本文所研究的环$R$都是有单位元1的结合环, 环同态都是保持单位元不变的.设$a\in R$是环$R$中一个元素, 称$a$是(von Neumann)正则的, 如果存在$b\in R$, 使得$a=aba$.如果还满足$ab=ba$, 则称$a$为强正则的.称$a$是弱正则的, 如果存在$r^{'}, r^{''}\in R$, 使得$a=ar^{'}ar^{''}$.称$a$是$\pi$ -正则的(强$\pi$ -正则的), 如果存在$b\in R$和正整数$n$使得$a^{n}=a^{n}ba^{n}$($a^{n}=a^{n+1}b$).称$a$是单式正则的, 如果存在一个可逆元$u\in R$使得$a=aua$.称一个环$R$是正则(强正则, 弱正则, $\pi$ -正则, 强$\pi$ -正则, 单式正则)环, 如果$R$中所有元素都是正则(强正则, 弱正则, $\pi$ -正则, 强$\pi$ -正则, 单式正则)元.显然正则环是弱正则环.众所周知, 一个环为局部环当且仅当对任意$a\in R$, $a$或$1-a$是可逆的.局部环是环理论中一类极其重要的环, 有大量的研究. Contessa^[1]拓展局部环的概念, 称一个环$R$是VNL (Von Neumann Local)环, 如果对任意$a\in R$, 都有$a$或$1-a$是正则的.VNL环是近年来环论研究的热点之一(参见文献[2-5]).此外, Chen^[6]称一个环$R$是几乎单式正则环, 如果对任意$a\in R$, 都有$a$或$1-a$是单式正则的; 称一个环$R$是几乎强正则环, 如果对任意$a\in R$, $a$或$1-a$是强正则的.

本文进一步拓展局部环的概念, 在弱正则环、$\pi$ -正则环、强$\pi$-正则环的基础上, 分别定义和研究几乎弱正则环、几乎$\pi$ -正则环、几乎强$\pi$ -正则环的性质.

定义2.1  称一个环是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环), 如果对任意$a\in R$, $a$或$1-a$是弱正则($\pi$ -正则, 强$\pi$ -正则)的.

由定义知, 弱正则环是几乎弱正则环, 局部环、几乎强正则环和VNL环都是几乎弱正则环.因此存在以下关系: {局部环}$\subseteq${几乎强正则环}$\subseteq$ {VNL环}$\subseteq$ {几乎弱正则环}.

另一方面, VNL环和$\pi$ -正则环都是几乎$\pi$ -正则环, 几乎强正则环和强$\pi$ -正则环都是几乎强$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环是几乎$\pi$ -正则环.在文献[7]中, 几乎$\pi$ -正则环和几乎强$\pi$ -正则环被称作局部$\pi$ -正则环和局部强$\pi$-正则环, 其中的命题3.2.16证明:在Abel环条件下, 几乎强$\pi$ -正则环与几乎$\pi$ -正则环是等价的.

下面的例子说明, 几乎弱正则环是弱正则环概念的真推广.

例2.2  设$\mathbb{Z}_{4}=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$是整数环模理想$(4)$的商环, 它是几乎弱正则环但不是弱正则环.事实上, $\bar{0}$, $\bar{1}$, $\bar{3}$都是正则元, $\bar{1}-\bar{2}$是正则元, 因此$Z_{4}$是几乎弱正则环.但$\bar{2}$不是弱正则的, 因此$Z_{4}$不是弱正则环.

称一个环$R$是双正则的, 如果$R$的每个主理想都是由一个中心幂等元生成的.由文献[8]中结论, 双正则环是弱正则环.下面的例子说明几乎弱正则环是VNL环概念的真推广, 几乎强$\pi$ -正则环是强$\pi$ -正则环的真推广.

例2.3  (1) ^[9]设$R$是VNL环但不是双正则环, $S$是双正则环但不是VNL环, 则$R\bigoplus S$是几乎弱正则环, 但它既不是VNL环也不是双正则环.

(2) ^[7]设$p$是任一素数, $R=Z_{p}=\{m/n; m, n\in Z, (n, p)=1\}$是$Z$在$P$处的局部化, 则$R$是局部环, 因此也是几乎强$\pi$ -正则环.但因为$p\in R$不是$R$的$\pi$ -正则元素, 所以$R$不是强$\pi$ -正则环.

下面的例子说明, 几乎$\pi$ -正则环是$\pi$ -正则环与VNL环概念的真推广.

例2.4  设$Z_{4}\bigoplus Z_{4}$.易证$(\bar{3}, \bar{2}), (\bar{1}, \bar{1})-(\bar{3}, \bar{2})$都不是正则的, 因此$R$不是VNL环.因为$R$是$\pi$ -正则环, 因此也是几乎$\pi$ -正则环.

例2.5  令$R=R_{1}\times R_{2}$, 其中$R_{1}$是$\pi$ -正则环但不是VNL环, $R_{2}$是VNL环但不是$\pi$ -正则环.显然$R$既不是$\pi$ -正则环也不是VNL环.但$R$是几乎$\pi$正则环.

