M, N) = 0 $.

$ (3)\Rightarrow (4) $设$ K_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M $是$ \mathcal{A} $中的正合序列, 其中$ P_{0}, \cdots, P_{n-1}\in\mathcal{P} $.从而对任意的$ N\in\mathcal{A} $, 由$ \mathrm{Ext}^{1}_{\mathcal{A}}(K_{n}, N)\cong\mathrm{Ext}^{n+1}_{\mathcal{A}}(M, N) $及(3)知$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{1}(K_{n}, N) = 0 $, 所以$ K_{n} $是投射的.

$ (4)\Rightarrow (1) $设$ \cdots\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M $是$ M\in\mathcal{A} $的一个投射分解, 则有正合列$ K_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M $.由(4)知$ K_{n}\in\mathcal{P} $, 所以$ \mathrm{pd}M\leq n. $

对$ \mathcal{A} $中对象的内射维数有对偶的结论.

定义2.1^[7] 称$ \mathcal{A} $中的短正合序列$ A\rightarrowtail B \twoheadrightarrow C $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(-, \mathcal{P}) $ -正合的, 如果对任意的$ Q\in\mathcal{P} $, Abel群的序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(C, Q)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(B, Q)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A, Q)\rightarrow0 $

正合.

定义2.2^[7] 称正合序列$ \bf{P}:\cdot\cdot\cdot\rightarrow P_{1}\xrightarrow {d_{1}} P_{0}\xrightarrow {d_{0}} P_{-1}\xrightarrow {d_{-1}}\cdot\cdot\cdot $是完全投射分解, 如果对任意的$ n\in\mathbb{Z}, \; P_{n}\in\mathcal{P} $, 且短正合序列$ K_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\twoheadrightarrow K_{n-1} $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(-, \mathcal{P}) $ -正合的.此时, 称$ K_{n} $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象.用$ \mathcal{GP} $表示$ \mathcal{A} $中所有Gorenstein投射对象的类.

对偶地可以定义$ \mathcal{A} $中的完全内射分解和Gorenstein内射对象.用$ \mathcal{GI} $表示$ \mathcal{A} $中所有Gorenstein内射对象的类.

定义2.3^[7] 设$ M\in\mathcal{A} $, 用$ \mathrm{Gpd}M $表示$ M $的Gorenstein投射维数, 定义为:若$ M = 0 $, 则$ \mathrm{Gpd}M = -1 $; 若$ M\in\mathcal{GP} $, 则$ \mathrm{Gpd}M = $0;如果存在一个短正合序列$ K\rightarrowtail G\twoheadrightarrow M $, 其中$ G\in\mathcal{GP}, \; \mathrm{Gpd}K\leq n-1 $, 那么$ \; \mathrm{Gpd}M\leq n $.如果对任意的$ n\geq $0, $ \mathrm{Gpd}M\neq n $, 那么令$ \mathrm{Gpd}M = \infty $.用$ \widetilde{\mathcal{GP}} $表示$ \mathcal{A} $中所有Gorenstein投射维数有限的对象构成的类.

对偶地可以定义$ \mathcal{A} $中对象的Gorenstein内射维数$ \mathrm{Gid}M $.用$ \widetilde{\mathcal{GI}} $表示$ \mathcal{A} $中所有Gorenstein内射维数有限的对象构成的类.

命题2.4 设$ \mathcal{A} $是正合范畴.若$ \mathcal{A} $有可数直和, 则$ \mathcal{GP} $关于可数直和与直和项封闭.

证 设$ \{M_{i}\}_{i\in\mathbb{Z}} $是$ \mathcal{A} $中的一簇对象, 且对任意的$ i\in\mathbb{Z}, \; M_{i}\in\mathcal{GP} $, 下证$ \oplus_{i\in\mathbb{Z}}M_{i}\in\mathcal{GP} $.因为$ M_{i}\in\mathcal{GP} $, 所以存在完全投射分解

$ \bf{P}_{i}:\cdots\rightarrow P_{i, 1}\rightarrow P_{i, 0}\rightarrow P_{i, -1}\rightarrow\cdots, $

使得对任意的$ n\in\mathbb{Z} $, 存在短正合序列$ K_{i, n}\rightarrowtail P_{i, n-1}\twoheadrightarrow K_{i, n-1} $, 其中$ M_{i} = K_{i, 0} $.则由文献[8, 命题2.9]知有正合列

