对于区域$ \Omega\subseteq \mathbb{R}^{n}, $用$ h(\Omega) $表示$ \Omega $上的复值调和函数构成的空间.对于一个固定的正整数$ n\geq 2, $用$ H = \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}_{+} $表示上半空间, 其中$ \mathbb{R}_{+} $表示所有正实数构成的集合.设$ \alpha $为实数, 用$ dV_{\alpha}(z) = z^{\alpha}_{n}dz $表示$ H $上的加权测度.给定一个凸函数$ \Phi:[0, \infty)\rightarrow[0, +\infty), $称$ \Phi $是一个增长函数如果它是连续的且非减的函数.对于增长函数$ \Phi, $ $ {\rm{Orlicz}} $空间

$ L^{\Phi}_{\alpha}(H): = \bigg\{f\text{为}H\text{上的可测函数}:\ \int_{H}\Phi(|f(z)|/\lambda)dV_{\alpha}(z)< \infty, \ \ \text{对某些}\lambda>0\bigg\}. $

加权的调和$ {\rm{Bergman-Orlicz}}$空间$ b^{\Phi}_{\alpha}(H) $是包含所有复值调和函数$ L^{\Phi}_{\alpha}(H) $的子空间, 即$ b^{\Phi}_{\alpha}(H) = L^{\Phi}_{\alpha}(H)\cap h(H) $且范数定义为

$ \|f\|_{L^{\Phi}_{\alpha}(H)}: = \inf\bigg\{\lambda>0: \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|f(z)|}{\lambda}\bigg)dV_{\alpha}(z)\leq 1\bigg\}. $

当$ \Phi(t) = t^p, t\in [0, \infty) $时, $ {\rm{Orlicz}} $空间是$ {\rm{Lebesgue}} $空间且对应的调和$ {\rm{Bergman}}-Orlicz $空间表示为$ b^{p}_{\alpha}(H). $

乌兰哈斯和朱克和在文献[1]中利用欧氏度量、双曲型度量、伪双曲型度量给出加权Bergman空间在复欧氏空间$ \mathbb{C}^{n} $的单位球上的Lipschitz型刻画; Kyesook在文献[2]中研究了在上半空间$ H $上的调和Bergman空间的刻画.即设$ \alpha>-1, $ $ p \in (0, \infty) $和$ f \in b^{p}_{\alpha}(H), $则存在一个正的连续函数$ g\in L^{p}_{\alpha}(H) $使得对所有的$ z, w\in H $有

$ |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)[g(z)+g(w)] $

和

$ |f(z)-f(w)|\leq \beta(z, w)[g(z)+g(w)] $

且存在一个正的连续函数$ g\in L^{p}_{p+\alpha}(H) $使得

$ |f(z)-f(w)|\leq |z-w|[g(z)+g(w)], $

其中$ \rho $和$ \beta $的定义见第二节.文献[2]还给出了上半空间上调和函数差商的刻画和欧氏空间中单位球上调和Bergman空间的刻画.

受文献[1, 2]的影响, 我们将把文献[2]中的结果推广到上半空间或单位球上的调和Bergman-Orlicz空间中.本文后面如下安排:第二节为一些概念和需要的引理; 第三节考虑上半空间上的调和Bergman-Orlicz空间; 第四节给出上半空间上的调和函数差商的有界性; 第五节得到单位球上的调和Bergman-Orlicz空间的Lipschitz型刻画.在本文中符号$ A\lesssim B $表示存在一个正常数$ C $使得$ A\leq CB. $如果$ A\lesssim B $且$ B\lesssim A, $则记为$ A\thickapprox B. $

在这一节, 介绍一些概念和后面将会用到的引理.

定义$ H $上的双曲型度量$ \beta $为

$ \beta(z, w): = \frac{1}{2}\log\frac{1+\rho(z, w)}{1-\rho(z, w)}, \ \ z, w \in H, $

其中

$ \rho(z, w): = \frac{|z-w|}{|z-{\bar w}|}, \ \ z, w \in H. $

$ H $上的伪双曲型度量$ \rho $是平移不变和伸缩不变的, 且$ \rho $是$ H $上的距离函数, 见文献[3]中的引理3.1.

符号$ B_{a}(x) $表示以$ a>0 $为半径$ x\in\mathbb{R}^{n} $为中心的欧氏球.对于$ z\in H $和$ r\in(0, 1), $设$ E_{r}(z) $表示以$ r $为半径$ z $为中心的伪双曲型球.易得$ E_{r}(z) $为欧氏球$ B_{a}(x) $, 其中

$ \begin{equation} x = \bigg(z', \frac{1+r^{2}}{1-r^{2}}z_{n}\bigg) \ \text{和}\ \ a = \frac{2r}{1-r^{2}}z_{n}. \end{equation} $

(2.1)

设$ d(x, \Omega) $是点$ x $到集合$ \Omega\subseteq \mathbb{R}^{n} $上的欧氏距离.则有

$ \begin{equation} d(z, \partial E_{r}(z)) = \frac{2r}{1+r}z_{n}. \end{equation} $

(2.2)

引理 2.1   ^[3]  若$ z, w\in H, $则

$ \frac{1-\rho(z, w)}{1+\rho(z, w)}\leq \frac{z_n}{w_n}\leq \frac{1+\rho(z, w)}{1-\rho(z, w)}. $

