三角范畴^[1]是同调代数中的核心概念.在最近的发展中, 三角范畴成为数学中的重要工具和研究对象, 是描述数学和数学物理中许多复杂研究对象的基本语言和分类新依据.高维同调代数由Iyama^[2-3]引入并发展, 它也被称为$\, n$-同调代数.继三角范畴的发展以及高维同调代数的引入后, $\, n$-角范畴^[4]自然而然地被提出.$n$-角范畴是三角范畴的一种推广形式, 经典三角范畴就是$\, n$-角范畴中$\, n=3\, $的特殊情况.给定一个$\, n$-角范畴$\, K$, 有时需要得到一个新的$\, n$-角范畴, 使得两者对象相同, 但对于$\, n$-角范畴$\, K\, $的某个态射集$\, S$, 在新范畴中成为同构.为满足这种需求, 可引入$\, n$-角范畴的局部化理论, 即通过局部化方法构造商范畴.

定义2.1 ^[5]  设$\, K\, $是一个加法范畴, $S\, $是$\, K\, $中某些态射做成的类, $S\, $称为$\, K\, $的一个乘法系, 如果满足下述条件：

(FR1) $S\, $对于态射的合成是封闭的, 即若$\, s:X\rightarrow Y\, $和$\, t:Y\rightarrow Z\, $是$\, S\, $中的态射, 则它们的合成$\, ts\, $也是$\, S\, $中的态射；并且对于$\, K\, $中的任意对象$\, X$, 其恒等态射$\, i{{d}_{X}}\, $属于$\, S$；

(FR2) 对于$\, K\, $中每个态射图

这里$\, s\in S\, $, 存在$\, K\, $中的态射$\, g:W\rightarrow Y\, $和$\, S\, $中的态射$\, t:W\rightarrow X\, $使得下图可交换.

对偶地, 对于$\, K\, $中每个态射图

这里$\, s\in S$, 存在$\, K\, $中的态射$\, g:Y\rightarrow W\, $和$\, S\, $中的态射$\, t:X\rightarrow W\, $使得下图可交换

(FR3) 设$\, f$, $g:X\to Y\, $是$\, K\, $中的两个态射.那么存在$\, S\, $中的态射$\, s:Y\to Z\, $使得$\, sf=sg\, $当且仅当存在$\, S\, $中的态射$\, t:W\to X\, $使得$\, ft=gt$.

乘法系$\, S\, $称为饱和的若$\, S\, $满足$\, gf$, $kg\in S\, $蕴含着$\, g\in S$.

设$\, K\, $是一个加法范畴, $S\, $是$\, K\, $的一个乘法系, 对$\, K\, $中的任意两个对象$\, X, Y$, 定义$\, K\, $中从$\, X\, $到$\, Y\, $的右分式$\, (f, s)\, $为态射图$\, X\overset{s}{\mathop{\Leftarrow }}\cdot\overset{f}{{\to }}Y$, 其中$\, s\in S\, $.从$\, X\, $到$\, Y\, $的两个右分式$\, (f, s)$, $(g, t)\, $称为等价, 记为$\, (f, s)\sim (g, t)$, 若有交换图

其中$\, u\in S$.易证右分式的等价是一个等价关系.记$\, (f, s)\, $的等价类为$\, f/s$.

定理2.1 ^[5]  设$\, K\, $是一个加法范畴, $S\, $是$\, K\, $的一个乘法系, 那么下列结论成立.

(a) ${{S}^{-1}}K\, $是一个加法范畴, 其中$\, {{S}^{-1}}K\, $的对象是$\, K\, $中的对象；${{S}^{-1}}K\, $中从对象$\, X\, $到对象$\, Y\, $的态射集$\, \text{Ho}{{\text{m}}_{{{S}^{-1}}K}}\left(X, Y \right)\, $是$\, K\, $中$\, X\, $到$\, Y\, $的右分式所有等价类作成的集合.

