极小性和混合性是拓扑动力系统中重要的概念, 其核心是迭代所产生的系列轨道在拓扑空间中的渐进性和拓扑结构, 近年来许多学者对其进行了研究, 得到了很多有意义的成果(见文献[1-7]).例如, 文献[1]证明了在紧致度量空间中极小性和拓扑混合可以被强一致收敛所保持; 文献[2]给出了图上交错系统中拓扑混合的等价条件; 文献[3]给出了树映射是拓扑混合的等价条件; 文献[4]证明了乘积映射是极小映射和混合映射相应等价于分映射是极小映射和混合映射.文献[1-4]是在整数加群$ Z $作用下的拓扑空间上研究极小性和拓扑混合, 也就是在经典离散动力系统中研究极小性和拓扑混合, 随着离散系统动力系统中理论的成熟, 在一般群作用下的拓扑空间中的动力学性质逐渐受到学者的关注^[8-11].文献[8]在Amenable群作用下研究了极小性和拓扑混合的等价条件; 文献[9]在拓扑群中下证明了拓扑混合可以被强一致收敛所保持.我们知道整数加群$ Z $一定是Amenable群和拓扑群, 反之不一定成立, 因此文献[8-11]所研究的空间比离散动力系统更为广泛, 结论更具有实用性和普遍性.借鉴文献[8-11]的研究思路, 笔者在拓扑群作用下的乘积空间中进行研究, 首先介绍了极小映射和混合映射的概念, 其次证明了(1)乘积映射f$ \times $g是$ G $ -极小映射当且仅当是$ f $是$ G_{1} $ -极小映射, $ g $是$ G_{2} $ -极小映射; (2)乘积映射f$ \times $g是$ G $ -混合映射当且仅当是$ f $是$ G_{1} $ -混合映射, $ g $是$ G_{2} $ -混合映射.另外链回归点也是动力系统中十分重要的概念, 近年来也取得了有意义的研究成果^[12-14].文献[12]证明了在紧致度空间中, 若映射$ f $具有伪轨跟踪性, 则$ CR(f) = \overline{AP(f)} $; 文献[13]证明了在紧致度空间中, 若映射$ f $具有周期伪轨跟踪性, 则$ CR(f) = \overline{P(f)} $; 文献[14]在拓扑群作用下的逆极限空间中研究了链回归点, 指出移位映射的链回归点集等于自映射在其链回归点集上形成的逆极限空间.笔者在拓扑群作用下的乘积空间中研究了链回归点的拓扑结构, 证明了$ CR_{G}(f \times g) = CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g) $.这些结果弥补了拓扑群作用下乘积空间中极小映射、混合映射和链回归点理论的缺失, 为它们在今后的应用中提供了理论依据和科学基础.

定义2.1^[15]   设$ X $是度量空间, $ G $是拓扑群.若映射$ \varphi: G\times X \longrightarrow X $满足

(1) 对任意的$ x\in X $, 有$ \varphi(e, x) = x $, 其中$ e $为$ G $的单位元;

(2) 对任意的$ x\in X $以及$ g_{1}, g_{2}\in G $, 有$ \varphi(g_{1}, \varphi(g_{2}, x)) = \varphi(g_{1}g_{2}, x) $, 则称($ X $, $ G $, $ \varphi $)是度量$ G $ -空间, 简称$ X $是度量$ G $ -空间.为了书写方便, 通常将$ \varphi(gx) $简写为$ gx $.

下面给出乘积度量$ G $ -空间的概念.

定义2.2   设$ (X, d_{1}) $是度量$ G_{1} $ -空间, $ (Y, d_{2}) $是度量$ G_{2} $ -空间, 在乘积空间$ X\times Y $上定义$ d((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = \max\{d_{1}(x_{1}, x_{2}), d_{2}(y_{1}, y_{2})\} $, 则称$ d $是乘积空间$ X\times Y $上的度量.

设$ f:X\longrightarrow X $连续, $ g:Y\longrightarrow Y $连续, 定义$ (f\times g)(x, y) = (f(x), g(y)) $, 则称$ f\times g $是$ f $与$ g $的乘积映射.

取$ G = G_{1}\times G_{2} $, 易知$ G $是拓扑群, $ (X\times Y, d, G) $是度量$ G $ -空间, 此时称$ (X\times Y, d, G) $是$ (X, d_{1}, G_{1}) $和$ (Y, d_{2}, G_{2}) $的乘积度量$ G $ -空间.