引理 2.2   ^[3]  若$ z, w\in H, $则

$ \frac{1-\rho(v, z)}{1+\rho(v, z)}\leq \frac{|v-{\bar w}|}{|z-{\bar w}|}\leq \frac{1+\rho(v, z)}{1-\rho(v, z)}. $

给定$ r\in (0, 1) $, 由以上的引理可得

$ \begin{equation} z_{n}\thickapprox w_{n}, \ \ w\in E_{r}(z). \end{equation} $

(2.3)

设$ dw $是$ \mathbb{R}^{n} $上的$ {\rm{Lebesgue}} $测度.以下引理可参考文献[4]中的引理3.5或者文献[5]中的定理HLFS.

引理 2.3   ^{[4, 5]}  设$ p\in (0, \infty), $如果$ f\in h(\Omega), $则$ |f(z)|^{p}\leq \frac{C}{r^{n}} \int_{B_{r}(z)}|f(w)|^{p}dw, $其中$ B_{r}(z)\subset \Omega, $且$ C $是一个仅依赖于$ p $的正的常数.

给出多重指标$ m = (m_{1}, \cdot\cdot\cdot, m_{n}) $, 其中$ m_{i} $ $ (i = 1, \cdot\cdot\cdot, n) $为非负整数, 则有$ |m| = m_{1}+\cdot\cdot\cdot+m_{n} $和$ \partial^{m} = \partial^{m_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot\partial^{m_{n}}_{n} $, 其中$ \partial_{i} $表示对第$ i $个指标进行求微分.由引理2.3和Cauchy估计得下列引理.其证明可参见文献[6]的推论8.2.

引理 2.4   ^[6]  设$ \Omega $为$ \mathbb{R}^{n} $中的一个区域.给定$ 1\leq p<\infty $和一个多重指标$ m = (m_{1}, \cdot\cdot\cdot, m_{n}). $则存在一个常数$ C = C(p, m)>0 $, 使得对$ \Omega $上的任意解析函数$ f $都有

$ |\partial^{m}f(z)|^{p}\leq \frac{C}{d(z, \partial\Omega)^{n+p|m|}}\int_{\Omega}|f(w)|^{p}dw, \ \ z\in \Omega. $

本节的主要定理如下.

定理 3.1   设$ \alpha>-1, $ $ \Phi $是一个增长函数, 若$ f \in b^{\Phi}_{\alpha}(H). $则存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(H) $使得对所有的$ z, w \in H $, 有$ |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)[g(z)+g(w)]. $

定理 3.2   设$ \alpha>-1, $ $ \Phi $为增长函数, 若$ f \in b^{\Phi}_{\alpha}(H). $则存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(H) $使得对所有$ z, w \in H $, 有$ |f(z)-f(w)|\leq \beta(z, w)[g(z)+g(w)]. $

设$ p>0, $ $ \mathcal{M}_{p} $表示存在某个常数$ C>0 $使得对所有的$ s>0 $和$ t>0, $ $ \Phi(st)\leq Ct^{p}\Phi(s) $成立的凸增长函数$ \Phi $构成的集合.

定理 3.3   设$ \alpha>-1, $ $ \Phi\in\mathcal{M}_{p} $ $ (p>0), $若$ f \in b^{\Phi}_{\alpha}(H). $则存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(H) $使得对所有的$ z, w \in H $, 有$ |f(z)-f(w)|\leq |z-w|[g(z)+g(w)]. $

任取点$ z\in H, $记$ z = (z', z_{n}) $其中$ z'\in \mathbb{R}^{n-1} $且$ z_{n}>0. $给定$ z\in H, $记$ {\bar z} = (z', -z_{n}). $为了证明定理3.1, 还需要下列引理.

引理 3.1   ^[7]  给定$ \alpha>-1 $, 则有

$ \begin{equation*} \int_{H}\frac{dV_{\alpha}(w)}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+c}}\thickapprox \begin{cases} z^{-c}_{n}, & \text{若}\; c>0, \\ \infty, & \text{若}\; c\leq 0 \end{cases} \end{equation*} $

对所有$ z\in H $成立.

定理  3.1 的证明  设$ \alpha> -1, $ $ f \in b^{\Phi}_{\alpha}(H). $固定$ r\in(0, \frac{1}{2}), $考虑$ H $中$ \rho(z, w)< r $的任意两点$ z, w. $由于$ E_{r}(z) $是一个凸集, 则

$ \begin{align*} &|f(z)-f(w)|\leq |z-w|\int^{1}_{0}|\nabla f(t(z-w)+w)|dt\\ = &\rho(z, w)|z-{\bar w}|\int^{1}_{0}|\nabla f(t(z-w)+w)|dt \leq \rho(z, w)|z-{\bar w}|\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}|\nabla f(a)|. \end{align*} $

由引理2.2知

$ \frac{1-\rho(v, z)}{1+\rho(v, z)}\leq \frac{|v-{\bar w}|}{|z-{\bar w}|}\leq \frac{1+\rho(v, z)}{1-\rho(v, z)}. $

