凸性条件无论是在数学还是经济、工程以及管理科学等领域, 都起着至关重要的作用.然而现实生活中大部分的实际问题却难以满足凸性假设, 因此广义凸性的研究就显得尤为必要. 1999年, Youness在文献[1]中给出了如下的E -凸集、E -凸函数的概念.

定义 1.1 ^[1] 称$M \subset {X}$为E -凸集, 如果存在映射$E:{X} \to {X}$, $\forall t \in [0, 1]$满足

$ tEx + (1 - t)Ey \in M, ~~\forall x, y \in M.$

定义 1.2 ^[1] 称$f:X \to R$为集合$M\subset {X}$上的E -凸函数, 如果存在映射$E:{X} \to {X}$, 使得$M$为E -凸集, 且$\forall t \in [0, 1]$有

$ f(tEx + (1 - t)Ey)\leq tf(Ex)+(1-t)f(Ey), ~~(\forall x, y \in M ).$

注 1.1 如果没有特别说明, 本文假设$X$代表赋范线性空间, $X^*$为其对偶空间, 集合$M\subset X$均为开集.为了写作方便, 本文中将$E(x)$都简写为$Ex$.当$E=I~(\text{单位映射})$时, 定义1.1、定义1.2分别退化为文献[2]中凸集、凸函数的定义.

Youness在文献[1]中对E -凸函数性质进行了初步探索, Yang ^[3]和Chen ^[4]举例说明了文献[1]中定理4.2、定理4.3、定理4.6是错误的.最近, Youness在文献[5]中研究了如下带不等式约束的E -凸规划数学模型, 简记为(COP)$_E$:

$ \begin{align} &{\hbox{min}}~f(Ex) \\ &{\hbox{s.t.}}~~ S=\{x\in X|g_i(Ex)\leq 0, i=1, 2, \cdots, m\}, \end{align} $

其中$f, g_i:{X} \to {R}~ (i=1, 2, \cdots, m)$都是${X}$上的E -凸函数.

在文献[5]中, Youness给出了多目标E -凸规划问题有效解的性质刻画.众所周知, 在凸优化问题的研究中, 次微分是一种重要的研究工具, Rockafellar在文献[6]中给出了凸函数次梯度的定义.

定义 1.3 ^[6] 称$\xi\in X^*$为凸函数$f:X\to R$在$x\in X$处的次梯度, 如果

$ f(y)\geq f(x)+\left\langle \xi, y-x\right\rangle, ~\forall y\in X .$

$f$在$x$处的次梯度的全体称为$f$在$x$处的次微分, 记为$\partial f(x)$.

注 1.2  根据定义1.3, 对任意$y\in X$, 显然有

$ \xi\in \partial f(x)\Leftrightarrow f(y)\geq f(x)+\left\langle \xi, y-x\right\rangle.$

李成林等人在文献[7]中, 利用Clarke的思想给出了E -凸函数E -次微分的定义及其等价刻画.

定义 1.4 ^[7] 若$M$是${X}$中的E -凸集, $f:M \to {R}$且$x \in M \cap {\hbox{dom}}(f)$, 称${\xi} \in {X^*}$是$f$在$Ex$处的E -次梯度, 如果存在$\varepsilon > 0$, $\eta > 0$, 使得$\forall Ey \in B(Ex, \eta) \subset M, $有

$ f(Ey) \ge f(Ex) + \left\langle {\xi}, Ey - Ex \right\rangle - \varepsilon ||Ey - Ex|{|^2}.$

$f$在$Ex$处的E -次梯度的全体称为$f$在$Ex$处的E -次微分, 记为$\partial_E f(Ex)$.

定理 1.1 ^[7] 若$f$是E -凸集$M \subset {X}$上的E -凸函数, 则$\forall x, y \in M, $有

$ \xi \in \partial_E f(Ex) \Leftrightarrow f(Ey) \ge f(Ex) + \left\langle \xi , Ey - Ex \right\rangle.$

史树中在文献[2]中给出了函数的左、右方向导数及Gateaux可微的定义.