定义2.3^[14]   设$ (X, d) $是度量$ G $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, $ x\in X $, 称$ x $是$ f $的$ G $ -链回归点, 如果$ \forall\varepsilon>0 $, $ \exists f $作用下的$ (G, \varepsilon) $链$ \{x_{i}\}_{i = 0}^{n} $, 其中$ x_{0} = x_{n} = x $. $ f $的$ G $ -链回归点集用$ CR_{G}(f) $表示.

定义2.4^[9]   设$ (X, d) $是度量$ G $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, 称$ f $是$ G $ -混合映射, 如果对$ X $任意非空开集$ U $和$ V $, 存在正整数$ m $, 存在$ p\in G $, 当$ n>m $时, 有$ pf^{n}(U)\bigcap V \neq\emptyset $.

定义2.5   设$ (X, d) $是度量$ G $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, $ x\in X $, 称$ \text {orb}_{G}(x, f) $为$ f $作用下的$ G $ -轨道, 如果记$ \text {orb}_{G}(x, f)\equiv\{pf^{n}(x):p\in G, n\geq0\} $.

定义2.6   设$ (X, d) $是度量$ G $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, 称$ f $是$ G $ -极小映射, 如果对任意的$ x\in X $, 有$ \overline{\text {orb}_{G}(x, f)} = X $.

定理3.1   设$ (X, d_{1}) $是度量$ G_{1} $ -空间, $ (Y, d_{2}) $是度量$ G_{2} $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, $ g:Y\longrightarrow Y $连续, 则f$ \times $g是$ G $ -极小映射当且仅当是$ f $是$ G_{1} $ -极小映射, $ g $是$ G_{2} $ -极小映射.

证   $ \Rightarrow $假设f$ \times $g是$ G $ -极小映射. $ \forall x\in X $，$ \forall y\in Y $, 取$ z = (x, y) $, 则$ z\in X\times Y $.由$ f\times g $是$ G $ -极小映射知

$ \overline{\text {orb}_{G}(z, f\times g)} = X\times Y. $

设$ U $是$ X $上的任意非空开集, $ V $是$ Y $上的任意非空开集, 则$ U\times V $是$ X\times Y $上的非空开集, 故

$ \begin{equation*} \text {orb}_{G}(z, f\times g)\cap(U\times V)\neq\emptyset. \end{equation*} $

又

$ \begin{eqnarray*} \text {orb}_{G}(z, f\times g)\cap(U\times V) & = &(\text {orb}_{G_{1}}(x, f)\times \text {orb}_{G_{2}}(y, g))\cap(U\times V)\\ & = &(\text {orb}_{G_{1}}(x, f)\cap U)\times (\text {orb}_{G_{2}}(y, g)\cap V). \end{eqnarray*} $

故

$ \text {orb}_{G_{1}}(x, f)\cap U\neq\emptyset, \; \; \text {orb}_{G_{2}}(y, g)\cap V\neq\emptyset. $

则

$ \overline{\text {orb}_{G_{1}}(x, f)} = X, \; \; \overline{\text {orb}_{G_{2}}(y, g)} = Y. $

因此$ f $是$ G_{1} $ -极小映射, $ g $是$ G_{2} $ -极小映射.

$ \Leftarrow $假设$ f $是$ G_{1} $ -极小映射, $ g $是$ G_{2} $ -极小映射.设$ U'\times V' $是$ X\times Y $上的任意非空开集, 则$ U' $是$ X $上的非空开集, $ V' $是$ Y $上的非空开集, $ \forall z' = (x', y')\in X\times Y $, 则$ x'\in X $, $ y'\in Y $, 由$ f $是$ G_{1} $ -极小映射和$ g $是$ G_{2} $ -极小映射知

$ \text {orb}_{G_{1}}(x', f)\cap U'\neq\emptyset, \; \; \text {orb}_{G_{2}}(y', g)\cap V'\neq\emptyset . $

又

$ \begin{eqnarray*} \text {orb}_{G}(z', f\times g)\cap(U'\times V') & = &(\text {orb}_{G_{1}}(x', f)\times \text {orb}_{G_{2}}(y', g))\cap(U'\times V')\\ & = &(\text {orb}_{G_{1}}(x', f)\cap U')\times (\text {orb}_{G_{2}}(y', g)\cap V'). \end{eqnarray*} $

故

$ \text {orb}_{G}(z', f\times g)\cap(U'\times V')\neq\emptyset. $

则

$ \overline{\text {orb}_{G}(z', f\times g)} = X\times Y. $

因此$ f\times g $是$ G $ -极小映射.

