考虑如下分数阶边值问题

$ \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} {_{0}D_{t}^{-\beta}}(u'(t))+ \frac{1}{2}{_{t}D_{T}^{-\beta}}(u'(t))\right) = \nabla W\left(t, u(t)\right)\quad \text{a.e. }t\in[0, T], \\ u(0) = 0, \quad u(T) = 0, \end{array}\right.\ \end{equation*} $

(1.1)

其中, $ _{0}D_{t}^{-\beta} $与$ _{t}D_{T}^{-\beta} $分别是$ 0\leq\beta<1 $阶的左Riemann-Liouville积分与右Riemann-Liouville积分, $ \nabla W(t, u(t)) $是$ W(t, u(t)) $关于$ u $的梯度.

随着分数阶微积分的发展, 其已涵盖了科学与工程的很多应用领域, 特别是近30年以来, 已应用到流体力学, 粘弹性力学, 反常扩散, 分数控制系统, 各种电子回路, 生物系统的电传导, 神经的分数模型等, 并且已有了成熟的发展, 见文献[1-6].

近年来, 许多学者利用各种方法对问题(1.1)进行了研究, 并得到了很多重要的结果.2011年, Jiao和Zhou在文献[7]中首次建立了问题(1.1)的变分结构, 并利用极小化作用原理以及山路引理得到了问题(1.1)解的存在性; 在文献[1]中, 陈在位势函数$ W(t, x) $满足渐近二次的条件下, 利用山路引理研究了问题(1.1)解的存在性; 文献[2]中, 陈和唐运用喷泉定理和对偶喷泉定理分别考虑了位势函数$ W(t, x) $为超二次和次二次的情形, 得到了问题(1.1)存在无穷多个解.

令

$ \begin{equation*} W(t, u(t)) = \lambda G(t, u(t))+ F(t, u(t)), \ \end{equation*} $

(1.2)

其中$ \lambda>0 $, $ F(t, u(t)) $和$ G(t, u(t)) $在无穷远处分别是超二次和次二次的.最近, 文献[4]首次研究了具有形如(1.2)式这样组合项的位势函数, 借助于山路引理和极小化方法得到问题(1.1)至少存在两个非平凡解.受上述结果的启发, 本文利用山路引理以及Ekeland变分原理, 进一步讨论此类带组合项的问题(1.1)两个解的存在性.我们有

定理1.1  假设$ W $满足如下条件

[F1] $ \forall x\in \mathbb{R}^N $, $ F(t, x) $关于$ t $是可测的, 对a.e.$ t\in[0, T] $, $ F(t, x) $关于$ x $是连续可微的, 且存在$ a\in C(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}^{+}) $, $ b\in L^{1}([0, T], \mathbb{R}^{+}) $使得

$ \begin{equation*} |F(t, x)|\leq a(|x|)b(t), \quad |\nabla F(t, x)|\leq a(|x|)b(t), \end{equation*} $

$ \forall x\in \mathbb{R}^N $和\text{a.e.}$ t\in[0, T] $成立;

[F2] $ \liminf\limits_{|x|\rightarrow 0}F(t, x)\geq0 $对\text{a.e.}$ t\in[0, T] $一致成立;

[F3] $ \limsup\limits_{|x|\rightarrow 0}\frac{F(t, x)}{|x|^2}<|\cos(\pi\alpha)|\frac{\Gamma^2(\alpha+1)}{2T^{2\alpha}} $对\text{a.e.}$ t\in[0, T] $一致成立;

[F4] $ \liminf\limits_{|x|\rightarrow+\infty}\frac{F(t, x)}{|x|^2}>\frac{\pi^2}{|\cos(\pi\alpha)|\Gamma^2(2-\alpha)T^{2\alpha}(3-2\alpha)} $对\text{a.e.}$ t\in[0, T] $一致成立;

[F5]存在常数$ r>2 $, 使得$ \limsup\limits_{|x|\rightarrow+\infty}\frac{F(t, x)}{|x|^r}<+\infty $对\text{a.e.}$ t\in[0, T] $一致成立;

[F6]存在常数$ \mu>r-1 $, 使得$ \liminf\limits_{|x|\rightarrow+\infty}\frac{\left(\nabla F(t, x), x\right)-2F(t, x)}{|x|^\mu}>0 $对\text{a.e.}$ t\in[0, T] $一致成立;

[G1] $ G(t, 0) = 0 $, $ G(t, x)\in C^1([0, T], \mathbb{R}^N) $;

[G2]存在常数$ \bar{t}\in [0, T] $, $ 1<r_0<2 $, $ \omega_0>0 $以及$ \delta>0 $, 使得当$ |x|\leq\delta $时, 有

$ \begin{equation*} G(\bar{t}, x)>\omega_0|x|^{r_0}; \end{equation*} $

[G3]存在常数$ 1<r_1<r_2<\cdots<r_m<\mu-r+2<2 $, 函数$ \omega_i\in L^{\frac{2}{2-r_i}}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^+) $, $ (i = 1, 2, \cdots, m) $使得$ \forall (t, x)\in[0, T]\times\mathbb{R}^N $, 有

$ |\nabla G(t, x)|\leq\sum\limits_{i = 1}^{m}r_i\omega_i(t)|x|^{r_i-1}, $

其中$ \Gamma $为通常的伽马函数, $ \alpha = 1-\beta/2 $, 则存在常数$ \Lambda_0>0 $, 使得当$ \lambda\in(0, \Lambda_0) $时, 问题(1.1)至少存在两个非平凡解.

注1.1  容易看出, 这里定理1.1所给的条件同文献[4]相比要更一般, 因此结果推广和发展了文献[4]中的结论.