$ \oplus_{i\in\mathbb{Z}}\bf{P}_{i}:\cdots\rightarrow\oplus_{i\in\mathbb{Z}} P_{i, 1}\rightarrow\oplus_{i\in\mathbb{Z}} P_{i, 0}\rightarrow\oplus_{i\in\mathbb{Z}} P_{i, -1}\rightarrow\cdots. $

由文献[9, P$ _{433} $]知, 对任意的$ Q\in\mathcal{A} $, $ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\oplus_{i\in\mathbb{Z}}\bf{P}_{i}, \; Q)\cong\prod_{i\in\mathbb{Z}}\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bf{P}_{i}, \; Q) $正合, 所以$ \oplus_{i\in\mathbb{Z}}\bf{P}_{i} $是完全投射分解, 故$ \oplus_{i\in\mathbb{Z}}M_{i}\in\mathcal{GP} $.

下证$ \mathcal{GP} $关于直和项封闭.设$ M\in\mathcal{GP} $，且$ M = M'\oplus M'' $.令$ N = M\oplus M\oplus \cdots $.则$ N = M'\oplus M''\oplus M'\oplus M''\oplus\cdots $, 故$ N\cong M'\oplus N $.由文献[8, 引理2.7]知$ M'\rightarrowtail M'\oplus N\twoheadrightarrow N $是短正合序列.因为$ \mathcal{GP} $关于直和封闭, 所以由文献[7, 引理2.2, 定理2.4]和文献[10, 命题1.4]知$ \mathcal{GP} $关于直和项封闭.

命题2.5 设$ \mathcal{A} $是正合范畴.若$ \mathcal{A} $有可数直和, 则对$ \mathcal{A} $中任何一簇对象$ \{M_{i}\}_{i\in\mathbb{Z}} $,

$ \mathrm{Gpd}(\oplus_{i\in\mathbb{Z}}M_{i}) = \mathrm{sup}\{\mathrm{Gpd}M_{i}\; |\; i\in\mathbb{Z}\}. $

证 因为$ \mathcal{GP} $关于可数直和封闭, 所以$ \leq $成立.设$ M\in\mathcal{A} $, 下面证明如果$ M' $是$ M $的直和项, 那么$ \mathrm{Gpd}M'\leq\mathrm{Gpd}M $即可.

设$ \mathrm{Gpd}M = n<\infty $, 对$ n $进行归纳.当$ n = 0 $时, 由命题2.4知$ M'\in\mathcal{GP} $, 所以$ \mathrm{Gpd}M' = \mathrm{Gpd}M $.设$ n>0 $, 且假定结论对$ n-1 $的情形成立.设$ M = M'\oplus M'' $, 取短正合序列$ K'\rightarrowtail G'\twoheadrightarrow M' $与$ K''\rightarrowtail G''\twoheadrightarrow M'' $, 其中$ G', \; G''\in\mathcal{P} $.则由文献[8, 定理12.8]有如下行、列正合的交换图

由文献[8, 推论11.6]和文献[7, 引理2.2]知$ G'\oplus G''\in\mathcal{GP} $.因为$ \mathrm{Gpd}M = n $, 所以由文献[7, 命题2.7]知$ \mathrm{Gpd}(K'\oplus K'') = n-1 $.因此由归纳假设知$ \mathrm{Gpd}K'\leq n-1 $.故$ \mathrm{Gpd}M'\leq n. $

引理2.6 (1)设$ G $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein内射对象, 则对任意的$ X\in\widetilde{\mathcal{P}} $, $ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{1}(X, G) = 0 $.

(2) 设$ G $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象, 则对任意的$ X\in\widetilde{\mathcal{I}} $, $ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{1}(G, X) = 0 $.

证 只证(1), (2)可对偶地证明.

