在过去的几十年间, 非线性抛物方程解的爆破问题已经得到了很广泛的研究, 文献[1, 2]有较详细的介绍.其中, 关于解爆破时间$ T $的研究, 仍然有许多文章仅针对$ T $的上界, 但下界的估计却更加符合实际情况.随着Payne[3]开创性的工作以后, 这种讨论爆破时间下界估计的研究得到了许多学者的关注.需要指出的是, Li[4]在齐次Dirichlet边界条件下讨论了方程

$ u_t = \Delta u + u^p - |\nabla u|^q , \qquad (x, t) \in \Omega \times (0, T) $

的爆破问题, 获得了方程的解发生爆破时爆破时间的下界估计.这里拓展文[4]的研究范围, 将在Robin边界条件

$ \frac{\partial u}{\partial \nu} + k u = 0, \quad (x, t) \in \partial\Omega \times (0, T) $

下讨论相同的问题.在这种边界条件下, 文献[4]使用的Sobolev不等式不再可以使用.另外, 由于方程中梯度项的存在, 需要克服一些困难.因此, 当方程的解发生爆破时, 通过建立合适的Sobolev型微分不等式, 获得了爆破时间的下界估计.关于爆破时间下界估计的更多结论见文献[5-11].

设$ \Omega \subset \mathbb{R}^3 $是具有足够光滑边界$ \partial \Omega $与凸性的有界区域.考虑如下具有非线性梯度项的抛物问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & u_t = \Delta u + u^p - |\nabla u|^q , && (x, t)\in \Omega \times (0, T), \\ & \frac{\partial u}{\partial \nu} + k u = 0, && (x, t)\in \partial\Omega \times (0, T), \\ & u(x, 0) = u_0(x) \geq 0, && x\in \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation} $

(2.1)

其中$ p, k > 0, q > 2 $, $ \Delta $和$ \nabla $表示拉普拉斯和梯度算子, $ T $是可能的爆破时间, $ (\partial u/\partial \nu) $表示在边界向外的法向单位导数, $ u_0(x) $满足适当紧条件的连续函数.

根据最大值原理有$ u\geq 0 $.另外, 除了在某些时刻会发生爆破之外, 还假设问题存在古典正解.当解发生爆破时, 本文的目的是要确定爆破时间的下界估计.为此, 定义下面的辅助函数

$ \begin{equation} \varphi(t) = \int_\Omega u^{8p+1} \mathrm{d}x. \end{equation} $

(2.2)

利用分部积分与边界条件, 简单的计算就可以得到

$ \begin{align} && \frac{1}{8p+1}\varphi^\prime (t) & = \int_\Omega u^{8p} u_t \mathrm{d}x = \int_\Omega u^{8p} \Delta u \mathrm{d}x + \int_\Omega u^{9p}\mathrm{d}x - \int_\Omega u^{8p} |\nabla u|^q \mathrm{d}x \\ && & \leq - 8p \int_\Omega u^{8p-1} |\nabla u|^2 \mathrm{d}x + \int_\Omega u^{9p}\mathrm{d}x - \int_\Omega u^{8p} |\nabla u|^q \mathrm{d}x. \end{align} $

(2.3)

另外, 由于$ | \nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 = \frac{(8p+1)^2}{4} u^{8p-1} |\nabla u|^2, \ \quad | \nabla u^{\frac{8p+q}{q}}|^q = (\frac{8p+q}{q})^q u^{8p} |\nabla u|^q. $因此(2.3)式可以写成

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{8p+1}\varphi^\prime (t) &\leq & ( \frac{1}{2} \int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x - (\frac{q}{8p+q})^q \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+q}{q}}|^q \mathrm{d}x ) \\ && +( \frac{1}{2} \int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x - \frac{32p}{(8p+1)^2} \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 \mathrm{d}x ) = J_1 + J_2. \end{eqnarray} $

(2.4)

下面考虑$ J_1 $.由于$ |\nabla u^{\frac{8p+q}{q}}| $的指数是$ q $而不是$ 2 $, 因此需要一点技巧去克服这个困难使得其指数变成$ 2 $.为了方便, 令$ v = u^{\frac{8p+q}{q}} $并通过Hölder不等式就有

