风险敏感控制是随机最优控制问题的一个重要研究主题. 1990年左右, Whittle^[1]提出风险敏感控制准则, 用以解决最优风险投资问题.此准则既体现了投资者对随机资产的关注, 也通过一个风险敏感参数$ \theta $ ($ \theta\in \mathbb{R}\setminus\{0\} $)体现了投资者对承担风险的态度.下面简单介绍一下风险敏感控制问题.设$ h = (h_t)_{0\leq t\leq T} $是时间段$ [0, T] $上的某控制过程, $ X^h = \{X_t^h, t\in[0, T]\} $是某可控随机系统, $ \mathcal{J} $是与$ X_t^h $联系的某种随机准则, $ \mathcal{J} $的常见形式为

$ \mathcal{J} = \int_0^T L(s, X_s^h, h_s)ds+g(X^h_T), $

其中$ L $称为运行费用函数, $ g $称为终值费用函数.所谓的风险敏感控制问题, 即指在可行性控制集$ \mathcal{H} $中选择一个最优策略$ h $, 使得下面的效用函数达到最小: $ J(x, h;\theta) = \frac{1}{\theta }\log \mathbb{E}e^{\theta \mathcal{J}}, $相应的最小值$ u(x, \theta) $称为值函数, 即$ u(x, \theta) = \inf\limits_{h\in\mathcal{H}}J(x, h;\theta), $若存在可行性控制$ h = {\hat{h}} $, 使得$ u(x, \theta) = J(x, {\hat{h}};\theta) $, 则称$ {\hat{h}} $为最优控制.

自Whittle提出风险敏感控制准则之后, 此准则被广泛应用于金融问题中.如Bielecki等^[2]和Fleming等^[3]分别在此准则下考虑了不同市场模型中的风险敏感投资管理问题.进一步, Kuroda和Nagai^[4]考虑了因子市场模型中的遍历风险敏感控制问题; 作为连续框架下风险敏感控制问题的推广, Davis和Lleo^[5-6]考虑了跳扩散市场模型中的风险敏感控制问题.此外, 还有很多关于这方面的工作, 这里就不一一赘述了.

众所周知, 研究最优控制问题的一个经典方法就是Bellman^[7]提出的动态规划方法.此方法依赖于某二阶非线性偏微分方程, 称之为Hamiltion-Jacobi-Bellman (简称HJB)方程.研究最优控制问题的另外一个有效工具就是倒向随机微分方程(简称BSDE).线性BSDE最初由Bismu^[8]作为随机Pontryagin最大值原理的伴随方程引入, 后来Panrdoux和Peng^[9]研究了一般非线性BSDE.由于倒向随机微分方程与非线性偏微分方程的密切联系, 其被广泛应用到随机控制和数理金融中(可参考文献[9-10]等), 并逐步成为了金融领域的一个活跃分支.虽然BSDE方法在控制问题中应用广泛, 但因为风险敏感控制问题涉及到二次增长的BSDE, 故目前只有少量的工作用其来研究连续框架下的风险敏感控制问题, 此方面的工作可以参考文献[11].

本文尝试以BSDE为工具来考虑由带跳的随机微分方程驱动的风险敏感控制问题.目前考虑跳框架下风险敏感问题的文献较少, 比较有代表性的是前面提到的Davis和Lleo的工作, 他们以HJB方程为工具研究了跳扩散因子模型中的风险敏感最优投资组合问题.本文的新意在于以带跳的二次增长的BSDE为工具来研究跳框架下的风险敏感控制问题.关于二次增长的BSDE的结果主要在连续框架下, 具体可参见Kobylanski^[12]和Hu等^[13-15]工作.在跳框架下, Morlais^[16]得到了一类特殊的二次增长的BSDE解的存在唯一性, 并以此为工具研究了金融市场中的最优投资组合问题.本文将利用文献[16]中的结果来得到相应于跳框架下风险敏感控制问题的BSDE解的存在唯一性, 并进一步研究跳框架下的风险敏感控制问题.

首先介绍一些与带跳的BSDE有关的预备知识.