(1) 设$ G $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein内射对象, 则对任意的$ i\geq $0, 存在$ \mathcal{A} $中的短正合序列$ G_{i}\rightarrowtail I_{i}\twoheadrightarrow G_{i-1} $, 其中$ G_{0} = G, \; I_{i}\in\mathcal{I} $.设$ X\in\widetilde{\mathcal{P}} $, 则有Abel群同构

$ \mathrm{Ext_{\mathcal{A}}^{1}}(X, G)\cong\mathrm{Ext_{\mathcal{A}}^{2}}(X, G_{1})\cong\cdot\cdot\cdot\cong\mathrm{Ext_{\mathcal{A}}}^{i}(X, G_{i-1})\cong\cdot\cdot\cdot. $

因为$ X $的投射维数有限, 所以$ \mathrm{Ext_{\mathcal{A}}^{1}}(X, G) = 0. $

命题2.7 设$ M $是$ \mathcal{A} $中的对象.

(1) 如果$ M\in\widetilde{\mathcal{P}} $, 那么$ \mathrm{Gid}M = \mathrm{id}M $.

(2) 如果$ M\in\widetilde{\mathcal{I}} $, 那么$ \mathrm{Gpd}M = \mathrm{pd}M $.

证 (1)显然$ \mathrm{Gid}M\leq\mathrm{id}M $.下证$ \mathrm{Gid}M\geq\mathrm{id}M $.若$ \mathrm{Gid}M = \infty $, 则结论成立.现设$ \mathrm{Gid}M<\infty $.若$ M\in\mathcal{GI} $, 则存在一个短正合序列$ \; M'\rightarrowtail E\twoheadrightarrow M $, 其中$ M'\in\mathcal{GI} $, $ E\in\mathcal{I} $.因为$ M\in\widetilde{\mathcal{P}} $, $ M'\in\mathcal{GI} $, 所以由引理2.6知$ \mathrm{Ext_{\mathcal{A}}^{1}}(M, M') = 0 $.因此$ E\cong M'\oplus M $.因为$ E\in\mathcal{I} $, 所以由文献[8, 注记11.8]知$ M\in\mathcal{I} $.

设$ \mathrm{Gid}M>0 $, 则由文献[7, 命题2.7]的对偶知存在$ \mathcal{A} $中的短正合序列$ \; M\rightarrowtail G\twoheadrightarrow L $, 其中$ G\in\mathcal{GI}, \; \mathrm{id}L = \mathrm{Gid}M-1 $.因为$ G\in\mathcal{GI} $, 所以存在一个短正合序列$ \; G'\rightarrowtail E\twoheadrightarrow G $, 其中$ G'\in\mathcal{GI}, \; E\in\mathcal{I} $.因为$ E\twoheadrightarrow G $是一个可许满态射, 所以由$ [\mathrm{E_{2}^{op}}] $及文献[8, 命题2.15]可以得到如下行、列正合的交换图

因为$ E\in\mathcal{I} $, 所以$ \mathrm{id}D\leq\mathrm{id}L+1 = \mathrm{Gid}M $.因为$ M\in\widetilde{\mathcal{P}}, \; G'\in\mathcal{GI} $, 所以由引理$ 2.6 $可知$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{1}(M, G') = 0 $.因此短正合序列$ G'\rightarrowtail D\twoheadrightarrow M $可裂, 故$ \mathrm{id}M\leq\mathrm{id}D\leq\mathrm{Gid}M. $

(2) 对偶地可以证明.

命题2.8 设$ M\in \mathcal{\widetilde{GP}} $, $ n $是非负整数, 则以下等价

(1) $ \mathrm{Gpd}M\leq n. $

(2) 对任意的$ L\in\mathcal{\widetilde{P}} $和任意的$ i>n, \; \mathrm{Ext}^{i}_{\mathcal{A}}(M, L) = 0 $.

(3) 对任意的$ Q\in\mathcal{P} $和任意的$ i>n, \; \mathrm{Ext}^{i}_{\mathcal{A}}(M, Q) = 0 $.

(4) 对$ \mathcal{A} $中任意的正合序列$ K_{n}\rightarrowtail G_{n-1}\rightarrow \cdots\rightarrow G_{0}\twoheadrightarrow M $, 若$ G_{0}, \ldots, G_{n-1}\in\mathcal{GP} $, 则$ K_{n}\in\mathcal{GP} $.

证 $ (2)\Rightarrow(3) $显然. $ (4)\Rightarrow(1) $由文献[7, 命题2.7]可知.

