本文研究了多维空间Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程
解的$\ L^2$衰减估计.此处$ n$表示空间维数, $n \geq 2$, $ N \geq 2$正整数, $\delta, \gamma_l > 0$常数, $ u_0 \in H^{1+[\frac{n}{2}]}$, $ H^l (\mathbb{R}^n)$是一般的Sobolev空间.
BBM方程是Benjamin, Bona和$Mahony [1]在对流体动力学的物理研究中, 由Kortewey-deVries (Kdv)方程精炼而成.在描述非线性色散系统中小振幅长波的传播时, 需要考虑耗散机制, 由此产生了BBM-Burgers方程(1.1).如文献[1, 2]指出, 此方程中$\ \gamma_1 \sum\limits_{j=1}^n \partial_{x_j x_j} u$和$\ \gamma_2 \sum\limits_{j=1}^n \partial_{x_j}^4 u$有不同的物理背景, 称为粘性项和耗散项.关于此方程解的存在性和大时间状态得到了广泛的关注, 很多数学工作者对其作出了详细研究.
当$N=1$时, Schonbek [3]讨论了方程(1.1)解的存在性和$ u(x, t; \delta_1, \gamma_1)$当$\delta \rightarrow 0, \gamma_1 \rightarrow 0$时的收敛性.在文献[4]中, 赵等人得到了$N=2$时方程(1.1)解的存在性和收敛性.在文献[5]中, 王和张得到了$ N=2$, 空间维数$ 2 \leq n \leq 6$时解的整体存在性和衰减估计.在文献[6, 7]中, Kondo和Webler分别给出了一维和多维空间情况下$(1.1)$解的存在性和收敛性.本文中, 延续文[7]的结论, 在解整体存在的前提下, 研究解的衰减估计.
本文中, $\ C$表示一般常数, $\ L_p$为Lebesgue可测空间. $F(f)$或$\widehat{f}$代表函数$f(x)$的傅里叶变换, 且$F(f)=\displaystyle\int e^{-i x \xi} f(x)\, dx$. $F^{-1}(\widehat{f})$或$f$表示函数$\widehat{f}$的逆傅里叶变换.
本文安排如下, 在第二节中给出一些准备工作, 如方程(1.1)的解的存在性结论, 解的表达式等.第三节, 用能量估计、时频分解等工具给出解的衰减估计.
本文是在解的整体存在前提下做出的, 为了读者方便, 先列出文献[7]的结论.
定理2.1 若$\ u_0 \in H^{1+[\frac{n}{2}]}$, 则(1.1)式存在整体解$\ u \in C((0, \infty); H^s (\mathbb{R}^n)), s\geq 1+[\frac{n}{2}]$.对方程(1.1)的变量$\ x$作傅里叶变换, 得到
若令
则
下面分析$G$的衰减.
定理2.2 存在常数$C$, 有$\ \Vert{\partial_x^\alpha G}\Vert_{L_2} \leq C(1+t)^{-\frac{n}{4}- \frac{|\alpha|}{2}}$, $\Vert{\partial_x^\alpha H}\Vert_{L_2} \leq C(1+t)^{-\frac{n}{4}- \frac{|\alpha|}{2}}$.
证 由(2.1)式和Parseval等式, 得
由(2.1), (2.3)式和Parseval等式, 得
定理得证.
由能量积分, 可得下述定理.
定理3.1 若$\ u_0 \in H^{1+[\frac{n}{2}]}(\mathbb{R}^n)$, 可得$\ u \in H^1 (\mathbb{R}^n)$.
证 在(1.1)式两边同乘以$\ u$, 再关于变量$\ x \ $积分得
于是$\Vert{u}\Vert_{L_2}^2+ \delta \sum\limits _{j=1}^n \Vert{u_{x_j}}\Vert_{L_2}^2 \leq \Vert{u_0}\Vert_{L_2}^2+ \delta \sum\limits _{j=1}^n \Vert{\partial_{x_j} u_0}\Vert_{L_2}^2.$定理得证.
作光滑截断函数$\chi_0(\eta)= \begin{cases} 1, & \ {|\eta| \leq 1}\\ 0, & \ {|\eta| > 2}. \end{cases}$并令$\ \chi (t, \xi)=\chi_0 ((1+t)|\xi|^2).\ $定义时频算子$\ \chi (t, D)$, 它的特征$\ \chi (t, \xi).\ $令$\ u_L (x, t)=\chi (t, D) u(x, t)$, 则对$\ u_L (x, t)\ $有下述估计.
定理3.2 $\ u_0 \in L_1$, 有$\ \Vert{\partial_x^\alpha u_L (x, t)}\Vert_{L_2} \leq C(1+t)^{-\frac{n}{4}-\frac{|\alpha|}{2}}.$
证 由(2.2)式和Minkowski不等式, 得
由$\ u_0 \in L_1 \ $和定理2.2,
由定理3.1和(2.1)式, 得
由(3.2)-(3.4)式, 定理得证.
定理3.3 $\Vert u \Vert_{H^1 (\mathbb{R}^n)} \leq C(1+t)^{-\frac{n}{4}}.$
证 令$\ \eta (t) = \sqrt{\frac{\mu}{1+t}}$, $\mu > 0$待定.由Parseval等式,
同理
由(3.5), (3.6)和(3.1)式, 得
令$\ P=\Vert{u}\Vert_{L_2}^2+\delta \sum\limits_{j=1}^n \Vert{\partial_{x_j} u}\Vert_{L_2}^2$, 由定理3.2和(3.7)式, 得
令$\ a = \min(\gamma_1, \frac{\gamma_2}{\delta}) \mu > 0$, 则
取$\ a-\frac{n}{2} > 1$, 则$P(t) \leq C(1+t)^{-\frac{n}{2}}, $定理得证.
再由数学归纳法可得本文结论.
定理3.4 当$\ u_0 \in {L_1 \cap H^{1+[\frac{n}{2}]}} (\mathbb{R}^n)$, 有$\ \Vert{\partial_x^\alpha u}\Vert_{L_2} \leq C(1+t)^{-\frac{n}{4}-\frac{|\alpha|}{2}}.$
证 当$\ |\alpha| = 0$时, 由定理3.3可得.由(2.2)式和Minkowski不等式, 有
当$\ |\alpha|=1$时, 由定理2.2和定理3.3得
由(3.3), (3.8)和(3.9)式得, 当$\ |\alpha|=1$时, 定理成立.
假设当$\ |\alpha|=k$时, 定理成立.则当$\ |\alpha|=k+1$时, 不妨设$\ \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$且$\ \alpha_1 > 1$.令$\ \beta=(\alpha_1 -1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$, 则$\ |\beta|=k$, 且
由数学归纳法
由(3.3), (3.8)和(3.10)式, 定理得证.