$ \begin{equation} \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x = \frac{q^2}{4} \int_\Omega v^{q-2} |\nabla v|^2 \mathrm{d}x \leq \frac{q^2}{4} ( \int_\Omega v^q \mathrm{d}x )^{\frac{q-2}{q}} ( \int_\Omega |\nabla v|^q \mathrm{d}x )^{\frac{2}{q}}. \end{equation} $

(2.5)

再从Poincare不等式, $ \lambda_1 \int_\Omega v^q \mathrm{d}x \leq \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x - \int_{\partial \Omega} v^{\frac{q}{2}} \frac{\partial v^{\frac{q}{2}} }{\partial \nu} \mathrm{d}S, $这里$ \lambda_1 $是下列弹性膜问题

$ \Delta w + \lambda w = 0, \quad x \in \Omega; \quad \frac{\partial w}{\partial \nu} + k w = 0, \quad x \in \partial \Omega $

的第一正特征值.利用Robin边界条件, 又有

$ \begin{equation} \lambda_1 \int_\Omega v^q \mathrm{d}x \leq \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x + \frac{k(8p+q)}{2} \int_{\partial \Omega} v^{q} \mathrm{d}S. \end{equation} $

(2.6)

再根据散度定理

$ \begin{align} && \int_{\partial\Omega} x_i \nu_i v^q \mathrm{d}S & \leq \int_\Omega x_{i, i} v^q \mathrm{d}x + q \int_\Omega x_i v^{q-1} |v_{, i}| \mathrm{d}x \\ && & \leq 3 \int_\Omega v^q \mathrm{d}x + q ( \int_\Omega x_i x_i v^q \mathrm{d}x )^{\frac{1}{2}}( \int_\Omega v^{q-2}|\nabla v|^2 \mathrm{d}x )^{\frac{1}{2}}. \end{align} $

(2.7)

利用$ \Omega $的凸性可以令

$ l_0 = \min\limits_{\partial\Omega}(\mathbf{x}\cdot { {{ ν}}}), \quad d^2 = \max\limits_{\Omega}|\mathbf{x}| $

以及Young不等式得到

$ \begin{equation} \int_{\partial\Omega} v^q \mathrm{d}S \leq ( \frac{3}{l_0} + \frac{d}{l_0} \theta ) \int_\Omega v^q \mathrm{d}x + \frac{d}{l_0 \theta} \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x, \end{equation} $

(2.8)

这里$ \theta $是任意正的常数.这样从(2.8)式和(2.6)式就可以获得

$ \begin{equation} ( \lambda_1 - \frac{3k(8p+q)}{2 l_0} - \frac{kd(8p+q)}{2 l_0} \theta)\int_\Omega v^q \mathrm{d}x \leq ( 1+\frac{kd(8p+q)}{2 l_0 \theta} )\int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x. \end{equation} $

(2.9)

如果$ \Omega $, 也就是$ \lambda_1 $满足

$ \begin{equation} \lambda_1 - \frac{3k(8p+q)}{2 l_0} >0, \end{equation} $

(2.10)

然后选择充分小的$ \theta $, 使得

$ C_1 = \lambda_1 - \frac{3k(8p+q)}{2 l_0} - \frac{kd(8p+q)}{2 l_0} \theta >0. $

这样(2.9)式就可以写成:

$ \begin{equation} C_1 \int_\Omega v^q \mathrm{d}x \leq C_0 \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x, \end{equation} $

(2.11)

其中$ C_0 = 1+\frac{kd(8p+q)}{2 l_0 \theta} $.把(2.11)式代入(2.5)式得到

$ \begin{equation} \int_\Omega |\nabla v^{\frac{q}{2}}|^2 \mathrm{d}x \leq (\frac{q}{2} )^q (\frac{C_0}{C_1} )^{\frac{q-2}{2}}\int_\Omega |\nabla v|^q \mathrm{d}x. \end{equation} $

(2.12)