$ (1)\Rightarrow(2) $假设$ \mathrm{Gpd}\; M\leq\; n $, 则存在$ \mathcal{A} $中的正合序列

$ G_{n}\rightarrowtail G_{n-1}\rightarrow\cdot\cdot\cdot\rightarrow G_{1}\rightarrow G_{0}\twoheadrightarrow M, $

其中$ G_{0}, \cdots, G_{n} $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象.设$ L\in\widetilde{\mathcal{P}} $, 则对任意的$ i>0 $, 由文献[7, 引理2.3]知Ext$ _{\mathcal{A}}^{i+n}(M, L)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(G_{n}, L) = 0 $.

$ (3)\Rightarrow(4) $考察$ \mathcal{A} $中的正合序列

$ K_{n}\rightarrowtail G_{n-1}\rightarrow \cdots\rightarrow G_{0}\twoheadrightarrow M, $

其中$ G_{0}, \ldots, G_{n-1} $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象.因为$ \mathrm{Gpd}M<\infty $, 所以$ \mathrm{Gpd}K_{n}<\infty $, 因此有$ \mathcal{A} $中的正合序列

$ G_{m}'\rightarrowtail G_{m-1}'\rightarrow \cdots\rightarrow G_{0}'\twoheadrightarrow K_{n}, $

其中$ G_{0}', \ldots, G_{m}' $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象.于是有短正合序列$ L_{j}'\rightarrowtail G_{j-1}\twoheadrightarrow L_{j-1}' $, $ j = 1, \cdots, m $, 其中$ L_{m}' = G_{m}', \; L_{0}' = K_{n} $.设$ i>0, \; Q\in \mathcal{P} $, 则由文献[7, 引理2.3]知Ext$ _{\mathcal{A}}^{i}(K_{n}, Q)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i+n}(M, Q) = 0 $.于是对任意的$ j = 1, \cdots, m $, 由文献[7, 引理2.3]知Ext$ _{\mathcal{A}}^{1}(L_{j-1}', Q)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{j}(K_{n}, Q) = 0 $.因此由文献[7, 推论2.8]知$ L_{m}', \cdots, L_{0}'\in\mathcal{GP} $.特别地, $ K_{n}\in\mathcal{GP}. $

引理2.9 设$ \mathrm{sup}\; \{\mathrm{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\}<\infty $, 则对任意的非负整数$ n $, 以下等价

(1) $ \mathrm{sup}\; \{\mathrm{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\}\leq n $.

(2) 对任意的$ P\in\mathcal{\widetilde{P}}, \; \mathrm{id}P\leq n $.

证 由引理$ 1.2 $的对偶和命题$ 2.8 $可得.

定义2.10 设$ M\in\mathcal{A} $.称$ M $是强Gorenstein投射的, 如果存在正合序列

$ \bf{P}:\cdots\xrightarrow{f} P\xrightarrow{f} P\xrightarrow{f} P\xrightarrow{f}\cdots, $

其中$ P\in\mathcal{P} $, 使得短正合序列$ P \stackrel{m}{\rightarrowtail} M $ $ \stackrel{e}{\twoheadrightarrow} P $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(-, \mathcal{P}) $ -正合的, 其中$ f = em $.称$ \bf{P} $是强完全投射分解.

对偶地可以定义$ \mathcal{A} $中的强Gorenstein内射对象和强完全内射分解.

注2.11 对象$ M\in\mathcal{A} $是强Gorenstein投射的当且仅当存在一个短正合序列$ M\rightarrowtail P\twoheadrightarrow M $, 其中$ P $是投射的, 并且对任意的$ Q\in\widetilde{\mathcal{P}}, \; i>0, \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, Q) = 0 $.

命题2.12 设$ \mathcal{A} $是正合范畴, 且$ \mathcal{A} $有可数直和(直积), 则对任意的$ M\in\mathcal{A} $, $ M\in\mathcal{GP}(M\in\mathcal{GI}) $当且仅当$ M $是$ \mathcal{A} $中某个强Gorenstein投射(内射)对象的直和项.

证 只证Gorenstein投射的情形, Gorenstein内射的情形对偶地可以证明.

