设$ \Omega\subset{R^d}\; (d\ge{\rm{1})} $为带光滑边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ \omega $为$ \Omega $的非空开子集.记$ {Q_T} = \Omega \times (0, T) $, $ {\Sigma_T} = \partial \Omega \times (0, T) $; 并以$ {\left| \cdot \right|_p} $和$ {\left\| \cdot \right\|_p} $分别记函数空间$ {L^p}(\Omega ) $和$ {L^p}({Q_T}) $ $ (1 \le p \le \infty) $的范数.对于任意的Banach空间$ X $, 用$ X^2 $表示笛卡尔积$ X \times X $.设

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}y(x, t) = {\mu _1}\Delta y(x, t) - ay(x, t)z(x, t) + g(x, t), & (x, t) \in \Omega \times (0, \infty ), \cr {\partial _t}z(x, t) = {\mu _2}\Delta z(x, t) - by(x, t)z(x, t) + h(x, t) + 1_\omega(x)f(x, t), & (x, t) \in \Omega \times (0, \infty ), \cr {\partial _n}y(x, t) = 0, \quad {\partial _n}z(x, t) = 0, & (x, t) \in \partial \Omega \times (0, \infty ), \cr y(x, 0) = {y_0}(x), z(x, 0) = {z_0}(x), & x \in \Omega , \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

其中$ y = y(x, t) $和$ z = z(x, t) $分别表示两种物质的密度; $ {\partial _n}y = \partial y/\partial n $, $ {\partial _n}z = \partial z/\partial n $, $ n $表示边界$ \partial \Omega $的外法单位向量; 给定的函数$ g = g(x, t) $和$ h = h(x, t) $表示物质的输入; $ {\mu _1} $和$ {\mu _2} $是正常数, 表示扩散系数; $ a $和$ b $为非负常数, 表示反应常数; $ {y_0} = {y_0}(x) $和$ {z_0} = {z_0}(x) $表示初始值; $ f = f(x, t) $为控制函数, $ {1 _\omega } $为集合$ \omega $上的特征函数, $ {1_\omega }f $表示控制函数经子集合$ \omega $作用于系统.为了简化符号, 在不发生混淆的情况下, 我们省略函数表达式中的$ x $和$ t $.

给定时刻$ T $, 考虑如下形式的反应扩散系统:

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}y(x, t) = {\mu _1}\Delta y(x, t) - ay(x, t)z(x, t) + g(x, t), {\rm{ }}\; \; &(x, t) \in {Q_T}, \\ {\partial _t}z(x, t) = {\mu _2}\Delta z(x, t) - by(x, t)z(x, t) + h(x, t), {\rm{ }}\; \; &(x, t) \in {Q_T}, \\ {\partial _n}y(x, t) = 0, {\partial _n}z(x, t) = 0, {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &(x, t) \in {\Sigma _T}, \\ y(x, 0) = {y_0}(x), z(x, 0) = {z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.2)

系统(1.2)在生物和化学方面均为非常重要的模型, 相关的工作非常丰富.因为物质的密度为正值, 所以仅考虑系统(1.1)和(1.2)的正解.为此, 给出如下的假设

(H1) $ g, h \in {L^\infty }(0, \infty , {L^\infty }(\Omega )), g(x, t) \ge {M_0}, h(x, t) \ge {M_0} $ a.e. $ (x, t) \in \Omega \times (0, \infty ) $;

(H2) $ {y_0}, {z_0} \in {L^\infty }(\Omega ) \cap {H^2}(\Omega ), {y_0}(x) \ge {m_0}, {z_0}(x) \ge {m_0} $ a.e. $ x \in \Omega $, 其中$ {M_0}, {m_0} $均为正常数.

本文将证明, 在假设(H1)和(H2)的条件下, 存在正常数$ M^* $, 使得系统(1.2)的解$ (y^*, z^*) $满足

$ \begin{equation} y^*(x, t) \ge M^*, z^*(x, t) \ge M{\rm{^*}}\; {\rm a.e.}\; (x, t) \in {Q_T}. \end{equation} $

(1.3)

这样的解称之为系统(1.2)的正轨迹.以此正轨迹为目标函数, 考虑系统(1.1)关于正轨迹$ (y^*, z^*) $的能控性问题和时间最优控制的存在性问题.具体地, 设$ \rho>0 $, 记

$ \begin{equation*} \label{eq} {\mathcal U_\rho } = \{ f \in {L^\infty }(\Omega \times (0, \infty ));{\left\| f \right\|_{{L^\infty }(\Omega \times (0, \infty ))}} \le \rho \}. \end{equation*} $

称系统(1.1)对于正轨迹$ (y^*, z^*) $在时刻$ T $是局部精确能控的, 如果对于一定范围内的初值$ ({y_0}, {z_0}) $, 都存在控制$ f\in{\mathcal U_\rho} $使得系统(1.1)相应的解满足

$ \begin{equation} y(x, T) = y^*(x, T), \quad z(x, T) = z^*(x, T) \; {\rm a.e.}\; x \in \Omega. \end{equation} $

(1.4)

此外, 希望系统(1.1)的解保持非负, 即$ y $和$ z $满足$ y(x, t)\ge 0, z(x, t) \ge 0 $ $ {\rm{a.e.}} $ $ (x, t)\in {Q_T} $.设

$ \begin{equation*} \label{eq:5} \Im = \{ T > 0;\text{存在控制}f \in {\mathcal U_\rho }\text{使得系统(1.1) 在时刻} T \text{处精确能控到目标}\; (y{\rm{^*}}, z{\rm{^*}})(\cdot, T)\}, \end{equation*} $

并考虑如下的时间最优控制的存在性问题

${\rm{(TP)}}\; \; \; \; \; \rm{inf}\; \; \Im $

亦即系统(1.1)精准达到目标$ (y^*, z^*) $的最短时间是否存在的问题.该问题可以解释为系统在控制的作用下在最短的时间内与给定的轨迹同步.