因此根据$ J_1 $的定义就有

$ \begin{equation} J_1 \leq \frac{1}{2}\int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x - ( \frac{2}{8p+q} )^q ( \frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}}\int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+q}{2}}|^2 \mathrm{d}x. \end{equation} $

(2.13)

下面考虑(2.13)式右边的第一项.如果$ p > 1 $, 利用Hölder不等式和$ a^r b^q \leq ra + qb, r+q = 1, a, b > 0 $得到

$ \begin{align} && \int_\Omega u^{9p}\mathrm{d}x & \leq ( \int_\Omega u^{8p+1}\mathrm{d}x )^{\frac{8p+1-\sigma_1}{8p+1}} (\int_\Omega u^{\frac{9(8p+q)}{8}}\mathrm{d}x )^{\frac{\sigma_1}{8p+1}} \\ && & \leq \frac{8p+1-\sigma_1}{8p+1} \int_\Omega u^{8p+1} \mathrm{d}x + \frac{\sigma_1}{8p+1} \int_\Omega u^{\frac{9(8p+q)}{8}}\mathrm{d}x \\ && & = \frac{8p+1-\sigma_1}{8p+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{8p+1} \int_\Omega u^{\frac{9(8p+q)}{8}}\mathrm{d}x, \end{align} $

(2.14)

这里

$ \sigma_1 = \frac{8(p - 1)(8p+1)}{8(p-1)+9q} \in (0, 8p+1). $

借助文献[3]的思想, 下面寻找一个合适的Sobolev型不等式来计算$ u^{9(8p+q)/8} $的积分.首先, 令$ x_{im} $和$ x_{iM} $分别表示$ \Omega $在坐标$ x_i $上的最小值与最大值, $ D_z $表示$ \Omega $与平面$ x_3 = z $相交的截面.其次, 为了方面计算, 设$ \omega: = u^{(8p+q)/4} $.根据Schwarz不等式得到

$ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} \mathrm{d}x = \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} (\int_{D_z} \omega^{\frac{9}{2}} \mathrm{d}A ) \mathrm{d}x_3 \leq \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} (\int_{D_z} \omega^3 \mathrm{d}A \int_{D_z} \omega^6 \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \mathrm{d}x_3. \end{equation} $

(2.15)

令$ P = (\bar{x}_1, \bar{x}_2, z) $是截面$ D_z $上的一个点, $ P_1 $与$ P_2 $表示截面$ D_z $的边界与直线$ x_2 = \bar{x}_2 $的两个交点.同样, $ Q_1 $与$ Q_2 $表示$ D_z $的边界与直线$ x_1 = \bar{x}_1 $的两个交点, 那么

$ \begin{aligned} \omega^3(P) = \omega^3(P_1) + 3 \int^P_{P_1} \omega ^2 \omega_{x_1} \mathrm{d} x_1, \; \; \; \; \omega^3(P) = \omega^3(P_2) - 3 \int^P_{P_2} \omega ^2 \omega_{x_1} \mathrm{d} x_1. \end{aligned} $

这样可以获得

$ \begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} [ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2) ] + \frac{3}{2} \int^{P_2}_{P_1} \omega ^2 |\omega_{x_1}| \mathrm{d} x_1. \end{equation} $

(2.16)

类似的,

$ \begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} [ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2) ] + \frac{3}{2} \int^{Q_2}_{Q_1} \omega ^2 |\omega_{x_2}| \mathrm{d} x_2. \end{equation} $

(2.17)

把上面两式左右相乘并在$ D_z $上积分, 即有

$ \begin{eqnarray*} \int_{D_z} \omega^6(P) \mathrm{d}A & \leq& ( \frac{1}{2} \int_{x_{2m}}^{x_{2M}} [ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2) ]\mathrm{d} x_2 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| \mathrm{d}A ) \\ &&\times ( \frac{1}{2} \int_{x_{1m}}^{x_{1M}} [ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2) ]\mathrm{d} x_1 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| \mathrm{d}A ) \\ &\leq& ( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| \mathrm{d}A )\\ &&\times ( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| \mathrm{d}A ). \end{eqnarray*} $

