设$ G $是一个局部紧的Abel群, $ \widehat{G} $是其共轭群.假设$ \Omega\subset G $具有正有限Haar测度的Borel可测集合, 称$ \Omega $是一个谱集如果存在$ G $的一个连续特征的集合$ \Lambda \subset \widehat G $, 使得组成平方Haar -可积可积函数空间$ L^2(\Omega) $的一个正交基.集合$ \Lambda $称为$ \Omega $的一个谱, $ (\Omega, \Lambda) $称为谱对.我们说一个集合$ \Omega $平移地tile $ G $, 如果存在一个集合$ T\subset G $使得集族$ \{\Omega+t\}_{t\in T} $构成$ G $的一个划分(除了零测集外).该集合$ T $称为$ \Omega $的一个tiling集或者一个平移集, $ (\Omega, T) $称为一个tiling对.

当$ G = \mathbb{R}^d $时, 关于谱集和tile的关系Fuglede[Fuglede1974]提出如下的猜想.

谱集猜想  一个具有正有限Lebesgue测度的Borel集$ \Omega\subset\mathbb{R}^d $是一个谱集当且仅当它是一个平移tile.即存在一个集合$ \Lambda $使得$ (\Omega, \Lambda) $是一个谱对当且仅当存在一个集合$ T $使得$ (\Omega, T) $是一个tiling对.

在任何局部紧的Able群$ G $上可以考虑广义Fuglede猜想:一个正有限Haar测度的Borel集$ \Omega\subset G $是谱集当且仅当它是一个平移tile.甚至在有限群上也可以讨论该猜想[Aten-Iosevich-Mayeli-Pakianathan2015].

我们可以考虑如下的对偶谱集猜想:设$ \Lambda\subset G $, 则$ \Lambda $是一个谱当且仅当$ \Lambda $一个tiling集.即存在一个集合$ \Omega $使得$ (\Omega, \Lambda) $是一个谱对当且仅当存在一个集合$ \Omega' $使得$ (\Omega', \Lambda) $是一个tiling对.

在欧式空间$ \mathbb{R}^d $对于这一谱集猜想的研究取得了一些局部性的结果(见文献[1, 3, 4]).谱集猜想提出来$ 30 $年以后, 直到$ 2004 $年菲尔兹奖得主陶哲轩^[5]在维数大于等于5的时候构造了一个反例说明谱集未必是tile.现在这些反例的维数降低到$ d\geq3 $ ^{[6, 7]}.至今, 谱集猜想在一维或者二维空间上是否成立仍然是一个公开问题.

另一方面, 文献[8]研究了$ \mathbb{R}^d $上的单位正方形的所有谱的结构, 文献[9, 10]证明了$ \mathbb{R} $上的谱集的谱一定是周期的.

最近, 范爱华^[11]考虑局部域上的谱集和谱测度问题; 本文作者^[12]证得当谱或者tiling集是拟格的时候谱集猜想在局部域上的向量空间上成立.谱集猜想在$ p $ -进域$ {\mathbb{Q}}_p $上完全被解决了.其实, 他们^{[13, 14]}证得一个有界集$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p $是谱集$ \Leftrightarrow $ $ \Omega $是一个tile $ \Leftrightarrow $ $ \Omega $是几乎紧开" $ p $ -齐次".同时, 他们也证明了$ {\mathbb{Q}}_p $上的谱或者tiling集在等距同构的意义下是惟一的.不过, 该猜想在$ {\mathbb{Q}}_p^d $ $ (d\geq2) $上仍然是个公开问题.

在这篇文章中, 考虑$ {\mathbb{Q}}_p^d $上谱或者tiling集的性质.

这一部分介绍$ p $ -进数域$ {\mathbb{Q}}_p $的有关知识, 可积函数空间$ L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $上的Fourier变换, $ {\mathbb{Q}}_p^d $上的谱集准则等相关内容.