即

$ \frac{1-\rho(v, z)}{1+\rho(v, z)}|z-{\bar w}|\leq |v-{\bar w}|\leq \frac{1+\rho(v, z)}{1-\rho(v, z)}|z-{\bar w}|. $

令$ v = w, $则

$ \frac{1-\rho(w, z)}{1+\rho(w, z)}|z-{\bar w}|\leq 2w_{n}\leq \frac{1+\rho(w, z)}{1-\rho(w, z)}|z-{\bar w}|. $

因此存在两个正的常数$ C_{1}, C_{2} $使得$ C_{1}|z-{\bar w}|\leq 2w_{n}\leq C_{2}|z-{\bar w}|. $同理可得$ C'_{1}w_{n}\leq|z-{\bar w}|\leq C'_{2}w_{n}. $由于对任意的$ w\in E_{r}(z) $, $ z_{n}\thickapprox w_{n}, $则当$ w\in E_{r}(z) $时, 有$ C'_{1}z_{n}\leq|z-{\bar w}|\leq C'_{2}z_{n}. $因此$ |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)h(z), $这里$ h(z): = C(r)z_{n}\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}|\nabla f(a)|. $

如果$ \rho(z, w)> r, $则由三角不等式得

$ |f(z)-f(w)|\leq |f(z)|+|f(w)|\leq \frac{\rho(z, w)}{r}(|f(z)|+|f(w)|) = \rho(z, w)\bigg(\frac{|f(z)|}{r}+\frac{|f(w)|}{r}\bigg). $

设$ g(z) = \frac{|f(z)|}{r}+h(z), $对于所有的$ z, w \in H, $则

$ \begin{align*} &|f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)\bigg(\frac{|f(z)|}{r}+\frac{|f(w)|}{r}\bigg)\\ = &\rho(z, w)(g(z)-h(z)+g(w)-h(w)) \leq\rho(z, w)(g(z)+g(w)). \end{align*} $

由于$ g $是$ H $上正的连续函数且$ f\in L^{\Phi}_{\alpha}(H) $, 只需要证$ h\in L^{\Phi}_{\alpha}(H). $

伪双曲型距离$ \rho $满足三角不等式, 因此可以选取$ r'\in (0, 1) $使得对任意的$ a\in E_{r}(z) $都有$ E_{r}(a)\subset E_{r'}(z). $

由引理2.4, (2.2), (2.3)式和引理2.2得

$ \begin{align*} &|h(z)|\leq C z_{n}\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}\frac{1}{d(a, \partial E_{r}(a))^{n+1}}\int_{E_{r}(a)}|f(w)|dw\\ \leq& C z_{n}\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}\frac{1}{\bigg(\frac{2r}{1+r}\bigg)^{n+1}}z^{-(n+1)}_{n}\int_{E_{r}(a)}|f(w)|dw \leq Cz^{-n}_{n}\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}\int_{E_{r}(a)}|f(w)|w^{-\alpha}_{n}dV_{\alpha}(w)\\ \leq& Cz^{-(n+\alpha)}_{n}\sup\limits_{a\in E_{r}(z)}\int_{E_{r}(a)}|f(w)|dV_{\alpha}(w) \leq Cz^{-(n+\alpha)}_{n}\int_{E_{r'}(z)}|f(w)|dV_{\alpha}(w)\\ = & C\int_{E_{r'}(z)}|f(w)|z^{-(n+\alpha)}_{n}dV_{\alpha}(w)\leq C\int_{E_{r'}(z)}|f(w)|\frac{1}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha}}dV_{\alpha}(w)\\ = &C \int_{E_{r'}(z)}|f(w)|\frac{|z-{\bar w}|}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)\leq C\int_{E_{r'}(z)}|f(w)|\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

由引理3.1知

$ \int_{H}\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w) = z_{n}\int_{H}\frac{1}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)\thickapprox z_{n}z^{-1}_{n} = 1. $

因此存在$ C(z) $使得$ \frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w) $为概率测度且$ C(z) $介于两个正的常数$ M_{1} $和$ M_{2} $之间.因此

$ M_{1}|h(z)|\leq C(z)|h(z)|\leq C\int_{E_{r'}(z)}|f(w)|\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

则

$ \frac{M_{1}}{C}|h(z)|\leq \int_{E_{r'}(z)}|f(w)|\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

运用$ \Phi $的凸性和$ {\rm{Jensen}} $不等式得

$ \begin{align*} \Phi\bigg(\frac{M_{1}}{C}|h(z)|\bigg)&\leq \int_{E_{r'}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)\\ & \leq \int_{E_{r'}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{M_{2}z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

取$ \lambda = \frac{C}{M_{1}}, $则

$ \Phi\bigg(\frac{|h(z)|}{\lambda}\bigg)\leq M_{2}\int_{E_{r'}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

在$ H $上对以上不等式关于$ dV_{\alpha}(z) $求积分且运用$ {\rm{Fubini }}$定理可得

$ \begin{align*} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|h(z)|}{\lambda}\bigg)dV_{\alpha}(z)&\leq M_{2}\int_{H}\int_{E_{r'}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)dV_{\alpha}(z)\\ & = M_{2}\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r'}(w)}\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(z)\\ &\leq C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r'}(w)}z^{1-n-\alpha-1}_{n}z^{\alpha}_{n}dz\\ & = C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r'}(w)}z^{-n}_{n}dz\\ & = C\int_{H}\Phi(|f(w)|)\int_{E_{r'}(w)}z^{-n}_{n}dzdV_{\alpha}(w). \end{align*} $

