椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要组成部分, 其解的存在性问题具有很高的学术价值和理论价值, 是偏微分方程领域中一个重要的研究课题.文献[1]研究了如下拟线性椭圆边值问题

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} -\triangle_p u = f(x)|u|^{q-2}u+g(x)|u|^{p^*-2}u, x\in \Omega, \\ u = 0, x\in \partial \Omega \end{cases} \end{eqnarray} $

(1.1)

多个正解的存在性, 其中$ 1<q<p<N, \; p^* = \frac{Np}{N-p}, \; \Omega \subset \mathbb{R}^N $是边界光滑的有界区域, 函数$ f, g\in C(\bar{\Omega}) $且满足$ g^+ = \max\{g, 0\}\not\equiv 0, f^+ = \max \{f, 0\}\not\equiv 0. $本文运用Nehari流形和极小-极大原理证明了当$ \Omega $是一不可收缩区域且$ g $在$ \bar{\Omega} $上恒等于1而$ f $在$ \bar{\Omega} $上充分小时, 问题(1.1)至少存在三个解, 从而进一步证明了对于一般的区域, 当$ f $的正部在$ \bar{\Omega} $上足够小时, 问题(1.1)至少存在两个正解.

近年来, 对非局部椭圆方程的研究日益受到人们的重视[2-5].本文研究如下一类非局部椭圆方程

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} &-M( \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-ap}|\nabla u|^pdx)\mbox{div}(|x|^{-ap}|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\\ = &h(x)|u|^{m-2}u+\lambda H(x)|u|^{n-2}u, x\in \mathbb{R}^N, \\ &u(x)>0, x\in \mathbb{R}^N \end{cases} \end{eqnarray} $

(1.2)

非平凡弱解的存在性, 其中$ \lambda >0 $是实参数, $ 1<p<N\; (N\geq 3), 1<n <p<m<p^* , 0\leq a<(N-p)/p , p^* = Np/(N-pd),\\ a\leq b<a+1, d = a+1-b>0, $ $ h(x), H(x) $是在$ \mathbb{R}^N $上可变号的权函数.文献[6]运用Nehari流形及纤维环映射的方法得到当$ a = 0, \; p = 2 $时, 问题(1.2)在有界区域上至少存在两个正解; 文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了当$ a = 0 $时, 问题(1.2)至少存在两个非平凡的弱解.受文献[1, 6, 7]的启发, 我们将运用Nehari流形及纤维环映射证明问题(1.2)在全空间$ \mathbb{R}^N $上至少存在两个非平凡的弱解.由于所讨论的问题定义区域是全空间$ \mathbb{R}^N, $从而本文不能得到类似于文献[1]中三个弱解的存在性结果.

设$ L ^p (\mathbb{R}^ N, |x|^{-b}) $是空间$ C_0 ^\infty (\mathbb{R}^ N) $的完备化空间, 其上的范数定义为

$ \|u\|_{L^p(\mathbb{R}^N, |x|^{-b})} = \bigg( \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-bp}|u|^p dx\bigg)^{1/p}. $

而问题(1.2)所使用的函数空间为$ X = W_a ^{1, p}(\mathbb{R}^ N), $它是空间$ C_0 ^\infty (\mathbb{R}^ N) $关于范数

$ \|u\| = \bigg( \int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-ap}|\nabla u|^p dx \bigg)^{1/p} $

的完备化空间.

由文献[8]可知, 存在一常数$ S>0 $使得

$ \begin{eqnarray} \bigg( \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-bp^*}|u|^{p^*}dx\bigg)^{1/p^*}\leq S \bigg( \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-ap}|\nabla u|^p dx\bigg)^{1/p}, \end{eqnarray} $

(1.3)

其中$ -\infty <a<(N-p)/p, a\leq b<a+1, d = a+1-b, p^* = pN/(N-pd). $此不等式被称为Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式.在证明本文的主要结论时, 此不等式将被反复使用.

为研究问题的方便, 做如下假设:

(A1) $ M(s) = k+ls^\tau $, 其中$ k>0, l\geq 0, n<p(\tau+1)<m $;

(A2) $ h(x)|x|^{bm}\in L^\alpha(\mathbb{R}^N) \cap L^\infty (\mathbb{R}^N), \alpha = p^*/ (p^*-m); $

(A3) $ H(x)|x|^{bn}\in L^\beta (\mathbb{R}^N)\cap L^\infty (\mathbb{R}^N), \beta = p^*/ (p^*-n). $

本文的主要结果为

定理1.1  若条件(A1)–(A3)成立.则存在正数$ \lambda _1 $使当$ \lambda \in (0, \lambda _1) $时, 问题(1.2)至少具有两个正解.