定义 1.5 ^[2] $f:X\to {R}$是实值函数, $x\in X, d\in X$,

(1) 如果$f'_+(x; d)=\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{f(x+td)-f(x)}{t}$存在, 就称其为函数$f$在$x$处沿方向$d$的右方向导数;

(2) 如果$f'_-(x; d)=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{f(x+td)-f(x)}{t}$存在, 就称其为函数$f$在$x$处沿方向$d$的左方向导数;

(3) 如果$f'_+(x, d)=f'_-(x, d)$, 即$\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+td)-f(x)}{t}$存在, 就称其为函数$f$在$x$处沿方向$d$的方向导数, 记作$f'(x, d)$.

定义 1.6 ^[2] 设$f:X\to {R} $是实值函数, $x\in X$, 若$f'(x; d)$对任意方向$d$都存在, 且存在$\delta\in X^*$使得$f'(x; d)=\left\langle\delta, d \right\rangle, \forall d\in X.$那么称$f$在$x$处Gateaux可微, 并称$\delta$为$f$在$x$处的Gateaux导数, 记作$\delta=\nabla f(x)$.

注 1.3  文献[8]中给出了这样的结论:若凸函数$f:X\to R$在$x\in X$处Gateaux可微, 则有$\partial f(x)=\{\nabla f(x)\}.$

姜艮等人在文献[9]中给出了E-Gateaux可微的定义.

定义 1.7 ^[9] 若$M$是赋范线性空间$X$中的E -凸集, $f:M \to {R}$是$M$上的E -凸函数且$x \in M \cap {\hbox{dom}}(f)$, 称$f$在$Ex$处E-Gateaux可微, 若有$\delta\in X^*$, 使得$f'(Ex; d)=\left\langle\delta, d \right\rangle, \forall d\in E(X).$若$f$在$Ex$处E-Gateaux可微, 并称$\delta$为$f$在$Ex$处的E-Gateaux导数, 记作$\delta=\nabla_E f(Ex)$.

在文献[9]中, 姜艮等人得到了如下的结论.

定理 1.2 ^[9] 若$X$是赋范线性空间, $M$是$X$上的E -凸集, $f:M \to {R}$是$M$上的E -凸函数且$x \in M \cap {\hbox{dom}}(f)$, 如果$f$在$Ex$处E-Gateaux可微, 则$\partial_E f(Ex)=\left\lbrace \nabla_E f(Ex)\right\rbrace $.

定理 1.3 ^[9] 若$x^*$是(COP)$_E$的解, 如果$f$在$Ex^*$处E-Gateaux可微, 则$\forall x\in S$, 则有$\left\langle\nabla_E f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\geq0.$

定理1.2和定理1.3是文献[9]的基础性定理, 文献[9]中的其他结论都是基于这两个结论建立的, 本文将举例说明这两个结论都是不正确的, 并进一步研究如下的E -凸规划问题

$ \begin{align*} ({\hbox{OP}})_E\left\lbrace \begin{array}{ll} {\hbox{min}}&~f(Ex), \\ {\hbox{s.t.}} &~ x\in M \end{array}\right. \end{align*} $

在Gateaux可微条件下最优解集的性质定理及最优解集等价刻画, 其中$f:M \to R$是E -凸函数.

在定理1.2的证明中有

$ \begin{equation}\label{zengjia2.1} \left\langle\nabla_E f(Ex), Ez \right\rangle\geq\left\langle \xi, Ez \right\rangle, \text{由}Ez\text{的任意性知}\Longrightarrow\xi=\nabla_E f(Ex). \end{equation}$

(2.1)

式(2.1)显然是错误的, 因为$Ez$只能取遍$E(M)$, 不一定能取遍全空间$X$.下面例2.1说明式(2.1)是错误的.