(b) 局部化函子$\, F:K\to {{S}^{-1}}K\, $是加法函子, 其中对$\, K\, $中的任意对象$\, X$, $F(X)=X$；对任意的$\, K\, $中态射$\, f:X\to Y$, $F(f)=f/i{{d}_{X}}$.且若$\, s\in S\, $, 则$\, F(s)\, $是$\, {{S}^{-1}}K\, $中的同构.

(c) 对于加法函子$\, H:K\to C$, 若$\, s\in S$, $H\left(s \right)\, $是$\, C\, $中的同构, 则存在唯一一个加法函子$\, G:{{S}^{-1}}K\to C\, $使得$\, H=GF$.

(d) 若$\, S\, $是饱和的, 则$\, F\left(f \right)\, $是同构当且仅当$\, f\in S$.

定义3.1  设$\, (K, \Sigma, \Theta)\, $是一个$\, n$-角范畴, $K\, $的一个乘法系$\, S\, $称为相容乘法系, 若满足

(FR4) 对于任意态射$\, s$, $s\in S\, $当且仅当$\, \Sigma s\in S\, $；

(FR5) 设下图中上下两行均为$\, n$-角, ${{\varphi }_{1}}, {{\varphi }_{2}}\in S$, 并且左边第一个方块可交换

则存在$\, {{\varphi }_{i}}:X_i\rightarrow Y_i\in S$, $3\le i\le n$, 使得下图为$\, n$-角态射

定义3.2^[6]  设$\, (K, \Sigma)\, $和$\, ({K}', {\Sigma }')\, $是两个$\, n$-角范畴, 函子$\, L:K\to {K}'\, $称为$\, n$-角函子, 若满足

（a）$L\, $是加法函子.

（b）存在一个自然同构$\, \eta :L\cdot \Sigma \to {\Sigma }'\cdot L$.

（c）$L\, $保持$\, n$-角, 即若$\, {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}\cdots \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\, $是$\, K\, $中的$\, n$-角, 则$\, L({{X}_{1}})\xrightarrow{L({{f}_{1}})}L({{X}_{2}})\xrightarrow{L({{f}_{2}})}\cdots \xrightarrow{L({{f}_{n-1}})}L({{X}_{n}})\xrightarrow{\eta_{_{X_1}}\cdot L({{f}_{n}})}{\Sigma }'L({{X}_{1}})\, $是$\, {K}'\, $中的$\, n$-角.

定理3.1  设$\, (K, \Sigma, \Theta)\, $是一个$\, n$-角范畴, $S\, $是$\, K\, $的一个相容乘法系.则

(1) $K\, $的自同构$\, \Sigma\, $诱导$\, {{S}^{-1}}K\, $的自同构, 仍记为$\, \Sigma\, $, 这里$\, \Sigma (b/s)=\Sigma b/\Sigma s$；并且$\, ({{S}^{-1}}K, \Sigma, \tilde{\Theta })\, $也是$\, n$-角范畴, 这里$\, \tilde{\Theta }\, $中的元素同构于以下的$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}} $

其中

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{f}_{1}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{f}_{2}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{f}_{3}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{f}_{n-1}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{f}_{n}}\Sigma {{X}_{1}} $

是$\, K\, $中$\, n$-角.

(2) 局部化函子$\, F:K\to {{S}^{-1}}K\, $是$\, n$-角函子；对任意的$\, s\in S$, $F\left(s \right)\, $是同构；若$\, H:K\to C\, $是$\, n$-角函子, 并且使得对任意的$\, s\in S$, $H\left(s \right)\, $是同构, 那么存在唯一的$\, n$-角函子$\, G:{{S}^{-1}}K\to C\, $使得$\, H=GF\, $.

(3) ${{S}^{-1}}K\, $中, $\tilde{\Theta }\, $是使得$\, F:K\to {{S}^{-1}}K\, $是$\, n$-角函子的唯一的$\, n$-角结构.