定义2.1   若$ u\in X $且对于任意的$ \varphi \in X $有

$ \begin{align} &M(\|u\|^p) \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-ap}|\nabla u|^{p-2}\nabla u \nabla \varphi dx - \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^{m-2}u\varphi dx \\&- \int_ {\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^{n -2}u\varphi dx = 0 \end{align} $

(2.1)

成立, 则称$ u $为问题(1.2)的一个弱解.

显然问题(1.2)具有变分结构.设$ I_\lambda (u) $是问题(1.2)所对应的Euler泛函, 其具体表达式为

$ \begin{align} I_\lambda (u) = \frac{k}{p}\|u\|^p +\frac{l}{\sigma}\|u\|^\sigma -\frac{1}{m} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^m dx-\frac{1}{n } \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^n dx, \forall u\in X, \end{align} $

(2.2)

其中$ \sigma = p(\tau +1) $.则$ I_\lambda (u)\in C^1 (X, \mathbb{R}) $且对于任意的$ \varphi \in X $有

$ \begin{align} \langle I' _\lambda (u), \varphi \rangle = &\! M(\|u\|^p) \int_{\mathbb{R}^ N}|x|^{-ap}|\nabla u|^{p-2}\nabla u \nabla \varphi dx\\ &- \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^{m-2}u\varphi dx- \int_ {\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^{n -2}u\varphi dx. \end{align} $

(2.3)

特别地,

$ \begin{align} \langle I'_\lambda (u), u \rangle = k\|u\|^p +l\|u\|^\sigma - \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^m dx- \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^n dx. \end{align} $

(2.4)

由于$ I_\lambda $在$ X $上无界, 因此引入Nehari流形

$ \begin{align} N_\lambda = \{u\in X\backslash \{0\}: \langle I_\lambda ' (u), u\rangle = 0\}, \end{align} $

(2.5)

其中$ \langle , \rangle $指的是通常的对偶积.从而$ u\in N_\lambda $当且仅当

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx& = k\|u\|^p+l\|u\|^\sigma -\lambda \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx, \end{align} $

(2.6)

$ \begin{align} \lambda \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx& = k\|u\|^p+l\|u\|^\sigma - \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.7)

从而当$ u\in N_\lambda $时, 有

$ \begin{align} I_\lambda (u)& = k\big(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}\big)\|u\|^p+l\big(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{m}\big)\|u\|^\sigma +\big(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\big) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx \end{align} $

(2.8)

$ \begin{align} & = k\big(\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\big)\|u\|^p+l\big(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{n}\big)\|u\|^\sigma +\big(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\big) \int_{R^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.9)

引入纤维环映射$ \phi _u : t\in \mathbb{R}^+\mapsto I_\lambda (tu) $, 则

$ \begin{align} \phi _u (t) = &\frac{kt^p}{p}\|u\|^p+\frac{l}{\sigma}t^\sigma \|u\|^\sigma -\frac{1}{m}t^m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-\frac{1}{n}t^n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx, \end{align} $

(2.10)

$ \begin{align} \phi_u '(t) = &kt^{p-1}\|u\|^p+lt^{\sigma -1}\|u\|^\sigma -t^{m-1} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-t^{n-1} \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx, \end{align} $

(2.11)

$ \begin{align} \phi _u''(t) = &k(p-1)t^{p-2}\|u\|^p+l(\sigma -1)t^{\sigma -2}\|u\|^\sigma -(m-1)t^{m-2} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx\\ &-(n-1)t^{n-2} \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx. \end{align} $

(2.12)

易见, $ u\in N_\lambda $当且仅当$ \phi _u '(1) = 0. $更一般地, $ \phi_u'(t) = 0 $当且仅当$ tu\in N_\lambda. $将$ N_\lambda $分成

$ \begin{align} N_\lambda ^+ = \{u\in N_\lambda : \phi_u'' (1)>0\}; \end{align} $

(2.13)

$ \begin{align} N_\lambda ^- = \{u\in N_\lambda : \phi_u'' (1)<0\}; \end{align} $

(2.14)

$ \begin{align} N_\lambda ^0 = \{u\in N_\lambda : \phi_u'' (1) = 0\}. \end{align} $

(2.15)

由于当$ u\in N_\lambda $时, $ \phi _u'(1) = 0, $从而

$ \begin{align} \phi _u ''(1) & = k(p-m)\|u\|^p+l(\sigma -m)\|u\|^\sigma +(m-n) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx \end{align} $

(2.16)

$ \begin{align} & = k(p-n)\|u\|^p+l(\sigma -n)\|u\|^\sigma +(n-m) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.17)

引理2.2   $ I_\lambda $是强制的且在$ N_\lambda $上有下界.