我们首先回顾一下$ p $ -进数域.设$ p\ge 2 $是一个素数, $ \mathbb{Q} $是有理数域.任何一个非零数$ x\in \mathbb{Q} $可以写成$ x = p^v \frac{a}{b} $, 其中$ v, a, b\in \mathbb{Z} $, $ (p, a) = 1 $和$ (p, b) = 1 $ (这里$ (x, y) $表示两个整数$ x $和$ y $的最大公因数).根据$ \mathbb{Z} $上的唯一分解定理, 这个数$ v $只依赖于$ x $.对于$ x\not = 0 $定义$ v_p(x) = v $, $ v_p(0) = +\infty $并且$ |x|_p = p^{-v_p(x)} $, 那么$ |\cdot|_p $是一个非阿基米德绝对值.即

(ⅰ) $ |x|_p\ge 0 $, 等于零仅当$ x = 0 $;

(ⅱ) $ |x y|_p = |x|_p |y|_p $;

(ⅲ) $ |x+y|_p\le \max\{ |x|_p, |y|_p\} $.

$ p $ -进数域$ {\mathbb{Q}}_p $是有理数域$ \mathbb{Q} $在$ p $ -进绝对值$ |\cdot|_p $之下的完备化.事实上, $ \mathbb{Q}_p $的任何一个元素$ x $都可以写成

$ \begin{align} x = \sum\limits_{n = v}^\infty a_n p^{n} \quad (v\in \mathbb{Z}, a_n \in \{0, 1, \cdots, p-1\}\, \, a_v\not = 0), \end{align} $

(2.1)

这里$ v(x): = v $称为$ x $的$ p $ -赋值, 并且$ |x|_p = p^{-v} $.记$ {\mathbb{Z}}_p = \{x\in{\mathbb{Q}}_p:x = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n p^n\} $ $ p $ -进整数环, 其实它是以$ 0 $为圆心的单位圆.

取一个特征$ \chi \in \widehat{{\mathbb{Q}}_p}: $ $ \chi(x) = e^{2\pi i\{x\}}, $其中$ \{x\} = \sum\limits_{n = N}^{-1} a_n p^n $表示$ x $在展开式(2.1)中的分数部分.从这个特征得到$ {\mathbb{Q}}_p $的所有特征.对于任意$ y\in{\mathbb{Q}}_p $, 定义$ \chi_y(x) = \chi(yx). $那么映射$ y \mapsto \chi_y $是从$ {\mathbb{Q}}_p $到$ \widehat{{\mathbb{Q}}_p} $上的一个同构映射.注意$ {\mathbb{Z}}_p $上$ \chi(x)\equiv1 $, 但是在$ p^{-1}{\mathbb{Z}}_p $非常数.

设$ {\mathbb{Q}}_p^d $是$ {\mathbb{Q}}_p $上的$ d $ -维向量空间.将$ {\mathbb{Q}}_p^d $赋予范数

$ |x| = \max\limits_{1\le j\le d} |x_j|, \quad \ x = (x_1, \cdots, x_d)\in {\mathbb{Q}}_p^d. $

空间$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的Haar测度是乘积测度$ dx_1\cdots dx_d $, 还是记为$ dx $或者$ \mathfrak{m}_d $, 如果需要指出维数.对于$ x = (x_1, \cdots, x_d), \ y = (y_1, \cdots, y_d) \in {\mathbb{Q}}_p^d $, 定义$ {\mathbb{Q}}_p^d $的内积为

$ x\cdot y : = x_1 y_1 +\cdots + x_dy_d. $

空间$ {\mathbb{Q}}_p^d $的对偶空间$ \widehat{{\mathbb{Q}}_p^d} $由$ \chi_y (\cdot) $所组成的, 其中$ y \in {\mathbb{Q}}_p^d $, $ \chi_y (x) = \chi(x\cdot y) = e^{2\pi i\{x\cdot y\}} $.