必要性 设$ M $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein投射对象, 则存在一个完全投射分解

$ \bf{P}:\cdot\cdot\cdot\rightarrow P_{1}\xrightarrow {d_{1}} P_{0}\xrightarrow {d_{0}} P_{-1}\xrightarrow {d_{-1}}\cdot\cdot\cdot, $

使得对任意的$ n\in \mathbb{Z} $, 存在短正合序列$ K_{n}\rightarrowtail P_{n-1}\twoheadrightarrow K_{n-1} $, 其中$ P_{n-1}\in\mathcal{P}, \; M = K_{0} $.对任意的$ m\in\mathbb{Z} $, 用$ \Sigma^{m}\bf{P}\bf{} $表示这样的正合序列对任意的$ i\in\mathbb{Z} $, $ (\Sigma^{m}\bf{P})_{i} = P_{i-m}, \; d_{i}^{\Sigma^{m}\bf{P}} = d_{i-m} $.由文献[8, 命题2.9, 推论11.6]知有$ \mathcal{A} $中投射对象的正合序列

$ \bf{Q} = \oplus(\Sigma^{m}\bf{P}) = : \cdots\rightarrow\oplus P_{i}\xrightarrow{\oplus d_{i}}\oplus P_{i}\xrightarrow{\oplus d_{i}}\oplus P_{i}\xrightarrow{\oplus d_{i}}\cdots. $

从而有短正合序列$ K\rightarrowtail\oplus P_{i}\twoheadrightarrow K $, $ M $是$ K $的直和项.设$ L\in\mathcal{P} $, 则由

$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\oplus_{m\in\mathbb{Z}}(\Sigma^{m}\bf{P}), \; L)\cong \prod\limits_{m\in\mathbb{Z}}\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\Sigma^{m}\bf{P}, \; L) $

知$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bf{Q}, L) $正合.因此$ \bf{Q} $是强完全投射分解, 故$ M $是强Gorenstein投射对象$ K $的直和项.

充分性由命题2.4可得.

定理2.13 设$ \mathcal{A} $是正合范畴, 且$ \mathcal{A} $有可数直和与可数直积.则

$ \mathrm{sup\{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\} = \mathrm{sup\{Gid}M\mid M\in\mathcal{A}\}. $

证 设$ n\geq0 $, 且$ \mathrm{sup\{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\}\leq n. $下面证明$ \mathrm{sup\{Gid}M\mid M\in\mathcal{A}\}\leq n $.首先证明若$ M $是$ \mathcal{A} $中的强Gorenstein投射对象, 则$ \mathrm{Gid}M\leq n $.设$ M\in\mathcal{A} $是强Gorenstein投射的, 则由注2.11知存在一个短正合序列$ M\rightarrowtail P\twoheadrightarrow M $, 其中$ P\in\mathcal{P} $.由文献[8, 定理12.8]的对偶可得如下行、列正合的交换图

其中$ I_{i} $是内射的, $ i = 0, \cdots, \; n-1 $.因为$ P $是投射的, 由引理2.9知$ \mathrm{id}P\leq n $, 所以由命题1.2的对偶知$ C\in\mathcal{I} $.设$ E $是$ \mathcal{A} $中的内射对象, 则由命题2.7知$ \mathrm{pd}E\leq n $, 所以对任意的$ i\geq n+1, \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(E, N) = 0 $.因此由注2.11的对偶知$ N $是强Gorenstein内射的.故$ \mathrm{Gid}M\leq n $.

其次证明对任意的$ M\in\mathcal{A}, \; \mathrm{Gid}M\leq n. $

设$ M\in\mathcal{A} $, 由条件知$ \mathrm{Gpd}M = m\leq n $.下面对$ m $进行归纳.

当$ m = 0 $时, $ M $是Gorenstein投射的.由命题2.12, 存在$ \mathcal{A} $中的强Gorenstein投射对象$ G $, 使得$ M $是$ G $的直和项.由第一步知$ \mathrm{Gid}G\leq n $.由命题2.5的对偶知$ \mathrm{Gid}M\leq n $.

设$ m\geq 1 $.由文献[7, 命题2.7]知存在短正合序列$ K\rightarrowtail N\twoheadrightarrow M $, 其中$ N\in\mathcal{GP}, \mathrm{Gpd}K\leq m-1 $.由归纳假设知$ \mathrm{Gid}K\leq n, \; \mathrm{Gid}N\leq n $.于是由文献[8, 定理12.8]的对偶, 命题2.8的对偶和文献[7, 定理2.4]的对偶知$ \mathrm{Gid}M\leq n $.

对偶地可证若$ \mathrm{sup\{Gid}M\mid M\in\mathcal{A}\}\leq n $, 则$ \mathrm{sup\{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\}\leq n $.故结论成立.