证  由Hölder不等式及不等式(1.3), 得

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx &\leq \Big( \int_{\mathbb{R}^N}(|H(x)||x|^{bn})^\beta dx\big)^{1/\beta}\big( \int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-bp^*}|u|^{p^*}dx\Big)^{n/p^*}\\ &\leq S^n \Big( \int_{\mathbb{R}^N}(|H(x)||x|^{bn})^\beta dx\big)^{1/\beta}\big( \int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-ap}|\nabla u|^pdx\Big)^{n/p}\\ &\leq H_\beta S^n \|u\|^n, \end{align} $

(2.18)

其中$ H_\beta = \Big( \int_{\mathbb{R}^N}(|H(x)||x|^{bn}\Big)^\beta dx)^{1/\beta}, \beta = p^*/(p^*-n). $同理

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx\leq h_\alpha S^m \|u\|^m, \end{align} $

(2.19)

其中$ h_\alpha = \Big( \int_{\mathbb{R}^N}(|h(x)||x|^{bm})^\alpha dx\Big)^{1/\alpha}, \alpha = p^*/(p^*-m). $从而有

$ \begin{align} I_\lambda (u) \geq k\Big(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}\Big)\|u\|^p+l\Big(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{m}\Big)\|u\|^\sigma -\lambda \Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\Big)H_\beta S^n \|u\|^n. \end{align} $

(2.20)

由于$ n<p\leq \sigma<m $, 从而$ I_\lambda $在$ N_\lambda $上强制有下界.

引理2.3   存在$ \lambda _0>0 $使得当$ \lambda \in (0, \lambda _0) $时$ N_\lambda ^0 = \emptyset . $

证  设$ \lambda _0 = \frac{k(m-p)}{(m-n)H_\beta S^n}(\frac{k(p-n)}{(m-n)h_\alpha S^m})^{\frac{p-n}{m-p}}. $假设结论不真, 则存在$ \lambda \in (0, \lambda _0) $使得$ N_\lambda ^0\neq \emptyset $.从而存在$ u\in N_\lambda ^0 $使得

$ \begin{align} 0 = \phi_u '' (1)& = k(p-m)\|u\|^p+l(\sigma -m)\|u\|^\sigma +(m-n) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^n dx\\ & = k(p-n)\|u\|^p+l(\sigma -n)\|u\|^\sigma +(n-m) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.21)

将(2.18)及(2.19)式运用于(2.21)式得

$ \begin{align} &k(m-p)\|u\|^p\leq (m-n) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx\leq \lambda (m-n)H_\beta S^n \|u\|^n, \end{align} $

(2.22)

$ \begin{align} &k(p-n)\|u\|^p\leq (m-n) \int_{\mathbb{R}^N} h(x)|u|^mdx\leq (m-n)h_\alpha S^m \|u\|^m. \end{align} $

(2.23)

从而

$ \begin{align} \Big(\frac{k(p-n)}{(m-n)h_\alpha S^m}\Big)^{1/(m-p)}\leq \|u\|\leq \Big(\frac{\lambda (m-n)H_\beta S^n}{k(m-p)}\Big)^{1/(p-n)}. \end{align} $

(2.24)

由此可得$ \lambda \geq \lambda _0 $, 矛盾！因此, 存在$ \lambda _0 >0 $使当$ \lambda \in (0, \lambda _0) $时$ N_\lambda ^0 = \emptyset $.

引理2.4  假定$ u_0 $是$ I_\lambda $在$ N_\lambda $上的一个局部极小值点.如果$ u_0 \not\in N_\lambda ^0, $则$ u_0 $是$ I_\lambda (u) $的一个临界点.

