Leslie-Gower作为一个重要的生态系统模型, 已经引起了许多学者的关注, 并且得到了很多好的结果(见文献[1-12]及所引文献).但是, 对于生命短, 世代不重叠的种群或者虽然生命长, 世代重叠的种群在其数量少的时候, 用差分方程(离散的动力模型)来表示更为合理(见文献[13]).鉴于此, 本文将研究如下离散的Leslie-Gower模型

$ \left\{\begin{array}{ll} x_1(n+1) = x_1(n)\exp\{a_{0}(n)-b_{0}(n)x_1(n)-\frac{v_{0}(n)x_2(n)}{d_{0}(n) +x_1(n)}\}, \\ x_2(n+1) = x_2(n)\exp\{-a_{1}(n)+\frac{v_{1}(n)x_1(n)}{d_{1}(n)+x_1(n)} -\frac{v_{2}(n)x_3(n)}{d_{2}(n)+x_2(n)}\}, \\ x_3(n+1) = x_3(n)\exp\{c_{3}(n)-\frac{v_{3}(n)x_3(n)}{d_{3}(n)+x_2(n)}\}, \end{array}\right. $

(1.1)

其中$ x_i(n)\; (i = 1, 2, 3) $为种群$ i $在$ n $时刻的密度, $ a_0, b_0, v_0, d_0, a_1, v_1, d_1, v_2, d_2, c_3, v_3 $和$ d_3 $均为连续的有正的上下界的序列, 且$ x_i(0)\geq 0\; (i = 1, 2, 3). $

文[2]对离散两种群Leslie-Gower模型的周期解和全局吸引性进行了研究, 而文[3]首次提出了一类连续的三种群Leslie-Gower模型.一个自然而然的问题是:离散三维Leslie-Gower模型的动力学行为又将怎样呢？据笔者所知, 至今尚未有学者研究离散三维Leslie-Gower模型.本文参照文[14]的分析手法来研究系统(1.1)的动力学行为.更多有关Leslie-Gower模型的背景可以参考文献[3].这里对任意的序列$ \left\{a(n)\right\} $, 记$ a^u = \sup\limits_{n\in N} \left\{a(n)\right\}, \; \; a^l = \inf\limits_{n\in N}\left\{a(n)\right\}. $

引理2.1 ^[15]   假设序列$ \left\{x(k)\right\} $满足$ x(k)>0 $, $ a(k) $和$ b(k) $为有正的上下界的非负序列, 若$ x(k+1)\leq x(k)\exp\left\{a(k)-b(k)x(k)\right\}, \; \; k\in N, $则

$ \limsup\limits_{k\to +\infty}x(k)\leq \frac{1}{b^{l}}\exp(a^{u}-1). $

引理2.2 ^[16]   假设序列$ \left\{x(k)\right\} $满足$ x(k)>0 $, $ a(k) $和$ b(k) $为有正的上下界的非负序列, 若$ x(k+1)\geq x(k)\exp\left\{a(k)-b(k)x(k)\right\}, k\geq N_{0}, x(N_{0})>0, $其中$ N_{0}\in N $, 且$ \limsup\limits_{k\to +\infty}x(k)\leq x^{*}, $则

$ \liminf\limits_{k\to +\infty}x(k)\geq \min\left\{\frac{a^{l}}{b^{u}}\exp(a^{l}-b^{u}x^{*}), \frac{a^{l}}{b^{u}}\right\}. $

定理3.1   若

$ \begin{align} v_1^u-a_1^l<0 \end{align} $

(${{\text{H}}_{\text{1}}}$)

成立, 则种群$ x_1 $与$ x_3 $持久, 而种群$ x_2 $绝灭.