证   (1)下面证明$\, \tilde{\Theta }\, $满足(N1)-(N4), 从而$\, ({{S}^{-1}}K, \Sigma, \tilde{\Theta })\, $是$\, n$-角范畴.

(N1)(a)若在$\, \tilde{\Theta }\, $中有如下两个$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}} $

$ {{Y}_{1}}\xrightarrow{{{g}_{1}}/i{{d}_{{{Y}_{1}}}}}{{Y}_{2}}\xrightarrow{{{g}_{2}}/i{{d}_{{{Y}_{2}}}}}{{Y}_{3}}\xrightarrow{{{g}_{3}}/i{{d}_{{{Y}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{g}_{n-1}}/i{{d}_{{{Y}_{n-1}}}}}{{Y}_{n}}\xrightarrow{{{g}_{n}}/i{{d}_{{{Y}_{n}}}}}\Sigma {{Y}_{1}} $

因此有$\, K\, $中的两个$\, n$-角

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}} $

$ {{Y}_{1}}\xrightarrow{{{g}_{1}}}{{Y}_{2}}\xrightarrow{{{g}_{2}}}{{Y}_{3}}\xrightarrow{{{g}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{g}_{n-1}}}{{Y}_{n}}\xrightarrow{{{g}_{n}}}\Sigma {{Y}_{1}} $

由于$\, \left(K, \Sigma, \Theta \right)\, $是$\, n$-角范畴, 所以$\, \Theta\, $对直和封闭, 因此有

$ \begin{aligned} & {{X}_{1}}\oplus {{Y}_{1}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{1}} & 0 \\ 0 & {{g}_{1}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{2}}\oplus {{Y}_{2}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{2}} & 0 \\ 0 & {{g}_{2}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{3}}\oplus {{Y}_{3}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{3}} & 0 \\ 0 & {{g}_{3}} \\ \end{matrix} \right)}\cdot \cdot \cdot \\ & \ \ \ \ \ \ \cdots \xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{n-1}} & 0 \\ 0 & {{g}_{n-1}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{n}}\oplus {{Y}_{n}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{n}} & 0 \\ 0 & {{g}_{n}} \\ \end{matrix} \right)}\Sigma {{X}_{1}}\oplus \Sigma {{Y}_{1}} \\ \end{aligned} $

属于$\, \Theta$, 其在$\, F\, $下的像为如下$\, n$-$\Sigma$-序列

$ \begin{aligned} & {{X}_{1}}\oplus {{Y}_{1}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}} & 0 \\ 0 & {{g}_{1}}/i{{d}_{{{Y}_{1}}}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{2}}\oplus {{Y}_{2}}\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}} & 0 \\ 0 & {{g}_{2}}/i{{d}_{{{Y}_{2}}}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{3}}\oplus {{Y}_{3}}\\ &\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}} & 0 \\ 0 & {{g}_{3}}/i{{d}_{Y3}} \\ \end{matrix} \right)}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}} & 0 \\ 0 & {{g}_{n-1}}/i{{d}_{{{Y}_{n-1}}}} \\ \end{matrix} \right)}{{X}_{n}}\oplus {{Y}_{n}}\\ &\xrightarrow{\left( \begin{matrix} {{f}_{n}}/i{{d}_{Xn}} & 0 \\ 0 & {{g}_{n}}/i{{d}_{Yn}} \\ \end{matrix} \right)}\Sigma {{X}_{1}}\oplus \Sigma {{Y}_{1}} ,\\ \end{aligned} $

所以此$\, n$-$\Sigma$-序列属于$\, \tilde{\Theta}$, 即$\, \tilde{\Theta}\, $对直和封闭.

同理, 可以得到在$\, {{S}^{-1}}K\, $中$\, \tilde{\Theta }\, $对直和项亦封闭.