例 2.1  令$X=R^2, M=\{(x, y):0< x< 1, 0< y<1\}$, 映射$E:X \to X$定义如下:

$ E(x, y)=\left\lbrace \begin{array}{ll} (y, y), &0\leq x\leq y, \\ (1, y), &x>y , \\ (0, 0), &x\leq y<0\text{ 或 }x\leq 0\leq y. \end{array}\right.$

函数$f:X\to R$定义为$f(x, y)=c~(\text{常数})$.容易验证$M$为E -凸集, $f$为$M$上的E -凸函数. $\forall \lambda\in R$, 有$d=(1, \lambda)\in E(X)$.令$z_1=(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$, 则$Ez_1=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.对$z =(x, y)\in M$, 下面利用定理1.1和定义1.7分别求出$\partial_E f(Ez_1)$和$\nabla_E f(Ez)$.先计算$\partial_E f(Ez_1)$, 这里分2种情况讨论.

情形 1  当$x\leq y$时, 则$Ez=(y, y)$, 设$\xi=(\xi_1, \xi_2)$, 由定理1.1, 要使得$\xi\in \partial_E f(Ez_1)$, $\xi$必须满足

$ \begin{equation}\label{lizishi1} f(Ez)\geq f(Ez_1)+\left\langle \xi, Ez-Ez_1\right\rangle . \end{equation}$

(2.2)

从而有

$ c\geq c+(\xi_1+\xi_2)(y-\frac{1}{2}). $

由$y\in (0, 1)$的任意性, 可以得到

$ \begin{equation}\label{lizishi2} \xi_1+\xi_2=0. \end{equation}$

(2.3)

情形 2  当$x>y$时, 则$Ez=(1, y)$, 设$\xi=(\xi_1, \xi_2)$, 由定理1.1, 要使得$\xi\in \partial_E f(Ez_1)$, $\xi$必须满足式(2.2), 于是有

$ \begin{equation}\label{lizishi3} \frac{1}{2}\xi_1+\xi_2(y-\frac{1}{2})\leq 0. \end{equation}$

(2.4)

结合式(2.3)和式(2.4)可求得满足式(2.2)的$\xi$必须满足下面的条件:

$ (y-1)\xi_2\leq 0.$

又因为$y\in (0, 1)$, 所以$\xi\in \partial_E f(Ez_1)$必须满足$\xi_2\geq 0$且$\xi_1+\xi_2=0$.故

$ \begin{equation}\label{lizishi4} \partial_E f(Ez_1)=\{\xi=(\xi_1, \xi_2):\xi_2\geq 0, \xi_1+\xi_2=0\}. \end{equation}$

(2.5)

再计算$\nabla_E f(Ez_1)$.根据定义1.7, 设$\delta=(\delta_1, \delta_2)$, 要使$\delta= \nabla_E f(Ez_1)$, 必须满足下面的条件:

$ f'(Ez_1;d)=\left\langle \delta, d\right\rangle , $

即$0=\delta_1+\delta_2\lambda, ~~\forall \lambda\in R.$所以$\delta=(0, 0)$, 故

$ \begin{equation}\label{lizishi5} \nabla_E f(Ez_1)=(0, 0). \end{equation}$

(2.6)

由式(2.5)和式(2.6)知$\{\nabla_E f(Ez_1)\}\neq\partial_E f(Ez_1)$.

在定理1.2的证明中使用了如下语句

$ \begin{equation}\label{zengjia2.2} \text{因为}f\text{在}Ex\text{处E-Gateaux可微}\Longrightarrow f'(Ex;Ey-Ex)=\left\langle \nabla_E f(Ex), Ey-Ex\right\rangle . \end{equation}$

(2.7)

并由式(2.7)证得$\nabla_E f(Ex)\in\partial_E f(Ex)$, 但是式(2.7)是错误的, 其原因在于$Ey-Ex\in E(X)$一般不成立.下面例2.2说明式(2.7)是不正确的.