证  设

$ F(u) = k\|u\|^p+l\|u\|^\sigma - \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-\lambda \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx, u\in X. $

考虑最优化问题:在$ F(u) = 0 $的条件下求$ \min\limits_{u\in N_\lambda}I_\lambda (u). $由Lagrange乘子原理知存在$ \mu \in \mathbb{R} $使得$ I_\lambda '(u_0) = \mu F'(u_0) $.因此

$ \begin{align} \langle I_\lambda ' (u_0), u_0\rangle = \mu \langle F'(u_0), u_0\rangle. \end{align} $

(2.25)

由于$ u_0 \in N_\lambda $, 从而

$ \begin{align} \langle I_\lambda '(u_0), u_0\rangle = 0. \end{align} $

(2.26)

然而

$ \begin{align} \langle F' (u_0), u_0\rangle & = kp\|u_0\|^p+l\sigma \|u_0\|^\sigma -n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u_0|^ndx-m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u_0|^mdx\\ & = k(p-n)\|u_0\|^p+l(\sigma -n)\|u_0\|^\sigma +(n-m) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u_0|^mdx. \end{align} $

(2.27)

因此, 如果$ u_0 \not\in N_\lambda ^0 $, 则$ \langle F'(u_0), u_0\rangle \neq 0 $.进而由(2.25)式知$ \mu = 0. $从而$ I_\lambda '(u_0) = 0 $.证毕.

由引理2.3, 当$ \lambda \in (0, \lambda _0) $时, $ N_\lambda = N_\lambda ^+ \cup N_\lambda ^- $.定义

$ \delta _\lambda ^+ = \inf\limits_{u\in N_\lambda ^+}I_\lambda (u), \; \delta _\lambda ^- = \inf\limits_{u\in N_\lambda ^-}I_\lambda (u). $

引理2.5  设$ \lambda _1 = \frac{n}{p}\lambda _0 $.则当$ 0<\lambda <\lambda _1 $时有

(1) $ \delta _\lambda ^+<0 $;

(2) 存在$ k_0>0 $, 使得$ \delta _\lambda ^-\geq k_0. $

证  (1)设$ u\in N_\lambda ^+, $则由(2.13)和(2.17)式得

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx<\frac{k(p-n)}{m-n}\|u\|^p+\frac{l(\sigma -n)}{m-n}\|u\|^\sigma. \end{align} $

(2.28)

从而

$ \begin{align} I_\lambda (u) <\frac{k(m-p)(n-p)}{pmn}\|u\|^p+\frac{l(m-\sigma)(n-\sigma)}{m-n}\|u\|^\sigma <0. \end{align} $

(2.29)

从而$ \delta _\lambda ^+<0 $.

(2) 设$ u\in N_\lambda ^- $, 则由(2.14)和(2.16)式得

$ \begin{align} I_\lambda (u) &\geq \frac{k(m-p)}{pm}\|u\|^p-\lambda \frac{m-n}{mn} H_\beta S^n \|u\|^n\\ & = \|u\|^n\bigg(\frac{k(m-p)}{pm}\|u\|^{p-n}-\lambda \frac{m-n}{mn}H_\beta S^n\bigg)\\ &>\bigg(\frac{k(p-n)}{(m-n)h_\alpha S^m}\bigg)^{\frac{n}{m-p}}\bigg(\frac{k(m-p)}{pm}(\frac{k(p-n)}{(m-n)h_\alpha S^m})^{\frac{p-n}{m-p}}-\frac{m-n}{mn}\lambda H_\beta S^n\bigg). \end{align} $

(2.30)

从而对于任意$ u\in N_\lambda ^- $, 当$ 0<\lambda <\lambda _1 $时, 存在某常数$ k_0 = k_0(m, n, p, h_\alpha, H_\beta , S)>0 $, 使得$ I_\lambda (u)\geq k_0. $证毕.

设$ u\in X $且$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx >0 $.令

$ \begin{align} z(t) = kt^{p-n}\|u\|^p+lt^{\sigma -n}\|u\|^\sigma -t^{m-n} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.31)

则$ z'(t) = t^{p-n-1}E(t) $, 其中

$ \begin{align} E(t)& = k(p-n)\|u\|^p+l(\sigma -n)t^{\sigma -p}\|u\|^\sigma -(m-n)t^{m-p} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx\\ & = k(p-n)\|u\|^p+l(\sigma -n)t^{p\tau }\|u\|^\sigma -(m-n)t^{m-p} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.32)

则

$ \begin{align} E'(t) = lp\tau (\sigma -n)t^{p\tau -1}\|u\|^\sigma -(m-n)(m-p)t^{m-p-1} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx. \end{align} $