证  设$ x(n) = (x_{1}(n), x_{2}(n), x_{3}(n))^{T} $为系统(1.1)的任意正解.由系统(1.1)的第一个方程得

$ x_{1}(n+1)\leq x_{1}(n)\exp\left\{a_0(n)-b_0(n)x_1(n)\right\}. $

由引理2.1, 得到

$ \begin{align} \limsup\limits_{n\to +\infty}x_1(n)\leq\frac{\exp(a_0^u-1)}{b_0^l}\triangleq M_1. \end{align} $

(3.1)

由系统(1.1)的第二个方程可得

$ \begin{eqnarray} && x_2(n+1) \leq x_2(n)\exp\left\{v_1(n)-a_1(n)\right\} \leq x_2(n)\exp\left\{v_1^u-a_1^l\right\}, \end{eqnarray} $

(3.2)

$ \begin{eqnarray} && x_2(n)\leq x_2(0)\exp\left\{n(v_1^u-a_1^l)\right\}. \end{eqnarray} $

(3.3)

由条件$ ({\hbox{H}}_{1}) $知

$ \begin{align} \lim\limits_{n\to +\infty}x_2(n) = 0. \end{align} $

(3.4)

所以对于足够小的$ \varepsilon >0, $存在$ N_{1}>0, \; N_{1}\in N, $对任意$ n>N_{1}, $都有

$ \begin{align} x_{1}(n)\leq M_{1}+\varepsilon, \; x_2(n)\leq\varepsilon. \end{align} $

(3.5)

由系统(1.1)的第三个方程得

$ \begin{align} x_3(n+1)\leq x_3(n)\exp\left\{c_3(n)-\frac{v_3(n)}{d_3(n)+\varepsilon}x_3(n)\right\}. \end{align} $

(3.6)

由引理2.1知

$ \limsup\limits_{n\to +\infty}x_3(n)\leq\frac{d_3^u+\varepsilon}{v_3^l}\exp(c_3^u-1). $

令$ \varepsilon\to 0 $得

$ \begin{align} \limsup\limits_{n\to +\infty}x_3(n)\leq\frac{d_3^u}{v_3^l}\exp(c_3^u-1)\triangleq M_3. \end{align} $

(3.7)

则对于上述$ \varepsilon >0, $存在$ N_{2}>N_{1}, N_{2}\in N, $对任意$ n>N_{2}, $都有

$ \begin{align} x_{3}(n)\leq M_{3}+\varepsilon. \end{align} $

(3.8)

所以

$ \begin{align} x_1(n+1)\geq x_1(n)\exp\left\{a_0(n)-b_0(n)x_1(n)-\frac{v_0(n)}{d_0(n)}\varepsilon\right\}. \end{align} $

(3.9)

因为$ \varepsilon $足够小, 所以$ a_0(n)-\frac{v_0(n)}{d_0(n)}\varepsilon $仍为正序列.则由引理2.2知

$ \liminf\limits_{n\to +\infty}x_1(n)\geq \min\left\{\frac{a_0^l-\frac{v_0^u}{d_0^l}\varepsilon}{b_0^u} \exp(a_0^l-\frac{v_0^u}{d_0^l}\varepsilon-b_0^uM_1), \frac{a_0^l-\frac{v_0^u}{d_0^l}\varepsilon}{b_0^u}\right\}. $

令$ \varepsilon\to 0 $得

$ \begin{align} \liminf\limits_{n\to +\infty}x_1(n)\geq \min\left\{\frac{a_0^l}{b_0^u}\exp(a_0^l-b_0^uM_1), \frac{a_0^l}{b_0^u}\right\}\triangleq m_1. \end{align} $

(3.10)

由系统(1.1)的第三个方程得

$ \begin{align} x_3(n+1)\geq x_3(n)\exp\left\{c_3(n)-\frac{v_3(n)}{d_3(n)}x_3(n)\right\}. \end{align} $

(3.11)

由引理2.2知

$ \begin{align} \liminf\limits_{n\to +\infty}x_3(n)\geq \min\left\{\frac{d_3^l c_3^l}{v_3^u}\exp\left\{c_3^l-\frac{v_3^u}{d_3^l}M_3\right\}, \frac{d_3^l c_3^l}{v_3^u}\right\}\triangleq m_3. \end{align} $

(3.12)

下证$ M_1>m_1 $.