例 2.2  令$X=R^2, M=\{(x, y):-1< x< 3, -1< y<3\}$, 函数$f:X\to R$, 映射$E:X \to X$分别定义如下:

$ \begin{align} &f(x, y)=\left\lbrace \begin{array}{ll} x(x-2), &y\neq 0, \\ x(x-2), &y=0~\text{且}~x<0, \\ 0, &y=0~\text{且}~0\leq x\leq 2 , \\ (x-2)^2, &y=0~\text{且}~x>2 ; \end{array}\right. \\ &E(x, y)=\left\lbrace \begin{array}{ll} (0, y), &0\leq x\leq y~\text{或}~x<0\leq y, \\ (0, 0), &x\leq 0~\text{且}~y\leq 0, \\ (x, 0), &0<x\leq 2~\text{且}~x>y, \\ (2, 0), &x>2~\text{且}~x>y. \end{array}\right. \end{align} $

容易验证$M$为E凸集, $f$为$M$上的E凸函数, $d=(2, 0)\text{或}d=(0, \lambda), ~(\lambda\in R_+)$为$E(X)$中的任意方向.这里特别取$z_1=(2, 1)$, 则$Ez_1=(2, 0)$, 显然可得$f$在$Ez_1$处E-Gateaux可微且$\nabla_E f(Ez_1)=(0, 0)$.令$z_2=(1, 2)$, 则$Ez_2=(0, 2)$, 此时$Ez_2-Ez_1=(-2, 2)\notin E(X), $而

$ \begin{align*}\left\langle \nabla_E f(Ez_1), Ez_2-Ez_1\right\rangle =&0, \\ f(Ez_1;Ez_2-Ez_1)=&\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((2, 0)+t(-2, 2))-f(2, 0)}{t}\\ =&\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(2-2t, 2t)-f(2, 0)}{t}\\ =&\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2-2t)(-2t)}{t}\\ =&-4. \end{align*} $

显然$f'(Ez_1;Ez_2-Ez_1)\neq\left\langle \nabla_E f(Ez_1), Ez_2-E_1\right\rangle $.

定理1.2可以被纠正为如下的结论.

定理 2.1 $X$是赋范线性空间, $M$是$X$上的E -凸集, $f:M \to {R}$是$M$上的E -凸函数且$x \in M \cap {\rm dom}(f)$, 如果$f$在$Ex$处Gateaux可微, 则$\nabla f(Ex)\in \partial_E f(Ex) $.

证  因为$f$在$Ex$处Gateaux可微, 由定义1.6, 则有

$ \begin{equation}\label{shzi2.2} f'(Ex;Ey - Ex )=\left\langle\nabla f(Ex) , Ey - Ex\right\rangle, ~\forall y\in M. \end{equation}$

(2.8)

又因为$f:M \to {R}$是$M$上的E -凸函数, 则有

$ f((1-t)Ex+tEy)\leq (1-t)f(Ex)+tf(Ey), ~~\forall t\in (0, 1], $

即

$ \frac{f(Ex+t(Ey - Ex))-f(Ex)}{t}\leq f(Ey) - f(Ex) .$

在上式中取$t\to 0^+$, 则有

$ \begin{equation}\label{shzi2.3} f'(Ex;Ey - Ex )\leq f(Ey) - f(Ex) . \end{equation}$

(2.9)

于是由式(2.8)和式(2.9)知

$ \begin{equation} \left\langle \nabla f(Ex) , Ey - Ex \right\rangle \leq f(Ey) - f(Ex) , ~\forall y\in M. \end{equation}$

(2.10)

由定理1.1, 故$\nabla f(Ex)\in \partial_E f(Ex)$.