再代回(2.15)式得到

$ \begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}\mathrm{d}x & \leq& \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} ( \int_{D_z}\omega^3 \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \times (\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \\ &&\times ( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x_3 \\ &\leq& \max\limits_{z} ( \int_{D_z}\omega^3 \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} (\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \\ && \times ( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| \mathrm{d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x_3 \\ &\leq& \max\limits_{z} ( \int_{D_z}\omega^3 \mathrm{d}A )^{\frac{1}{2}} F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

(2.18)

其中

$ \begin{equation} F_i = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_i| \mathrm{d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}| \mathrm{d}x, \quad i = 1, 2. \end{equation} $

(2.19)

最后, 为了计算$ \omega^3 $在$ D_z $上的积分, 用$ \Omega^+ $表示$ \Omega $在$ D_z $上的部分, 而相应的边界是$ \partial \Omega^+ $, 而下面部分与边界则分别用$ \Omega^- $和$ \partial \Omega^- $表示.这样根据散度定理,

$ \begin{aligned} & \int_{D_z} \omega^3 \mathrm{d}A = \int_{\partial \Omega^+} \omega^3 \nu_3 \mathrm{d} S - 3 \int_{\Omega^+} \omega^2 \omega_{x_3} \mathrm{d}x, \\ & \int_{D_z} \omega^3 \mathrm{d}A = -\int_{\partial \Omega^-} \omega^3 \nu_3 \mathrm{d} S + 3 \int_{\Omega^-} \omega^2 \omega_{x_3} \mathrm{d}x, \end{aligned} $

由此得到

$ \int_{D_z} \omega^3 \mathrm{d}A \leq \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_3| \mathrm{d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_3}| \mathrm{d}x. $

即可以扩展(2.19)式到$ i = 3 $的情况.又由于

$ F_1^{\frac{1}{3}} F_2^{\frac{1}{3}} F_3^{\frac{1}{3}} \leq \frac{1}{3}(F_1 + F_2 + F_3), \; \; \; \; \; \; \; (a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2), \quad a, b, c>0. $

因此从(2.18)式得

$ \begin{align} && \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} \mathrm{d}x & \leq F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}} F_3^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{3^{3/2}} (F_1 + F_2 + F_3)^{\frac{3}{2}} \\ && & = \frac{1}{3^{3/2}} [ (A_1 + A_2 + A_3] + (B_1 + B_2 + B_3) ]^{\frac{3}{2}} \\ && & \leq \frac{1}{3^{3/4}} ( ( A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 )^{1/2} + ( B_1^2 + B_2^2 + B_3^2 )^{1/2} )^{\frac{3}{2}}, \end{align} $

(2.20)

其中$ A_i = \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 |\nu_i| \mathrm{d}S, B_i = \frac{3}{2}\int_\Omega \omega^2 |\omega_{x_i}| \mathrm{d}x, i = 1, 2, 3. $

另外根据Schwarz不等式, 有

$ \begin{aligned} A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 = \frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 (\int_{\partial\Omega}\omega^3 |\nu_i|\mathrm{d}S )^2 \leq \frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\partial\Omega}\omega^3 \mathrm{d}S \int_{\partial\Omega}\omega^3 \nu_i^2 \mathrm{d}S = \frac{1}{4} (\int_{\partial\Omega}\omega^3 \mathrm{d}S )^2. \end{aligned} $

类似地,

$ \begin{aligned} && B_1^2 + B_2^2 + B_3^2 & = \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 (\int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|\mathrm{d}x )^2 \\ && & \leq \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\Omega}\omega^2 \mathrm{d}x \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|^2 \mathrm{d}x = \frac{9}{16} \int_{\Omega}\omega^2 \mathrm{d}x \int_\Omega |\nabla \omega^2 |^2 \mathrm{d}x. \end{aligned} $

因此(2.20)式可以变成

$ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}\mathrm{d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}} ( \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 \mathrm{d}S + \frac{3}{4} (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{1/2} (\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x )^{1/2} )^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

(2.21)

