研究产生自相似集的所有迭代函数系起源于图像压缩理论, 是分形几何中一个基础而又重要的问题^[1].

设${\mathcal F}=\{f_i=r_ix+b_i\}_{i=1}^N$是直线上一族满足相似压缩比$0 < |r_i| < 1$且$b_i\in {\mathbb R}$的自相似压缩映射.由文献[2]可知必存在直线上唯一非空紧集满足$ F=\bigcup\limits_{i=1}^Nf_i(F). $我们称$F$是由迭代函数系${\mathcal F}$产生的自相似集.

假定$\Phi=\{\phi_i\}_{i=1}^M$和$\Psi=\{\psi_j\}_{j=1}^N$是产生$F$的两个迭代函数系, 我们说$\Psi$是$\Phi$的一个迭代是指:对任意$1\le j\le N$, 存在$1\le i_1, \cdots, i_k\le M$, 满足$ \psi_j=\phi_{i_1}\circ \cdots\circ \phi_{i_k}$.设$\Phi$是产生$F$的一个迭代函数系, 我们称$\Phi$是$F$的最小生成迭代函数系若$F$的任意迭代函数系均可由其迭代产生.

丰德军等在文献[1]中首先研究了多种条件下一些直线自相似集的最小生成迭代函数系.对于高维情况, 讨论主要集中在满足开集条件或强分离条件的压缩比一致的自相似集^{[3, 4]}或几类特殊的高维自相似集^{[5, 6]}.此外, 邓国泰等^[7]研究了直线自相似集平移交仍为自相似集时的所有迭代函数系族等.

以上研究结果或多或少依赖于某种分离条件.文[8]首次讨论了一类具完全重叠结构自相似集的所有迭代函数系.该类自相似集压缩比一致且证明讨论情况众多, 较为复杂.本文拟推广文[8]中结论, 讨论一类压缩比非一致且具完全重叠结构自相似集的迭代函数系.证明主要依赖于该类自相似集的gap性质, 十分简洁.

考虑迭代函数系$\{f_i\}_{i=1}^3=\{ax, bx+a(1-b), bx+1-b\}$且$a, b$满足$ 0 < b\le a < \frac{1-2b}{1-b}$, 则$f_{13}=f_{21}$ (具完全重叠结构).设$E\subseteq {\mathbb R}$是由上述迭代函数系产生的自相似集, 则$E$不为$[0, 1]$区间.以下定理表明$\{f_1, f_2, f_3\}$是$E$的最小生成迭代函数系.

定理1.1  设$g(x)=\lambda x+b$满足$0 < |\lambda| < 1$且$b\in {\mathbb R}$.若$g(E)\subseteq E$, 则存在正整数$n$和$i_1, \cdots, i_n\in \{1, 2, 3\}$满足$g(x)=f_{i_1}\circ \cdots\circ f_{i_n}(x)$.

注  当$a=b$时, 文[8]中主要结果可看成上述定理的特殊情况.解释如下:文[8]中迭代函数系为$\{\rho x, \rho x+\rho, \rho x+1\}$, 其中$0 < \rho < \frac{3-\sqrt 5}{2}$.不妨设其吸引子为$F_\rho$.取$\rho$为$a$可知$E$是$F_a$的伸缩拷贝, 更具体地说$E=(1-a)F_\rho$, 获证.

首先需要如下引理和定义.

引理2.1  ^[6]设$\{g_i\}_{i=1}^m$是欧氏空间自相似集$F$的一个迭代函数系.更进一步, 假设对任意自相似压缩映射$f$满足$f(F)\subseteq F$, 均存在$i\in \{1, \cdots, m\}$, 使得$f(F)\subseteq g_i(F)$.设$h$是满足$h(F)\subseteq F$的一个相似压缩映射.则存在正整数$n$和$i_1, \cdots, i_n\in\{1, \cdots, m\}$, 使得$h(F)=g_{i_1}\circ \cdots\circ g_{i_n}(F)$.

定义2.2  称开区间$(a, b)$为集合$E$中的gap若$a, b\in E$且$(a, b)\cap E=\emptyset$.