(b) 设$\, f/s:X\to Y\, $是$\, {{S}^{-1}}K\, $中的态射, 那么可以用右分式表示如下

这里$\, s\in S$.因为$\, K\, $是一个$\, n$-角范畴, 因此由态射$\, f:U\to Y$, $K\, $中存在如下$\, n$-角

$ U\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{Y}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{Y}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma U. $

考虑下图

其中第二行属于$\, \tilde{\Theta }$, 且$\, id_U/s\, $是同构, 因此第一行也属于$\, \tilde{\Theta }\, $, 也就是说$\, f/s\, $可以嵌入一个$\, \tilde{\Theta }\, $中的$\, n$-$\Sigma$-序列.

(c) 设$\, X\, $是$\, {{S}^{-1}}K\, $中的一个对象, 因此它也是$\, K\, $中的一个对象, 那么有$\, K\, $中$\, n$-角$X\xrightarrow{i{{d}_{X}}}X\xrightarrow{ }0\xrightarrow{ }\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{ }0\xrightarrow{ }\Sigma X.$因此可知$\, \tilde{\Theta }\, $包含以下平凡$\, n$-$\Sigma$-序列

$ X\xrightarrow{i{{d}_{X}}/i{{d}_{X}}}X\xrightarrow{ }0\xrightarrow{ }\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{ }0\xrightarrow{ }\Sigma X. $

(N2) 若有$\, \tilde{\Theta }\, $中$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}}, $

那么有$\, K\, $中的$\, n$-角$\, {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\, $左移后可得

$ {{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\xrightarrow{{{\left( -1 \right)}^{n}}\Sigma {{f}_{1}}}\Sigma {{X}_{2}}, $

所以$\, \tilde{\Theta }\, $包含如下$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}}\xrightarrow{{{\left( -1 \right)}^{n}}\Sigma {{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}\Sigma {{X}_{2}}. $

若有$\, \tilde{\Theta }\, $中的$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}}\xrightarrow{{{\left( -1 \right)}^{n}}\Sigma {{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}\Sigma {{X}_{2}}, $

那么有$\, K\, $中的$\, n$-角

$ {{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\xrightarrow{{{\left( -1 \right)}^{n}}\Sigma {{f}_{1}}}\Sigma {{X}_{2}}. $

由于$\, K\, $是$\, n$-角范畴, 则$\, \Theta\, $包含$\, n$-角

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}, $

所以$\, \tilde{\Theta }\, $包含如下$\, n$-$\Sigma$-序列

$ {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}/i{{d}_{{{X}_{2}}}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}/i{{d}_{{{X}_{3}}}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}/i{{d}_{{{X}_{n-1}}}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}/i{{d}_{{{X}_{n}}}}}\Sigma {{X}_{1}}. $

因此(N2)成立.

(N3) 给定以下交换图

第一行和第二行均为$\, \tilde{\Theta }\, $中的元素, 并且左边第一个方块可交换.态射$\, f/s$, $g/t\, $可以分别用如下的右分式来表示

和

由于左边第一个方块是可交换的, 所以有

$ g/t\cdot {{f}_{1}}/i{{d}_{{{X}_{1}}}}=g{{{f}'_{1}}}/{t}', \;\; {{g}_{1}}/i{{d}_{{{Y}_{1}}}}\cdot f/s={{g}_{1}}f/s $

且两式相等

有交换图

因此根据(FR5)可知有如下交换图

那么, 得到$\, {{S}^{-1}}K\, $中的态射$\, {{t}_{i}}/{{s}_{i}}:{{X}_{i}}\to {{Y}_{i}}$, $3\le i\le n$, 并且这些态射可使得下图可交换

从而(N3)成立.

(N4) 显然$\, \tilde{\Theta }\, $满足高维八面体公理(N4$^*$), 根据文献[7, 定理4.4]知(N4)成立.