类似于(2.7)与(2.8)式, 可以得到

$ \begin{equation} \int_{\partial\Omega} \omega^3 \mathrm{d}S \leq \frac{3}{l_0} \int_{\Omega} \omega^3 \mathrm{d}x + \frac{3d}{2 l_0} (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{1/2} (\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x )^{1/2}. \end{equation} $

(2.22)

把(2.22)式代入(2.21)式,

$ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}\mathrm{d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}} ( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 \mathrm{d}x + \frac{3}{4} (\frac{d}{l_0}+1 ) (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{1/2} (\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x )^{1/2} )^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

(2.23)

再使用不等式$ (a+b)^{\frac{3}{2}} \leq 2^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}), a, b > 0, $ (2.23)式就可以变成

$ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}\mathrm{d}x \leq \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} ( ( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 \mathrm{d}x )^{\frac{3}{2}}+ (\frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{l_0}+1 )^{\frac{3}{2}} (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{3/4} (\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x )^{3/4} ). \end{equation} $

(2.24)

再依次使用Young和Hölder不等式, 还有

$ \begin{eqnarray} (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{3/4} (\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x )^{3/4} &\leq& \frac{1}{4}\varepsilon_1^{-3} (\int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x )^{3} + \frac{3}{4}\varepsilon_1 \int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 \mathrm{d}x, \end{eqnarray} $

(2.25)

$ \begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^3 \mathrm{d}x &\leq& ( \int_\Omega \omega^{\frac{4(8p+1)}{8p+q}} \mathrm{d}x )^{\frac{3(8p+q)}{4(8p+1)}} |\Omega|^{1-\frac{3(8p+q)}{4(8p+1)}}, \end{eqnarray} $

(2.26)

$ \begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^2 \mathrm{d}x &\leq& ( \int_\Omega \omega^{\frac{4(8p+1)}{8p+q}} \mathrm{d}x )^{\frac{8p+q}{2(8p+1)}} |\Omega|^{1-\frac{8p+q}{2(8p+1)}}, \end{eqnarray} $

(2.27)

这里$ \varepsilon_1 $是任意正的常数, 并且还假设$ p > \frac{3q-4}{8} $.

结合(2.13), (2.14), (2.24)–(2.27)式, 并选择$ \varepsilon_1 $满足

$ \frac{\sigma_1}{2(8p+1)}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{5}{2}} (\frac{d}{l_0}+1 )^{\frac{3}{2}} \varepsilon_1 - (\frac{2}{8p+q} )^{q} (\frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}} = 0, $

由此就可以获得

$ \begin{eqnarray} J_1 & \leq &\frac{8p+1-\sigma_1}{2(8p+1)} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{2(8p+1)}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{2l_0} )^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(8p+q)}{4(8p+1)})} \varphi(t)^{\frac{9(8p+q)}{8(8p+1)}} \\ &&+ \frac{\sigma_1}{2(8p+1)}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_1^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{8p+q}{2(8p+1)})} \varphi(t)^{\frac{3(8p+q)}{2(8p+1)}}. \end{eqnarray} $

(2.28)

下面估算$ J_2 $.类似于(2.14)式, 首先有

$ \int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x \leq \frac{9}{8p+1}\varphi(t) + \frac{8(p-1)}{8p+1}\int_\Omega u^{\frac{9(8p+1)}{8}}\mathrm{d}x. $

然后从$ J_2 $的定义得到

$ \begin{equation} J_2 \leq \frac{9}{2(8p+1)}\varphi(t) + \frac{4(p-1)}{8p+1}\int_\Omega u^{\frac{9(8p+1)}{8}}\mathrm{d}x - \frac{32p}{(8p+1)^2}\int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 \mathrm{d}x. \end{equation} $

(2.29)

类似上面的讨论, 也可以估算$ u^{\frac{9(8p+1)}{8}} $的积分,

$ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{\frac{9(8p+1)}{8}}\mathrm{d}x & \leq& \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{2l_0} )^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{8}} \varphi(t)^{\frac{9}{8}} + \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{\frac{3}{2}} \varphi(t)^{\frac{3}{2}} \\ &&+ \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{5}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 \mathrm{d}x, \end{eqnarray} $