设$ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $是一完备概率空间.在测度$ \mathbb{P} $下, $ W $是定义在$ \Omega\times [0, T] $上的实值标准Brown运动; $ p $是定义在$ \Omega\times [0, T]\times\mathbb{R}_* $ ($ \mathbb{R}_* = \mathbb{R}\setminus\{0\}) $上的实值Possion点过程, 记$ N_p(ds, de) $为相应的Poisson随机测度, $ v $为$ N_p $的Lévy测度, $ \tilde{N}_p(ds, de) = N_p(ds, de)-v(de)ds $为$ N_p $的补偿(具体概念参见文献[17]的第2章).假设$ W $与$ p $相互独立.在$ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $上配备如下滤子

$ \mathcal{F}_t = \sigma\Big(N_{p}([0, s]\times A), A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}_*), s\leq t\Big) \vee\sigma(W_s, s\leq t)\vee \mathcal{N}, $

其中$ \mathcal{N} $表示$ \mathbb{P} $ -零集全体, $ \mathcal{B}(\mathbb{R}_*) $表示$ \mathbb{R}_* $上的Borel $ \sigma $ -代数.设$ \mathbb{H}\subset \mathbb{R} $是一个非空闭子集, 控制$ h $是一个取值于$ \mathbb{H} $的$ \mathcal{F}_t $ -适应过程, 可控随机系统$ X^h = \{X^h_t, 0\leq t\leq T\} $满足下面带跳的随机微分方程

$ \begin{align} \begin{cases} &dX^h_t = b(t, X^h_t)dt+\sigma(t, X^h_t)[dW_t+R(t, X^h_t, h_t)dt]+ \int_{\mathbb{R}_*}\mu(t, X^h_{t^{-}}, e) \tilde{N}_p(dt, de), \\ &X^h_0 = x\in \mathbb{R}. \end{cases} \end{align} $

(1.1)

以下都假设$ N_p $的Lévy测度$ v(de) $有限且正, 并满足

$ \begin{equation} \nonumber v(\{0\}) = 0, \quad v\big((1\wedge|e|)^2\big): = \int_{\mathbb{R}_*}(1\wedge|e|)^2v(de)<\infty. \end{equation} $

下面介绍几个空间

$ \begin{aligned} &\mathcal{S}^{\infty}(\mathbb{R}): = \left\{\mbox{右连左极适应过程}Y:|Y|_{\mathcal{S}^\infty(\mathbb{R})} = {\rm esssup}_{\omega\in \Omega, t\in[0 T]}|Y_t(\omega)|<\infty\right\};\\ &L^2(W): = \left\{\mbox{可料过程}Z: \mathbb{E}\left( \int_0^T|Z_s|^2ds\right)<\infty\right\};\\ &L^2(\tilde{N}_{p}): = \left\{\mathbb{U}\otimes\mathcal{B}\:(\mathbb{R}_*)\mbox{可测过程}U_s(e): \mathbb{E}\left( \int_0^T \int_{\mathbb{R}_*}|U_s(e)|^2v(de)ds\right)<\infty\right\}, \end{aligned} $

其中$ \mathbb{U} $为集$ [0, T]\times \Omega $上所有可料集构成的$ \sigma $ -域.记$ L^0(v) $为从$ \mathbb{R}_* $映射到$ \mathbb{R} $的可测函数集(即文献[18]中的$ L^0(v, \mathbb{R}, \mathbb{R}_*) $).定义

$ \begin{aligned} &L^2(v): = \left\{u:u\in L^0(v), \mathbb{E}\left( \int_{\mathbb{R}_*}|u(e)|^2v(de)\right)<\infty\right\}, \\ &L^\infty(v): = \left\{u:u\in L^0(v), |u|_{L^\infty(v)} = \sup\limits_{e\in\mathbb{R}_*}|u(e)|<\infty\right\}. \end{aligned} $

考虑BSDE:

$ \begin{equation} Y_t = \xi+ \int_t^T f(s, Z_s, U_s)ds- \int_t^T Z_sdW_s- \int_t^T \int_{\mathbb{R}_*}U_s(e)\tilde{N}_{p}(ds, de), \end{equation} $

(1.2)

其中$ \xi $是$ \mathcal{F}_T $ -可测实值随机变量, 生成元$ f(s, z, u):\Omega\times [0, T]\times\mathbb{R}\times L^2(v) $满足下面的假设.