(2.33)

令$ E'(t) = 0 $得

$ \begin{align} t = t^* = \bigg( \frac{lp(\sigma -n)\|u\|^\sigma}{(m-p)(m-n) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx}\bigg)^{1/(m-\sigma)}. \end{align} $

(2.34)

则$ E(t) $在$ [0, t^*) $单调递增, 在$ (t^*, +\infty ) $单调递减.从而$ E(t) $在$ t^* $处取得最大值.由于$ E(0) = k(p-n)\|u\|^p>0, E(+\infty) = -\infty, $因此存在唯一的$ t_l>t^*>0 $, 使得$ E(t_l) = 0 $且当$ t\in [0, t_l) $时函数$ z(t) $递增, 当$ t\in (t_l, +\infty) $时, 函数$ z(t) $递减; 在$ t_l $处取得最大值.特别地, 当$ l = 0 $时, 有

$ \begin{align} t_0 = \bigg(\frac{k(p-n)\|u\|^p}{(m-n) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx}\bigg)^{1/(m-p)}. \end{align} $

(2.35)

由$ E(t_0) = E(t_l) = 0 $可知$ t_0\leq t_l. $从而

$ \begin{align} z(t_l)\geq k\frac{m-p}{m-n}t_l^{p-n}\|u\|^p\geq k\frac{m-p}{m-n}t_0^{p-n}\|u\|^p = z(t_0). \end{align} $

(2.36)

引理2.6  对于满足$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx>0 $的$ u\in X $及$ 0<\lambda <\lambda _0 $, 有

(1) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx\leq 0 $, 则存在唯一的$ t^- >t_l $使得$ t^-u \in N_\lambda ^- $且有$ I_\lambda (t^- u) = \sup\limits_{t\geq 0}I_\lambda (tu) $.

(2) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx>0 $, 则存在唯一的$ 0<t^+<t_l<t^- $使得$ t^+u\in N_\lambda ^+, t^- u\in N_\lambda ^- $且$ I_\lambda (t^+u) = \inf\limits_{0\leq t\leq t_l}I(tu), I_\lambda (t^-u) = \sup\limits_{t\geq 0}I(tu) $.

证  设

$ \begin{align} \Psi _0 (t)& = \Phi (tu) = \langle I_\lambda '(tu), tu\rangle\\ & = kt^p\|u\|^p+lt^\sigma \|u\|^\sigma -t^m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-t^n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx, \\ \Psi_1(t)& = \langle \Phi '(tu), tu\rangle\\ & = kpt^p \|u\|^p+l\sigma t^\sigma \|u\|^\sigma -mt^m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-nt^n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx, \\ \Psi_2 (t)& = I_\lambda (tu)\\ & = \frac{k}{p}t^p\|u\|^p+\frac{l}{\sigma}t^\sigma \|u\|^\sigma \frac{1}{m}t^m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-\frac{1}{n}t^n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx. \end{align} $

(2.37)

则

$ \begin{align} \Psi_0(t) = t^n(z(t)- \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx). \end{align} $

(2.38)

(1) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx\leq 0 $, 则存在唯一的$ t^->t_l $使得$ z(t^-) = \lambda \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx $以及$ z'(t^-)<0 $.从而$ \Psi_0 (t^-) = 0 $且有$ t^-u\in N_\lambda $.又$ \Psi_1(t^-) = (t^-)^{n+1}z'(t^-)<0, $从而$ t^-u\in N_\lambda ^- $.易见$ \Psi_2'(t) = t^{n-1}\Big(z(t)- \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx\Big) $, 且当$ t\in [0, t^-) $时$ \Psi_2'(t)>0 $; 当$ t\in [t^-, +\infty) $时$ \Psi_2'(t)<0 $.所以$ \Psi_2(t) $在$ t^- $处取得最大值, 即$ I_\lambda (t^- u) = \sup\limits_{t\geq 0}I_\lambda (tu) $.