设$ \Omega\subset {\mathbb{Q}}_p^d $是具有正有限Haar测度的Borel集合.设$ L^2(\Omega) $是$ \Omega $上的平方Haar -可积函数所构成的Hilbert空间, 其上定义内积

$ \langle f, g\rangle_\Omega = \int_\Omega f(x)\overline{g(x)}dx. $

函数$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $的Fourier变换定义为

$ \widehat{f}(\xi) = \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}f(x) \overline{\chi_{\xi}(x)} dx \quad ( \xi\in {\mathbb{Q}}_p^d). $

注意

$ \widehat{f}(\xi) = \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}f(x) \overline{\chi(\xi\cdot x)}dx = \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}f(x)\chi(-\xi\cdot x)dx. $

Fourier变换具有如下性质

1.映射$ f\rightarrow\widehat{f} $是从$ L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $到$ L^{\infty}({\mathbb{Q}}_p^d) $的有界线性算子, 并且$ \|\widehat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_1 $.

2.如果$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $, 那么$ \widehat{f} $一致连续.

3.如果$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d)\cap L^2({\mathbb{Q}}_p^d) $, 那么$ \|\widehat{f}\|_2 = \|f\|_2. $

定义2.1   定义在$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的一个复值函数$ f $称为一致局部常值函数, 若存在$ n\in\mathbb{Z} $使得

$ f(x+y) = f(x), \; \; \forall x\in{\mathbb{Q}}_p^d, \; \; \forall y\in B(0, p^{n}). $

显然一致局部常值函数是连续的.

用$ |\Omega| $表示集合$ \Omega $的Haar测度.对于一个Borel集$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $使得$ 0<|\Omega|<\infty $, 有下面的谱集准则^[11].

引理2.2 ^[11]   一个Borel集$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $使得$ 0<|\Omega|<\infty $是一个以$ \Lambda $为谱的谱集当且仅当

$ \begin{equation} \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}|\widehat{1}_{\Omega}(\xi-\lambda)|^2 = |\Omega|^2, \quad \forall \xi\in{\mathbb{Q}}_p^d. \end{equation} $

(2.2)

对于一个离散集合$ \Lambda\subset{\mathbb{Q}}_p^d $, 取$ \chi_\lambda(x) = e^{2\pi i\{\lambda\cdot x\}}, \forall x\in{\mathbb{Q}}_p^d $和$ \mathcal{E}(\Lambda) = \{\chi_\lambda(x):\lambda\in\Lambda\}, $这些特征$ \chi_\lambda(x) $被称为指数函数.说$ \mathcal{E}(\Lambda) $是一个正交集, 若集合$ \mathcal{E}(\Lambda) $中的指数函数系$ \chi_\lambda(x) $组成空间$ L^2(\Omega) $内的正交系.对于一个连续函数$ f:{\mathbb{Q}}_p^d\rightarrow \mathbb{C} $, 写

$ \mathcal{Z}(f) = \{x\in{\mathbb{Q}}_p^d:f(x) = 0\}. $

下面的引理确定一个正交集$ \mathcal{E}(\Lambda) $中的点应该满足的条件.

引理2.3   如果$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个Borel集并且$ 0<|\Omega|<\infty $, 那么集合$ \mathcal{E}(\Lambda) $在$ L^2(\Omega) $内正交当且仅当

$ \begin{equation} \Lambda-\Lambda\subset \mathcal{Z}(\widehat{1}_{\Omega})\cup\{0\}. \end{equation} $

(2.3)

证   对于任意两个$ \lambda\not = \lambda'\in\Lambda $, 有

$ \begin{eqnarray} \widehat{1}_{\Omega}(\lambda-\lambda') = \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}e^{-2\pi i\{\langle\lambda-\lambda', x\rangle\}}{1}_{\Omega}(x)dx = \int_{\Omega}e^{-2\pi i\{\langle\lambda, x\rangle\}}e^{2\pi i\{\langle\lambda', x\rangle\}}dx = \langle \chi_\lambda, \chi_{\lambda'}\rangle_\Omega. \end{eqnarray} $