假设 1.1  设$ C $是一个给定常数,

(i) 对任意$ z\in\mathbb{R} $, $ u\in (L^2\cap L^\infty)(v) $和$ s\in[0, T] $,

$ -C(1+|z|^2)\leq f(s, z, u)\leq C+\frac{\beta|z|^2}{2}+ \int_{\mathbb{R}_*} \frac{e^{\beta u}-\beta u-1}{\beta}v(de), \ \mathbb{P}\mbox{-a.s.}; $

(ii) 对任意$ z, z'\in\mathbb{R} $, $ u\in L^2(v) $和$ s\in[0, T] $,

$ |f(s, z, u)-f(s, z', u)|\leq C(1+|z|+|z'|)|z-z'|, \ \mathbb{P}\mbox{-a.s.}; $

(iii) 对任意$ z\in\mathbb{R} $, $ u, u'\in (L^2\cap L^\infty)(v) $和$ s\in[0, T] $,

$ f(s, z, u)-f(s, z, u')\leq \int_{\mathbb{R}_*}\gamma_s(u, u')(u(e)-u'(e))v(de), \ \mathbb{P}\mbox{-a.s.}, $

其中

$ \gamma_s(u, u'):\Omega\times [0, T]\times L^2(v) \times L^2(v) $

满足$ -1+\delta\leq \gamma_s(u, u')\leq K, $其中$ \delta $和$ K $是仅依赖于$ |u|_{L^\infty(v)}, |u'|_{L^\infty(v)} $的正常数.

令$ \bar{Y}_t = Y_t+Ct $, 则方程(1.2)可以写作

$ \bar{Y}_t = (\xi+CT)+ \int_t^T[f(s, Z_s, U_s)-C]ds- \int_t^T Z_sdW_s- \int_t^T \int_{\mathbb{R}_*}U_s(e)\tilde{N}_{p}(ds, de). $

若$ f $满足假设1.1, 则$ f(s, Z_s, U_s)-C $满足文献[16]中的假设$ ({\rm H}_1) $和$ ({\rm H}_2) $.根据$ Y $和$ \bar{Y} $的关系和文献[16]的结果, 立即有下面的引理.

引理 1.2 ^[16] 若终值$ \xi $有界(即$ |\xi|_\infty = {\rm{esssup}}_{\omega\in \Omega}|\xi(\omega)|<\infty $), 生成元$ f $满足假设1.1, 则BSDE (2)存在唯一解$ (Y, Z, U)\in S^\infty(\mathbb{R})\times L^2(W)\times L^2(\tilde{N}_{p}) $, 且存在仅依赖于$ |\xi|_{\infty} $的常数$ C $, 使得

$ \begin{eqnarray*} &&|Y|_{S^{\infty}(\mathbb{R})}\leq C, \quad |U_s|_{L^{\infty}(v)}\leq C, \\ &&\mathbb{E}\left( \int_0^T|Z_s|^2ds+ \int_0^T \int_{\mathbb{R}_*}|U_s(e)|^2v(de)ds\right)\leq C. \end{eqnarray*} $

下面考虑第1节中所提的风险敏感控制问题, 为了简化起见, 不失一般性, 取$ \theta = 1 $.

定义

$ \begin{equation} J(x, h) = \log\mathbb{E}\exp\left( \int_0^T L(s, X^h_s, h_s)ds+g(X^h_T)\right), \end{equation} $

(2.1)

其中$ X^h $满足方程(1.1).

下面考虑如下风险敏感控制问题:

$ \begin{align} u(x) = \inf\limits_{h\in\mathcal{H}}J(x, h), \end{align} $

(2.2)

其中可行性控制集$ \mathcal{H} $的定义见下文.

首先对(1.1)和(2.1)式中出现的函数作一些假设.

假设 2.1  (i)函数$ b:[0, T]\times \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, $ \sigma:[0, T]\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ Borel -可测, $ \mu:[0, T]\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}_*\rightarrow\mathbb{R} $可料.

(ii) 存在常数$ C>0 $, 使得对任意$ t\in[0, T] $, $ x, y\in\mathbb{R} $,

$ \begin{eqnarray*} &&|b(t, x)-b(t, y)|^2+|\sigma(t, x)-\sigma(t, y)|^2+ \int_{\mathbb{R}_*}|\mu(t, x, e)-\mu(t, y, e)|^2v(de)\leq C|x-y|^2, \\ &&|\sigma(t, x)|^2+|b(t, x)|^2+ \int_{\mathbb{R}_*}|\mu(t, x, e)|^2v(de)\leq C(1+|x|^2). \end{eqnarray*} $

假设 2.2  (i)函数$ R:[0, T]\times\mathbb{R}\times\mathbb{H}\mapsto\mathbb{R} $ Borel可测, 且$ \forall\ t\in[0, T], x\in\mathbb{R} $, $ R(t, x, \cdot) $是$ \mathbb{H} $到$ \mathbb{R} $上的连续函数.