设$ \mathcal{A} $是有足够多投射对象, 足够多内射对象以及可数直和与可数直积的正合范畴.令

$ \mathcal{G}\mathrm{gdim}\mathcal{A}: = \mathrm{sup}\{\mathrm{Gpd}M\mid M\in\mathcal{A}\} = \mathrm{sup}\{\mathrm{Gid}M\mid M\in\mathcal{A}\}. $

称$ \mathcal{G}\mathrm{gdim}\mathcal{A} $为$ \mathcal{A} $的整体Gorenstein维数.

定义3.1 设$ M\in\mathcal{A} $, 对象$ M $的真左Gorenstein投射分解是一个正合序列

$ \cdots\rightarrow G_{n}\rightarrow G_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow G_{1}\rightarrow G_{0}\twoheadrightarrow M, $

其中每个$ G_{i}\in\mathcal{GP} $, 并且对任意的$ i\geq 0 $, 短正合序列$ K_{i+1}\rightarrowtail G_{i}\twoheadrightarrow K_{i} $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\mathcal{GP}, -) $ -正合的, 即对任意的$ G\in\mathcal{GP} $, 序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, K_{i+1})\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, G_{i})\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, K_{i})\rightarrow0 $

正合, 其中$ K_{0} = M $.

设$ M\in\widetilde{\mathcal{GP}} $, 则由文献[7, 命题2.7, 引理2.3]知$ M $有真左Gorenstein投射分解.

定义3.2 设$ M\in\widetilde{\mathcal{GP}} $, 且$ \bf{G}\twoheadrightarrow M $是$ M $的一个真左Gorenstein投射分解.对任意的$ i\geq 0 $及任意的$ N\in\mathcal{A} $, 定义

$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N) = \mathrm{H}^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bf{G}, N)). $

由比较定理(文献[8, 定理12.4]和文献[11, $ \mathrm{P}_{175} $])知$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N) $的定义合理.

对偶地, 可以定义$ \mathcal{A} $中对象的余真右Gorenstein内射分解, 且由文献[7, 命题2.7, 引理2.3]的对偶知$ \mathcal{A} $中每个Gorenstein内射维数有限的对象都有余真右Gorenstein内射分解.于是对任意的$ N\in\widetilde{\mathcal{GI}} $, 任意的$ M\in\mathcal{A} $及$ i\geq 0 $, 可以合理地定义$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N) $.

命题3.3 (1)设$ \mathcal{A} $中的对象$ M $有有限投射维数, 则对任意的$ N\in \mathcal{A} $及任意的$ i\geq0 $, $ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N) $.

(2) 设$ \mathcal{A} $中的对象$ N $有有限内射维数, 则对任意的$ \; M\in\mathcal{A} $及任意的$ i\geq0 $, $ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N) $.

证 (1)设$ \mathrm{pd}M = n<\infty $, 则$ M $有长度为$ n $的投射分解

$ P_{n}\rightarrowtail\cdots\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\twoheadrightarrow M. $

设$ \; 0\leq i\leq n-1 $, 则短正合序列$ \; K_{i+1}\rightarrowtail P_{i}\twoheadrightarrow K_{i} $中每一项都有有限投射维数.设$ G $是$ \mathcal{A} $中的一个$ \mathrm{Gorenstein} $投射对象, 用$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, \; -) $作用在上述短正合序列上, 由文献[7, 引理2.3]知序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, K_{i+1})\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, P_{i})\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G, K_{i})\rightarrow0 $

正合.这表明$ M $的投射分解是$ M $的真左Gorenstein投射分解.故对任意的$ \; N\in\mathcal{A} $及任意的$ i\geq0, \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N). $

(2) 对偶地可以证明.

定理3.4 设$ M, \; N\in\mathcal{A} $.若$ M $的Gorenstein投射维数有限, $ N $的Gorenstein内射维数有限, 则对任意的$ i\geq 0, \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\cong\mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N) $.