(2.4)

若式(2.3)成立, 则对任意$ \lambda\not = \lambda'\in\Lambda $, 有$ \langle \chi_\lambda, \chi_{\lambda'}\rangle_\Omega = 0 $, 说明$ \mathcal{E}(\Lambda) $是一个正交集.反过来, 若$ \mathcal{E}(\Lambda) $在空间$ L^2(\Omega) $内的一个正交集, 则对任意$ \lambda\not = \lambda'\in\Lambda $, 有$ \langle \chi_\lambda, \chi_{\lambda'}\rangle_\Omega = 0 $, 这个等价于式(2.3).

一个集合$ A\subset{\mathbb{Q}}_p^d $称为一致离散, 如果$ A $是可数集并且存在一个$ \delta \in \mathbb{Z} $使得对于任意互异的$ x, y\in A $有$ |x-y|_p\geq p^\delta $, 这里$ |\cdot|_p $表示$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的$ p $ -进绝对值.满足上述条件的最大常数$ \delta $称为集合$ A $的分离常数, 并记为$ \delta(A) $.有引理2.3, 很容易得到下面的引理.

引理2.4 ^[14]   假设$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个Borel集使得$ 0<|\Omega|<\infty $.

(1) 若$ (\Omega, \Lambda) $是一个谱对, 则$ \Lambda $是一致离散集合.

(2) 若$ (\Omega, T) $是一个tiling对, 则$ T $是一致离散集合.

取

$ \begin{equation} \gamma_0: = \min\Big\{\gamma:\xi\in B(0, p^\gamma), \quad \widehat{1}_\Omega(\xi) = 0\Big\}. \end{equation} $

(2.5)

那么引理2.4表示, 如果$ \Lambda $是集合$ \Omega $的一个谱则它是一致离散的并且其分离常数$ \delta(\Lambda)\geq\gamma_0 $.

这一节将介绍主要定理及其证明.

定义3.1   设$ \Lambda_n\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个一致离散集合序列, 其分裂常数是$ \delta(\Lambda_n)\geq\delta_0 $.集合序列$ \Lambda_n $若收敛于一个集合$ \Lambda $, 若对任意$ \eta\in{\mathbb{N}} $和任意$ \gamma\in\mathbb{Z} $, 存在一个自然数$ N $使得对任意$ n\geq N $, 有

$ \Lambda_n\cap B_{\gamma}\subset \Lambda+ B_{-\eta} \quad \mbox{和} \quad \Lambda\cap B_{\gamma}\subset \Lambda_n+ B_{-\eta}, $

其中$ B_{\gamma} $是以原点为球心, 以$ p^{\gamma} $为半径的开球.这个时候极限$ \Lambda $也是一致离散, 并且$ \delta(\Lambda)\geq\delta_0 $.

下面的定理是本文的主要结果.

定理3.2   设$ \Lambda_n\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个一致离散集合序列, 分裂常数是$ \delta(\Lambda_n)\geq\delta_0 $, 并且弱收敛于一个集合$ \Lambda $.假设$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个有界可测集合, 并且对任意$ n $, $ \Lambda_n $是$ \Omega $的一个谱(或tiling集), 那么$ \Lambda $也是$ \Omega $的一个谱(或tiling集).

下面介绍这个定理的证明所需要的一系列引理.

假设$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $是非负可积函数.我们说函数$ f $经过一个离散集合$ \Lambda\subset{\mathbb{Q}}_p^d $平移地tile $ {\mathbb{Q}}_p^d $, 如果有

$ \begin{equation} \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x-\lambda) = 1\; \; {\rm a.e.}\; \; x\in{\mathbb{Q}}_p^d. \end{equation} $

(3.1)

这种情况下, 写$ f+\Lambda $是一个tiling.