(ii) 存在常数$ C>0 $, 使得对任意$ t\in[0, T] $, $ x, y\in\mathbb{R} $, $ h\in\mathbb{H} $,

$ \begin{equation} |R(t, x, h)|\leq C(1+|h|), \quad |R(t, x, h)-R(t, y, h)|\leq C|x-y|(1+|h|). \end{equation} $

(2.3)

假设 2.3  (i)函数$ L:[0, T]\times\mathbb{R}\times\mathbb{H}\mapsto\mathbb{R} $和$ g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ Borel -可测.且对任意$ t\in [0, T], x\in \mathbb{R} $, $ L(t, x, \cdot) $是$ \mathbb{H} $到$ \mathbb{R} $上的连续函数.

(ii) 存在常数$ C>0 $使得对任意$ t\in[0, T] $, $ x\in\mathbb{R} $和$ h\in\mathbb{H} $, $ 0\leq L(t, x, h)\leq C(1+|h|^2). $

(iii) 存在正常数$ M $和$ c $使得对任意$ t\in[0, T] $, $ x\in\mathbb{R} $和$ h\in\mathbb{H} $, 若$ |h|>M $, 则$ L(t, x, h)\geq c|h|^2. $

(iv) 函数$ L(t, x, h) $和$ g(x) $有界.

为解决问题(2.2), 首先考虑下面的跳扩散方程

$ \begin{equation} \begin{cases} &dX_t = b(t, X_t)dt+\sigma(t, X_t)dW_t+ \int_{\mathbb{R}_*}\mu(t, X_{t^{-}}, e) \tilde{N}_p(dt, de), \ t\in [0, T], \\ &X_0 = x, \end{cases} \end{equation} $

(2.4)

根据文献[17], 在假设2.1下, 存在唯一轨道右连左极的$ \mathcal{F}_t $ -适应过程$ X = \{X_t, t\in [0, T]\} $满足方程(2.4).

定义 2.4  称$ \mathcal{F}_t $ -适应过程$ h_t $为可行性控制, 若

$ \begin{equation} \mathbb{E}\exp\left( \int_0^T R(s, X_s, h_s)dW_s-\frac{1}{2} \int_0^T |R(s, X_s, h_s)|^2ds\right) = 1, \end{equation} $

(2.5)

可行性控制集记为$ \mathcal{H} $.

对任意$ h\in\mathcal{H} $, 记

$ M^h = \exp\left( \int_0^T R(s, X_s, h_s)dW_s-\frac{1}{2} \int_0^T |R(s, X_s, h_s)|^2ds\right). $

定义$ d\mathbb{P}^h = M^hd\mathbb{P} $, 则$ \mathbb{P}^h $是一个概率测度.由Girsanov定理, 过程

$ W_t^h = W_t- \int_0^t R(s, X_s, h_s)ds, 0\leq t\leq T $

是一个$ (\mathcal{F}_t, \mathbb{P}^h) $-Brown运动, 且在测度$ \mathbb{P}^h $下, $ X $满足

$ \begin{equation} \begin{cases} &dX_t = b(t, X_t)dt+\sigma(t, X_t)[dW^h_t+R(t, X_t, h_t)dt]+ \int_{\mathbb{R}_*}\mu(t, X_{t^{-}}, e) \tilde{N}_p(dt, de), \\ &X_0 = x. \end{cases} \end{equation} $

(2.6)

比较(1.1)和(2.6)式, 可见$ X^h $在测度$ \mathbb{P} $下与$ X $在测度$ \mathbb{P}^h $下有相同的分布, 故(2.1)式中定义的费用

$ J(x, h) = \log\mathbb{E}^h\exp\left( \int_0^T L(s, X_s, h_s)ds+g(X_T)\right). $

因此, 风险敏感控制问题(2.2)可以等价写为

$ \begin{equation} u(x) = \inf\limits_{h\in\mathcal{H}}J(x, h) = \inf\limits_{h\in\mathcal{H}} \log\mathbb{E}^h\exp\left( \int_0^T L(s, X_s, h_s)ds+g(X_T)\right), \end{equation} $

(9)

其中$ X $满足方程(8), $ \mathbb{E}^h $是在测度$ \mathbb{P}^h $下的期望.