关于非线性抛物型方程解的存在性问题, 相关的研究工作比较深入, 利用多种方法和技巧可以研究解的存在性、唯一性等性质^[1-2].由抛物型偏微分方程或方程组刻画的分布参数系统的控制问题, 尤其是能控性问题和时间最优控制问题, 近二十年以来一直受到持续关注, 目前已经有一些经典的结果, 比如文献[3-6].关于抛物型方程组的能控性和时间最优控制问题, 因其特有的数学结构以及广泛的实际应用背景, 近年来愈发引起关注.在文献[7]中, 作者首次研究了一类反应扩散方程的局部能控性问题, 但是由于在同一内部区域对每个物质施加控制, 因此该问题可以转化为单一的抛物型方程的能控性问题.在文献[8-10]中, 作者考虑了抛物型方程组在一个控制下的能控性问题或时间最优控制问题.目前, 关于抛物型方程组在一个控制的能控性问题仍然有一些公开的难题没有解决.关于抛物型方程的时间最优控制问题, 最近在文献[11-15]中出现了一些最新的进展.本文所研究的内容是对文献[7]和[9]的结果的改进.首先, 本文所研究的模型与文献[7]和[9]不同, 非齐次项$ g $与时间变量有关, 且控制施加在一个方程之上, 因此, 本文的结果是文献[7]和[9]的推广.其次, 本文利用上下解方法得到系统(1.1)的严格正解, 这是本文的主要结果之一.最后, 本文探讨了系统(1.1)关于正轨迹$ (y^*(x, t), z^*(x, t)) $的时间最优控制的存在性问题, 该问题可以解释为系统在控制的作用下和预定的轨迹能否在最短的时间内同步, 这是与文献[7]和[9]的不同之处.

本节给出了系统(1.2)存在唯一正解的证明, 得到如下结果.

定理2.1  假设(H1)和(H2)成立, 则系统(1.1)存在唯一正解

$ \begin{equation*} \label{eq:6} (y^*, z^*) \in {\left( {{L^2}(0, T;{H^2}(\Omega )) \cap {W^{1, 2}}([0, T];{L^2}(\Omega ))} \right)^2} \end{equation*} $

并且存在常数$ C $, $ M^*>0 $, 使得解$ (y^*, z^*) $满足(1.3)式和不等式

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} &{\rm{|}}\nabla y{\rm{^*(}} \cdot , t)|_2^2 + |\nabla z{\rm{^*(}} \cdot , t)|_2^2 + \int_0^t {[|\Delta y^*|_2^2 + |\Delta z^*|_2^2]} ds + \int_{0}^{t} {[|{\partial _t}y^*|_2^2 + } |{\partial _t}z^*|_2^2]ds\\ \le &\exp \{ C[|g|_2^2 + |h|_2^2 + \left\| {{y_0}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^2 + \left\| {{z_0}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^2]\}. \end{array} \end{equation} $

(2.1)

为了证明这个结论, 给出如下引理.

引理2.1  令$ 0<\alpha<1 $.设$ g, h\in {C^{\alpha , \alpha /2}}(\overline {{Q}}_T ) $满足$ g, h \ge {M_0} $, $ {y_0}, {z_0} \in {C^\alpha}(\overline\Omega) $满足$ {y_0}, {z_0}\ge {m_0} $, 且存在一个足够小的常数$ M^* $满足$ 0< 2M^* \le{m_0} $, 则系统(1.2)存在唯一解$ (y, z)\in {\left( {{C^{2 + \alpha , 1 + \alpha /2}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T )} \right)^2} $, 其满足$ y(x, t)\geq M^*, z(x, t) \ge M^*, (x, t)\in {\overline Q}_T $.

证  令$ \underline y \in {C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T ) $为方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}\underline y = {\mu _1}\Delta \underline y, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}\underline y = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &{\text{在}\Sigma _T}\text{上}, \\ \underline y (x, 0) = 2M^*, {\rm{ }}\; \; \; \; &x \in \Omega \end{array} \right. \end{equation} $

(2.2)

的唯一解, $ \overline y \in {C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C({\overline Q _T}) $为方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}\overline y = {\mu _1}\Delta \overline y + g, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}\overline y = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ \overline y (x, 0) = {y_0}(x), {\rm{ }} \; \; \; \; \; \; &x\in \Omega \end{array} \right. \end{equation} $

(2.3)

的唯一解.同理, 设$ \underline z \in {C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T ) $为方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}\underline z = {\mu _2}\Delta \underline z, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}\underline z = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &{\text{在}\Sigma _T}\text{上}, \\ \underline z(x, 0) = 2M^*, {\rm{ }}\; \; \; \; &x \in \Omega \end{array} \right. \end{equation} $

(2.4)