(1) 当$ a_0^l-b_0^u M_1\geq 0 $时, $ m_1 = \frac{a_0^l}{b_0^u}, $此时$ M_1 = \frac{\exp(a_0^u-1)}{b_0^l}\geq\frac{a_0^u}{b_0^l}. $这里用到$ \exp(x-1)\geq x $ $ (x>0) $.又因为$ \left\{a_0(n)\right\}\left\{b_0(n)\right\} $为连续的有正的上下界的序列, 所以$ a_0^u>a_0^l, \; \; b_0^u>b_0^l, $即

$ M_1 = \frac{\exp(a_0^u-1)}{b_0^l}\geq\frac{a_0^u}{b_0^l}>\frac{a_0^l}{b_0^u} = m_1. $

(2) 当$ a_0^l-b_0^uM_1<0 $, 即$ M_1>\frac{a_0^l}{b_0^u} $时,

$ m_1 = \frac{a_0^l}{b_0^u}\exp(a_0^l-b_0^uM_1), $

此时$ M_1\exp(b_0^uM_1-a_0^l)>\frac{a_0^l}{b_0^u}, $即

$ M_1>\frac{a_0^l}{b_0^u}\exp(a_0^l-b_0^uM_1) = m_1, $

这里用到当$ x>\frac{a}{b} $时, $ x\exp(bx-a)>\frac{a}{b}\; (a>0, \; b>0). $

综上所述$ M_1>m_1, $同理可以证明$ M_3>m_3. $定理3.1证毕.

定理3.2   假设$ ({\hbox{H}}_1) $成立, 且

$ \lambda_1 = \max\left\{|1-b_0^uM_1|, |1-b_0^lm_1|\right\}<1, \; \; \lambda_2 = \max\left\{\left|1-\frac{v_3^u}{d_3^l}M_3\right|, \left|1-\frac{v_3^l}{d_3^u}m_3\right|\right\}<1. $

则系统(1.1)是全局吸引的.

证   设$ (x_1(n), x_2(n), x_3(n))^T $, $ (\bar{x}_1(n), \bar{x}_2(n), \bar{x}_3(n))^T $为系统(1.1)的任意两个正解.因为$ v_1^u-a_1^l<0 $, 由定理3.1知$ \lim\limits_{n\to +\infty}x_2(n) = 0, $则$ \lim\limits_{n\to +\infty}(x_2(n)-\bar{x}_2(n)) = 0. $所以对于上述的$ \varepsilon >0, $存在$ N_{3}>N_{2}, N_3\in N, $对于任意的$ n>N_{3}, $都有

$ \begin{eqnarray} && m_1-\varepsilon\leq x_{1}(n)\leq M_{1}+\varepsilon, |x_2(n)-\bar{x}_2(n)|\leq\varepsilon, \; \; m_3-\varepsilon\leq x_{3}(n)\leq M_{3}+\varepsilon, \\ && \lambda_{1\varepsilon} = \max\left\{|1-b_0^u(M_1+\varepsilon)|, |1-b_0^l(m_1-\varepsilon)|\right\}<1, \\ &&\lambda_{2\varepsilon} = \max\left\{\left|1-\frac{v_3^u}{d_3^l}(M_3+\varepsilon)\right|, \left|1-\frac{v_3^l}{d_3^u}(m_3-\varepsilon)\right|\right\}<1. \end{eqnarray} $

(3.13)

令$ u(n) = \ln x_1(n)-\ln \bar x_1(n) $.当$ n>N_3 $时, 有

$ \begin{eqnarray} |u(n+1)|& = &\left|\ln x_1(n+1)-\ln \bar{x}_1(n+1)\right|\\ &\leq& \left|\ln x_1(n)-\ln \bar{x}_1(n)-b_0(n)(x_1(n)-\bar{x}_1(n))\right|\\ &&+v_0(n)\left|\frac{x_2(n)-\bar x_2(n)}{d_0(n)+x_1(n)}\right|+ v_0(n)\bar x_2(n)\left|\frac{x_1(n)-\bar x_1(n)}{(d_0(n)+x_1(n))(d_0(n)+\bar x_1(n))}\right|\\ &\leq& \left|\ln x_1(n)-\ln \bar{x}_1(n)-b_0(n)(x_1(n)-\bar{x}_1(n))\right|\\ &&+\frac{v_0(n)}{d_0(n)+m_1-\varepsilon}\left|x_2(n)-\bar{x}_2(n)\right| +v_0(n)\varepsilon\left|\frac{x_1(n)-\bar{x}_1(n)}{(d_0(n)+m_1-\varepsilon)^2}\right|\\ &\leq&\left|\ln x_1(n)-\ln \bar{x}_1(n)-b_0(n)(x_1(n)-\bar{x}_1(n))\right|\\ &&+\left|\frac{v_0^u}{d_0^l+m_1-\varepsilon}+ \frac{2v_0^u(M_1+\varepsilon)}{(d_0^l+m_1-\varepsilon)^2}\right|\varepsilon. \end{eqnarray} $