问题(2.7)联系到下面生成元$ \psi $关于$ z $二次增长的BSDE:

$ \begin{equation} Y_t = g(X_T)+ \int_t^T\psi(s, X_s, Z_s, U_s)ds- \int_t^T Z_sdW_s- \int_t^T \int_{\mathbb{R}_*}U_s(e)\tilde{N}_p(ds, de), \end{equation} $

(3.1)

其中

$ \psi(s, x, z, u) = \inf\limits_{h\in\mathbb{H}}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\}+\frac{|z|^2}{2}+ \int_{\mathbb{R}_*} \left(e^{u(e)}-u(e)-1\right)v(de). $

记

$ \begin{equation} \varphi(s, x, z) = \inf\limits_{h\in\mathbb{H}}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\}. \end{equation} $

(3.2)

假设 3.1  对任意$ t\in [0, T], \ x\in \mathbb{R} $和$ z\in \mathbb{R} $,

$ \Gamma(t, x, z) = \{h\in\mathbb{H}: L(t, x, h)+zR(t, x, h) = \varphi(t, x, z)\} $

是非空的.

由文献[19]中的引理6.3和(58)式, 立即可以得到下面两个引理.

引理 3.2  若假设2.2, 假设2.3和假设3.1成立.则映射$ \varphi $: $ [0, T]\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $是Borel可测函数, 且存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{equation} \nonumber -C(1+|z|^2)\leq \varphi(t, x, z)\leq L(t, x, h)+C|z|(1+|h|). \end{equation} $

此外, (3.2)式中的下确界在半径为$ C(1+|z|) $的球中达到, 即

$ \begin{equation} \varphi(t, x, z) = \inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\} , t\in [0, T], x, z\in\mathbb{R}, \end{equation} $

(3.3)

且$ \varphi(t, x, z)<L(s, x, h)+zR(s, x, h), \ \mbox{若}|h|>C(1+|z|). $

引理 3.3  在引理3.2的条件下, 存在Borel可测函数$ \gamma:[0, T]\times \mathbb{R}\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $, 使得

$ \begin{equation} \varphi(t, x, z) = L(t, x, \gamma(t, x, z))+zR(t, x, \gamma(t, x, z)). \end{equation} $

(3.4)

此外, 存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{equation} |\gamma(t, x, z)|\leq C(1+|z|). \end{equation} $

(3.5)

根据引理3.2, 引理3.3, 假设2.2及假设2.3, 立即可得存在正常数$ C, \beta $, 使得

$ \begin{equation} -C(1+|z|^2)\leq \varphi(t, x, z)\leq C+\frac{\beta|z|^2}{2}. \end{equation} $

(3.6)

另一方面, 既然(3.2)式中的下确界在半径为$ C(1+|z|) $的球中达到, 则对任意$ s\in [0, T] $, $ x, z, z'\in\mathbb{R} $, 当$ |z'|\leq |z| $时,

$ \inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\} = \inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z'|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\}. $

因此, 根据引理3.2中的(3.3)式, 有

$ \begin{aligned} &|\varphi(s, x, z)-\varphi(s, x, z')|\\ = &\left|\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\} -\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z'|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\}\right|\\ \leq &\left|\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\} -\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\}\right|\\ &+\left|\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\} -\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z'|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\}\right|\\ = &\left|\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right\} -\inf\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right\}\right|\\ \leq& \sup\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}|\left(L(s, x, h)+zR(s, x, h)\right)-\left(L(s, x, h)+z'R(s, x, h)\right)|\\ \leq& \sup\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}\left\{|z-z'||R(s, x, h)|\right\} \leq |z-z'|\sup\limits_{h\in\mathbb{H}, |h|\leq C(1+|z|)}(1+|h|)\\ = &C|z-z'|(1+|z|). \end{aligned} $

类似可得, 当$ |z'|>|z| $时, $ |\varphi(s, x, z)-\varphi(s, x, z')|\leq C|z-z'|(1+|z'|). $即对任意$ s\in [0, T] $, $ x, z, z'\in\mathbb{R} $, 存在$ C>0 $, 使得

$ \begin{equation} |\varphi(s, x, z)-\varphi(s, x, z')|\leq C(1+|z|+|z'|)|z-z'|. \end{equation} $

(3.7)

设$ f(s, z, u) = \psi(s, X_s, z, u), $其中

$ \psi(s, x, z, u) = \varphi(s, x, z)+\frac{|z|^2}{2}+ \int_{\mathbb{R}_*} \left(e^{u(e)}-u(e)-1\right)v(de). $

根据(3.6)和(3.7)式, $ f(s, z, u) = \psi(s, X_s, z, u) $满足假设1.1.由引理1.2, 有如下推论.