的唯一解, $ \overline z \in {C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C({\overline Q _T}) $为方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}\overline z = {\mu _2}\Delta \overline z + h, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}\overline z = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ \overline z (x, 0) = {z_0}(x), {\rm{ }} \; \; \; \; \; \; &x\in \Omega \end{array} \right. \end{equation} $

(2.5)

的唯一解.如果用$ \underline y - M^* $替代方程(2.2)中的$ \underline y $, 根据比较定理^[2], 则可以得到$ \underline y \ge M^* $.同理得到$ \underline z \ge M^* $.对方程(2.2)和(2.3)再次使用比较定理, 得$ \underline y \le \overline y $.同理可得$ \underline z \le \overline z $.现在我们构造函数序列$ \{ {{{\underline y }_k}} \}_1^\infty $, $ \left\{ {{{\underline z }_k}} \right\}_1^\infty $, $ \left\{ {{{\overline y }_k}} \right\}_1^\infty $和$ \left\{ {{{\overline z }_k}} \right\}_1^\infty $.令$ {\underline y _1} = \underline y $, $ {\overline y _1} = \overline y $, $ {\underline z _1} = \underline z $, $ {\overline z _1} = \overline z $, 根据递推可定义$ ({\overline y _k}, {\underline z _k})\in {(C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T ))^2 $ $ (k = 2, 3, \cdots) $为下列线性方程组的唯一解

$ \begin{equation*} \label{eq:10} \left\{\begin{array}{ll} {\partial _t}{\overline y _k} = {\mu _1}\Delta {\overline y _k} + \lambda {\overline y _k} = - a{\overline y _{k - 1}}{\underline z _{k - 1}} + \lambda {\overline y _{k - 1}} + g, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}{\underline z _k} = {\mu _2}\Delta {\underline z _k} + \lambda {\underline z _k} = - b{\overline y _{k - 1}}{\underline z _{k - 1}} + \lambda {\underline z _{k - 1}} + h, {\rm{ }} &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}{\overline y _k} = {\partial _n}{\underline z _k} = 0, {\rm{ }} &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ {\overline y _k}(x, 0) = {y_0}(x), {\underline z _k}(x, 0) = {z_0}(x), &x \in \Omega. \end{array} \right. \end{equation*} $

亦可定义$ ({\underline y _k}, {\overline z _k})\in {(C^{2, 1}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T ))^2 $ $ (k = 2, 3, \cdots) $是下列线性方程组的唯一解

$ \begin{equation*} \label{eq:11} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}{\underline y _k} = {\mu _1}\Delta {\underline y _k} + \lambda {\underline y _k} = - a{\underline y _{k - 1}}{\overline z _{k - 1}} + \lambda {\underline y _{k - 1}} + g, {\rm{ }} &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}{\overline z _k} = {\mu _2}\Delta {\overline z _k} + \lambda {\overline z _k} = - a{\underline y _{k - 1}}{\overline z _{k - 1}} + \lambda {\overline z _{k - 1}} + h, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}{\underline y _k} = {\partial _n}{\overline z _k} = 0, &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ {\underline y _k}(x, 0) = {y_0}(x), {\overline z _k}(x, 0) = {z_0}(x), &x \in \Omega, \end{array}\right. \end{equation*} $

这里$ \lambda $为一足够大的常数.根据比较定理, 得递推关系

$ \begin{equation*} \label{eq:12} \begin{array}{l} \underline y = {\underline y _1} \le \cdots \le {\underline y _k} \le {\overline y _k} \le \cdots \le {\overline y _1} = \overline y ;\\ \underline z = {\underline z _1} \le \cdots \le {\underline z _k} \le {\overline z _k} \le \cdots \le {\overline z _1} = \overline z , k = 1, 2, \cdots. \end{array} \end{equation*} $

由此, $ ({\overline y _k}, {\underline z _k}) $和$ ({\underline y _k}, {\overline z _k}) $在$ {Q_T} $中点点收敛, 且对于任意的$ p \ge 2 $, 在$ {L^p}{({Q_T})^2} $中分别强收敛于$ (\mathop y\limits^ \wedge , \mathop z\limits^ \vee ) $和$ (\mathop y\limits^ \vee , \mathop z\limits^ \wedge ) $.因此, 利用Schauder估计和正则性定理可得出

$ (\mathop y\limits^ \wedge , \mathop z\limits^ \vee ), (\mathop y\limits^ \vee , \mathop z\limits^ \wedge ) \in {\left( {{C^{2 + \alpha , 1 + \alpha /2}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T )} \right)^2} $

都是系统(1.2)的解.此外, $ M^* \le \mathop y\limits^ \vee \le \mathop y\limits^ \wedge $, $ M^* \le \mathop z\limits^ \vee \le \mathop z\limits^ \wedge $.

利用能量估计方法, 有如下引理.

引理2.2   设$ (y, z) \in {\left( {{C^{2 + \alpha , 1 + \alpha /2}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T )} \right)^2} $为系统(1.2)的一个正解, 则

$ \begin{equation*} \label{eq:13} {\left\| {(y, z)} \right\|_{{L^2}{{(0, T;{H^2}(\Omega ))}^2}}} + {\left\| {(y, z)} \right\|_{{W^{1, 2}}{{([0, T];{L^2}(\Omega ))}^2}}} \le \kappa {e^{C\kappa }}, \end{equation*} $

其中$ \kappa = {\left\| {(g, h)} \right\|_{{L^2}{{(Q)}^2}}} + {\left\| {({y_0}, {z_0})} \right\|_{{H^1}{{(\Omega )}^2}}} $, $ C $为正常数.