本文结构安排如下:第二部分简要介绍一些分数阶微积分的基本概念并给出本文所需要的预备引理; 第三部分给出了定理1.1的证明; 最后一部分将给出一个例子来说明结果.

本节将简要介绍一些分数阶微积分的基本概念, 并且给出问题(1.1)的工作空间和变分结构.

定义2.1  ^[8]设$ \gamma>0 $, 函数$ f(t) $定义在$ [a, b] $上, 它的$ \gamma $阶左和右Riemann-Liouville分数积分分别定义为

$ \begin{equation*} _aD_t^{-\gamma}f(t) = \frac{1}{\Gamma(\gamma)}\int_a^t(t-s)^{\gamma-1}f(s)ds, \quad t>a \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} _tD_b^{-\gamma}f(t) = \frac{1}{\Gamma(\gamma)}\int_t^b(s-t)^{\gamma-1}f(s)ds, \quad t<b, \end{equation*} $

其中右式在$ [a, b] $上逐点有定义.相应的, 当$ \gamma = n\in \mathbb{N} $时, 上式分别与以下的$ n $次积分形式相对应

$ \begin{equation*} _aD_t^{-n}f(t) = \frac{1}{(n-1)!}\int_a^t(t-s)^{n-1}f(s)ds \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} _tD_b^{-n}f(t) = \frac{1}{(n-1)!}\int_t^b(s-t)^{n-1}f(s)ds. \end{equation*} $

定义2.2  ^[8]设$ \gamma>0 $, 函数$ f(t) $定义在$ [a, b] $上, 它的$ \gamma $阶左和右Riemann-Liouville分数导数分别定义为

$ \begin{equation*} _aD_t^{\gamma}f(t) = \frac{d^n}{dt^n}{_aD_t^{\gamma-n}}f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-\gamma)}\frac{d^n}{dt^n}\left(\int_a^t(t-s)^{n-\gamma-1}f(s)ds\right), \quad t>a \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} _tD_b^{\gamma}f(t) = (-1)^n\frac{d^n}{dt^n}{_tD_b^{\gamma-n}}f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-\gamma)}(-1)^n\frac{d^n}{dt^n}\left(\int_t^b(s-t)^{n-\gamma-1}f(s)ds\right), \\\quad t<b, \end{equation*} $

其中$ t\in[a, b] $, $ n-1\leq \gamma<n $, $ n\in\mathbb{N} $, 其中$ n = [\gamma]+1 $, $ [\gamma] $为$ \gamma $的整数部分.特别地, 若$ \gamma = n\in\mathbb{N} $, 则

$ \begin{eqnarray*} &&_aD_t^{0}f(t) = {_tD_b^{0}}f(t) = f(t), \\ &&_aD_t^{n}f(t) = f^{(n)}(t)\quad \text{和}\quad _tD_b^{n}f(t) = (-1)^nf^{(n)}(t), \end{eqnarray*} $

其中$ f^{(n)}(t) $为$ f(t) $的$ n $阶导数; 若$ 0<\gamma<1 $, 则

$ \begin{equation*} _aD_t^{\gamma}f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\gamma)}\frac{d}{dt}\left(\int_a^t(t-s)^{-\gamma}f(s)ds\right), \quad t>a \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} _tD_b^{\gamma}f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\gamma)}\frac{d}{dt}\left(\int_t^b(s-t)^{-\gamma}f(s)ds\right), \quad t<b. \end{equation*} $

记$ AC\left([a, b], \mathbb{R}^N\right) $为绝对连续函数空间.对$ k\in \mathbb{N} $,

$ \begin{equation*} AC^k\left([a, b], \mathbb{R}^N\right) = \left\{f\in C^{k-1}\left([a, b], \mathbb{R}^N\right):f^{(k-1)}\in AC\left([a, b], \mathbb{R}^N\right)\right\}. \end{equation*} $

定义2.3  ^[8]设$ \gamma>0 $, $ n\in\mathbb{N} $.若$ \gamma\in[n-1, n) $且$ f(t)\in AC^n\left([a, b], \mathbb{R}^N\right) $, 则函数$ f(t) $的$ \gamma $阶左和右Caputo分数导数于$ [a, b] $上几乎处处存在, 且分别定义为

$ \begin{equation*} _a^cD_t^\gamma f(t) = {_aD_t}^{\gamma-n}f^{(n)}(t) = \frac{1}{\Gamma(n-\gamma)}\left(\int_a^t(t-s)^{n-\gamma-1}f^{(n)}(s)ds\right) \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} _t^cD_b^\gamma f(t) = (-1)^n{_tD_b}^{\gamma-n}f^{(n)}(t) = \frac{(-1)^n}{\Gamma(n-\gamma)}\left(\int_t^b(s-t)^{n-\gamma-1}f^{(n)}(s)ds\right). \end{equation*} $

设$ 0<\alpha\leq 1 $以及$ 1<p<+\infty $, 考虑空间

$ E_0^{\alpha, p} = \left\{u\in L^p\left([0, T], \mathbb{R}^N\right):{_0^cD_t^\alpha u(t)}\in L^p\left([0, T], \mathbb{R}^N\right), u(0) = u(T) = 0\right\} $, 其范数为

$ \begin{equation*} \|u\|_{\alpha, p} = \left[\int_0^T\left(|u(t)|^p+|_0^cD_t^\alpha u(t)|^p\right)dt\right]^{1/p}, \forall u\in E_0^{\alpha, p}. \end{equation*} $

命题2.4  ^[8]设$ 0<\alpha\leq1 $, $ 1<p<+\infty $, 对$ u\in E_0^{\alpha, p} $, 有

$ \begin{equation} \|{u}\|_{p}\leq \frac{T^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\|{_0^cD_t^\alpha u}\|_{p}. \end{equation} $