（2）由于$\, {{S}^{-1}}K\, $中的标准$\, n$-角是指$\, K\, $中的$\, n$-角在局部化函子$\, F:K\to {{S}^{-1}}K\, $下的像, 因此可知$\, F\, $是$\, n$-角函子.由于$\, H:K\to C\, $是$\, n$-角函子, 且对任意的$\, s\in S$, $H\left(s \right)\, $是同构, 则由定理2.1可知存在唯一一个加法函子$\, G:{{S}^{-1}}K\to C\, $使得$\, H=GF$, 加法函子$\, G\, $是$\, n$-角函子可由等式$\, H=GF\, $来保证.

（3）若还有一个满足条件的$\, n$-角结构$\, {\tilde{\Theta }}'$, 则由$\, \tilde{\Theta }\, $的定义知$\, {\tilde{\Theta }}'\subseteq \tilde{\Theta }$, 根据文献[4, 命题2.5(c)]知, ${\tilde{\Theta }}'=\tilde{\Theta }$.

定义3.3  设$\, (K, \Sigma, \Theta)\, $是一个$\, n$-角范畴, $A\, $是Abel范畴.加法函子$\, Q:K\to A\, $称为一个上同调函子, 若对$\, K\, $中任意$\, n$-角${{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}$均有$\, A\, $中的正合列

$ \begin{aligned} & \cdots \xrightarrow{Q({{\Sigma }^{-1}}{{f}_{n}})}Q({{X}_{1}})\xrightarrow{Q({{f}_{1}})}Q({{X}_{2}})\xrightarrow{Q({{f}_{2}})}\cdots \\ & \cdots \xrightarrow{Q({{f}_{n-1}})}Q({{X}_{n}})\xrightarrow{Q({{f}_{n}})}Q(\Sigma {{X}_{1}})\xrightarrow{Q(\Sigma {{f}_{1}})}\cdots \ \ . \\ \end{aligned} $

命题3.1  设$\, K\, $是$\, n$-角范畴, $A\, $是Abel范畴, $Q: K\to A\, $是一个上同调函子, $S\, $是$\, K\, $的一个相容乘法系, 且满足若$\, s\in S$, $Q(s)\, $是$\, A\, $中的一个同构, 那么存在唯一一个上同调函子$\, {{F}_{S}}:{{S}^{-1}}K\to A\, $使得下图可交换

证  加法函子$\, {{F}_{S}}: {{S}^{-1}}K\to A\, $的存在性和唯一性可由定理2.1保证.下面证明$\, {{F}_{S}}\, $是上同调函子.

设${{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}$是$\, {{S}^{-1}}K\, $中的$\, n$-角.有$\, K\, $中的$\, n$-角

$ {{U}_{1}}\xrightarrow{{{g}_{1}}}{{U}_{2}}\xrightarrow{{{g}_{2}}}{{U}_{3}}\xrightarrow{{{g}_{3}}}\cdot \cdot \cdot \xrightarrow{{{g}_{n-1}}}{{U}_{n}}\xrightarrow{{{g}_{n}}}\Sigma {{U}_{1}} $

并且有$\, {{S}^{-1}}K\, $中的$\, n$-角同构

通过作用$\, {{F}_{S}}$, 得到$\, A\, $中的交换图

因为$\, Q\, $是上同调函子, 且上述交换图的第一行是$\, A\, $中的正合列, 因此第二行也是正合的, 故$\, {{F}_{S}}\, $是上同调函子.

定义3.4^[6]  设$\, (K, \Sigma, \Theta)\, $是$\, n$-角范畴, $\, K\, $的加法满子范畴$\, G\, $称为$\, n$-角子范畴, 若$\, G\, $对同构封闭, $\, \Sigma\, $是$\, G\, $的自同构, 并且$\, G\, $对扩张封闭, 即对任意$\, K\, $中态射$\, {{f}_{n}}:{{X}_{n}}\to \Sigma {{X}_{1}}$, 其中$\, {{X}_{1}}, {{X}_{n}}\in G$, 均存在$\, K\, $中$\, n$-角$\, {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}\cdots \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\, $使得$\, {{X}_{i}}\in G$, $2\le i\le n-1$.