注 2.1  若$f$在$Ex$处Gateaux可微, $\partial_E f(Ex)= \{\nabla f(Ex)\}$不一定成立.在例2.1中, 函数$f$在$Ez_1=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$处Gateaux可微, 且$\nabla f(Ez_1)=(0, 0)$, 但是$f$在$Ez_1$处的E -次微分是

$ \partial_E f(Ez_1)=\{\xi=(\xi_1, \xi_2):\xi_2\geq 0, \xi_1+\xi_2=0\}.$

在定理1.3的证明中存在: $x^*$是$({\rm COP})_E$的解, 则对$t\in [0, 1]$, 有

$ f(Ex^*+t(Ex-Ex^*))-f(Ex^*)\geq0. $

该结论是不正确的, 其原因是这里并未能保证$Ex^*+t(Ex-Ex^*)\in E(S)$.下面的例2.2说明定理1.3是错误的.

例 2.3  令$X=R$, 函数$f, g:X\to R$, 映射$E:X\to X$分别定义为

$ \begin{align*} &f(x)=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}, \\ &g(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} 0, &x\leq 1\text{ 或 }x\geq 2, \\ -x+1, &1<x\leq\frac{3}{2}, \\ x-2, &\frac{3}{2}<x<2, \end{array}\right.\\ &E(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} x, &1<x<2, \\ 1, &x\leq1, \\ 2, &x\geq2. \end{array}\right. \end{align*} $

这里E -凸规划问题(COP)$_E$为

$ \begin{align*} &{\hbox{min}}~f(Ex), \\ &{\hbox{s.t.}}~~~ g(Ex)= 0. \end{align*} $

容易验证函数$f, g$都是$X$上的E -凸函数, $E(X)$中的方向只有$d=1$, 且可求得(COP)$_E$问题可行域$S=\{x\in R:x\leq 1\text{或}x\geq 2\}.$经验证$x=1$或$x=2$为(COP)$_E$问题的最优解.这里特别取$x^*=2$为(COP)$_E$问题的一个最优解, 根据定义1.7可以求得$\nabla_E f(Ex^*)=1.$但是存在点$x=1$, 则$Ex=1$, 使得$\left\langle \nabla_E f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle =1\times (1-2)=-1<0.$从而知定理1.3的结论不一定成立.

文献[10]中介绍了可行方向锥的概念, 这里给出E -可行方向锥的概念.

定义 2.1  集合$M\subset X$为E -凸集, $x\in M$, 记$Ex$处的E -可行方向锥为

$ D(Ex)=\{d\in X:d\neq 0, \exists \beta>0, \forall \alpha\in (0, \beta), \text{ 有 } Ex+\alpha d\in E(M)\}.$

将定理1.3纠正为如下的定理.

定理 2.2  若$x^*$是(OP)$_E$的解, $f$在$Ex^*$处Gateaux可微, 且对$ x\in M$, 有$Ex-Ex^*\in D(Ex^*)$, 则$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\geq0.$

证  因为$x^*$是(OP)$_E$的解, $Ex-Ex^*\in D(Ex^*)$, 则存在$\beta>0$, 使得$\forall t\in (0, \beta)$, 有$Ex^*+t (Ex-Ex^*)\in E(M)$且$f(Ex^*+t(Ex-Ex^*))-f(Ex^*)\geq0.$又因为$f$在$Ex^*$处Gateaux可微, 则有

$ \begin{align*} \left\langle\nabla f(Ex^*) , Ex - Ex^*\right\rangle&=f'(Ex^*;Ex - Ex^*)\\ &=\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{f(Ex^*+t(Ex-Ex^*))-f(Ex^*)}{t}\geq0. \end{align*} $

即$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\geq0 $.

用下面的例子来说明定理2.2的合理性.

例 2.4  这里取$M=R$, 函数$f$与映射$E$分别定义如下

$ \begin{align*} &f(x)=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}, \\ &E(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} x, &x\leq 1\text{或}x\geq 2, \\ 0, &1<x<{2}.\\ \end{array}\right. \end{align*} $

易知$x=1$或者$x=2$为(OP)$_E$的最优解, 下面讨论$x^*$分别取$1$和$2$时的情况.