(2.1)

进一步, 若$ \alpha>1/p $且$ 1/p+1/q = 1 $, 则有

$ \begin{equation*} \label{2.2} \|{u}\|_{\infty}\leq\frac{T^{\alpha-1/p}}{{\Gamma(\alpha)\left((\alpha-1)q+1\right)}^{1/q}}\|{_0^cD_t^\alpha u}\|_{p}. \end{equation*} $

特别的, 当$ p = 2 $时, 有以下两个不等式成立

$ \begin{eqnarray} &&\|{u}\|_{2}\leq\tau_2\|{_0^cD_t^\alpha u}\|_{2}, \end{eqnarray} $

(2.2)

$ \begin{eqnarray} &&\|{u}\|_{\infty}\leq\tau_\infty \|{_0^cD_t^\alpha u}\|_{2}, \end{eqnarray} $

(2.3)

其中$ \tau_2 = \frac{T^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} $, $ \tau_\infty = \frac{T^{\alpha-1/2}}{\Gamma(\alpha)\sqrt{2\alpha-1}} $.

注2.1由(2.1)式, $ E_0^{\alpha, p} $上的范数等价于如下定义的$ \|\cdot\|_{\alpha, p} $,

$ \begin{equation*} \|u\|_{\alpha, p} = \|{_0^cD_t^\alpha u}\|_{p} = \left(\int_0^T|_0^cD_t^\alpha u|^pdt\right)^{1/p}. \end{equation*} $

引理2.5  ^[7]设$ 0<\alpha\leq 1 $, $ 1<p<+\infty $, 且满足$ \alpha>1/p $, 若序列$ \{u_n\} $在$ E_0^{\alpha, p} $上弱收敛于$ u $, 即$ u_n\rightharpoonup u $, 则在$ C([0, T], \mathbb{R}^N) $上有$ u_n\rightarrow u $, 即当$ n\rightarrow+\infty $时, $ \|u_n-u\|_\infty\rightarrow 0 $.

下面将在空间$ E^\alpha: = E_0^{\alpha, 2} $中讨论问题(1.1)的多解性, 此时其范数为$ \|u\|_\alpha: = \|u\|_{\alpha, 2} $.

定义2.6  若对$ u\in E^\alpha $以及$ \forall v\in E^\alpha $有

$ \begin{align*} &-\int_0^T\frac{1}{2}\left[\left(_0^cD_t^\alpha u(t), _t^cD_T^\alpha v(t)\right)+\left(_t^cD_T^\alpha u(t), _0^cD_t^\alpha v(t)\right)\right]dt\\\nonumber &-\int_0^T\lambda (\nabla G(t, u(t)), v(t))dt-\int_0^T(\nabla F(t, u(t)), v(t))dt = 0, \end{align*} $

则称$ u $为问题(1.1)的弱解.

考虑泛函

$ \begin{equation*} \varphi(u) = \int_0^T\left[-\frac{1}{2}\left(_0^cD_t^\alpha u(t), _t^cD_T^\alpha u(t)\right)-\lambda G(t, u(t))-F(t, u(t))\right]dt, \forall u\in E^\alpha.\ \end{equation*} $

(2.4)

根据条件(F1), (G1)和(G3), 由文献[7]中的定理4.1可知, $ \varphi\in C^1(E^\alpha, \mathbb{R}) $且有

$ \begin{align*} \langle\varphi'(u), v\rangle = &-\int_0^T\frac{1}{2}\left[\left(_0^cD_t^\alpha u(t), _t^cD_T^\alpha v(t)\right)+\left(_t^cD_T^\alpha u(t), _0^cD_t^\alpha v(t)\right)\right]dt\\\nonumber &-\int_0^T\lambda (\nabla G(t, u(t)), v(t))dt-\int_0^T(\nabla F(t, u(t)), v(t))dt, \\\quad\forall u, v\in E^\alpha, \end{align*} $

(2.5)

其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle $表示通常的$ E^\alpha $和$ (E^\alpha)^* $的对偶作用.进一步可知, $ u\in E^\alpha $为问题(1.1)的弱解当且仅当$ u $为泛函$ \varphi $的临界点.

引理2.7  ^[7]若$ 1/2<\alpha\leq1 $, 则对$ u\in E^{\alpha} $, 有

$ \begin{equation*} |\cos(\pi\alpha)|\|{u}\|_{\alpha}^{2}\leq-\int_{0}^{T}\left(_0^cD_t^{\alpha}u(t), _t^cD_T^{\alpha}u(t)\right)dt\leq\frac{1}{|\cos(\pi\alpha)|}\|{u}\|_{\alpha}^{2}.\ \end{equation*} $

(2.6)

定义2.8  ^[6] 设$ X $是实Banach空间, $ \varphi\in C^1(X, \mathbb{R}) $, 如果$ \{u_n\}\subset X $, $ {\varphi(u_n)} $有界并且$ \varphi'(u_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty) $, 则称序列$ \{u_n\}\subset X $为$ \varphi $的(PS)序列.如果它的每一(PS)序列都有一收敛子列, 则称泛函$ \varphi $满足(PS)条件.

定义2.9  ^[6] 设$ X $是实Banach空间, $ \varphi\in C^1(X, \mathbb{R}) $, 如果$ \{u_n\}\subset X $, $ \varphi(u_n) $有界并且$ (1+\|u_n\|_\alpha)\varphi'(u_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty) $, 则称序列$ \{u_n\}\subset X $为$ \varphi $的(C)序列.如果它的每一(C)序列都有一收敛子列, 则称泛函$ \varphi $满足(C)条件.