定理2.1的证明  构造光滑函数序列$ \left\{ {{g_n}} \right\}_1^\infty , \left\{ {{h_n}} \right\}_1^\infty , \left\{ {{y_{0n}}}\right\}_1^\infty , \left\{ {{z_{0n}}} \right\}_1^\infty $使$ {g_n} $, $ {h_n} $在$ {L^2}({Q_T}) $中强收敛于$ g, h $, $ {y_{0n}}, {z_{0n}} $在$ {H^2}(\Omega) $中强收敛于$ {y_0}, {z_0} $, 并且$ {g_n}, {h_n} \ge {M_0} $, $ {y_{0n}}, {z_{0n}} \ge {m_0} $.利用引理2.1可以得出, 对于任意的$ n $, 系统(1.2)都至少存在一个解

$ \begin{equation*} \label{eq:29} ({y_n}, {z_n}) \in {\left( {{C^{2 + \alpha, 1 + \alpha /2}}({Q_T}) \cap C(\overline {{Q}}_T )} \right)^2} \end{equation*} $

使得$ {y_n}, {z_n} \ge M^* $.再利用引理2.2可得到$ ({y_n}, {z_n}) $的一个子列$ ({y_{{n_k}}}, {z_{{n_k}}}) $在$ {L^2}({Q_T}) $中强收敛于$ (y^*, z^*) $, 这是系统(1.2)对应于$ g, h, {y_0}, {z_0} $的一组弱解.此外, 再次利用引理2.2, 可得出$ (y^*, z^*) $是系统(1.2)的唯一解.最后, 根据能量估计可以得到解所满足的不等式(2.1).

这一节研究具有一个控制的线性系统的零能控性:

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}y = \Delta y + {a_1}(x, t)y + {a_2}(x, t)z + \phi (x, t), {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}z = \Delta z + {a_3}(x, t)y + {a_4}(x, t)z + \zeta (x, t) + {1 _{{\omega}}}f, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}y = 0, {\partial _n}z = 0, &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ y(x, 0) = {y_0}(x), z(x, 0) = {z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega , \end{array} \right. \end{equation} $

(3.1)

其中$ \phi , \zeta , {a_i} \in {L^\infty }({Q_T}), i = 1, 2, 3, 4 $.此外, $ {a_2} $满足下列假设

(H3) 在$ \omega $中存在一个非空子集$ \omega_0\subseteq\omega $和正常数$ \sigma $, 使$ a_2(x, t)\geq \sigma $或$ a_2(x, t)\leq -\sigma $ a.e. $ (x, t)\in \omega_0\times(0, T) $.

考虑线性系统(3.1)的伴随系统

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} - {\partial _t}p = \Delta p + {a_1}p + {a_3}q, {\rm{ }}{\rm{}}\; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ - {\partial _t}q = \Delta q + {a_2}p + {a_4}q, {\rm{ }}{\rm{}}\; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}p = 0, {\partial _n}q = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ p(x, T) = p^T(x), q(x, T) = q^T(x), & x\in \Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

(3.2)

其中$ p^T, q^T\in L^2(\Omega) $.为了得到系统(3.1)的零能控性, 我们需要一个全局的Carleman不等式和伴随系统(3.2)的能观性估计.令$ {\omega'} \subset \subset {\omega _0} $是$ \Omega $中的非空子集, 且有函数$ \psi \in {C^2}(\overline \Omega ) $, 在$ \partial \Omega $上$ \psi = 0 $, 在$ \overline {\Omega - {\omega'}} $上$ \psi>0 $^[5].对于实数$ \lambda>0 $, 设

$ \alpha = {{e^{\lambda \psi }}-{e^{2\lambda{{\left\| \psi \right\|}_{C(\overline \Omega )}}}}\over t(T - t)}, \varphi = {{e^{\lambda \psi }}\over t(T - t)}. $

此外, 对于$ z\in{C^2}(\overline{{Q}}_T) $, 引入符号

$ I(s, \lambda ;z) = \iint\limits_{Q_T}[{{{(s\varphi )}^{ - 1}}({{\left| {{\partial _t}z} \right|}^2} + {{\left| {\Delta z} \right|}^2}) + s\varphi {{\left| {\nabla z} \right|}^2} + {s^3}{\varphi ^3}{z^2}}]{e^{2s\alpha }}dxdt. $

有如下适合于线性方程组的Carlman不等式.

引理3.1 ^[9]  设条件(H3)成立.存在仅依赖于$ \Omega , {\omega'}, {\omega _0}, \left\| {{a_i}} \right\|_\infty $的常数$ {\lambda _1} > 1 $, 使得对任意的$ \lambda > {\lambda _1} $, $ s > \gamma (\lambda )(T + {T^2}) $, 系统(3.2)的解$ (p, q) $都满足

$ \begin{equation} I(s, \lambda ;p) + I(s, \lambda ;q) \le C \iint\limits_{{\omega'} \times (0, T)}{q^2}{e^{3s\alpha /2}}dxdt, \end{equation} $

(3.3)

其中$ \gamma (\lambda ) = {e^{2\lambda {{\left\| \psi \right\|}_{C(\overline \Omega )}}}} $, $ C $是依赖于$ \Omega , {\omega _0}, {\omega'} $的常数.

根据引理3.1, 有如下能观性估计.