(2.30)

这里$ \varepsilon_2 $也是一个任意正的常数.把(2.30)式代进(2.29)式, 并且选择$ \varepsilon_2 $满足

$ 4(p-1) \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{5}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 - \frac{32p}{8p+1} = 0, $

(2.29)式就变成

$ \begin{align} && J_2 \leq & \frac{9}{2(8p+1)}\varphi(t) + \frac{4(p-1)}{8p+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{2l_0} )^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{8}} \varphi(t)^{\frac{9}{8}} \\ && & \qquad \qquad \qquad + \frac{4(p-1)}{8p+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{\frac{3}{2}} \varphi(t)^{\frac{3}{2}}. \end{align} $

(2.31)

把(2.28)和(2.31)式代入(2.4)式, 就可以获得关于函数$ \varphi $的一阶微分不等式

$ \begin{equation} \varphi^\prime(t) \leq K_1 \varphi(t) + K_2 \varphi(t)^{\frac{9(8p+q)}{8(8p+1)}} + K_3 \varphi(t)^{\frac{3(8p+q)}{2(8p+1)}} + K_4 \varphi(t)^{\frac{9}{8}} + K_5 \varphi(t)^{\frac{3}{2}}, \end{equation} $

(2.32)

其中

$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & K_1 = \frac{9p(8p+1)}{8(p-1)+9p}+\frac{9}{2}, \\ & K_2 = \frac{\sigma_1}{2} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{2 l_0} )^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(8p+q)}{4(8p+1)})}, \\ & K_3 = \frac{\sigma_1}{8} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} (\frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}}\varepsilon_1^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{8p+q}{2(8p+1)})}, \\ & K_4 = 4(p-1) \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} ( \frac{3}{2 l_0} )^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{8}}, \\ & K_5 = (p-1) \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} ( \frac{3}{4} )^{\frac{3}{2}} ( \frac{d}{l_0} + 1 )^{\frac{3}{2}}\varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{ \frac{3}{2}}. \end{aligned} \right. \end{equation} $

(2.33)

再积分得到

$ \begin{equation} \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{\mathrm{d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(8p+q)}{8(8p+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(8p+q)}{2(8p+1)}} + K_4 \eta^{\frac{9}{8}} + K_5 \eta^{\frac{3}{2}} } \leq t, \end{equation} $

(2.34)

由此得到爆破时间$ T $的一个下界估计

$ \begin{equation} T \geq T_0 = \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{\mathrm{d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(8p+q)}{8(8p+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(8p+q)}{2(8p+1)}} + K_4 \eta^{\frac{9}{8}} + K_5 \eta^{\frac{3}{2}} }, \end{equation} $

(2.35)

其中$ \varphi(0) = \int_\Omega [u_0(x)]^{8p+1} \mathrm{d}x. $

把上面的分析总结成如下定理.

定理1   如果$ p > \max\{ 1, \ \frac{3q-4}{8}\} $, 以及(2.10)式成立, 那么当问题(2.1)的非负古典解$ u $在(2.2)式测度$ \varphi $的意义下有限时刻$ T $发生爆破时, 则$ T $的下界$ T_0 $由(2.35)式给出.

这里考虑$ p < 1 $的情况, 此时问题(2.1)的解不会在有限时刻内发生爆破.令$ \varphi(t) $依然是(2.2)式定义的辅助函数, 从(2.4)式得到

$ \begin{equation} \varphi^\prime (t) \leq (8p+1)(J_1 + J_2). \end{equation} $

(3.1)

类似(2.11)式的讨论, 有

$ \begin{equation} \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+q}{2}}|^2 \mathrm{d}x \geq C_2 \int_\Omega u^{8p+q} \mathrm{d}x, \end{equation} $

(3.2)

其中

$ C_2 = \frac{2 l_0 \lambda_1 - 3k(16p+q) - dk(16p+q)\theta}{2 l_0 + dk \theta^{-1} (16p+q)} > 0. $

因此从(2.13)式得到

$ \begin{equation} J_1 \leq \frac{1}{2}\int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x - (\frac{2}{8p+q} )^q (\frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}}C_2 \int_\Omega u^{8p+q} \mathrm{d}x. \end{equation} $