推论 3.4  BSDE (3.1)存在唯一解$ (Y, Z, U)\in S^\infty(\mathbb{R})\times L^2(W)\times L^2(\tilde{N}_{p}) $, 且存在常数$ C $ ($ C $仅依赖于$ g $的界), 使得对任意$ s\in [0, T] $,

$ |Y|_{S^{\infty}(\mathbb{R})}\leq C, \quad |U_s|_{L^{\infty}(v)}\leq C, \quad \mathbb{E}\left( \int_0^T|Z_s|^2ds+ \int_0^T \int_{\mathbb{R}_*}|U_s(e)|v(de)ds\right)\leq C. $

下述定理给出了一个良好的可行性控制, 后面会证明其正好是问题(2.7)的最优控制.

定理 3.5  若$ \gamma(t, x, z) $是引理3.3中得到的Borel可测函数, $ X $是方程(2.4)的解, $ (Y, Z, U)\in S^\infty(\mathbb{R})\times L^2(W)\times L^2(\tilde{N}_{p}) $是BSDE(3.1)的解, 则$ \hat{h}_t = \gamma(t, X_t, Z_t) $是一个可行性控制.

证  既然$ (Y, Z, U) $是(3.1)式的解, 则有$ \mathbb{E} \int_0^T |Z_s|^2ds<+\infty. $根据(2.3)和(3.5)式可得

$ \begin{aligned} \mathbb{E} \int_0^T |R(s, X_s, {\hat{h}}_s)|^2ds \leq C\left(1+\mathbb{E} \int_0^T|\gamma(t, X_t, Z_t)|^2dt\right) \leq C\left(1+\mathbb{E} \int_0^T |Z_s|^2ds\right)<+\infty. \end{aligned} $

因此$ \mathbb{P} $-a.s.,

$ \begin{equation} \int_0^T |R(s, X_s, {\hat{h}}_s)|^2ds< +\infty. \end{equation} $

(3.8)

由此可定义

$ M_T = \exp\left( \int_0^T R(s, X_s, \hat{h}_s)dW_s-\frac{1}{2} \int_0^T|R(s, X_s, \hat{h}_s)|^2ds\right). $

由定义2.4中的(2.5)式, 为证定理结论成立, 往证$ \mathbb{E}M_T = 1 $.

定义停时

$ \tau_n = \inf\left\{t\in [0, T]: \int_0^t |R(s, X_s, \hat{h}_s)|^2ds>n\right\}, $

若等号右边是空集, 则取$ \tau_n = T $.根据(3.8)式, 对$ \mathbb{P} $-a.s. $ \omega\in \Omega $, 存在整数$ N(\omega) $, 使得当$ n\geq N(\omega) $时, $ \tau_n(\omega) = T $.固定$ h^0\in\mathbb{H} $, 对任意$ n $定义

$ \begin{eqnarray*} &&{\hat{h}}^n_t = \hat{h}_t{\bf{1}}_{t\leq\tau_n}+h^0{\bf{1}}_{t>\tau_n};\\ &&M^n_T = \exp\left( \int_0^T R(s, X_s, {\hat{h}}^n_s)dW_s-\frac{1}{2} \int_0^T |R(s, X_s, {\hat{h}}^n_s|^2ds\right);\\ &&W_t^n = W_t- \int_0^t R(s, X_s, {\hat{h}}^n_s)ds. \end{eqnarray*} $

对固定的$ n $, 由(2.3)式中的条件$ |R(t, x, h)|\leq C(1+|h|) $和$ \tau_n $的定义易验证$ \int_0^T R(s, X_s, {\hat{h}}^n_s)dW_s $满足Novikov条件, 故$ \mathbb{E} M^n_T = 1 $.

令$ d\mathbb{P}^n = M^n_Td\mathbb{P} $, 由Girsanov定理, $ W^n = \{W^n_t, 0\leq t \leq T\} $是$ (\mathcal{F}_t, \mathbb{P}^n) $-Wiener过程.

既然$ (Y, Z, U) $满足下面的BSDE:

$ \begin{aligned} Y_t = &g(X_T)+ \int_t^T \left[\varphi(s, X_s, Z_s)+\frac{Z_s^2}{2}+ \int_{\mathbb{R}^*}\left(e^{U_s(e)}-U_s(e)-1\right)v(de)\right]ds\\ &- \int_t^T Z_sdW_s- \int_t^T \int_{\mathbb{R}^*}U_s(e)\tilde{N}_p(ds, de), \quad t\in [0, T]. \end{aligned} $