(3.14)

又因为$ x_1(n)-\bar{x}_1(n) = \xi_1(n)(\ln x_1(n)-\ln \bar{x}_1(n)), $其中$ \xi_1(n) $介于$ x_1(n) $和$ \bar x_1(n) $之间.

当$ n>N_3 $时, 有$ m_1-\varepsilon\leq \xi_1(n)\leq M_1+\varepsilon. $则由(3.13), (3.14)式知

$ \begin{eqnarray} \left|u(n+1)\right|&\leq&\left|(1-b_0(n)\xi_1(n))(\ln x_1(n)-\ln \bar{x}_1(n))\right|\\ &&+\left|\frac{v_0^u}{d_0^l+m_1-\varepsilon}+ \frac{2v_0^u(M_1+\varepsilon)}{(d_0^l+m_1-\varepsilon)^2}\right|\varepsilon\\ &\leq & \max\left\{|1-b_0^u(M_1+\varepsilon)|, |1-b_0^l(m_1-\varepsilon)|\right\}|u(n)|\\ &&+\left|\frac{v_0^u}{d_0^l+m_1-\varepsilon}+ \frac{2v_0^u(M_1+\varepsilon)}{(d_0^l+m_1-\varepsilon)^2}\right|\varepsilon\\ &\leq & \lambda_{1\varepsilon}|u(n)|+\left|\frac{v_0^u}{d_0^l+m_1-\varepsilon}+ \frac{2v_0^u(M_1+\varepsilon)}{(d_0^l+m_1-\varepsilon)^2}\right|\varepsilon. \end{eqnarray} $

(3.15)

令$ \varepsilon\to 0 $得$ |u(n+1)|\leq \lambda_1|u(n)|. $因此$ |u(n+1)|\leq \lambda_1^{n+1-N_3}|u(N_3)|, $所以

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\to + \infty}(x_1(n)-\bar{x}_1(n)) = 0. \end{equation} $

(3.16)

令$ v(n) = \ln x_3(n)-\ln \bar{x}_3(n) $.

当$ n>N_3 $时, 有

$ \begin{eqnarray} |v(n+1)|& = &|\ln x_3(n+1)-\ln \bar{x}_3(n+1)|\\ & = & |\ln x_3(n)-\ln\bar{x}_3(n)\\ &&-v_3(n)[\frac{x_3(n)-\bar x_3(n)}{d_3(n)+x_2(n)}+\bar{x}_3(n)\frac{\bar{x}_2(n)- x_2(n)}{(d_3(n)+x_2(n))(d_3(n)+\bar{x}_2(n))}]|\\ &\leq& |\ln x_3(n)-\ln\bar{x}_3(n)-\frac{v_3(n)}{d_3(n)+x_2(n)}(x_3(n)-\bar{x}_3(n))|\\ &&+\frac{{v}_3^u(M_3+\varepsilon)}{(d_3^l)^2}|x_2(n)-\bar x_2(n)|. \end{eqnarray} $

(3.17)

又因为$ x_3(n)-\bar{x}_3(n) = \xi_3(n)(\ln x_3(n)-\ln \bar{x}_3(n)) $, 其中$ \xi_3(n) $介于$ x_3(n) $与$ \bar x_3(n) $之间.当$ n>N_3 $时, 有$ m_3-\varepsilon\leq \xi_3(n)\leq M_3+\varepsilon. $由(3.17)式知