(2) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u|^ndx>0 $.由(39)式, 当$ \lambda \in (0, \lambda_0) $时有

$ \begin{align} 0 = z(t)&< \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx<\lambda H_\beta S^n \|u_n\| <\lambda _0 H_\beta S^n \|u\|^n\leq z(t_0)\leq z(t_l). \end{align} $

(2.39)

从而由函数$ z(t) $的特性可知存在$ 0<t^+<t_l<t^- $使得

$ z(t^+) = z(t^-) = \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx $

以及$ z'(t^+)>0>z'(t^-). $由于$ \Psi _1 (t) = t^{n+1}z'(t), $从而$ t^+u \in N_\lambda ^+, t^-u\in N_\lambda ^-. $由于当$ t\in [0, t^+) $时, $ \Psi'_2<0 $; 当$ t\in [t^+, t_l) $时, $ \Psi' _2(t)>0 $, 从而$ I_\lambda (t^+u) = \inf\limits_{0\leq t\leq t_l}I_\lambda (tu) $.另外, 易验证当$ t\in [t^+, t^-) $时, $ \Psi '_2 (t)>0 $; 当$ t\in [t^-, +\infty) $时, $ \Psi'_2(t)<0 $; 当$ t\in [0, t^+] $时, $ \Psi_2(t)\leq 0 $.又由于$ t^-u\in N_\lambda ^- $, 从而由引理2.5中的(2)可知$ \Psi_2 (t^-)>0 $.从而由$ \Psi_2(t) $的单调性可知$ I_\lambda (t^-u) = \sup\limits_{t\geq 0}I_\lambda (tu) $.证毕.

对于任意$ u\in X, \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx>0 $.定义函数

$ \begin{align} \eta (t) = kt^{p-m}\|u\|^p+lt^{\sigma -m}\|u\|^\sigma -t^{n-m} \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx, t>0, \end{align} $

(2.40)

则$ \eta (0^+) = -\infty, \eta (+\infty ) = 0, \eta (t) $在某个$ t = T_l>0 $处取得最大值.

引理2.7  对于每一满足$ \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx>0 $的$ u\in X $, 当$ 0<\lambda <\lambda _1 $时, 有

(1) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx \leq 0 $, 则存在唯一的$ 0<t^+<T_l $使得$ t^+u\in N_\lambda ^+ $且有$ I_\lambda (t^+u) = \inf\limits_{0\leq t\leq T_l}I_\lambda (tu) $.

(2) 若$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx>0 $, 则存在唯一的$ 0<t^+<T_l<t^- $使得$ t^+u\in N_\lambda ^+, t^-u \in N_\lambda ^- $且有$ I_\lambda (t^+u) = \inf\limits_{0\leq t\leq T_l}I_\lambda (tu), I_\lambda (t^-u) = \sup\limits_{t\geq 0}I_\lambda (tu). $

证  由于$ \Psi'_2 (t) = t^{m-1}\Big(\eta (t)- \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx\Big) $, 从而可应用引理2.6的证明方法得到引理2.7的证明, 故在此略去.

引理2.8  假定(A1)–(A3)成立.若$ \{u_k\} $在$ X $中收敛于$ u\in X $, 则存在$ \{u_k\} $的一个子列(不妨仍记为$ \{u_k\} $)满足

$ \begin{align} \lim\limits_{k\to \infty} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u_k-u|^mdx = 0, \end{align} $

(2.41)

$ \begin{align} \lim\limits_{k\to \infty} \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u_k-u|^ndx = 0. \end{align} $

(2.42)

证  只证明(2.42), (2.41)式的证明是类似的, 在此略去.因为$ H(x)|x|^{bn}\in L^\beta (\mathbb{R}^N)\cap L^\infty (\mathbb{R}^N) $, 从而对于任意$ \varepsilon >0 $, 存在$ R_0 >0 $使得

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}(|H(x)||x|^{bn})^\beta dx<\varepsilon ^\beta, \end{align} $

(2.43)

其中$ B_r = \{x\in \mathbb{R}^N: |x|\leq r\} $而$ B_r^c = \{x\in \mathbb{R}^N: |x|>r\}, r>0. $由于$ \{u_k\} $在$ X $中弱收敛于$ u $, 则$ \{u_k\} $在$ X $中有界且$ \{u_k\} $在空间$ W_a^{1, p}(\mathbb{R}^N) $中弱收敛于$ u $.进而, 由不等式(2.43)推出$ \{u_k\} $在空间$ L_b^{p^*} $中有界.因此, 存在$ \{u_k\} $的子列(不妨仍记为$ \{u_k\} $)使得$ \{u_k\} $在$ L^{p^*}_{b, \rm loc}(\mathbb{R}^N) $中弱收敛于$ u $, 在$ \mathbb{R}^N $中几乎处处收敛于$ u $.从而对于任意$ k\geq 1 $存在与$ k $无关的常数$ M $使得