引理3.2 ^[9]  设条件(H3)成立, $ T > 0 $.存在常数$ \lambda {\rm{ }} > 1 $且$ \gamma (\lambda ) > 4 $, $ s{\rm{ }} > 0 $, 系统(3.2)的解$ (p, q) $都满足

$ \begin{equation} \left| {p( \cdot , 0)} \right|_2^2 + \left| {q( \cdot , 0)} \right|_2^2 \le {C_T}\iint\limits_{{\omega'} \times (0, T)}{q^2}{e^{3s\alpha /2}}dxdt, \end{equation} $

(3.4)

其中常数$ {C_T} $形如

$ \begin{equation} {C_T} = \exp \left\{ {{c_0}\left[ {1 + \frac{1}{T} + T\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^4 {{{\left\| {{a_i}} \right\|}_\infty }} } \right) + {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^4 {{{\left\| {{a_i}} \right\|}_\infty^2 }} } \right)}^{1/3}}} \right]} \right\}, \end{equation} $

(3.5)

这里$ {c_0} $是依赖于$ \Omega , {\omega _0}, {\omega'} $的正常数.

此外, 需要另一种能观性估计, 根据引理3.1和3.2, 利用文献[15]中的方法可以得出

引理3.3  设条件(H3)成立, 存在正常数$ K $和$ s $, 使系统(3.2)的任意解$ (p, q) $都满足

$ \begin{equation} \iint\limits_Q{{e^{ - \frac{K}{{T - t}}}}}({p^2} + {q^2})dxdt \le {C_T}\iint\limits_{{\omega _0} \times (0, T)}{q^2}{e^{3s\alpha /2}}dxdt, \end{equation} $

(3.6)

其中$ {C_T} $是由(3.5)式给定, $ K = 8{\gamma ^2}({\lambda _1})(1 + T) $, $ {\lambda _1} $和$ \gamma ({\lambda _1}) $由引理3.1给出.

定理3.1   设条件(H3)成立, 如果存在正常数$ K $, 使得非齐次项$ \phi , \zeta $满足

$ \begin{equation} \upsilon = \iint\limits_Q{{e^{ - \frac{K}{{T - t}}}}}\left( {{\phi ^2} + {\zeta ^2}} \right)dxdt < + \infty, \end{equation} $

(3.7)

则称系统(3.1)是零能控的, 即存在控制$ f\in {L^\infty }({Q_T}) $使得对于任意的$ ({y_0}, {z_0}) \in {L^2}{(\Omega )^2} $, 系统(3.1)的解$ (y, z) \in {\left( {{L^2}(0, T;{H^1}(\Omega )) \cap C([0, T];{L^2}(\Omega ))} \right)^2} $都满足$ y(x, {\rm{ }}T){\rm{ }} = z(x, {\rm{ }}T){\rm{ }} = {\rm{ }}0 $ a.e. $ x\in \Omega $.此外, 控制函数满足如下估计

$ \begin{equation} {\left\| 1_{\omega_0} f \right\|_\infty } \le {C_T}\left( {{{\left\| {({y_0}, {z_0})} \right\|}_{{L^2}{{(\Omega )}^2}}} + {\upsilon ^{1/2}}} \right), \end{equation} $

(3.8)

其中$ {C_T} $是由(3.5)式给定.

证   设$ s $和$ \lambda $使不等式(3.4)和(3.6)中成立.对任意的$ \varepsilon>0 $, 考虑如下最优控制问题:

(P) $ {\rm{Minimize}} \left\{ {\frac{1}{2}}\iint\limits_{{\omega _0} \times (0, T)}{{f^2}{e^{ - 3s\alpha /2}}dxdt}+ \frac{1}{{2\varepsilon }}\left\| {(y, z)( \cdot , T)} \right\|_{{L^2}{{(\Omega )}^2}}^2 \right\} $,

其中$ f \in {L^2}({Q_T}) $, $ (y, z) $是系统(3.1)的解.可以验证问题(P)的最优解$ ({f_\varepsilon }, ({y_\varepsilon }, {z_\varepsilon })) $的存在性, 利用Pontryagin极大值原理^[3], $ {f_\varepsilon } = {q_\varepsilon }{e^{3s\alpha /2}}{1_{{\omega _0}}} $, 其中$ ({p_\varepsilon }, {q_\varepsilon }) $是伴随系统(3.2)的解,

$ p_\varepsilon(x, T) = -{1\over \varepsilon} y_\varepsilon(x, T), 1_\varepsilon(x, T) = -{1\over \varepsilon }z_\varepsilon(x, T), x\in \Omega. $

$ ({y_\varepsilon }, {z_\varepsilon }) $是系统(3.1)相应于$ f = f_\varepsilon $的解.根据线性系统(3.1), 伴随系统(3.2), 引理3.2和3.3, 可以得出

$ \begin{equation} \iint\limits_{{\omega _0} \times (0, T)}{{q_\varepsilon }^2{e^{3s\alpha /2}}dxdt} +{1\over \varepsilon} \left\| {({y_\varepsilon }, {z_\varepsilon })( \cdot , T)} \right\|_{{L^2}{{(\Omega )}^2}}^2 \le {C_T}{\left( {{{\left\| {({y_0}, {z_0})} \right\|}_{{L^2}{{(\Omega )}^2}}} + {\upsilon ^{1/2}}} \right)^2}, \end{equation} $

(3.9)