情形 1  当$x^*=1$时, 则$Ex^*=1$, $f$在$Ex^*=1$处Gateaux可微且$\nabla f(Ex^*)=-1$, 此时可求得$f$在$Ex^*$处的可行方向锥为$D(Ex^*)=\{d\in X:d<0\}.$当$x<2$且$x\neq1$时, 有$Ex-Ex^*\in D(Ex^*)$, 因此$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\geq0.$

情形 2  当$x^*=2$时, 则$Ex^*=2$, $f$在$Ex^*=2$处Gateaux可微且$\nabla f(Ex^*)=1$, 此时可求得$f$在$Ex^*$处的可行方向锥为$D(Ex^*)=\{d\in X:d>0\}.$当$x>2$时, 有$Ex-Ex^*\in D(Ex^*)$, 因此$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\geq0.$

下面给出E -凸规划问题(OP)$_E$的一个性质定理.

定理 2.3  若$f:M\to {R}$上E -凸函数, $\overline{S}$为(OP)$_E$规划的最优解集, $x^*\in \overline{S}$且满足$f$在$Ex^*$处Gateaux可微且$\forall z\in M\text{都有}Ez-Ex^*\in D(Ex^*)$, 则$\nabla f(Ex^*)\in \bigcap\limits_{x\in \overline{S}}\partial_E f(Ex).$

证  因为$f$在$Ex^*$处Gateaux可微, 由定理2.1可得$\nabla f(Ex^*)\in \partial_E f(Ex^*).$又由定理2.2, 有

$ f(Ez) - f(Ex^*) \geq\left\langle \nabla f(Ex^*), Ez - Ex^* \right\rangle\geq0, ~\forall z\in M.$

取$z=x$, 则$\left\langle \nabla f(Ex^*), Ex - Ex^* \right\rangle=0, $由上式知, $\forall y\in M$, 有

$ \begin{align*} f(Ey) - f(Ex)&=f(Ey) - f(Ex^*)\\ &\geq\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex^* \right\rangle\\ &=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex \right\rangle. \end{align*} $

由定理1.1可得$\nabla f(Ex^*)\in \partial_E f(Ex).$因此$\nabla f(Ex^*)\in \bigcap\limits_{x\in \overline{S}}\partial_E f(Ex).$

定理 2.4  若$M$是赋范线性空间$X$中的E -凸集, 且$f:M \to {R}$是$M$上的E -凸函数, 则$(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(5)$, 其中(1), (2), (3), (4), (5)的定义分别为

(1) 存在$\xi_1\in \partial_E f(Ex)$, $\xi_2\in \partial_E f(Ey)$, 满足$\left\langle\xi_1, Ex - Ey\right\rangle=0, \left\langle\xi_2, Ex - Ey\right\rangle=0;$

(2) 存在$\xi_1\in \partial_E f(Ex)$, $\xi_2\in \partial_E f(Ey)$, 满足$\left\langle\xi_1-\xi_2, Ex - Ey\right\rangle\leq0;$

(3) $\partial_E f(Ex)\cap \partial_E f(Ey)\neq\phi; $

(4) 存在$\xi_1\in \partial_E f(Ex)$, $\xi_2\in \partial_E f(Ey)$, 满足

$ \{d\in X:\left\langle \xi_1, d\right\rangle\geq0 \}=\{d\in X:\left\langle \xi_2, d\right\rangle\geq0 \};$

(5) 存在$\xi_1\in \partial_E f(Ex)$, $\xi_2\in \partial_E f(Ey)$, 满足

$ \begin{eqnarray}&& \left\langle\xi_1 , Ex - Ey\right\rangle\geq0\Leftrightarrow\left\langle\xi_2 , Ex - Ey\right\rangle\geq0;\\ && \left\langle\xi_1 , Ey - Ex\right\rangle\geq0\Leftrightarrow\left\langle\xi_2 , Ey - Ex\right\rangle\geq0.\end{eqnarray}$

进一步, 若$x, y$是$(OP)_E$的解, $f$在点$Ex, Ey$处Gateaux可微且$Ex-Ey\in D(Ey), Ey-Ex\in D(Ex)$, 则$(5)\Rightarrow(1)$.