证 设$ \mathrm{Gpd}M<\infty $, 则由文献[7, 命题2.7]知$ M $有真左Gorenstein投射分解$ \bf{G}\twoheadrightarrow M $, 且存在$ \mathcal{A} $中的短正合序列$ K_{1} \stackrel{f}{\rightarrowtail} G_{0} $ $ \stackrel{g}{\twoheadrightarrow} M $, 其中$ G_{0}\in\mathcal{GP} $, $ \mathrm{pd}K_{1} = \mathrm{Gpd}M-1 $.设$ H $是$ \mathcal{A} $中的Gorenstein内射对象, 则存在$ \mathcal{A} $中的短正合序列$ H' \stackrel{s}{\rightarrowtail} E $ $ \stackrel{t}{\twoheadrightarrow} H $, 其中$ E\in\mathcal{I}, \; H'\in\mathcal{GI} $.因为$ K_{1} $的投射维数有限, 所以由引理2.6知$ \mathrm{Ext}_{A}^{1}(K_{1}, H') = 0 $.故序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, H')\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, E)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, H)\rightarrow0 $

正合.于是对任意$ \alpha\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, H) $, 存在$ \beta\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, E) $, 使得$ \alpha = t\beta $.又因为$ E\in\mathcal{I} $, 所以序列

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, E)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G_{0}, E)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, E)\rightarrow0 $

正合.故存在$ \gamma\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G_{0}, E) $, 使得$ \beta = \gamma f $.因此有以下交换图

令$ \delta = t\gamma $.则$ \delta\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G_{0}, H) $, 且$ \alpha = \delta f $.所以

$ 0\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, H)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(G_{0}, H)\rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(K_{1}, H)\rightarrow0 $

正合.继续该过程可知$ M $的Gorenstein投射分解$ \bf{G}\twoheadrightarrow M $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\; -, \mathcal{GI}) $ -正合的.同理可以证明$ N $的余真右Gorenstein内射分解$ N\mathrm{\rightarrowtail\bf{H}} $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\mathcal{GP}, \; -) $ -正合的.于是有交换图

其中除第一行和第一列外, 其他行和列均正合.由文献[11, 命题1.4.16]知, 对任意的$ i\geq0 $, $ \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N) = \mathrm{H}^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bf{G}, N))\cong \mathrm{H}^{i}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \bf{H})) = \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N). $定理证毕.

由定理3.4, 对$ M, N\in\mathcal{A} $, 若$ \mathrm{Gpd}M<\infty, \; \mathrm{Gid}N<\infty $, 则记

$ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N): = \; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GP}}^{i}(M, N)\; \cong\; \mathrm{Ext}_{\mathcal{GI}}^{i}(M, N). $

称$ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(-, -) $是$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(-, -) $的Gorenstein导出函子.

命题3.5 设$ \mathrm{sup\{Gid}N\mid N\in\mathcal{A}\}<\infty, \; M\in\widetilde{\mathcal{GP}}, $则对任意的$ n\geq0 $, 下列条件等价

(1) $ \mathrm{Gpd}M\leq n. $

(2) 对任意的$ N\in\mathcal{A} $和任意的$ i>0 $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+i}(M, N) = 0 $.

(3) 对任意的$ N\in\mathcal{A} $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(M, N) = 0 $.

(4) 对任意的$ Q\in\mathcal{P} $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(M, Q) = 0 $.

证 $ \; (1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4) $显然.下证$ (4)\Rightarrow(1) $.

设$ Q $是$ \mathcal{A} $中的投射对象, 由命题$ 2.7 $知$ \mathrm{id}Q = \mathrm{Gid}Q $.因为$ \mathrm{sup}\{\mathrm{Gid}N\mid N\in\mathcal{A}\}<\infty $, 所以$ \mathrm{id}Q = \mathrm{Gid}Q<\infty $.由命题3.3知$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(M, Q)\cong\mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(M, Q) = 0 $.由命题2.8知$ \mathrm{Gpd}M\leq n. $

对偶地有

命题3.6 设$ \mathrm{sup\{Gpd}N\mid N\in\mathcal{A}\}<\infty, \; N\in\widetilde{\mathcal{GI}}, $则对任意的$ n\geq 0, $下列条件等价

(1) $ \mathrm{Gid}N\leq n. $

(2) 对任意的$ M\in\mathcal{A} $和任意的$ i>0 $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+i}(M, N) = 0 $.

(3) 对任意的$ M\in\mathcal{A} $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(M, N) = 0 $.

(4) 对任意的$ E\in\mathcal{I} $, $ \mathcal{G}\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{n+1}(E, N) = 0 $.