引理2.10  ^[6] (山路引理)设$ X $是实Banach空间, $ \varphi\in C^1(X, \mathbb{R}) $满足(PS)条件, $ \varphi(0) = 0 $, 且有

(I1) 存在常数$ \rho, \beta>0 $, 使得$ \varphi|_{\partial B_\rho}\geq\beta $;

(I2) 存在$ e\in X\backslash \bar{B}_\rho $, 使得$ \varphi(e)\leq 0 $,

则$ \varphi $存在一个临界值$ c\geq\beta $, 且$ c = \inf\limits_{g\in \Gamma}\max\limits_{s\in[0, 1]}\varphi(g(s)) $, 其中$ \bar{B}_\rho = \{u\in X: \|u\|\leq\rho\} $, $ \Gamma = \{g\in C([0, 1], X):g(0) = 0, g(1) = e\} $.

注2.2  由文献[9]可知, 山路引理在(C)条件下依然成立.

为了叙述方便, 令$ C_i(i = 1, 2, 3, \cdots) $表示一系列不同的正常数, $ X = E^\alpha $.

引理3.1  假设条件(F1), (F5), (F6), (G1)和(G3)成立, 则泛函$ \varphi $满足(C)条件.

证  首先证明$ \{u_n\} $在$ X $上有界.假设$ \{u_n\} $是泛函$ \varphi $的(C)序列, 即$ \{\varphi(u_n)\} $有界, 且当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ \|\varphi'(u_n)\|_{X^*}(1+\|u_n\|_\alpha)\rightarrow0 $, 其中$ X^* $为$ X $的对偶空间, 则$ \forall n\in\mathbb{N} $, 有

$ \begin{equation*} \varphi(u_n)\leq C_1 , \quad \quad\|\varphi'(u_n)\|_{X^*}(1+\|u_n\|_\alpha)\leq C_1.\ \end{equation*} $

(3.1)

根据条件(F5), 存在常数$ R_1>0 $, 使得$ \forall|x|\geq R_1 $以及\text{a.e.}$ t\in [0, T] $, 有

$ \begin{equation*} F(t, x)\leq C_2|x|^r.\ \end{equation*} $

(3.2)

再结合条件(F1), $ \forall x\in \mathbb{R}^N $和$ \text{a.e.}t\in [0, T] $, 可知

$ \begin{equation*} F(t, x)\leq C_2|x|^r+g_1(t), \ \end{equation*} $

(3.3)

其中$ g_1(t) = \max\limits_{s\in[0, R_1]}a(s)b(t) $.由条件(G3)可知

$ \begin{equation*} |(\nabla G(t, x), x)|\leq\sum\limits_{i = 1}^{m}r_i\omega_i(t)|x|^{r_i}, \end{equation*} $

所以利用(2.2)式以及Hölder不等式, 可得

$ \begin{align*} &\int_0^T\lambda|(\nabla G(t, x), x)|dt\leq\int_0^T\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}r_i\omega_i(t)|x|^{r_i}dt\\ \leq&\sum\limits_{i = 1}^{m}\lambda r_i\|\omega_i(t)\|_{\frac{2}{2-r_i}}\left(\int_0^T|x|^2dt\right)^{r_i/2}\\ \leq&\sum\limits_{i = 1}^{m}\lambda r_i\tau_2^{r_i}\|\omega_i(t)\|_{\frac{2}{2-r_i}}\|x\|_\alpha^{r_i} \leq C_3\sum\limits_{i = 1}^{m}\|x\|_\alpha^{r_i}. \end{align*} $

(3.4)

而由条件(G1)和(G3), 有

$ \begin{align*} |G(t, x)|& = |G(t, x)-G(t, 0)|\leq\int_0^1|\nabla G(t, sx)||x|ds\\ &\leq\int_0^1\sum\limits_{i = 1}^mr_i\omega_i(t)|x|^{r_i}s^{r_i-1}ds = \sum\limits_{i = 1}^{m}\omega_i(t)|x|^{r_i}, \end{align*} $

(3.5)

因此, 进一步依据(2.2), (3.4), (3.5)式和Hölder不等式, 可得

$ \begin{align*} \int_0^T\lambda|G(t, x)|dt&\leq\int_0^T\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}\omega_i(t)|x|^{r_i}dt \leq\sum\limits_{i = 1}^{m}\lambda \tau_2^{r_i}\|\omega_i(t)\|_{\frac{2}{2-r_i}}\|x\|_\alpha^{r_i} \leq C_4\\\sum\limits_{i = 1}^{m}\|x\|_\alpha^{r_i}. \end{align*} $

(3.6)

这样由(2.4), (2.6), (3.1), (3.3)和(3.6)式可得

$ \begin{align*} \frac{|\cos(\pi\alpha)|}{2}\|u_n\|_\alpha^2 &\leq \varphi(u_n)+\int_0^T\lambda G(t, u_n(t))dt+\int_0^TF(t, u_n(t))dt\\ &\leq C_1+\int_0^T\lambda|G(t, u_n(t))|dt+\int_0^Tg_1(t)dt+C_2\int_0^T|u_n(t)|^rdt\\ &\leq C_4\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u_n\|_\alpha^{r_i}+C_2\int_0^T|u_n(t)|^rdt+C_5. \end{align*} $

(3.7)

另一方面, 由条件(F6), 存在常数$ R_2>0 $, 使得$ \forall|x|\geq R_2 $和a.e.$ t\in [0, T] $, 有

$ \begin{equation*} \left(\nabla F(t, x), x\right)-2F(t, x)\geq C_6|x|^\mu, \end{equation*} $

因此再由条件(F1), $ \forall x\in\mathbb{R}^N $和a.e.$ t\in [0, T] $, 可得

$ \begin{equation*} \left(\nabla F(t, x), x\right)-2F(t, x)\geq C_6|x|^\mu-g_2(t), \ \end{equation*} $

(3.8)

其中$ g_2(t) = (2+R_2)\max\limits_{s\in [0, R_2]}a(s)b(t)+C_6R_2^\mu $.