由(2.1)和(2.3)式, 以上二重积分的内积分等价于$ w^{-n}_{n}V(E_{r'}(w))\thickapprox 1. $即

$ \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|h(z)|}{\lambda}\bigg)dV_{\alpha}(z)\leq C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w). $

因此$ h\in L^{\Phi}_{\alpha}(H), $这说明了$ g $是$ L^{\Phi}_{\alpha}(H) $中的正连续函数且满足

$ |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)[g(z)+g(w)]. $

定理  3.2 的证明  由于$ \rho\leq\beta, $则定理3.1中的函数$ g $也使得该定理成立.

定理  3.3 的证明  设$ \alpha>-1, $ $ \Phi\in \mathcal{M}_{p}(p>0), $若$ f \in b^{\Phi}_{\alpha}(H), $则由定理3.1的证明知存在一个正的连续函数$ h $使得对所有的$ z, w\in H $有

$ \begin{align*} |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)[h(z)+h(w)] = \frac{|z-w|}{|z-{\bar w}|}[h(z)+h(w)]\leq |z-w|\bigg[\frac{h(z)}{z_{n}}+\frac{h(w)}{w_{n}}\bigg]. \end{align*} $

令$ g(z) = \frac{h(z)}{z_{n}}, $则$ |f(z)-f(w)|\leq |z-w|[g(z)+g(w)]. $最后证明$ g\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(H). $

$ \begin{align*} &\int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{p+\alpha}(z) = \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|h(z)|}{z_{n}}\bigg)z^{p}_{n}dV_{\alpha}(z)\\ \leq& \int_{H}\Phi(|h(z)|)z^{-p}_{n}z^{p}_{n}dV_{\alpha}(z) = \int_{H}\Phi(|h(z)|)dV_{\alpha}(z). \end{align*} $

因此$ g\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(H). $

命题 3.1   给定$ \alpha>-1, $ $ \Phi $为增长函数, 则存在一个正常数$ C $使得对所有$ f\in h(H), $有

$ \begin{equation} \|z_{n}|\nabla f|\|_{L^{\Phi}_{\alpha}(H)}\leq C\|f\|_{b^{\Phi}_{\alpha}(H)}. \end{equation} $

(3.1)

证  固定$ \alpha>-1. $假设$ f\in h(H) $和$ z\in H. $对于每一个固定的$ 0<r<1, $由引理2.4, (2.2)和(2.3)式知

$ \begin{align*} |\partial_{i}f|&\leq \frac{C}{d(z, \partial E_{r}(z))^{n+1}}\int_{E_{r}(z)}|f(w)|dw = \frac{C}{(\frac{2r}{1+r}z_{n})^{n+1}}\int_{E_{r}(z)}|f(w)|dw\\ &\leq C z^{-(n+1)}_{n}\int_{E_{r}(z)}|f(w)|w^{-\alpha}_{n}w^{\alpha}_{n}dw = C z^{-(n+1)}_{n}\int_{E_{r}(z)}|f(w)|w^{-\alpha}_{n}dV_{\alpha}(w)\\ &\leq C z^{-(n+\alpha+1)}_{n}\int_{E_{r}(z)}|f(w)|dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

因此$ |\nabla f|\leq Cz^{-(n+\alpha+1)}_{n} \int_{E_{r}(z)}|f(w)|dV_{\alpha}(z). $即

$ \begin{align*} z_{n}|\nabla f|&\leq C\int_{E_{r}(z)}|f(w)|z^{-(n+\alpha)}_{n}dV_{\alpha}(w)\leq C\int_{E_{r}(z)}|f(w)|\frac{1}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha}}dV_{\alpha}(w)\\ & = C\int_{E_{r}(z)}|f(w)|\frac{|z-{\bar w}|}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)\leq C\int_{E_{r}(z)}|f(w)|\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

由引理3.1知存在$ C(z) $使得$ \frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w) $为概率测度且$ C(z) $介于两个正的常数$ M_{1} $和$ M_{2} $之间.因此

$ M_{1}z_{n}|\nabla f|\leq C(z)z_{n}|\nabla f|\leq C\int_{E_{r}(z)}|f(w)|\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

则

$ \frac{M_{1}}{C}z_{n}|\nabla f|\leq \int_{E_{r}(z)}|f(w)|\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

运用$ \Phi $的凸性和Jensen不等式得

$ \begin{align*} \Phi\bigg(\frac{M_{1}}{C}z_{n}|\nabla f|\bigg)&\leq \int_{E_{r}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{C(z)z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)\\ &\leq M_{2} \int_{E_{r}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

取$ \lambda = \frac{C}{M_{1}}, $有

$ \Phi\bigg(\frac{z_{n}|\nabla f|}{\lambda}\bigg)\leq M_{2}\int_{E_{r}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w). $