定理3.2   设$ (X, d_{1}) $是度量$ G_{1} $ -空间, $ (Y, d_{2}) $是度量$ G_{2} $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, $ g:Y\longrightarrow Y $连续, 则f$ \times $g是$ G $ -混合映射当且仅当是$ f $是$ G_{1} $ -混合映射, $ g $是$ G_{2} $ -混合映射.

证   $ \Rightarrow $假设f$ \times $g是$ G $ -混合映射. $ \forall X $上的任意非空开集$ U_{1} $和$ V_{1} $, $ \forall Y $上的任意非空开集$ U_{2} $和$ V_{2} $, 易知$ U_{1}\times U_{2} $，$ V_{1}\times V_{2} $是$ X\times Y $上的非空开集.由f$ \times $g是$ G $ -混合映射知, $ \exists N_{1}\in N_{+} $, $ \exists (p_{1}, p_{2})\in G $, 当$ n>N_{1} $时, 有

$ p(f\times g)^{n}(U_{1}\times U_{2})\cap (V_{1}\times V_{2})\neq\emptyset. $

又

$ \begin{eqnarray*} p(f\times g)^{n}(U_{1}\times U_{2})\cap (V_{1}\times V_{2}) & = &(p_{1}f^{n}(U_{1})\times p_{2}g^{n}(U_{2}))\cap(V_{1}\times V_{2})\\ & = &(p_{1}f^{n}(U_{1})\cap V_{1})\times(p_{2}g^{n}(U_{2})\cap V_{2}) . \end{eqnarray*} $

则

$ p_{1}f^{n}(U_{1})\cap V_{1}\neq\emptyset, \; \; p_{2}g^{n}(U_{2})\cap V_{2}\neq\emptyset. $

故$ f $是$ G_{1} $ -混合映射, $ g $是$ G_{2} $ -混合映射.

$ \Leftarrow $假设$ f $是$ G_{1} $ -混合映射, $ g $是$ G_{2} $ -混合映射. $ \forall X\times Y $上的任意非空开集$ U_{1}'\times U_{2}' $和$ V_{1}'\times V_{2}' $, 易知$ U_{1}' $和$ V_{1}' $是$ X $上的非空开集, $ U_{2}' $和$ V_{2}' $是$ Y $上的非空开集.由$ f $是$ G_{1} $ -混合映射知, $ \exists N_{2}\in N_{+} $，$ \exists t_{1}\in G_{1} $, 当$ n>N_{2} $时, 有

$ t_{1}f^{n}(U_{1}')\cap V_{1}'\neq\emptyset. $

由$ g $是$ G_{2} $ -混合映射知, $ \exists N_{3}\in N_{+} $，$ \exists t_{2}\in G_{2} $, 当$ n>N_{3} $时, 有

$ t_{2}g^{n}(U_{2}')\cap V_{2}'\neq\emptyset. $

取$ N_{4} = \max\{N_{2}, N_{3}\} $, $ t = (t_{1}, t_{2})\in G $, 当$ n>N_{4} $时, 有

$ \begin{eqnarray*} t(f\times g)^{n}(U_{1}'\times U_{2}')\cap (V_{1}'\times V_{2}') & = & (t_{1}f^{n}(U_{1}')\times t_{2}g^{n}(U_{2}'))\cap(V_{1}'\times V_{2}')\\ & = & (t_{1}f^{n}(U_{1}')\cap V_{1}')\times(t_{2}g^{n}(U_{2}')\cap V_{2}') . \end{eqnarray*} $

故

$ t(f\times g)^{n}(U_{1}'\times U_{2}')\cap (V_{1}'\times V_{2}')\neq\emptyset. $

因此f$ \times $g是$ G $ -混合映射.

定理3.3   设$ (X, d_{1}) $是度量$ G_{1} $ -空间, $ (Y, d_{2}) $是度量$ G_{2} $ -空间, $ f:X\longrightarrow X $连续, $ g:Y\longrightarrow Y $连续, 则$ CR_{G}(f \times g) = CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g) $.

证   $ \Rightarrow $先证$ CR_{G}(f \times g)\subseteq CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g) $.设$ z = (x, y)\in CR_{G}(f\times g) $, $ \forall\varepsilon >0 $, 则存在$ f\times g $作用下的$ (G, \varepsilon) $链$ \{z_{i}\}_{i = 0}^{n} $, 其中$ z_{i} = (x_{i}, y_{i}), z_{0} = z_{n} = z $.故对任意的$ 0\leq i<n $，$ \exists p_{i} = (p_{i}^{1}, p_{i}^{2})\in G $使

$ d(p_{i}(f\times g)(z_{i}), z_{i+1})<\varepsilon. $

因此

$ d_{1}(p_{i}^{1}f(x_{i}), x_{i+1})<\varepsilon, \; \; d_{2}(p_{i}^{2}g(y_{i}), y_{i+1})<\varepsilon. $

又$ x_{0} = x_{n} = x $, $ y_{0} = y_{n} = y $, 则$ x\in CR_{G_{1}}(f) $，$ y\in CR_{G_{2}}(g) $, 故$ z\in CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g) $.