注  在三角范畴局部化理论中, 饱和相容乘法系与厚子范畴之间存在一一对应关系, 其中用到三角的如下重要性质.设${{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}{{X}_{3}}\xrightarrow{{{f}_{3}}}\Sigma {{X}_{1}}$是三角, 则$\, {{f}_{1}}\, $是同构当且仅当$\, {{X}_{3}}\cong 0$.但在$\, n$-角范畴$\, (n>3)\, $时并没有类似的$\, n$-角性质, 从而不容易在$\, n$-角范畴的饱和相容乘法系与$\, n$-角子范畴之间建立对应.

引理3.1  设$\, (K, \Sigma, \Theta)\, $是$\, n$-角范畴, $\, {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}\cdots \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}\, $是$\, n$-角, 则下列叙述等价

$(1)\, {X}_{n}=0\, $;

$(2)\, {f}_{n-1}=0, {f}_{n}=0\, $;

$(3)\, {f}_{1}\, $为可裂单, $\, {f}_{n-2}\, $为可裂满.

证   $\, (1)\Longrightarrow (2)\, $显然. $\, (2)\Longrightarrow (1)\, $由于$\, {f}_{n}=0\, $, 根据文献[8, 引理2.3]知$\, {f}_{n-1}\, $为可裂满, 所以存在态射$\, g\, $使得$\, {f}_{n-1}\cdot g=id_{X_n}\, $, 又$\, {f}_{n-1}=0\, $, 从而$\, {X}_{n}=0\, $.再根据文献[8, 引理2.3]易知$(2)\Leftrightarrow (3)$.

命题3.2 设$\, S\, $是$\, n$-角范畴$\, K\, $的相容乘法系, $\, F:K\to {{S}^{-1}}K\, $是局部化函子.令

$ \, \Psi(S)：=\{X_n|\exists\, n{-角}\, {{X}_{1}}\xrightarrow{{{f}_{1}}}{{X}_{2}}\xrightarrow{{{f}_{2}}}\cdots \xrightarrow{{{f}_{n-1}}}{{X}_{n}}\xrightarrow{{{f}_{n}}}\Sigma {{X}_{1}}, {使得}\, {f}_{1}, {f}_{n-2}\in S \}, $

则$\, \Psi(S) \subseteq {Ker}F$.进一步, 若$\, S\, $饱和, 则$\, \Psi(S) = {Ker}F$.

证  设$\, {X}_{n}\in\Psi(S)\, $, 则在$\, {{S}^{-1}}K\, $中有标准$\, n$-角

$ \, {F({X}_{1})}\xrightarrow{{F({f}_{1})}}{F({X}_{2})}\xrightarrow{{F({f}_{2})}}\cdots \xrightarrow{{F({f}_{n-1})}}{F({X}_{n})}\xrightarrow{{F({f}_{n})}}\Sigma {F({X}_{1})}\, $

且$\, F({f}_{1}), F({f}_{n-2})\, $为同构, 由引理3.1知$\, {X}_{n}\in {Ker}F$.

反之, 若$\, {X}_{n}\in {Ker}F$, 考虑$\, K\, $中$\, n$-角$\, 0\xrightarrow{}{0}\xrightarrow{ }\cdots \xrightarrow{ }{0}\xrightarrow{g }{{X}_{n}}\xrightarrow{id_{X_n}}{{X}_{n}}\xrightarrow{ }\Sigma {0}\, $, 则在$\, {{S}^{-1}}K\, $中有$\, n$-角$\, 0\xrightarrow{ }{0}\xrightarrow{ }\cdots \xrightarrow{ }{0}\xrightarrow{ F(g)}{F({X}_{n})}\xrightarrow{id_{F(X_n)}}{F({X}_{n})}\xrightarrow{ }\Sigma {0}\, $, 且$\, F(g)\, $为同构, 由$\, S\, $饱和知$\, g\in S\, $, 从而由$\, \Psi(S)\, $的定义知$\, {X}_{n}\in \Psi(S)\, $.