$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-bp^*}|u_k|^{p^*}dx\leq M^{p^*}, \int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-bp^*}|u|^{p^*}dx\leq M^{p^*}. \end{align} $

(2.44)

因此对于足够大的$ k $成立,

$ \begin{align} \int_{B_{R_0}}|x|^{-bp^*}|u_k-u|^{p^*}dx<\varepsilon ^{p^*}. \end{align} $

(2.45)

另一方面, 由Hölder不等式, 当$ k $足够大时, 有

$ \begin{align} \int_{B_{R_0}^c}H(x)|u_k-u|^ndx&\leq \bigg( \int_{B_{R_0}^c}(|H(x)||x|^{bn})^\beta dx\bigg)^{\frac{1}{\beta}}\bigg( \int_{B_{R_0}^c}|x|^{-bp^*}|u_k-u|^{p^*}dx\bigg)^{\frac{n}{p^*}}\\ &\leq 2^n M^n \varepsilon ^n. \end{align} $

(2.46)

因此$ \lim\limits_{k\to \infty} \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u_k-u|^ndx = 0 $.证毕!

引理3.1  如果$ 0<\lambda <\lambda _1 $, 则泛函$ I_\lambda $在$ N_\lambda ^+ $上存在一个最小值点且有

(1) $ I_\lambda (u_0) = \delta _\lambda ^+ $;

(2) $ u_0 $是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.

证  由引理2.2知$ I_\lambda $在$ N_\lambda $上有下界(从而在$ N_\lambda^+ $上有下界), 因此存在一个极小化序列$ \{u_k\}\subseteq N_\lambda ^+ $使得$ \lim\limits_{k\to \infty}I_\lambda (u_k) = \inf\limits_{u\in N_\lambda^+}I_\lambda (u). $因为泛函$ I_\lambda $是强制的, 所以$ \{u_k\} $在$ X $中有界.不失一般性, 可假定$ \{u_k\} $在$ X $中弱收敛于$ u_0 $.由引理2.5和引理2.8可得, 当$ k\to \infty $时, 有

$ \begin{align} I_\lambda (u_k)\to \delta_\lambda ^+<0, \; \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u_k|^ndx \to \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u_0|^ndx. \end{align} $

(3.1)

由(2.8)式得

$ \begin{align} I_\lambda(u_k) = k\Big(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}\Big)\|u_k\|^p+l\Big(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{m}\Big)\|u_k\|^\sigma +\Big(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\Big) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u_k|^ndx. \end{align} $

(3.2)

因此

$ \begin{align} \Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\Big) \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u_k|^ndx = k\Big(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}\Big)\|u_k\|^p+l\Big(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{m}\Big)\|u_k\|^\sigma -I_\lambda (u_k). \end{align} $

(3.3)

在(3.3)式的两边取极限$ k\to \infty $, 则有$ \int_{\mathbb{R}^N}H(x)|u_0|^ndx>0. $进而由引理2.7, 存在唯一的$ t_0^+<T_l $使得

$ t_0^+ u_0^+\in N_\lambda ^+, \Psi _0(t_0^+) = \langle I'_\lambda (t_0^+ u_0^+), t_0^+u_0^+\rangle = 0. $

接下来证明$ \{u_n\} $在$ X $中强收敛于$ u_0^+. $

假若结论不成立, 则有$ \|u_0^+\|<\liminf\limits_{n\to \infty}\|u_n\|, $则对

$ \begin{align} \langle I'_\lambda (t_0^+u_n), t_0^+ u_n\rangle = &k(t_0^+)^p\|u_n\|^p+l(t_0^+)^\sigma \|u_n\|^\sigma \\ &-(t_0^+)^m \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u|^mdx-(t_0^+)^n \int_{\mathbb{R}^N}\lambda H(x)|u|^ndx. \end{align} $

(3.4)

两边当$ n\to \infty $取极限, 再由$ \Psi_0(t_0^+) = 0 $可得, 当$ n $充分大时,

$ \begin{align} \langle I'_\lambda (t_0^+u_n), t_0^+u_n \rangle >0. \end{align} $

(3.5)

另一方面, 由$ \{u_n\}\subseteq N_\lambda ^+ $可知$ \langle I'_\lambda (u_n), u_n\rangle = 0 $, 且当$ 0<t<1 $时, $ \langle I'_\lambda (tu_n), tu_n\rangle <0. $从而由(3.5)式知$ t_0^+>1 $.因为$ I_\lambda (tu_0^+) $在$ [0, t_0^+) $上是递减的, 所以