$ \Leftarrow $下证$ CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g)\subseteq CR_{G}(f \times g) $.设$ z = (x, y)\in CR_{G_{1}}(f)\times CR_{G_{2}}(g) $, 则$ x\in CR_{G_{1}}(f) $, $ y\in CR_{G_{2}}(g) $. $ \forall\eta >0 $, 则存在$ f $作用下的$ (G_{1}, \eta) $链$ \{x_{i}\}_{i = 0}^{m} $, 其中$ x_{0} = x_{m} = x $, 存在$ g $作用下的$ (G_{2}, \eta) $链$ \{y_{i}\}_{i = 0}^{k} $, 其中$ y_{0} = y_{k} = y $.取

$ x_{m+1} = x_{1}, x_{m+2} = x_{2}, x_{m+3} = x_{3}, \ldots, x_{2m-1} = x_{m-1}, x_{2m} = x_{m}; $

$ x_{2m+1} = x_{1}, x_{2m+2} = x_{2}, x_{2m+3} = x_{3}, \ldots, x_{3m-1} = x_{m-1}, x_{3m} = x_{m}; $

$ x_{3m+1} = x_{1}, x_{3m+2} = x_{2}, x_{3m+3} = x_{3}, \ldots, x_{4m-1} = x_{m-1}, x_{4m} = x_{m}; $

$ \vdots $

$ x_{(k-1)m+1} = x_{1}, x_{(k-1)m+2} = x_{2}, x_{(k-1)m+3} = x_{3}, \ldots, x_{km-1} = x_{m-1}, x_{km} = x_{m}. $

取

$ y_{k+1} = y_{1}, y_{k+2} = y_{2}, y_{k+3} = y_{3}, \ldots, y_{2k-1} = y_{k-1}, y_{2k} = y_{k}; $

$ y_{2k+1} = y_{1}, y_{2k+2} = y_{2}, y_{2k+3} = y_{3}, \ldots, y_{3k-1} = y_{k-1}, y_{3k} = y_{k}; $

$ y_{3k+1} = y_{1}, y_{3k+2} = y_{2}, y_{3k+3} = y_{3}, \ldots, y_{4k-1} = y_{k-1}, y_{4k} = y_{k}; $

$ \vdots $

$ y_{(m-1)k+1} = y_{1}, y_{(m-1)k+2} = y_{2}, y_{(m-1)k+3} = y_{3}, \ldots, y_{mk-1} = y_{k-1}, y_{mk} = y_{k}. $

由以上构造过程知, $ \{x_{i}\}_{i = 0}^{mk} $是$ f $作用下的$ (G_{1}, \eta) $链, $ \{y_{i}\}_{i = 0}^{mk} $是$ g $作用下的$ (G_{2}, \eta) $链, 并且$ x_{0} = x_{mk} = x $，$ y_{0} = x_{mk} = y $.故对任意的$ 0\leq i<mk $, $ \exists t_{i}^{1}\in G_{1} $, $ \exists t_{i}^{2}\in G_{2} $使

$ d_{1}(t_{i}^{1}f(x_{i}), x_{i+1})<\eta, \; \; d_{2}(t_{i}^{2}g(y_{i}), y_{i+1})<\eta. $

取$ z_{i} = (x_{i}, y_{i}) $, $ t_{i} = (t_{i}^{1}, t_{i}^{2})\in G $, 则有

$ d(t_{i}(f\times g)(z_{i}), z_{i+1}) = \max\{d_{1}(t_{i}^{1}f(x_{i}), x_{i+1}), d_{2}(t_{i}^{2}g(y_{i}), y_{i+1})\}<\eta. $

又$ z_{0} = z_{mk} = z $, 故$ z\in CR_{G}(f \times g) $.

本文受文献[8]和文献[11]研究思路的启发, 在拓扑群作用下的乘积空间中介绍了$ G $ -极小映射、$ G $ -混合映射和$ G $ -链回归点的概念, 利用乘积映射的性质, 研究了乘积映射f$ \times $g与分映射$ f $和$ g $在这些动力学性质方面的关系, 得到了较好的结果, 推广和改进了整数加群$ Z $作用下拓扑空间中有关极小映射、混合映射和链回归点的结果, 为其在今后实际的应用中提供了理论依据和科学基础.