在$ H $上对以上不等式关于$ dV_{\alpha}(z) $求积分且运用$ {\rm{Fubini }}$定理得

$ \begin{align*} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{z_{n}|\nabla f|}{\lambda}\bigg)dV_{\alpha}(z)&\leq M_{2}\int_{H}\int_{E_{r}(z)}\Phi(|f(w)|)\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(w)dV_{\alpha}(z)\\ & = M_{2}\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r}(w)}\frac{z_{n}}{|z-{\bar w}|^{n+\alpha+1}}dV_{\alpha}(z)\\ &\leq C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r}(w)}z^{1-n-\alpha-1}_{n}dV_{\alpha}(z)\\ & = C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r}(w)}z^{-n-\alpha}_{n}z^{\alpha}_{n}dz\\ & = C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w)\int_{E_{r}(w)}z^{-n}_{n}dz\\ & = C\int_{H}\Phi(|f(w)|)\int_{E_{r}(w)}z^{-n}_{n}dzdV_{\alpha}(w). \end{align*} $

由(2.1)和(2.3)式, 以上二重积分的内积分等价于$ w^{-n}_{n}V(E_{r}(w))\thickapprox 1. $因此得

$ \int_{H}\Phi\bigg(\frac{z_{n}|\nabla f|}{\lambda}\bigg)dV_{\alpha}(z)\leq C\int_{H}\Phi(|f(w)|)dV_{\alpha}(w). $

故有$ \|z_{n}|\partial f|\|_{L^{\Phi}_{\alpha}(H)}\leq C\|f\|_{b^{\Phi}_{\alpha}(H)}. $

虽然$ {\rm{Nam}} $在文献[2]中得到了$ \|z_{n}|\partial f|\|_{L^{p}_{\alpha}(H)}\approx \|f\|_{b^{p}_{\alpha}(H)}, $但这里不知道不等式(3.1)的反向是否成立.

本节考虑$ H $上关于调和函数的差商.给定$ f\in h(H), $对所有的$ z, w \in H $定义

$ \begin{equation*} Lf(z, w): = \begin{cases} \frac{f(z)-f(w)}{|z-w|}, & \text{若}\; z\neq w, \\ 0, & \text{若}\; z = w. \end{cases} \end{equation*} $

应用定理3.1可得以下结果.

定理 4.1   假设$ \alpha>-1, $ $ \Phi\in \mathcal{M}_{p}, $ $ p\in(\alpha+n, \infty) $且$ 2\gamma = p+\alpha-n, $则$ L $有界地映$ b^{\Phi}_{\alpha}(H) $到$ L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma}). $

证  设$ f\in b^{\Phi}_{\alpha}, $由定理3.1知存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(H) $, 使得对$ z\neq w\in H $, 有

$ |f(z)-f(w)|\leq \rho(z, w)[g(z)+g(w)] = \frac{|z-w|}{|z-{\bar w}|}[g(z)+g(w)]. $

则

$ \frac{|f(z)-f(w)|}{|z-w|}\leq \frac{g(z)+g(w)}{|z-{\bar w}|}. $

对于$ z\neq w, $ $ Lf(z, w) = \frac{f(z)-f(w)}{|z-w|} $, 从而

$ |Lf(z, w)|\leq \frac{g(z)+g(w)}{|z-{\bar w}|}. $

故

$ \frac{|Lf(z, w)|}{2}\leq \frac{1}{2}\frac{g(z)}{|z-{\bar w}|}+\frac{1}{2}\frac{g(w)}{|z-{\bar w}|}. $

运用$ \Phi $的凸性, 得

$ \Phi\bigg(\frac{|Lf(z, w)|}{2}\bigg)\leq \frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(z)}{|z-{\bar w}|}\bigg)+\frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(w)}{|z-{\bar w}|}\bigg). $

因此

$ \begin{align*} &\int_{H}\int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(z, w)|}{2}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\\ \leq&\frac{1}{2}\int_{H}\int_{H}\Phi\bigg(\frac{g(z)}{|z-{\bar w}|}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w) +\frac{1}{2}\int_{H}\int_{H}\Phi\bigg(\frac{g(w)}{|z-{\bar w}|}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\\ = &\int_{H}\int_{H}\Phi\bigg(\frac{g(z)}{|z-{\bar w}|}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\leq \int_{H}\int_{H}\Phi(|g(z)|)\frac{1}{|z-{\bar w}|^{p}}dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\\ = &\int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{\gamma}(z)\int_{H}\frac{1}{|z-{\bar w}|^{p}}dV_{\gamma}(w) = \int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{\gamma}(z)\int_{H}\frac{w^{\gamma-\alpha}_{n}}{|z-{\bar w}|^{p}}dV_{\alpha}(w)\\ \leq& C\int_{H}\Phi(|g(z)|)z^{\gamma-\alpha}_{n}dV_{\gamma}(z)\int_{H}\frac{1}{|z-{\bar w}|^{p}}dV_{\alpha}(w). \end{align*} $

由于$ p>n+\alpha, $由引理3.1得$ \int_{H}\frac{1}{|z-{\bar w}|^{p}}dV_{\alpha}(w)\thickapprox z^{-(p-n-\alpha)}_{n}, $因此有