其中$ {C_T} $和$ \upsilon $由(3.5)和(3.7)式给出.利用(3.9)式和引理3.3, 可知控制$ {f_\varepsilon } $满足(3.8)式.由此, 存在子列$ {f_{\varepsilon_k} } $, 使得$ {f_{\varepsilon_k}} $在$ {L^\infty }({Q_T}) $中弱$ * $收敛于$ f $, 根据线性抛物型方程的线性性, 可以验证系统(3.1)的解$ ({y_{\varepsilon_k}}, {z_{\varepsilon_k}}) $对应于$ {f_{\varepsilon_k}} $收敛到系统(3.1)的解$ (y, z) $.最后, 利用(3.9)式, 可得在$ \Omega $中几乎处处都有$ y(x, {\rm{ }}T) = 0, z(x, {\rm{ }}T) = 0 $.

注3.1  定理3.1的结论应用到两个特殊情形: (i) $ \phi = 0, \zeta = 0 $; (ii)对某些$ \varepsilon > 0 $, 在$ (x, t) \in \Omega \times (0, T - \varepsilon ) $中, $ \phi , \zeta $满足$ \phi (x, t) = 0, \zeta (x, t) = 0 $.

本节运用Kakutani不动点定理^[3]证明非线性系统(1.1)的局部精确能控性.

定理3.2  设$ (y^*, z^*) $为系统(1.2)对应于$ (y_0^*, z_0^*) $的一个正解, 且满足(1.3)式.令$ M < M^* $.则存在不依赖于$ T $的常数$ {c_1} $使得对于任意的$ ({y_0}, {z_0}) \in {H^2}{(\Omega )^2} $, 只要满足

$ \begin{equation} 0 < {\left\| {({y_0} - y_0^*, {z_0} - z_0^*)} \right\|_{{H^2}{{(\Omega )}^2}}} \le {e^{ - {c_1}(1 + T + 1/T)}}\min \{ \rho , M\}, \end{equation} $

(3.10)

就有控制$ f \in {\mathcal U_\rho } $使得系统(3.11)有唯一正解

$ \begin{equation*} \label{eq:22} (y, z) \in {\left( {{L^\infty }(0, T;{H^2}(\Omega )) \cap {W^{1, 2}}([0, T];{H^1}(\Omega ))} \right)^2} \end{equation*} $

满足于(1.4)式.

证  设$ Y = y-y^*, Z = z-z^* $, $ Y_0 = y_0-y_0^*, Z_0 = z_0-z_0^* $, 则$ (Y, Z) $满足如下方程组

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}Y = {\mu _1}\Delta Y - a(Z+z^*)Y-ay^*Z, &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}Z = {\mu _2}\Delta Z - bz^*Y-b(Y+y^*)Z +{1 _{{\omega}}}{f}, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}Y = 0, {\partial _n}Z = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ Y(x, 0) = {Y_0}(x), Z(x, 0) = {Z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega . \end{array} \right. \end{equation} $

(3.11)

只须证明系统(3.11)的局部零能控即可.为此, 将该方程组线性化, 即得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}Y = {\mu _1}\Delta Y - a(\eta+z^*)Y-ay^*Z, &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}Z = {\mu _2}\Delta Z - bz^*Y-b(\xi+y^*)Z +{1 _{{\omega}}}{f}, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}Y = 0, {\partial _n}Z = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ Y(x, 0) = {Y_0}(x), Z(x, 0) = {Z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

(3.12)

其中$ (\xi, \eta)\in K $.这里$ K = \{(\xi, \eta); \|\xi\|_\infty\leq M, \|\eta\|_\infty\leq M\}\subset L^2(Q_T)^2 $, $ M<M^* $.根据线性方程组(3.12)和定理3.1, 可以定义多值映射$ \Phi: K\subset L^2(Q_T)^2\rightarrow 2^{L^2(Q_T)^2} $; $ (\xi, \eta)\rightarrow \Phi(\xi, \eta), $其中$ (Y, Z)\in\Phi(\xi, \eta) $表示线性系统(3.12)相应于控制$ f $的解, 其满足$ Y(x, T) = 0, Z(x, T) = 0 $ a.e. $ x\in \Omega $, 且控制函数$ f\in L^\infty(Q_T) $满足估计

$ \begin{equation} {\left\| 1_{\omega} f \right\|_\infty } \le e^{c_0^1(1+T+{1\over T})}{{\left\| {({Y_0}, {Z_0})} \right\|}_{{L^2}{{(\Omega )}^2}}}. \end{equation} $

(3.13)

根据(3.13)式和线性抛物型方程的能量估计, 有

$ \begin{equation} \left\Vert (Y, Z)\right\Vert _{(L^{2}(0, T;H^{2}(\Omega))\cap W^{1, 2} ([0, T];L^{2}(\Omega)))^{2}}\leq e^{c_{0}^{2}(1+T+\frac{1}{T})}\left\Vert (Y_{0}, Z_{0})\right\Vert _{H^{2}(\Omega)^{2}}. \end{equation} $

(3.14)

可以验证存在常数$ c_1\leq\min\{c_0^1, c_0^2\} $, 使得只要初始值$ (y_0, z_0) $满足不等式(3.10), 则多值映射满足Kakutani不动点定理^[3]的条件, 从而至少存在一个不动点$ (Y, Z)\in \Phi(Y, Z) $.该不动点$ (Y, Z) $为非线性系统(3.11)的解, 其满足$ Y(x, T) = 0, Z(x, T) = 0 $ a.e. $ x\in \Omega $.从而, $ y(x, T) = y^*(x, T), z(x, T) = z^*(x, T) $.由于$ \|Y\|_\infty\leq M $, 因此$ y(x, t) = y^*(x, t)+Y(x, t)\geq M^*-M>0 $ a.e. $ (x, t)\in Q_T $.同理, 有$ z(x, t)>0 $ a.e. $ (x, t)\in Q_T $.此外, 控制函数$ f\in L^\infty(Q_T)\cap \mathcal U_\rho $.