在测度$ \mathbb{P}^n $下, 上述BSDE可写为

$ \begin{aligned} Y_t = &g(X_T)+ \int_t^T\left[\varphi(s, X_s, Z_s)+\frac{Z_s^2}{2}-Z_sR(s, X_s, \hat{h}^n_s) + \int_{\mathbb{R}^*}\left(e^{U_s(e)}-U_s(e)-1\right)v(de)\right]ds\\ &- \int_t^T Z_sdW^n_s - \int_t^T \int_{\mathbb{R}^*}U_s(e)\tilde{N}_p(ds, de), \quad t\in [0, T]. \end{aligned} $

由Itô公式,

$ \begin{align} e^{Y_t} = &e^{Y_0}- \int_0^te^{Y_s}\left[\varphi(s, X_s, Z_s)-Z_sR(s, X_s, \hat{h}^n_s)\right]ds\\ &+ \int_0^t e^{Y_s}Z_sdW^n_s + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^*}e^{Y_s}\left(e^{U_s(e)}-1\right)\tilde{N}_p(ds, de), \quad t\in [0, T]. \end{align} $

(3.9)

定义

$ \begin{align} \hat{Y}_t = e^{Y_t}\exp\left( \int_0^t \left[\varphi(s, X_s, Z_s)-Z_sR(s, X_s, \hat{h}^n_s)\right]ds \right), \quad t\in [0, T]. \end{align} $

(3.10)

先对(3.10)式用分部积分公式, 再将(3.9)式带入, 取时间区间为$ [0, \tau_n] $, 可得

$ \hat{Y}_{\tau_n} = \hat{Y}_0+ \int_0^{\tau_n} \hat{Y}_tZ_tdW^n_t+ \int_0^{\tau_n} \int_{\mathbb{R}^*} \hat{Y}_t\left(e^{U_t(e)}-1\right)\tilde{N}_p(dt, de). $

注意$ L(t, x, h) $和$ Y $都有界, 由$ \hat{Y} $的定义知$ \hat{Y} $是有界过程, 又$ U $有界, 故上式后两项中的随机积分期望为0.因而$ \mathbb{E}^n\hat{Y}_{\tau_n} = \hat{Y}_0 = e^{Y_0}. $注意当$ t\leq\tau_n $时, $ \hat{h}_t = \hat{h}_t^n $, 由(3.4)式则有

$ \mathbb{E}^n\hat{Y}_{\tau_n} = \mathbb{E}^n\left(e^{Y_{\tau_n}}e^{ \int_0^{\tau_n}L(s, X_s, \hat{h}_s)ds} \right) = e^{Y_0}, $

又$ Y $有界, 则有

$ e^{-|Y|_{s^\infty(\mathbb{R})}}{\mathbb{E}^n\left(e^{ \int_0^{\tau_n}L(s, X_s, \hat{h}_s)ds} \right)} \leq \mathbb{E}^n\left(e^{Y_{\tau_n}}e^{ \int_0^{\tau_n}L(s, X_s, \hat{h}_s)ds} \right) = e^{Y_0}. $

由上式和Jensen不等式可得, 存在不依赖于$ n $的常数$ C $, 使得$ {\mathbb{E}^n\left( \int_0^{\tau_n}L(s, X_s, \hat{h}_s)ds\right)}\leq C. $由假设2.3 (iii),

$ \begin{equation} \mathbb{E}^n \int_0^{\tau_n}|\hat{h}_s|^2ds\leq C. \end{equation} $

(3.11)

下面证明$ \{M_T^n, n\geq 1\} $是一致可积的, 即关于$ n $一致地有$ \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c}]\rightarrow0, \ c\rightarrow\infty. $显然

$ \begin{equation} \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c}] = \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c, \tau_n = T}]+\mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c, \tau_n<T}]. \end{equation} $

(3.12)

注意到$ M_T^n $依概率收敛到$ M_T $, 且$ \mathbb{E}M_T^n = 1 $, 由Fatou引理, $ \mathbb{E}M_T\leq 1 $.故

$ \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c, \tau_n = T}] = \mathbb{E}[M_T{\bf 1}_{M_T>c, \tau = T}]\leq \mathbb{E}[M_T{\bf 1}_{M_T>c}]\rightarrow 0, \ c\rightarrow\infty. $

故(3.12)式右边第一项关于$ n $一致趋于0.而(3.12)式右边第二项有如下估计

$ \begin{aligned} \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{M_T^n>c, \tau_n<T}] \leq& \mathbb{E}[M_T^n{\bf 1}_{\tau_n<T}] = \mathbb{P}^n(\tau_n<T)\\ \leq & \mathbb{P}^n\left( \int_0^{\tau_n}|\hat{h}_s|^2ds>n\right)\leq \frac{1}{n}\mathbb{E}^n \int_0^{\tau_n}|\hat{h}_s|^2ds \leq\frac{C}{n}, \end{aligned} $

上式中的等号由测度变换得到, 最后一个不等式由(3.11)式保证.由上面的讨论立即得到了要证的一致可积性.一致可积性加上$ M^n_T $依概率收敛到$ M_T $, 立即可得$ \mathbb{E}M_T = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}M_T^n = 1 $.定理得证.