由条件(G3)可知$ \mu< r $.取$ \varepsilon_i = \frac{C_6|\cos(\pi\alpha)|}{4mC_2\tau_\infty^{r-\mu}\tau_2^{r_i}\lambda(r_i+2)} $, 利用(2.2), (3.5)式, 条件(G1), (G3)以及Hölder不等式和带$ \varepsilon_i $$ (i = 1, 2, \cdots m) $的Young不等式, 有

$ \begin{align*} &\int_0^T\lambda|(\nabla G(t, u_n(t)), u_n(t))|dt+\int_0^T2\lambda|G(t, u_n(t))|dt\\ \leq&\int_0^T\lambda(r_i+2)\sum\limits_{i = 1}^{m}\omega_i(t)|u_n(t)|^{r_i}dt\\ \leq&\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}\|u_n\|_\alpha^{r_i}\\ \leq&\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\varepsilon_i\|u_n\|_\alpha^{r_ip_i}+ \lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\frac{1}{\varepsilon_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}^{q_i}, \end{align*} $

(3.9)

其中$ r_ip_i = \mu-r+2 $, $ 1/p_i+1/q_i = 1 $.考虑(2.4), (2.5), (3.1), (3.4), (3.6), (3.8)和(3.9)式, 有

$ \begin{align*} 3C_1\geq& 2\varphi(u_n)-\langle \varphi'(u_n), u_n\rangle\\ = &\int_0^T\left[(\nabla F(t, u_n(t)), u_n(t))-2F(t, u_n(t))\right]dt\\&+\int_0^T\lambda \left[\left(\nabla G(t, u_n(t)), u_n(t)\right)-2G(t, u_n(t))\right]dt\\ \geq& C_6\int_0^T|u_n(t)|^\mu dt-\int_0^Tg_2(t)dt-\int_0^T\lambda|((\nabla G(t, u_n(t))), u_n(t))|dt\\ \geq& C_6\int_0^T|u_n(t)|^\mu dt-\int_0^Tg_2(t)dt-\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\varepsilon_i\|u_n\|_\alpha^{r_ip_i}\\& -\lambda\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\frac{1}{\varepsilon_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}^{q_i}. \end{align*} $

因此可以得到

$ \begin{equation*} \int_0^T|u_n(t)|^\mu dt\leq \frac{\lambda}{C_6}\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\varepsilon_i\|u_n\|_\alpha^{r_ip_i} +\frac{\lambda}{C_6}\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\frac{1}{\varepsilon_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}^{q_i}+C_{7}.\ \end{equation*} $

(3.10)

由于$ \mu>r-1 $, 利用(3.7)和(3.10)式, 并注意到$ \varepsilon_i $的定义, 有

$ \begin{align*} &\frac{|\cos(\pi\alpha)|}{2}\|u_n\|_\alpha^2 \leq C_4\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u_n\|_\alpha^{r_i}+C_2\tau_\infty^{r-\mu}\|u_n\|_\alpha^{r-\mu}\int_0^T|u_n(t)|^\mu dt+C_5 \\ \leq& C_2\tau_\infty^{r-\mu}\|u_n\|_\alpha^{r-\mu}\left[\frac{\lambda}{C_6}\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\varepsilon_i\|u_n\|_\alpha^{r_ip_i}+\frac{\lambda}{C_6}\sum\limits_{i = 1}^{m}(r_i+2)\tau_2^{r_i}\frac{1}{\varepsilon_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}^{q_i}\right]\\ &+C_2\tau_\infty^{r-\mu}\|u_n\|_\alpha^{r-\mu}C_{7}+C_4\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u_n\|_\alpha^{r_i}+C_5\\ \leq& C_4\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u_n\|_\alpha^{r_i}+\frac{|\cos(\pi\alpha)|}{4}\|u_n\|_\alpha^2+C_{8}\|u_n\|_\alpha^{r-\mu}+C_{5}. \end{align*} $

注意到这里$ \mu>r-1 $, 因此, $ \|u_n\|_\alpha $有界.

最后证明$ \{u_n\} $在$ X $上有强收敛子列.因为$ \{u_n\} $在$ X $上有界, 并且$ X $是自反的Banach空间(见文献[8]), 则存在子序列, 不妨仍记为$ \{u_n\} $, 使得在$ X $上, 有$ u_n\rightharpoonup u $.于是当$ n\rightarrow+\infty $时, 有

$ \begin{align*} \langle\varphi'(u_n)-\varphi'(u), u_n-u\rangle& = \langle\varphi'(u_n), u_n-u\rangle-\langle\varphi'(u), u_n-u\rangle\\ &\leq\|\varphi'(u_n)\|_{X^*}\|u_n-u\|_\alpha-\langle\varphi'(u), u_n-u\rangle\rightarrow0. \end{align*} $

(3.11)

由(2.3)式和引理2.5可知$ \{u_n\} $在$ C([0, T], \mathbb{R}^N) $上有界.进一步, 当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ \|u_n-u\|_\infty\rightarrow0 $.因此再依据条件(F1)和(G3), 当$ n\rightarrow+\infty $时, 有

$ \begin{align*} &\int_0^T\nabla F(t, u_n(t))dt\rightarrow\int_0^T\nabla F(t, u(t))dt, \\ &\int_0^T\nabla G(t, u_n(t))dt\rightarrow\int_0^T\nabla G(t, u(t))dt. \end{align*} $

(3.12)