$ \begin{align*} & \int_{H} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(z, w)|}{2}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\leq C \int_{H}\Phi(|g(z)|)z^{\gamma-\alpha}_{n}z^{n+\alpha-p}_{n}dV_{\gamma}(z)\\ = &C \int_{H}\Phi(|g(z)|)z^{n+\gamma-p}_{n}dV_{\gamma}(z) = C \int_{H}\Phi(|g(z)|)z^{n+\gamma-p+\gamma-\alpha}_{n}dV_{\alpha}(z)\\ = &C \int_{H}\Phi(|g(z)|)z^{n+2\gamma-p-\alpha}_{n}dV_{\alpha}(z) = C \int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{\alpha}(z). \end{align*} $

为完成证明, 只需考虑$ \|g\|_{b^{\Phi}_{\alpha}(H)} = 1. $此时$ \int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{\alpha}(z) = 1. $取$ \lambda = \max\{C, 1\}, $则

$ \begin{align*} \int_{H} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(z, w)|}{2\lambda}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\leq&\frac{1}{\lambda} \int_{H} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(z, w)|}{2}\bigg)dV_{\gamma}(z)dV_{\gamma}(w)\\ \leq &\frac{C}{\lambda} \int_{H}\Phi(|g(z)|)dV_{\alpha}(z) \leq\frac{C}{\lambda}\leq 1. \end{align*} $

所以$ \|Lf\|_{L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma})}\leq 2\lambda. $因此由伸缩性得对任意的$ g\in b^{\Phi}_{\alpha}(H), $则有$ \|Lf\|_{L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma})}\leq 2\lambda\|g\|_{b^{\Phi}_{\alpha}}. $即$ L $有界地映$ b^{\Phi}_{\alpha}(H) $到$ L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma}) $上.

在这节考虑$ \mathbb{R}^{n} $上单位球$ \mathbb{B} $上的调和函数.设$ \alpha $为实数, 用$ v_{\alpha} $表示$ \mathbb{B} $上的加权测度, 即$ dv_{\alpha}(x) = (1-|x|^{2})^{\alpha}dx. $用$ dv_{\alpha} $替代$ dV_{\alpha} $, 类似于空间$ L_\alpha^\Phi(H) $与空间$ h_\alpha^\Phi(H) $, 可以定义空间$ L_\alpha^\Phi(\mathbb{B}) $与空间$ h_\alpha^\Phi(\mathbb{B}) $.

下列引理由Hardy等在文献[8]中给出$ n = 2 $的证明, $ n\geq 3 $的情况见文献[9].

命题 5.1   ^{[8, 9]}  给定$ \alpha>-1 $和$ 0<p<\infty, $则对所有的$ f\in h(\mathbb{B}) $有

$ \int_{\mathbb{B}}|f|^{p}dv_{\alpha}\thickapprox |f(0)|^{p}+ \int_{\mathbb{B}}|\nabla f(x)|^{p}(1-|x|^{2})^{p}dv_{\alpha}(x). $

设$ \zeta(x, y) $是$ \mathbb{B} $上的双曲型距离定义为$ \zeta(x, y): = \frac{1}{2}\log\frac{1+\delta(x, y)}{1-\delta(x, y)}, $其中$ \mathbb{B} $上的伪双曲型距离$ \delta $定义为$ \delta(x, y): = \frac{|x-y|}{[x, y]}, $对任意$ x, y \in \mathbb{B}. $这里$ [x, y]: = \sqrt{1-2x\cdot y+|x|^{2}|y|^{2}}, x, y \in \mathbb{B}, $且$ x\cdot y $是关于$ x $和$ y $在$ \mathbb{R}^{n} $上的点积.注意到$ [x, y]\geq 1-|x||y| $对于$ x, y\in \mathbb{B}. $易得伪双曲型球$ D_{r}(x) $是一个欧氏球$ \mathbb{B}_{s}(y) $且

$ \begin{equation} y = \frac{1-r^{2}}{1-|x|^{2}r^{2}}x \ \text {和} \ \ s = \frac{(1-|x|^{2})r}{1-|x|^{2}r^{2}}. \end{equation} $

(5.1)

因此有

$ \begin{equation} d(x, \partial D_{r}(x)) = \frac{r(1-|x|^{2})}{1+r|x|}. \end{equation} $

(5.2)

引理 5.1   ^[10]   若$ l, x, y\in \mathbb{B}, $则

$ \frac{1-\delta(l, x)}{1+\delta(l, x)}\leq \frac{[l, y]}{[x, y]}\leq \frac{1+\delta(l, x)}{1-\delta(l, x)}. $

由此引理得, 对任意的$ y\in D_{r}(x), $ $ 1-|x|^{2}\thickapprox 1-|y|^{2}. $特别地, 给定$ \alpha>-1 $和$ 0<r<1, $由(5.1)和(5.2)式, 对所有的$ x\in \mathbb{B}, $则有$ v_{\alpha}(D_{r}(x))\thickapprox (1-|x|^{2})^{n+\alpha}. $

引理 5.2   ^[10]   给定$ \alpha>-1 $和实数$ c $, 对所有的$ x \in \mathbb{B} $, 有

$ \begin{equation*} \int_{\mathbb{B}}\frac{dv_{\alpha}(y)}{[x, y]^{n+\alpha+c}}\thickapprox \begin{cases} (1-|x|^{2})^{-c}, & \text{如果}\; c>0, \\ 1+\log(1-|x|^{2})^{-1}, & \text{如果}\; c = 0, \\ 1, & \text{如果}\; c<0 \end{cases} \end{equation*} $

成立.