定理 3.6  设假设2.2, 假设2.3和假设3.1成立, $ (Y, Z, U)\in S^\infty(\mathbb{R})\times L^2(W)\times L^2(\tilde{N}_{p}) $是BSDE (3.1)的解, 则对任意$ h\in\mathcal{H} $, 有$ J(x, h)\geq Y_0 $当且仅当

$ L(t, X_t, h_t)+Z_tR(t, X_t, h_t) = \varphi(t, X_t, Z_t), \ \mathbb{P}-{\rm a.s.} $

时等号成立, 即$ h = \hat{h} = \gamma(t, X_t, Z_t) $为最优控制, 其中$ \gamma(t, x, z) $是式(3.4)中的Borel可测函数.

证  既然$ (Y_t, Z_t, U_t) $是BSDE (3.1)的解, 则有

$ \begin{aligned} dY_t = &-\left[\varphi(t, X_t, Z_t)+\frac{Z_t^2}{2}+ \int_{\mathbb{R}^*}\left(e^{U_t(e)}-U_t(e)-1\right)v(de)\right]dt\\ &+Z_tdW_t + \int_{\mathbb{R}^*}U_t(e)\tilde{N}_p(dt, de)\\ = &-\left[\varphi(t, X_t, Z_t)+\frac{Z_t^2}{2}-Z_tR(t, X_t, h_t)+ \int_{\mathbb{R}^*}\left(e^{U_t(e)}-U_t(e)-1\right)v(de)\right]dt\\ &+Z_tdW^h_t + \int_{\mathbb{R}^*}U_t(e)\tilde{N}_p(dt, de), \quad Y_T = g(X_T). \end{aligned} $

由Itô公式

$ \begin{align} de^{Y_t} = &-e^{Y_t}\left[\varphi(t, X_t, Z_t)-Z_tR(t, X_t, h_t)\right]dt +e^{Y_t}Z_tdW^h_t\\ &+ \int_{\mathbb{R}^*}e^{Y_t}\left(e^{U_t(e)}-1\right)\tilde{N}_p(dt, de). \end{align} $

(3.13)

定义

$ \hat{Y}_t = e^{Y_t}\exp\left( \int_0^t \left[\varphi(s, X_s, Z_s)-Z_sR(s, X_s, h_s)\right]ds \right). $

对上式用分部积分公式, 再将(3.13)式带入, 可得

$ \hat{Y}_T = \hat{Y}_0+ \int_0^T \hat{Y}_tZ_tdW^h_t+ \int_0^T \int_{\mathbb{R}^*} \hat{Y}_t\left(e^{U_t(e)}-1\right)\tilde{N}_p(dt, de). $

注意$ L(t, x, h) $和$ Y $都有界, 由$ \hat{Y} $的定义知$ \hat{Y} $是有界过程, 又$ U $有界, 故上式后两项中的随机积分期望为0.因此\ $ \hat{Y}_0 = \mathbb{E}^h\hat{Y}_T $, 即

$ e^{Y_0} = \mathbb{E}^h\exp\left( \int_0^T \left[\varphi(s, X_s, Z_s)-Z_sR(s, X_s, h_s)\right]ds+Y_T \right). $

注意到$ Y_T = g(X_T) $, 再由式(3.2)立即可得

$ \begin{equation} J(x, h) = \log\mathbb{E}^h\left[\exp\left({ \int_0^T L(s, X_s, h_s)}ds+g(X_T)\right)\right]\geq Y_0. \end{equation} $

(3.14)

因为$ \varphi(s, x, z) = L(s, x, \gamma(s, x, z))+zR(s, x, \gamma(s, x, z)), $重复前面的证明过程, 可得当$ h_t = \hat{h}_t = \gamma(t, X_t, Z_t) $时, 式(3.14)取等号, 即$ u(x) = Y_0. $定理3.5已证明$ \hat{h}_t $是一个可行性控制, 因此$ \hat{h}_t $是最优控制.定理得证.