如果$ f = 1_\Omega $是一个有界可测集合$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $的示性函数, 那么条件(3.1)表示集族$ \{\Omega+\lambda:\lambda\in\Lambda\} $构成$ {\mathbb{Q}}_p^d $的一个划分(除零测集外).这个时候函数tiling就是集合tiling, 并且我们说$ (\Omega, \ \Lambda) $是一个tiling对.

下面的引理给出通过tiling条件来刻画集合$ \Omega $的谱的一个方法.

引理3.3   假设$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个有界可测集合, 定义

$ f(x): = |\widehat{1}_{\Omega}(x)|^2/|\Omega|^2, \quad x\in {\mathbb{Q}}_p^d, $

则一个集合$ \Lambda\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是$ \Omega $的一个谱当且仅当$ f+\Lambda $是一个tiling.

证   由于引理2.2, 我们有$ (\Omega, \Lambda) $是谱对当且仅当对任意$ x\in{\mathbb{Q}}_p^d $, 有

$ \begin{equation} \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x-\lambda) = \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}|\widehat{1}_{\Omega}(x-\lambda)|^2/|\Omega|^2 = 1. \end{equation} $

(3.2)

方程(3.2)成立当且仅当$ f+\Lambda $是一个tiling.

假设$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $是非负可积函数.我们说函数$ f $经过一个离散集合$ \Lambda\subset{\mathbb{Q}}_p^d $填充$ {\mathbb{Q}}_p^d $, 如果有

$ \begin{equation} \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x-\lambda)\leq1\; \; {\rm a.e.}\; \; x\in{\mathbb{Q}}_p^d. \end{equation} $

(3.3)

这种情况下, 写$ f+\Lambda $是一个填充.注意如果$ f = 1_{\Omega} $, 那么这个表明集族$ \{\Omega+\lambda:\lambda\in\Lambda\} $是两两测度不交.这个时候, 我们说$ (\Omega, \Lambda) $是一个填充对.

假设$ E, \ F $是$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的两个离散集合, $ \tau $是$ {\mathbb{Q}}_p^d $是的一个向量.设三个集合$ F $, $ F+\tau $, $ F-\tau $的每一个与集合集合$ E $不交, 并且定义

$ \begin{equation} \Lambda: = E\cup F, \quad \Lambda_1: = E\cup(F+\tau), \quad \Lambda_2: = E\cup(F-\tau). \end{equation} $

(3.4)

引理3.4   令$ f\geq0 $是$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的一个可测函数.假设$ f+\Lambda $是一个tiling, $ f+\Lambda_1 $和$ f+\Lambda_2 $是填充, 那么$ f+\Lambda_1 $和$ f+\Lambda_2 $也是tilings.

证  定义

$ f_E(x): = \sum\limits_{\lambda\in E}f(x-\lambda), \quad f_F(x): = \sum\limits_{\lambda\in F}f(x-\lambda). $

则根据引理假设, 对几乎处处$ x\in{\mathbb{Q}}_p^d $有

$ \rm(1) $ $ f_E(x)+f_F(x) = 1 $.

$ \rm(2) $ $ f_E(x)+f_F(x-\tau)\leq1 $.

$ \rm(3) $ $ f_E(x)+f_F(x+\tau)\leq1 $.

分别从(2)和(3)减去(1)得到

$ \begin{equation} f_F(x-\tau)\leq f_F(x), \quad f_F(x+\tau)\leq f_F(x) \quad {\rm a.e..} \end{equation} $

(3.5)

通过向量$ \tau $平移可知, 式(3.5)成立等价于$ f_F(x-\tau) = f_F(x) = f_F(x+\tau). $这个隐含着引理成立.

假设$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个有界可测集合.下面的引理给出一个指数函数系在空间$ L^2(\Omega) $内正交的一个准则.

引理3.5   一个指数函数系$ \mathcal{E}(\Lambda) $在空间$ L^2(\Omega) $内正交当且仅当$ f+\Lambda $是一个填充, 其中$ f(x): = |\widehat{1}_{\Omega}(x)|^2/|\Omega|^2 $.