证   $(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)$可以参见文献[9]的定理2.3, 这里$(4)\Rightarrow(5)$直接取$d=Ex-Ey$即可.下证$(5)\Rightarrow(1)$.

因为$f$在$Ex, Ey$处Gateaux可微且$Ex-Ey\in D(Ey), Ey-Ex\in D(Ex)$, 根据定理2.2有

$ \begin{equation}\label{shizi2.4} \left\langle\nabla f(Ex), Ey-Ex\right\rangle\geq0, \left\langle\nabla f(Ey), Ex-Ey\right\rangle\geq0. \end{equation}$

(2.11)

又因为$x, y$是$({\rm OP})_E$的解, 再由定理1.1和定理2.1, 则

$ \begin{equation}\label{shizi2.5} \left\langle\nabla f(Ex), Ey-Ex\right\rangle\leq f(Ey)-f(Ex)=0, \end{equation}$

(2.12)

$ \begin{equation}\label{shizi2.6} \left\langle\nabla f(Ey), Ex-Ey\right\rangle\leq f(Ex)-f(Ey)=0. \end{equation}$

(2.13)

由式(2.11)-(2.13)可知, 这里取$\xi_1=\nabla f(Ex)$, $\xi_2=\nabla f(Ey)$即满足(1).

最后给出E -凸规划问题(OP)$_E$最优解集的几种等价刻画.

定理 2.5  若$f:M\to {R}$上E -凸函数, $\overline{S}$为(OP)$_E$规划的最优解集, $x^*\in \overline{S}$且满足$f$在$Ex^*$处Gateaux可微且$\forall z\in M\text{都有}Ez-Ex^*\in D(Ex^*)$, 定义

$ M^*=\{x\in M:\exists\xi\in \partial_E f(Ex) ~{\hbox{s.t.}} ~\{d\in X:\left\langle \xi, d\right\rangle\geq0 \}=\{d\in X:\left\langle \nabla f(Ex), d\right\rangle\geq0 \}\}, $

则$\overline{S}=S_1=S_2=S_3=S_4=S_5$, 其中

$ \begin{eqnarray}&& S_1=\{x\in M:\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle =0, \nabla f(Ex^*)\in\partial_E f(Ex)\};\\ && S_2=\{x\in M^*:\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle =0\};\\ && S_3=\{x\in M:\exists\xi\in \partial_E f(Ex)~{\hbox{s.t.}} ~\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle=0\};\\ && S_4=\{x\in M:\exists\xi\in \partial_E f(Ex)~{\hbox{s.t.}} ~\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle=0\};\\ && S_5=\{x\in M:\exists\xi\in \partial_E f(Ex)~{\hbox{s.t.}} ~\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\leq0\}.\end{eqnarray}$

证  首先证明$S_3=S_4=S_5$.根据定义, $S_3 \Rightarrow S_4\Rightarrow S_5$显然成立.