引理 5.3   ^[2]   设$ 1\leq k \leq n, $ $ x, y\in \mathbb{B}, $ $ y = (x_{1}, \cdot\cdot\cdot, x_{k-1}, tx_{k}, x_{k+1}, \cdot\cdot\cdot, x_{n}) $其中$ t $是一个标量.则

$ \lim\limits_{y\rightarrow x}\frac{\delta(x, y)}{|x-y|} = \lim\limits_{y\rightarrow x}\frac{\zeta(x, y)}{|x-y|} = \frac{1}{1-|x|^{2}}. $

定理 5.1   设$ \alpha>-1, $ $ \Phi \in \mathcal{M}_{p}(p>0), $ $ f \in h(\mathbb{B}). $则下列结果等价.

$ \rm(a) $  $ f\in b^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}); $

$ \rm(b) $  存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $使得对所有的$ x, y\in \mathbb{B} $, 有

$ |f(x)-f(y)|\leq \delta(x, y)[g(x)+g(y)]; $

$ \rm(c) $  存在一个正的连续函数$ h\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $使得对所有的$ x, y\in \mathbb{B} $, 有

$ |f(x)-f(y)|\leq \zeta(x, y)[h(x)+h(y)]; $

$ \rm(d) $  存在一个正的连续函数$ k\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(\mathbb{B}) $使得对所有的$ x, y\in \mathbb{B} $, 有

$ |f(x)-f(y)|\leq |x-y|[k(x)+k(y)]. $

证   $ {\rm (a)}\Rightarrow {\rm (b)} $类似于定理3.1的证明可得.

$ {\rm (b)}\Rightarrow {\rm (a)} $  假设存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $使得对$ \mathbb{B} $中所有不相等的两个元素$ x, y $, 有$ |f(x)-f(y)|\leq \delta(x, y)[g(x)+g(y)]. $两边同时除以$ |x-y|, $则

$ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\leq \frac{\delta(x, y)}{|x-y|}[g(x)+g(y)]. $

固定任意的$ x\in \mathbb{B}, $设$ y\rightarrow x $由引理5.3得$ (1-|x|^{2})|f'(x)|\leq 2g(x). $由于$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}), $有$ (1-|\cdot|)f'(\cdot)\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}). $由命题5.1, 得$ f\in b^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}). $

$ {\rm (b)}\Rightarrow {\rm (c)} $由于$ \delta\leq\zeta, $由$ \rm(b) $易得$ \rm(c) $成立.

$ {\rm (b)}\Rightarrow {\rm (d)} $假设$ \rm(b) $成立.则存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $, 使得

$ |f(x)-f(y)|\leq \delta(x, y)[g(x)+g(y)] = \frac{|x-y|}{[x, y]}[g(x)+g(y)]. $

由于$ [x, y]\geq 1-|x||y|\geq 1-|x|, 1-|y|. $因此

$ |f(x)-f(y)|\leq |x-y|\bigg[\frac{g(x)}{[x, y]}+\frac{g(y)}{[x, y]}\bigg]\leq|x-y|\bigg[\frac{g(x)}{1-|x|}+\frac{g(y)}{1-|y|}\bigg]. $

令$ k(x) = \frac{g(x)}{1-|x|}\leq \frac{2g(x)}{1-|x|^{2}}, $则$ |f(x)-f(y)|\leq |x-y|[k(x)+k(y)]. $下证$ k\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(\mathbb{B}). $

$ \begin{align*} & \int_{\mathbb{B}}\Phi(|k(x)|)dv_{p+\alpha}(x) = \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{g(x)}{1-|x|}\bigg)dv_{p+\alpha}(x)\\ \leq& \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{2g(x)}{1-|x|^{2}}\bigg)dv_{p+\alpha}(x) = \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{2g(x)}{1-|x|^{2}}\bigg)(1-|x|^{2})^{p}dv_{\alpha}(x)\\ \leq& \int_{\mathbb{B}}\Phi(|g(x)|)\frac{2^{p}}{(1-|x|^{2})^{p}}(1-|x|^{2})^{p}dv_{\alpha}(x)\leq C \int_{\mathbb{B}}\Phi(|g(x)|)dv_{\alpha}(x). \end{align*} $

因此$ k\in L^{\Phi}_{p+\alpha}(\mathbb{B}). $

$ {\rm (c)}\Rightarrow {\rm (a)} $设$ \alpha>-1, $ $ f\in h(\mathbb{B}). $若存在正的连续函数$ h\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $使得对所有的$ x, y\in \mathbb{B} $, 有$ |f(x)-f(y)|\leq \zeta(x, y)[h(x)+h(y)]. $设$ 1\leq k\leq n $和$ y = (x_{1}, \cdot\cdot\cdot, x_{k-1}, tx_{k}, x_{k+1}, \cdot\cdot\cdot, x_{n}), $其中$ t $是一个标量.上面不等式两边同时除以$ |x-y| $且取极限$ y\rightarrow x, $由引理5.3, 得

$ |\partial_{k}f(x)|\leq \frac{2h(x)}{1-|x|^{2}}, k = 1, \cdot\cdot\cdot, n. $

因此得

$ \begin{equation} |\nabla f(x)|\leq C\frac{h(x)}{1-|x|^{2}}. \end{equation} $

(5.3)

由于$ h\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}), $由命题5.1和(5.3)式得$ {\rm (a)} $成立.