这个引理的证明完全类似于引理3.3的证明.

运用引理3.3, 引理3.4和引理3.5得到

推论3.6   假设$ \Lambda, \Lambda_1, \Lambda_2 $是定义在式(3.4), 若集合$ \Lambda $是$ \Omega $的一个谱, 集族$ \mathcal{E}(\Lambda_1) $和$ \mathcal{E}(\Lambda_2) $在空间$ L^2(\Omega) $内正交, 则集合$ \Lambda_1 $和$ \Lambda_2 $也是$ \Omega $的谱.

定理3.7   设$ \Lambda_n\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个一致离散集合序列, 分裂常数是$ \delta(\Lambda_n)\geq\delta_0 $, 并且弱收敛于一个集合$ \Lambda $.假设$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $, $ f\geq0 $, 并且对任意$ n $, $ f+\Lambda_n $是一个tiling, 那么$ f+\Lambda $也是一个tiling.

证  假设函数$ \psi\geq0 $是$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的具有紧支撑的局部常值函数并且满足$ \int\psi(x)dx = 1 $.那么证明对于这种函数$ \psi $如下等式

$ \begin{equation} \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}\psi(x)\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x-\lambda)dx = 1 \end{equation} $

(3.6)

成立就可以了.

固定一个满足上述条件的函数$ \psi $, 定义

$ \begin{equation} \Psi_n(x): = \sum\limits_{\lambda\in\Lambda_n}\psi(x+\lambda). \end{equation} $

(3.7)

由于$ \Lambda_n $弱收敛于$ \Lambda $, 所以对任何$ {\mathbb{Q}}_p^d $上的具有紧支撑的局部常值函数$ \varphi $, 有

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}\varphi(x)\Psi_n(x)dx = \int_{{\mathbb{Q}}_p^d}\varphi(x)\Psi(x)dx, \end{equation} $

(3.8)

这里$ \Psi(x): = \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\psi(x+\lambda) $.进一步, 有$ \parallel\Psi_n\parallel_\infty\leq C(\psi, \delta) $, 这里的常数$ C(\psi, \delta) $不依赖于$ n $.所以函数$ \Psi_n(x) $在$ L^\infty({\mathbb{Q}}_p^d) $意义下弱收敛于函数$ \Psi(x) $.根据文献[15]中的命题6.2, 具有紧支撑的局部常值函数在$ L^1 $ -函数中稠密.因此等式(3.8)当$ \varphi = f $的时候也成立, 这里$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $.由于$ f+\Lambda_n $是一个tiling, 等式(3.8)的左边等于$ 1 $.所以等式(3.8)的右边也必须等于$ 1 $.这个说明等式(3.6)成立.

下面给予定理3.2的证明.

定理3.2的证明  设$ \Omega\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是一个有界可测集合.令$ f(x): = 1_{\Omega}(x) $, 则$ f\in L^1({\mathbb{Q}}_p^d) $, $ f\geq0 $.根据定理3.7, 若对于任意$ n $, $ \Omega+\Lambda_n $是一个tiling, 并且$ \Lambda_n $弱收敛于$ \Lambda $, 则$ \Omega+\Lambda $也是一个tiling.

根据引理3.3, 一个集合$ \Lambda\subset{\mathbb{Q}}_p^d $是$ \Omega $的一个谱当且仅当$ f+\Lambda $是一个tiling, 其中$ f(x): = |\widehat{1}_{\Omega}(x)|^2/|\Omega|^2 $.所以对于任意$ n $, 集合$ \Lambda_n $是$ \Omega $的一个谱当且仅当$ f+\Lambda_n $是一个tiling, 由前半部分的证明可知, 若$ \Lambda_n $弱收敛于$ \Lambda $, 则$ f+\Lambda $也是一个tiling, 从而根据引理3.3, $ (\Omega, \ \Lambda) $是一个谱对.