此外, 由(2.5), (2.6)和(3.12)式, 有

$ \begin{align*} &\langle\varphi'(u_n)-\varphi'(u), u_n-u\rangle\\ & = -\int_0^T(_0^cD_t^\alpha (u_n(t)-u(t)), _t^cD_T^\alpha(u_n(t)-u(t)))dt\\ &\quad-\int_0^T(\nabla F(t, u_n(t))-\nabla F(t, u(t)), u_n(t)-u(t))dt\\ &\quad-\int_0^T\lambda(\nabla G(t, u_n(t))-\nabla G(t, u(t)), u_n(t)-u(t))dt\\ &\geq|\cos(\pi\alpha)|\|u_n-u\|_\alpha^{2}-\|u_n-u\|_\infty\left|\int_0^T\left(\nabla F(t, u_n(t))-\nabla F(t, u(t))\right)dt\right|\\ &\quad-\|u_n-u\|_\infty\left|\int_0^T\lambda\left(\nabla G(t, u_n(t))-\nabla G(t, u(t))\right)dt\right|. \end{align*} $

所以结合(3.11)式可得, 当$ n\rightarrow+\infty $时, $ \|u_n-u\|_\alpha\rightarrow0 $, 即$ \varphi $满足(C)条件.

引理3.2  假设$ W $满足条件(F3), (F5), (G1)和(G3), 则存在常数$ \rho>0, \beta>0 $和$ \Lambda_0>0 $, 使得当$ \|{u}\|_\alpha = \rho $, $ \lambda\in(0, \Lambda_0) $时, 有$ \varphi(u)\geq\beta $.

证  根据条件(F3), (F5)可知, 存在常数$ \delta_1\in(0, |\cos(\pi\alpha)|) $, $ \forall x\in \mathbb{R}^N $和$ \text{a.e.}t\in [0, T] $, 有

$ \begin{equation*} F(t, x)\leq \left(|\cos(\pi\alpha)|-\delta_1\right)\frac{\Gamma^2(\alpha+1)}{2T^{2\alpha}}|x|^2+C_{9}|x|^r.\quad\ \end{equation*} $

(3.13)

由(2.1), (2.4), (2.6), (3.13)式及条件(G1), (G3), 有

$ \begin{align*} \varphi(u)& = \int_0^T\left[-\frac{1}{2}(_0^cD_t^\alpha u(t), _t^cD_T^\alpha u(t))-\lambda G(t, u(t))-F(t, u(t))\right]dt\\ &\geq\frac{|\cos(\pi\alpha)|}{2}\|u\|_\alpha^2-\lambda\int_0^T\sum\limits_{i = 1}^{m}\omega_i(t)|u(t)|^{r_i}dt-C_{9}\int_0^T|u(t)|^r dt\\ &\quad-\left(|\cos(\pi\alpha)|-\delta_1\right)\frac{\Gamma^2(\alpha+1)}{2T^{2\alpha}}\int_0^T|u(t)|^2dt \end{align*} $

$ \begin{align*} &\geq\frac{|\cos(\pi\alpha)|}{2}\|u\|_\alpha^{2}-\lambda \sum\limits_{i = 1}^{m}\tau_2^{r_i}\|\omega_i\|_{\frac{2}{2-r_i}}\|u\|_\alpha^{r_i}-C_{10 }\|u\|_\alpha^r-\frac{\left(|\cos(\pi\alpha)|-\delta_1\right)}{2}\|u_n\|_\alpha^2 \\ &\geq\frac{\delta_1}{2}\|u\|_\alpha^2-\lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u\|_\alpha^{r_i}-C_{10 }\|u\|_\alpha^r\\ & = \|u\|_\alpha^2\left(\frac{\delta_1}{2}-\lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^{m}\|u\|_\alpha^{r_i-2}- C_{10}\|u\|_\alpha^{r-2}\right). \end{align*} $

设

$ \begin{equation*} g(z) = \lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^{m}z^{r_i-2}+C_{10}z^{r-2}, z>0, \ \quad\Omega = \{z\in\mathbb{R}^+:g'(z) = 0\}. \end{equation*} $

(3.14)

因为$ 1<r_i<2<r $, 且当$ z\rightarrow 0^+ $和$ z\rightarrow+\infty $时, 都有$ g(z)\rightarrow+\infty $, 故$ \Omega\neq\emptyset $.于是, $ \forall z_0\in\Omega $, 根据(3.14)式, 有

$ \begin{equation*} (r-2)C_{10}z_0^{r-2} = \lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^{m}(2-r_i)z_0^{r_i-2}.\ \end{equation*} $

(3.15)

利用(3.14)和(3.15)式可得, 存在不依赖于$ \lambda $的常数$ C_{12} $, 使得

$ \begin{align*} g(z_0)& = \lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^mz_0^{r_i-2}+C_{10}z_0^{r-2}\\ &\leq C_{12}\lambda C_{11}\sum\limits_{i = 1}^m(2-r_i)z_0^{r_i-2}+C_{10}z_0^{r-2}\\ & = \left(C_{12}(r-2)+1\right)C_{10}z_0^{r-2}. \end{align*} $

所以存在$ \hat{z}\in\mathbb{R}^+ $, 使得当$ z_0\in(0, \hat{z})\bigcap \Omega $时, 有$ 0<g(z_0) = \beta_1<\frac{\delta_1}{2} $.下面证明, 若$ \lambda $充分小, 则必有$ \Omega\subset(0, \hat{z}) $.事实上, 由(3.15)式可知, 存在不依赖于$ \lambda $的常数$ C_{13} $, 使得

$ \begin{equation*} C_{13}\lambda\geq\frac{z_0^{r-2}}{\sum\limits_{i = 1}^mz_0^{r_i-2}} = \frac{z_0^r}{\sum\limits_{i = 1}^mz_0^{r_i}}. \end{equation*} $