同理, 由命题5.1得$ {\rm (d)}\Rightarrow {\rm (a)}. $

考虑关于调和函数的差商$ L $在单位球上的情况.给定$ f\in h(\mathbb{B}), $ $ L $定义为

$ \begin{equation*} Lf(x, y): = \begin{cases} \frac{f(x)-f(y)}{|x-y|}, & \text{如果}\; x\neq y, \\ 0, & \text{如果}\; x = y. \end{cases} \end{equation*} $

对于$ x, y\in \mathbb{B}, $由定理5.1可以模仿定理4.1的证明, 得到在单位球上的类似结果.

定理 5.2   \label{th4.6}设$ \alpha>-1, $ $ \Phi\in \mathcal{M}_{p}, $ $ n+\alpha<p<\infty $且$ 2\gamma = p+\alpha-n, $则$ L $有界地映$ b^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $到$ L^{\Phi}(v_{\gamma}\times v_{\gamma}) $上.

注意到在引理5.2中$ c<0 $的情况与引理3.1不同, 这个不同可以把上面的调和函数的结果扩展到实单位球上$ 0<p<n+\alpha $的情况.

定理 5.3   设$ \alpha>-1, $ $ \Phi\in \mathcal{M}_{p}, $ $ 0<p<n+\alpha. $则$ L $有界地映$ b^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $到$ L^{\Phi}(v_{\alpha}\times v_{\alpha}) $上.

证  设$ f\in b^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}). $由定理5.1知存在一个正的连续函数$ g\in L^{\Phi}_{\alpha}(\mathbb{B}) $使得对所有的$ x\neq y\in \mathbb{B} $, 有$ |f(x)-f(y)|\leq \delta(x, y)[g(x)+g(y)] = \frac{|x-y|}{[x, y]}[g(x)+g(y)]. $因此

$ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\leq \frac{g(x)}{[x, y]}+\frac{g(y)}{[x, y]}. $

由于对$ x\neq y, $ $ Lf(x, y): = \frac{f(x)-f(y)}{|x-y|}. $因此$ \frac{|Lf(x, y)|}{2}\leq \frac{1}{2}\frac{g(x)}{[x, y]}+\frac{1}{2}\frac{g(y)}{[x, y]}. $由$ \Phi $的凸性可得

$ \Phi\bigg(\frac{|Lf(x, y)|}{2}\bigg)\leq \frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(x)}{[x, y]}\bigg)+\frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(y)}{[x, y]}\bigg). $

因此

$ \begin{align*} & \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{|Lf(x, y)|}{2}\bigg)dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)\\ \leq& \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(x)}{[x, y]}\bigg)dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)+ \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\frac{1}{2}\Phi\bigg(\frac{g(y)}{[x, y]}\bigg)dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)\\ = & \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{g(x)}{[x, y]}\bigg)dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)\leq C \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\Phi(|g(x)|)\frac{1}{[x, y]^{p}}dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)\\ = &C \int_{\mathbb{B}}\Phi(|g(x)|)dv_{\alpha}(x) \int_{\mathbb{B}}\frac{1}{[x, y]^{p}}dv_{\alpha}(y). \end{align*} $

由引理5.2得$ \int_{\mathbb{B}}\frac{1}{[x, y]^{p}}dv_{\alpha}(y)\thickapprox 1. $因此

$ \int_{\mathbb{B}} \int_{\mathbb{B}}\Phi\bigg(\frac{|Lf(x, y)|}{2}\bigg)dv_{\alpha}(x)dv_{\alpha}(y)\leq C \int_{\mathbb{B}}\Phi(|g(x)|)dv_{\alpha}(x). $

为完成证明, 只需考虑$ \|g\|_{b^{\Phi}_{\alpha}(H)} = 1. $此时$ \int_{H}\Phi(|g(x)|)dv_{\alpha}(x) = 1, $取$ \lambda = \max\{C, 1\}, $则

$ \begin{align*} \int_{H} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(x, y)|}{2\lambda}\bigg)dV_{\gamma}(x)dV_{\gamma}(y)&\leq\frac{1}{\lambda} \int_{H} \int_{H}\Phi\bigg(\frac{|Lf(x, y)|}{2}\bigg)dV_{\gamma}(x)dV_{\gamma}(y)\\ &\leq \frac{C}{\lambda} \int_{H}\Phi(|g(x)|)dV_{\alpha}(x)\leq\frac{C}{\lambda}\leq 1. \end{align*} $

所以$ \|Lf\|_{L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma})}\leq 2\lambda. $因此由伸缩性得对任意的$ g\in b^{\Phi}_{\alpha}(H), $则有$ \|Lf\|_{L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma})}\leq 2\lambda\|g\|_{b^{\Phi}_{\alpha}}. $即$ L $有界地映$ b^{\Phi}_{\alpha}(H) $到$ L^{\Phi}(V_{\gamma}\times V_{\gamma}) $上.