注3.2   定理3.2表明系统(1.1)可以在带有约束条件的控制作用下的局部精确能控.事实上, 当控制没有约束时, 局部精确能控性对正轨道$ (y^*, z^*) $也是有效的.亦即, 对任意满足

$ \begin{equation*} \label{eq:23} 0 < {\left\| {({y_0} - {y_0}^*, {z_0} - {z_0}^*)} \right\|_{{H^2}{{(\Omega )}^2}}} \le {e^{ - {c_1}(1 + T + 1/T)}}M \end{equation*} $

的$ ({y_0}, {z_0}) \in {H^2}{(\Omega )^2} $都存在控制$ f \in {L^\infty }(Q_T) $使得在$ T $时刻, 系统(1.1)的轨迹$ (y, z) $在$ T $时刻能达到目标轨迹$ (y^*, z^*)(\cdot, T) $.

设$ {\omega _1} $和$ {\omega _2} $为$ \Omega $中的开集, 至少有一个非空.考虑如下控制系统

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}y = {\mu _1}\Delta y - ayz + g + {1 _{{\omega _1}}}{f_1}, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}z = {\mu _2}\Delta z - byz + h + {1 _{{\omega _2}}}{f_2}, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}y = 0, {\partial _n}z = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ y(x, 0) = {y_0}(x), z(x, 0) = {z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega . \end{array} \right. \end{equation} $

(3.15)

推论3.1   设$ (y^*, z^*) $和常数$ {c_1} $由定理3.2给出, 如果$ ({y_0}, {z_0}) \in {H^2}{(\Omega )^2} $满足(3.10)式, 则存在控制$ {f_1}, {f_2} \in \mathcal U_\rho $使得系统(3.15)有唯一正解$ (y, z) $并满足$ y(x, T) = y^*(x, T) $, $ z(x, T) = z^*(x, T) $ a.e. $ (x, t)\in Q_T. $

证   不妨设$ {\omega _2} $非空.取$ {f_1} = 0 $, 则只需根据定理3.2和引理2.2即可证明.

定理4.1   设$ (y^*, z^*) $和常数$ {c_1} $由定理3.2给出, 对于任意的$ ({y_0}, {z_0}) \in {H^2}{(\Omega )^2} $, 若其满足

$ \begin{equation} \left\| {{y_0} - {y_0^*}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^{} + \left\| {{z_0} - {z_0^*}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^{} \le {e^{ - 3{c_1}}}\min \{ \rho , M\}, \end{equation} $

(4.1)

则时间最优控制问题(TP)至少存在一个时间最优控制.

证   如果$ {y_0} = y_0^*, {z_0} = y_0^* $, 可取控制$ f = 0 $, 则当$ T = 0 $时, 系统精确能控, 从而最小时间为$ T = 0 $.设$ {c_1} $是定理3.2中的常数.当$ T = 1 $时, $ {e^{ - {c_1}(1 + T + 1/T)}} $取得最大值$ {e^{ - 3{c_1}}} $.而根据定理3.2, 对于满足不等式(4.1)的初始值$ ({y_0}, {z_0}) $, 存在控制$ \overline f \in {\mathcal U_\rho } $, 使系统(1.1)的相应的解$ ({y_1}, {z_1}) $在时刻$ T = 1 $处满足$ ({y_1}, {z_1})( \cdot , 1) = (y^*, z^*)( \cdot , 1) $.这表明集合$ \Im $非空.令$ T{\rm{^* = inf}} \Im $.我们在$ \Im $中取一列不增的序列$ \{ {T_n}\} _{n = 1}^\infty $, 使其满足当$ n \to \infty $时, $ {T_n} \to T^* $.对每个$ n $, 根据定理3.2, 存在控制函数$ {f_n} \in {\mathcal U_\rho } $, 使系统(1.1)对应的解$ ({y_n}, {z_n}) $满足

$ ({y_n}, {z_n})\in ({L^2}(0, {T_n};{H^2}(\Omega ))\cap {W^{1, 2}}([0, {T_n}];{L^2}(\Omega )))^2, \quad {y_n} \ge 0, {z_n} \ge 0 $

和

$ ({y_n}, {z_n})( \cdot , {T_n}) = (y^*, z^*)( \cdot , {T_n}). $

取$ T \ge {T_1} $, 作辅助函数$ {\bar y_n} $如下: $ {\bar y_n} = {y_n} $, 当$ (x, t) \in \Omega \times (0, {T_n}] $时; $ {\bar y_n} = y^* $, 当$ (x, t) \in \Omega \times ({T_n}, T) $时.类似定义$ {\bar z_n} $.再做辅助函数$ {\bar f_n} $如下: $ {\bar f_n} = {f_n} $, 当$ (x, t) \in \Omega \times (0, {T_n}] $时; $ {\bar f_n} = 0 $, 当$ (x, t) \in \Omega \times ({T_n}, T) $时.于是$ ({\bar y_n}, {\bar z_n}) \in {({L^2}(0, T;{H^2}(\Omega )) \cap {W^{1, 2}}([0, T];{L^2}(\Omega )))^2} $为下列方程组的解:

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\partial _t}{{\bar y}_n} = {\mu _1}\Delta {{\bar y}_n} - a{{\bar y}_n}{{\bar z}_n} + g, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _t}{{\bar z}_n} = {\mu _2}\Delta {{\bar z}_n} - b{{\bar y}_n}{{\bar z}_n} + h + {\chi _{{\omega _2}}}{{\bar f}_n}, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{Q_T}\text{中}, \\ {\partial _n}{{\bar y}_n} = 0, {\partial _n}{{\bar z}_n} = 0, {\rm{ }}{\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &\text{在}{\Sigma _T}\text{上}, \\ {{\bar y}_n}(x, 0) = {y_0}(x), {{\bar z}_n}(x, 0) = {z_0}(x), {\rm{ }}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &x \in \Omega . \end{array} \right. \end{equation} $

(4.2)

对于所有的$ n $, 控制函数一致有界, 即$ {\left\| {{{\bar f}_n}} \right\|_{{L^\infty }({Q_T})}} \le \rho $, 因此有

$ \begin{equation*} \label{eq:26} \left\| g \right\|_{{L^2}({Q_T})}^2 + \left\| h \right\|_{{L^2}({Q_T})}^2 + \left\| {{y_0}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^2 + \left\| {{z_0}} \right\|_{{H^2}(\Omega )}^2 + \left\| {{{\bar f}_n}} \right\|_{{L^2}({Q_T})}^2 \le \kappa, \end{equation*} $

其中$ \kappa $为与时间$ T $无关的常数.根据定理2.1中的不等式, 可以得到如下估计

$ \begin{equation*} \label{eq:27} | \nabla {\bar y_n}{\rm{(}} \cdot , t)|_2^2 + |\nabla {\bar z_n}{\rm{(}} \cdot , t)|_2^2 + \int_0^t {[|\Delta {{\bar y}_n}|_2^2 + |\Delta {{\bar z}_n}|_2^2]} ds + \int {[|{\partial _t}{{\bar y}_n}|_2^2} + |{\partial _t}{\bar z_n}|_2^2]ds \le {e^{C\kappa }}, \end{equation*} $

即表明序列$ \{ {\bar y_n}\} _{n = 1}^\infty , \{ {\bar z_n}\} _{n = 1}^\infty $在$ {L^2}(0, T;{H^2}(\Omega )) \cap {W^{1, 2}}([0, T];{L^2}(\Omega )) $中一致有界, 从而存在子列$ \{ {\bar y_k}\} _{k = 1}^\infty , \{ {\bar z_k}\} _{k = 1}^\infty $使得当$ k\to\infty $时, $ {\bar y_k} $和$ {\bar z_k} $在$ {L^2}(0, T;{H^2}(\Omega )) \cap {W^{1, 2}}([0, T];{L^2}(\Omega )) $中分别弱收敛于$ y{\rm^{**}} $和$ z{\rm^{**}} $, 根据Aubin-Lions引理和Ascoli-Arzelà引理^[3], $ {\bar y_k} $和$ {\bar z_k} $在$ {L^2}(0, T;{H^1}(\Omega ))\cap C([0, T];{L^2}(\Omega )) $中分别强收敛于$ y{\rm^{**}} $和$ z{\rm^{**}} $.因为$ {\left\| {{{\bar f}_n}} \right\|_{{L^\infty }({Q_T})}} \le \rho $, 所以存在子列$ \{ {\bar f_k}\} _{n = 1}^\infty $使得当$ k \to \infty $时, $ {\bar f_k} $在$ {L^\infty }({Q_T}) $中弱{*}收敛于$ f{\rm^{**}} \in {\mathcal U_\rho } $.结合上面的收敛结果, 在方程(3.12) ($ n = k $)中取$ k \to \infty $的极限, 则可以推断$ (y{\rm^{**}}, z{\rm^{**}}) $为方程(1.1)的弱解.最后, 因为

$ \begin{equation*} \label{eq:28} \begin{array}{l} |y^*{\rm^{*}}( \cdot , T^*) - y{\rm^{*(}} \cdot , T^*){|_2}{\rm{ }} \le {\rm{ }}|y^*{\rm^{*}}( \cdot , T^*) - y^*{\rm^{*}}( \cdot , {T_n}){{\rm{|}}_2} + |y^*{\rm^{*}}( \cdot , {T_n}) - y^*( \cdot , {T_n}){|_2} \\ + |y^*( \cdot , {T_n}) - y^*( \cdot , T^*){|_2}\le C|{T_n} - T^*| + |y^*{\rm^{*}}( \cdot , {T_n}) - y^*( \cdot , {T_n}){|_2} \to 0, \end{array} \end{equation*} $

所以$ y^{**}( \cdot , T^*) = y^*( \cdot , T^*) $, 这表明存在控制$ f^{** }\in {\mathcal U_\rho } $, 使得方程(1.1)在时刻$ T^* $处达到目标状态$ y^*( \cdot , T^*) $.同理可以验证$ z^{**}( \cdot , T^*) = z^*( \cdot , T^*) $.因此证明了时间最优控制的存在性.