$ \begin{align} I_\lambda (t_0^+u_0^+)<I_\lambda (u_0^+)<\liminf\limits_{n\to \infty}I_\lambda (u_n) = \delta^+. \end{align} $

(3.6)

这与下确界的定义矛盾！故$ \{u_n\} $在$ X $中强收敛于$ u_0^+ $.从而

$ \begin{align} I_\lambda (u_0^+) = \lim\limits_{n\to \infty}I_\lambda (u_n) = \delta ^+, \end{align} $

(3.7)

即$ u_0^+ $是$ I_\lambda $在$ N_\lambda ^+ $上的一个极小值点.又由于$ I_\lambda (u_0^+) = I_\lambda (|u_0^+|) $且$ |u_0^+|\in N_\lambda ^+ $, 从而由引理2.4可知$ u_0^+ $是问题(2)的非负弱解.再由极值原理(参见文献[9])知$ u_0^+>0, v_0^+>0 $.

引理3.2  假定$ \lambda \in (0, \lambda_1) $, 则泛函$ I_\lambda $在$ N_\lambda^- $上有极小值点$ u_0^- $使得

(1) $ I_\lambda (u_0^-) = \delta ^- $;

(2) $ u_0^- $是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.

证  由引理2.2知$ I_\lambda $在$ N_\lambda ^- $上是强制的.从而存在一极小化序列$ \{u_k\}\subseteq N_\lambda ^- $使得

$ \begin{align} \lim\limits_{k\to \infty}I_\lambda (u_k) = \inf\limits_{u\in N_\lambda ^-}I_\lambda (u). \end{align} $

(3.8)

由于$ I_\lambda $强制, 从而$ \{u_k\} $在$ X $中有界.因此, 存在$ \{u_k\} $的一个子列(不妨仍记为$ \{u_k\} $)在$ X $中弱收敛于元$ u_0^- $.由引理2.5可知, 当$ u\in N_\lambda ^- $时, $ I_\lambda (u)>0 $, 因此有

$ \begin{align} \inf\limits_{u\in N_\lambda ^-}I_\lambda (u)>0. \end{align} $

(3.9)

进而由(2.9)式得

$ \begin{align} I_\lambda (u_k) = k\big(\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\big)\|u_k\|^p+l(\frac{1}{\sigma}-\frac{1}{n})\|u_k\|^\sigma +\big(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\big) \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u_k|^mdx, \end{align} $

(3.10)

令$ k\to \infty $, 由引理2.8得$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x)|u_0^-|^mdx>0 $.因此由引理2.6, 存在唯一的$ t_0 $使得$ t_0u_0\in N_\lambda ^- $.

接下来证明$ \{u_k\} $在$ X $中强收敛于$ u_0^- $.假若不然, 则有

$ \begin{align} \|u_0^-\|<\liminf\limits_{k\to \infty}\|u_k\|. \end{align} $

(3.11)

由于$ u_k\in N_\lambda ^- $, 从而当$ t\geq 0 $时, $ I_\lambda (u_k)\geq I_\lambda (tu_k) $.因此有

$ \begin{align} I_\lambda (t_0^-u_0^-)<\liminf_{n\rightarrow \infty}I_\lambda (t_0^-u_n)\leq \lim_{n\to \infty}I_\lambda (u_n) = \delta^-. \end{align} $

(3.12)

这与$ \delta ^- $的定义矛盾！从而$ \{u_k\} $在$ X $中强收敛于$ u_0^- $.从而

$ \begin{align} I_\lambda (u_0) = \lim\limits_{n\to \infty}I_\lambda (u_n) = \delta ^-. \end{align} $

(3.13)

类似于引理3.1的讨论可知$ u_0^- $是问题(1.2)的一个正解.证毕！

定理1.1的证明  由引理3.1和引理3.2知, 当$ \lambda \in (0, \lambda_1) $时, 问题(1.2)有两个非平凡的正解$ u_0^+\in N_\lambda ^+ $和$ u_0^-\in N_\lambda ^- $.又由于$ N_\lambda^+ \cap N_\lambda ^- = \emptyset $, 从而$ u_0^+ $和$ u_0^- $是问题(1.2)的两个不同的正解.定理1.1证毕！