$ \begin{array}{rcl} |v(n+1)|&\leq& \left|\left(1-\frac{v_3(n)}{d_3(n)+x_2(n)}\xi_3(n)\right)|\ln x_3(n)-\ln \bar{x}_3(n)|\right| +\frac{{v}_3^u(M_3+\varepsilon)}{(d_3^l)^2}\varepsilon\\[15pt] &\leq&\max\left\{\left|1-\frac{v_3^u(M_3+\varepsilon)}{d_3^l}\right|, \left|1- \frac{v_3^l(m_3-\varepsilon)}{d_3^u}\right|\right\}|v(n)|+\frac{v_3^u(M_3+\varepsilon)}{(d_3^l)^2}\varepsilon\\[15pt] & = &\lambda_{2\varepsilon}|v(n)|+\frac{v_3^u(M_3+\varepsilon)}{(d_3^l)^2}\varepsilon. \end{array} $

(3.18)

令$ \varepsilon\to 0 $得$ |v(n+1)|\leq \lambda_2|v(n)|. $因此$ |v(n+1)|\leq\lambda_2^{n+1-N_3}|v(N_3 )|, $所以

$ \begin{align} \lim\limits_{n\to+\infty}(x_3(n)-\bar{x}_3(n)) = 0. \end{align} $

(3.19)

定理3.2证毕.

例4.1   考虑下面的系统

$ \left\{\begin{array}{ll} x_1(n+1) = x_1(n)\exp\left\{0.2(\cos^2(n+0.1)+1)-2(\sin^2n+1.5)x_1(n)-\frac{x_2(n)}{x_1(n)+2}\right\}, \\ x_2(n+1) = x_2(n)\exp\left\{-(\cos^2n+2)+\frac{0.5(\sin^2(n+5)+1)x_1(n)}{x_1(n)+2}-\frac{x_3(n)}{x_2(n)+2}\right\}, \\ x_3(n+1) = x_3(n)\exp\left\{0.5(\sin^2n+1)-\frac{0.01(\sin^2n+10)x_3(n)}{0.01(\cos^2n+10)+x_2(n)}\right\}. \end{array} \right. $

(4.1)

对应于系统(1.1), 计算可知

$ \begin{eqnarray*} && M_1\approx 0.1829, \; m_1\approx 0.0196, \; M_3\approx 1.100, m_3\approx 0.2235, \\ && v_1^u-a_1^l = -1<0, \\ && \lambda_1 = \max\left\{|1-b_0^uM_1|, |1-b_0^lm_1|\right\}\approx 0.9412<1, \\ && \lambda_2 = \max\left\{\left|1-\frac{v_3^u}{d_3^l}M_3\right|, \left|1-\frac{v_3^l}{d_3^u}m_3\right|\right\}\approx 0.7968<1. \end{eqnarray*} $

满足定理3.1和定理3.2的条件, 下面给出系统(4.1)的模拟图像.

本文研究了一类离散Leslie-Gower三维食物链模型, 首先运用差分不等式的有关结论得到:若(H$ _1) $成立, 则种群$ x_1, $ $ x_3 $持久$ x_2 $绝灭, 即当中级捕食者$ x_2 $的死亡率大于食饵$ \; x_1 $的人均减少率的最大值时, 高级捕食者$ x_3 $和食饵$ x_1 $持久生存, 而中级捕食者$ x_2 $将走向绝灭.其次, 通过采用文[14]的手法, 构造适当的差分Lyapunov函数, 得到了该系统全局吸引的充分性条件.文[2]研究了离散两种群Leslie-Gower模型的周期解和全局吸引性, 文[3]首次提出并研究了一类连续的三种群Leslie-Gower模型, 证明了该系统的有界性, 吸引集的存在性, 以及表示高级或中级捕食者灭绝的均衡的局部或全局稳定性.但文[17]指出, 文[3]中关于有界解和不变吸引集的结论是错误的.所以对于连续模型的动力学行为还有待进一步研究.本文是在文[3, 17]的基础上研究了离散三种群Leslie-Gower模型, 是对文[2]的补充和完善.最后, 数值模拟说明结论是可行的.