下证$S_5\subset S_3$, 若$x\in S_5$, 存在$ \xi\in \partial_E f(Ex)$使得$\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\leq0$由定理1.1, 定理2.1和定理2.2, 有

$ 0\geq\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\geq f(Ex)-f(Ex^*)\geq\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle\geq0, $

所以$S_5 \subset S_3$, 故

$ \begin{equation}\label{shizi2.12} S_3 = S_4=S_5. \end{equation}$

(2.14)

下证$S_1\subset S_2\subset S_3\subset S_1$. $\forall x \in S_1$, 有

$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle =0, \nabla f(Ex^*)\in\partial_E f(Ex).$

取$\xi=\nabla f(Ex^*)\in\partial_E f(Ex)$, 则

$ \{d\in X: \left\langle \xi, d\right\rangle\geq0 \}=\{d\in X:\left\langle \nabla f(Ex^*), d\right\rangle\geq0 \}, $

由$M^*$定义可得, $x\in M^*$, 因此

$ \begin{equation}\label{shizi2.13} S_1\subset S_2. \end{equation}$

(2.15)

$\forall x \in S_2$, 有$x\in M^*, $

$\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle =0=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex^*-Ex \right\rangle , $

由$M^*$的定义则存在$\xi\in \partial_E f(Ex)$,

$ \begin{eqnarray}&& \{d\in X:\left\langle \xi, d\right\rangle\geq0 \}=\{d\in X:\left\langle \nabla f(Ex^*), d\right\rangle\geq0 \}, \\ && \left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle \geq0\Rightarrow\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\geq0, \\ && \left\langle\nabla f(Ex^*), Ex^*-Ex \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle\nabla f(Ex^*), Ex^*-Ex \right\rangle \geq0\Rightarrow\left\langle \xi, Ex^*-Ex\right\rangle\geq0, \end{eqnarray}$

所以$\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle=0$, 故

$ \begin{equation}\label{shizi2.14} S_2\subset S_3. \end{equation}$

(2.16)

$\forall x \in S_3$, 存在$\xi\in \partial_E f(Ex)$,

$\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^* \right\rangle=0.$

对任意的$y\in M$, 由定理1.1及定理2.1可得

$ \begin{align*} f(Ey)-f(Ex)&=f(Ey)-f(Ex^*)+f(Ex^*)-f(Ex)\\ &\geq\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex^*\right\rangle +\left\langle \xi, Ex^*-Ex\right\rangle\\ &=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex^*\right\rangle\\ &=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex\right\rangle+\left\langle\nabla f(Ex^*), Ex-Ex^*\right\rangle\\ &=\left\langle\nabla f(Ex^*), Ey-Ex\right\rangle. \end{align*} $

再根据定理1.1有

$ \nabla f(Ex^*)\in\partial_E f(Ex), $

故

$ \begin{equation}\label{shizi2.15} S_3\subset S_1. \end{equation}$

(2.17)

由式(2.15)-(2.17), 有

$ \begin{equation}\label{shizi2.16} S_1= S_2= S_3. \end{equation}$

(2.18)

再证$S_5\subset \overline{S}\subset S_4$.

设$x\in S_5$, 因为$x^*\in \overline{S}$, 所以

$ f(Ex)-f(Ex^*)\geq 0.$

又因为存在$\xi\in \partial_E f(Ex)$使得$\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\leq0$, 由定理1.1有

$ 0\geq\left\langle \xi, Ex-Ex^*\right\rangle\geq f(Ex)-f(Ex^*)\geq 0, $

所以

$ f(Ex)=f(Ex^*).$

因此$x\in \overline{S}$, 故

$ \begin{equation}\label{shizi2.17} S_5\subset \overline{S}. \end{equation}$

(2.19)

设$x\in \overline{S}$, 由定理2.3的证明可知

$ \nabla f(Ex^*)\in \partial_E f(Ex)~\text{且}\left\langle \nabla f(Ex^*), Ex - Ex^* \right\rangle=0.$

故

$ \begin{equation}\label{shizi2.18} \overline{S}\subset S_4. \end{equation}$

(2.20)

由式(2.19)和式(2.20), 有

$ \begin{equation}\label{shizi2.19} \overline{S}=S_4=S_5. \end{equation}$

(2.21)

综上, 根据式(2.14)、式(2.18)和式(2.21), 有

$ \overline{S}=S_1=S_2=S_3=S_4=S_5.$