设$ y(z) = \frac{z^r}{\sum\limits_{i = 1}^mz^{r_i}} $, $ z\in\mathbb{R}^+ $, 则$ y(z) $在$ \mathbb{R}^+ $上严格递增且当$ z\rightarrow0 $时, $ y(z)\rightarrow0 $.因此存在$ y^{-1}(z) $使得, $ y^{-1}(y(z)) = z $.进一步可知$ y^{-1}(z) $在$ \mathbb{R}^+ $上也是严格递增的且当$ z\rightarrow0 $时, 有$ y^{-1}(z)\rightarrow0 $.所以存在常数$ \Lambda_0>0 $, 当$ \lambda\in(0, \Lambda_0) $时, 有

$ \begin{equation*} \hat{z}>y^{-1}(C_{13}\lambda)\geq y^{-1}(y(z_0)) = z_0. \end{equation*} $

取$ \beta = \left(\frac{\delta_1}{2}-\beta_1\right)\rho $, 故存在常数$ \rho = z_0>0 $, 当$ \|u\|_\alpha = \rho $且$ \lambda\in(0, \Lambda_0) $时, 有$ \varphi(u)\geq\beta $.

引理3.3  假设$ W $满足条件(F1), (F4), (G1)和(G3), 则存在$ e\in X $, 并且$ \|e\|_\alpha>\rho $, 使得$ \varphi(e)<0 $.

证  由条件(F4)知, 存在常数$ \delta_2>0 $和$ R_3>0 $, 使得$ \forall|x|\geq R_3 $以及\text{a.e.}$ t\in[0, T] $, 有

$ \begin{equation*} F(t, x)\geq\left(\frac{\pi^2}{|\cos(\pi\alpha)|\Gamma^2(2-\alpha)T^{2\alpha}(3-2\alpha)}+\delta_2\right)|x|^2, \end{equation*} $

再由条件(F1), $ \forall x\in \mathbb{R}^N $和$ \text{a.e.}t\in [0, T] $, 有

$ \begin{equation*} F(t, x)\geq\left(\frac{\pi^2}{|\cos(\pi\alpha)|\Gamma^2(2-\alpha)T^{2\alpha}(3-2\alpha)}+\delta_2\right) (|x|^2-R_3^2)-g_3(t), \quad\ \end{equation*} $

(3.16)

其中$ g_3(t) = \max\limits_{s\in[0, R_3]}a(s)b(t) $.

选取$ u_0 = (\frac{T}{\pi}\sin\frac{\pi t}{T}, 0, \cdots, 0)\in X $, 计算可得

$ \begin{equation*} \|u_0\|_2^2 = \frac{T^3}{2\pi^2}, \quad \|u_0\|_\alpha^2\leq\frac{T^{3-2\alpha}}{\Gamma^2(2-\alpha)(3-2\alpha)}.\ \end{equation*} $

(3.17)

根据(2.4), (2.6), (3.5), (3.16)和(3.17)式, 注意到$ 1<r_i<2 $, 当$ s\rightarrow+\infty $时, 有

$ \begin{align*} \varphi(su_0)& = \int_0^T\left[-\frac{s^2}{2}(_0^cD_t^\alpha u_0(t), _t^cD_T^\alpha u_0(t))-\lambda G(t, su_0(t))-F(t, su_0(t))\right]dt\\ &\leq\frac{s^2}{2|\cos(\pi\alpha)|}\|u_0\|_\alpha^2+\lambda\int_0^T|G(t, su_0(t))|+\int_0^Tg_3(t)dt\\ &\quad-\left(\frac{s^2\pi^2}{|\cos(\pi\alpha)|\Gamma^2(2-\alpha)T^{2\alpha}(3-2\alpha)}+s^2\delta_2\right)\int_0^T|u_0(t)|^2dt\\ &\leq\frac{s^2}{2|\cos(\pi\alpha)|}\cdot\frac{T^{3-2\alpha}}{\Gamma^2(2-\alpha)(3-2\alpha)}-\frac{s^2\delta_2T^3}{2\pi^2} +C_4\sum\limits_{i = 1}^ms^{r_i}\|u_0\|_\alpha^{r_i}+C_{14}\\ &\quad-\frac{s^2\pi^2}{|\cos(\pi\alpha)|\Gamma^2(2-\alpha)T^{2\alpha}(3-2\alpha)}\cdot\frac{T^3}{2\pi^2}\\ & = -\frac{s^2\delta_2T^3}{2\pi^2}+C_4\sum\limits_{i = 1}^ms^{r_i}\left(\frac{T^{3-2\alpha}}{\Gamma^2(2-\alpha)(3-2\alpha)}\right)^{r_i/2}+C_{14}\\ &\rightarrow-\infty. \end{align*} $

所以存在充分大的$ s_0 $使得$ \varphi(s_0u_0)<0 $, 取$ e = s_0u_0\in X $, 有$ \varphi(e)<0 $.

引理3.4  假设条件(F2)和(G2)成立, 则

$ \begin{equation*} -\infty<\inf\{\varphi(u):u\in \bar B_\rho\}<0, \end{equation*} $

其中$ \rho $由引理3.2给出.

证  因为$ X $是Banach空间(见文献[8]), 设$ \Omega = \bar{B}_\rho\subset X $是弱列紧的序列式弱闭集, 泛函$ \varphi:\Omega\rightarrow\mathbb{R} $在$ \Omega $上是弱下半连续的.首先证明$ \varphi $有下界且达到下确界, 即存在$ u_0\in \Omega $, 使得$ \varphi(u_0) = \inf\limits_{u\in \Omega}\varphi(u) $.