(3.3)

另外, 根据Hölder不等式, 也有

$ \begin{equation} \int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x \leq (\int_\Omega u^{8p+1}\mathrm{d}x )^{\frac{9p}{8p+1}}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} = \varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} \end{equation} $

(3.4)

和

$ \begin{equation} \int_\Omega u^{8p+q} \mathrm{d}x \geq ( \int_\Omega u^{8p+1} \mathrm{d}x )^{\frac{8p+q}{8p+1}} |\Omega|^{\frac{1-q}{8p+1}} = \varphi(t)^{\frac{8p+q}{8p+1}} |\Omega|^{\frac{1-q}{8p+1}}. \end{equation} $

(3.5)

把(3.4), (3.5)式代入(3.3)式得

$ \begin{align} && J_1 & \leq \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}}\varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} - (\frac{2}{8p+q} )^q (\frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}}C_2 |\Omega|^{\frac{1-q}{8p+1}}\varphi(t)^{\frac{8p+q}{8P+1}} \\ && & = \varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} ( \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} - (\frac{2}{8p+q} )^q (\frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}}C_2 |\Omega|^{\frac{1-q}{8p+1}}\varphi(t)^{\frac{q-p}{8P+1}} ). \end{align} $

(3.6)

下面估算$ J_2 $.类似(2.11)式的讨论也得到

$ \begin{equation} \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 \mathrm{d}x \geq C_3 \int_\Omega u^{8p+1} \mathrm{d}x = C_3 \varphi(t), \end{equation} $

(3.7)

这里

$ C_3 = \frac{2 l_0 \lambda_1 - 3k(16p+1) - dk(16p+1)\theta}{2 l_0 + dk \theta^{-1} (16p+1)} > 0. $

利用(3.4)式与(3.7)式有

$ \begin{eqnarray} J_2 & = & \frac{1}{2} \int_\Omega u^{9p} \mathrm{d}x - \frac{32p}{(8p+1)^2} \int_\Omega |\nabla u^{\frac{8p+1}{2}}|^2 \mathrm{d}x \leq \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}}\varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} - \frac{32p}{(8p+1)^2}C_3 \varphi(t) \\ & = & \varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} ( \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} - \frac{32p}{(8p+1)^2}C_3 \varphi(t)^{\frac{1-p}{8p+1}} ). \end{eqnarray} $

(3.8)

最后, 结合(3.1), (3.6)与(3.8)式就可以得到下面的一阶微分不等式

$ \begin{eqnarray} \varphi^\prime(t) & \leq& (8p+1)\varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} ( \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} - (\frac{2}{8p+q} )^q (\frac{C_1}{C_0} )^{\frac{q-2}{2}}C_2 |\Omega|^{\frac{1-q}{8p+1}}\varphi(t)^{\frac{q-p}{8P+1}} ) \\ &&+ (8p+1)\varphi(t)^{\frac{9p}{8p+1}} ( \frac{1}{2}|\Omega|^{\frac{1-p}{8p+1}} - \frac{32p}{(8p+1)^2}C_3 \varphi(t)^{\frac{1-p}{8p+1}} ). \end{eqnarray} $

(3.9)

显然, 如果问题(2.1)的解$ u $在测度$ \varphi $的意义下发生爆破, 那么从(3.9)式导出$ \varphi^\prime(t) \leq 0 $, 这是一个矛盾.这样就得到了下面的定理.

定理2   假设$ u $是问题(2.1)的一个非负古典解, 如果$ p < 1 $和第一特征值$ \lambda_1 $满足$ 2 l_0 \lambda_1 - 3k(16p+q) > 0 $, 那么$ u $不能在测度$ \varphi $的意义下发生爆破.

注  为了给出定理2的证明, 可以使用另外的辅助函数来代替(2.2)式定义的函数$ \varphi(t) $.例如, 类似文献[6], 可以定义函数$ \Phi(t) = \int_\Omega u^2 \mathrm{d}x $来完成定理的证明.