定义2.3  设$i_1, \cdots, i_n\in \{1, 2, 3\}$, 定义$E_{i_1\cdots i_n}=f_{i_1}\circ \cdots\circ f_{i_n}(E)$.

定理1.1的证明  首先证明

$ \begin{equation}\label{exists} {\textrm{存在某}} i\in \{1, 2, 3\} {\textrm{使得}} g(E)\subseteq f_i(E). \end{equation} $

(2.1)

然后由引理2.1知存在正整数$n$和$i_1, \cdots, i_n\in \{1, 2, 3\}$满足$g(E)=f_{i_1}\circ \cdots\circ f_{i_n}(E)$.又$E$非对称, 故$g(x)=f_{i_1}\circ \cdots\circ f_{i_n}(x)$, 定理获证.

设$E$中最大gap长度为$A$, 则该gap位于$E_2$与$E_3$之间且$A=1-2b-a(1-b)$.

由$b\le a$知$E_1\cup E_2$中最大gap长度为$aA$ (见下图).

为证(2.1)式, 使用反证法:假定$g(E)\subseteq E$且对任意$i=1, 2, 3, $有$g(E)\not\subseteq f_i(E)$.由于$g(E)$中最大的gap长度小于$A$, 故$g(E)\subseteq E_1\cup E_2$.注意到$E_{13}=E_{21}$, 从而$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_1\cup E_2=(E_{11}\cup E_{12})\cup E_2$且$E_{11}\cup E_{12}$与$E_2$的距离为$aA$.由于$g(E_1\cup E_2)$最大的gap长度小于$aA$, 故$g(E_1\cup E_2)$是$E_{11}\cup E_{12}$或$E_2$的子集.下面分情况讨论.

(1) $g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{11}\cup E_{12}$.设$\rho_g$为自相似映射$g$的相似压缩比, 因为$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{11}\cup E_{12}=f_1(E_1\cup E_2)$, 故可得$|\rho _g|\leq a$.因为$E_1\cup E_2$不对称, 故若$|\rho _g|= a$, 则导致$g=f_1$, 与假设不符, 故有$|\rho _g| < a$.从而$g(E)$中最大的gap长度小于$aA$, 故$g(E)\subseteq E_{11} \cup E_{12}\subseteq E_1$, 矛盾.

(2) $g(E_1\cup E_2)\subseteq E_2$.下证$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{21}\cup E_{22}$或$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{23}$.

假设上述结论不成立, 则$g(E_1\cup E_2)$中最大gap的长度不小于$E_{21}\cup E_{22}$与$E_{23}$的距离, 即$|\rho_g|\cdot aA\ge bA$, 从而$|\rho_g|\ge \frac ba$.另一方面, 又由$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_2$知$|\rho_g|\cdot(b+a(1-b))\le b$, 从而$\frac ba(b+a(1-b))\le b$, 得$b(1-a)\le 0$, 矛盾.

下面分别讨论上述两种情况.

情况1  $g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{21}\cup E_{22}=f_2(E_1\cup E_2)$.由上式知$|\rho_g|\le b$.因为$E_1\cup E_2$不对称, 故若$|\rho _g|= b$, 则导致$g=f_2$, 与假设不符, 故有$|\rho _g| < b$.从而$g(E)$中最大gap长度小于$aA$, 故$g(E)\subseteq E_{11} \cup E_{12}\subseteq E_1$或$g(E)\subseteq E_2$, 矛盾.

情况2  $g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{23}$.下证$g(E_3)\subseteq E_{23}$.否则$g(E)$的最大gap长度不小于$bA$, 即$|\rho_g|\cdot A\ge bA$, 推出$|\rho_g|\ge b$.由$g(E_1\cup E_2)\subseteq E_{23}$知$|\rho_g|(b+a(1-b))\le b^2$.从而$b(b+a(1-b))\le b^2$, 矛盾.故$g(E)\subseteq E_{23}\subseteq E_2$, 矛盾.

由反证法, (2.1)式获证.