若$ h: = \varphi(u_0) = \inf\limits_{u\in \Omega}\varphi(u) = -\infty $, 则存在$ \{u_n\}_{n = 1}^{+\infty}\subset \Omega $, 使得$ \varphi(u_n)<-n $.因为$ \Omega $是弱列紧的, 不妨认为, 当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ u_n\rightharpoonup u_0 $.又因为$ \Omega $是序列式弱闭集, 所以$ u_0\in \Omega $.根据$ \varphi $的弱下半连续性得

$ \begin{equation*} \varphi(u_0)\leq\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\inf\varphi(u_n) = -\infty. \end{equation*} $

该矛盾说明$ \varphi $在$ \Omega $上有下界, 从而有下确界.记$ \{u_n\}_{n = 1}^{+\infty}\subset\Omega $是极小化序列, 即当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ \varphi(u_n)\rightarrow h $.因为$ \Omega $是弱列紧的序列式弱闭集, 不妨认为, 当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ u_n\rightharpoonup u_0\in\Omega $.利用$ \varphi $的弱下半连续性得$ h\leq\varphi(u_0)\leq\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\inf\varphi(u_n) = \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\varphi(u_n) = h, $即$ \varphi(u_0) = h $.

下证存在$ \varphi(u_0) = h<0 $.

由条件(F2)知, 存在常数$ \delta_3>0 $, 使得$ \forall|x|\leq\delta_3 $以及$ \text{a.e.}t\in[0, T] $, 有

$ \begin{equation*} F(t, x)\geq0.\ \end{equation*} $

(3.18)

由条件(G2)得, 存在常数$ \delta_4>0 $, $ \forall|x|\leq \delta $和$ \forall t\in(\bar{t}-\delta_4, \bar{t}+\delta_4) $, 有

$ \begin{equation*} G(t, x)\geq\omega_0|x|^{r_0}.\ \end{equation*} $

(3.19)

取$ \phi\in C_0^\infty((\bar{t}-\delta_4, \bar{t}+\delta_4), \mathbb{R}^N) $.令$ \delta_5 = \min\{\delta, \delta_3\} $, 则对充分小的$ s\in(0, \frac{\delta_5}{\|\phi\|_\infty}] $, 由(2.4), (2.6), (3.18)和(3.19)式, 可得

$ \begin{align*} \varphi(s\phi)& = \int_{0}^{T}\left[-\frac{s^2}{2}(_0^cD_t^\alpha \phi(t), _t^cD_T^\alpha \phi(t))-\lambda G(t, s\phi(t))-F(t, s\phi(t))\right]dt\\ &\leq\frac{s^2}{2|\cos(\pi\alpha)|}\|\phi\|_\alpha^{2}-\lambda \omega_0s^{r_0}\int_{\bar{t}-\delta_4}^{\bar{t}+\delta_4}|\phi(t)|^{r_0}dt\\ &<0. \end{align*} $

因此有$ -\infty<\inf\{\varphi(u):u\in \bar B_\rho\}<0 $.

定理1.1的证明  根据引理3.1可知$ \varphi $满足(C)条件, 由条件(F3)和(G1)知$ W(t, 0) = 0 $, 所以有$ \varphi(0) = 0 $, 再利用引理3.2和引理3.3可知引理2.9(山路引理)中的条件(I1), (I2)成立.因此问题(1.1)存在一个非平凡解$ u_1\in X $, 使得$ \varphi(u_1) = c>0 $.另一方面, 由引理3.4和Ekeland变分原理(见文献[6]), 类似于文献[10]中定理2.1的证明, 可得有界的(PS)序列$ \{u_n\} $, 即$ \varphi(u_n) $有界, 且当$ n\rightarrow+\infty $时, $ \varphi'(u_n)\rightarrow0 $.又因为$ u_n\in \bar{B}_\rho $, 即$ \|u_n\|_\alpha<\rho $, 所以当$ n\rightarrow+\infty $时, 有$ (1+\|u_n\|_\alpha)\varphi'(u_n)_\alpha\rightarrow0 $, 即$ \{u_n\} $为$ \varphi $中有界的(C)序列, 再结合引理3.1, 则问题(1.1)存在另一个非平凡解$ u_2\in X $, 使得$ \varphi(u_2)<0 $.综上所述, 问题(1.1)至少存在两个非平凡解$ u_1, u_2\in X $, 使得$ \varphi(u_2)<0<\varphi(u_1) $.

在本节中, 给出一个具体的例子来说明我们的结果.考虑如下分数阶边值问题:

$ \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} {_{0}D_{t}^{-\beta}}(u'(t))+ \frac{1}{2}{_{t}D_{T}^{-\beta}}(u'(t))\right) = \nabla W\left(t, u(t)\right)\quad \text{a.e. }t\in[0, T], \\ u(0) = 0, \quad u(T) = 0, \end{array}\right. \end{equation*} $

其中$ W(t, x) = (1+t^2)\ln(1+2|x|^2)|x|^2+\lambda\frac{4}{5}t|x|^{\frac{5}{4}} $.令$ F(t, x) = (1+t^2)\ln(1+2|x|^2)|x|^2 $, $ G(t, x) = \frac{4}{5}t|x|^\frac{5}{4} $.选取$ r = 2.5 $, $ \mu = 2 $, 则容易验证$ W(t, x) $满足条件(F1)–(F6)和条件(G1)–(G3).由定理1.1, 则存在常数$ \Lambda_0>0 $, 使得当$ \lambda\in(0, \Lambda_0) $时, 问题(1.1)在$ E^\alpha $上至少有两个非平凡解.但显然$ W(t, x) $不满足文献[1-5, 7, 8]中的相关条件.