证  因为对任意的$(a, b)\in R$, 其中$a\in R_{1}, b\in R_{2}$, 由$R_{2}$是VNL环, 则$b$或$1-b$是正则的.如果$b$正则的, 则$b$是$\pi$-正则的, 所以$(a, b)$是$\pi$ -正则元素.如果$1-b$正则的, 则$1-b$是$\pi$ -正则的, 所以$(1-a, 1-b)$是$\pi$ -正则元素.所以$(a, b)$或$(1-a, 1-b)$是$\pi$ -正则的.所以$R$是几乎$\pi$ -正则环, 但显然$R$既不是$\pi$ -正则环也不是VNL环.

下面举例说明几乎强$\pi$ -正则环是局部环和强$\pi$-正则环的真推广.

例2.6  $R=Z_{4}\times Z_{4}$是强$\pi$ -正则环, 因此也是几乎强$\pi$ -正则环.但$(0, 1)^{2}=(0, 1)$不是平凡的幂等元, 所以$R$不是局部环.

例2.7  令$R=C\times D$, 其中$C$是强$\pi$-正则环但不是几乎强正则环, $D$是几乎强正则环但不是强$\pi$-正则环.显然$R$既不是强$\pi$ -正则环也不是几乎强正则环.但$R$是几乎强$\pi$ -正则环.证明类似例2.5.

下面的例子说明几乎$\pi$ -正则环是几乎强$\pi$ -正则环的真推广.

例2.8  设$\mathbb{Z}_{6}=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}\}$是整数环模理想$(6)$的商环, 它是正则环.由文献[4, 定理2.3]知$R$是正则环当且仅当$M_{n}(R)$是VNL环, 对于$n\geq 2$.因此$M_{2}(Z_{6})$是VNL环.因此也是几乎$\pi$-正则环.经过计算可以验证, 在$M_{2}(Z_{6})$中, 矩阵$\left(\begin{array} {cc} \bar{3}&\bar{1} \\ \bar{0}& \bar{3} \\ \end{array} \right )$和$\left(\begin{array} {cc} \bar{1}&\bar{0} \\ \bar{0}& \bar{1} \\ \end{array} \right )-\left(\begin{array} {cc} \bar{3}&\bar{1} \\ \bar{0}& \bar{3} \\ \end{array} \right )$都不是强$\pi$ -正则的.因此$M_{2}(Z_{6})$不是几乎强$\pi$ -正则环.

综上, 得到相关环的如下关系图.

$ \begin{array}{ccccccc} &&&&&& \text{弱正则环} \\ &&&&&& \Downarrow\\ \text{局部环}&\Rightarrow&\text{几乎强正则环}&\Rightarrow&{\rm VNL}&\Rightarrow&\text{几乎弱正则环}\\ &&\Downarrow&&\Downarrow& &\\ \text{强$\pi$ -正则环}&\Rightarrow&\text{几乎强$\pi$ -正则环}&\Rightarrow&\text{几乎$\pi$ -正则环}& &\\ &&&&\Uparrow& &\\ &&&&\text{$\pi$ -正则环}& & \end{array} $

命题2.9  对任意的交换环$R$, 以下命题等价:

(1) $R$是VNL环;

(2) $R$是几乎强正则环;

(3) $R$是几乎弱正则环.

证  显然.

命题2.10  (1)几乎弱正则环$R$的中心$C(R)$是VNL环;

(2) 几乎$\pi$-正则环$R$的中心$C(R)$是几乎强$\pi$ -正则环.

证  (1)对任意$x\in C(R)$, $x$或$1-x$是$R$中弱正则元, 如果$x$在$R$中弱正则, 则存在$r^{'}, r^{''}\in R$使得$x=xr^{'}xr^{''}=x^{2}r^{'}r^{''}\in x^{2}R$.由文献[9]命题12, 可以推出$x=x(x^{k}y)x$, 其中$y\in R, k\geq 1$.而且, 对任意$r\in R, $

$ r(x^{k}y)=x^{k-1}(xr)y=x^{k-1}(x^{k+1}yx)ry=x^{k-1}(yr)(x^{k+1}yx)=x^{k-1}yrx=x^{k}yr, $

即$x^{k}y\in C(R)$.所以$x$是$C(R)$中正则元.同理, 如果$1-x$是$R$中弱正则元, 可以推出$1-x$也是$C(R)$中正则元.所以$R$的中心$C(R)$是VNL环.

(2) 证明见文献[7]命题3.2.17.

一个环$R$称为Abel环, 如果$R$中幂等元都是中心幂等元.文献[7]的命题3.2.12和文献[10]的推论3证明:如果$R$是几乎$\pi$-正则环(几乎强$\pi$ -正则环), 则对任意$e=e^{2}\in R$, $eRe$也是几乎$\pi$ -正则环(几乎强$\pi$ -正则环).

命题2.11  如果$R$是Abel几乎弱正则环, 则对任意$e=e^{2}\in R$, $eRe$也是几乎弱正则环.

证  对于$a\in eRe$, 存在$r\in R$使得$a=ere$, 于是有$ea=ae=eae=a$.因为$R$是几乎弱正则环, 所以$a$或$1-a$是$R$中弱正则元.若$a$是弱正则的, 则存在$b^{'}, b^{''}\in R$, 使得$a=ab^{'}ab^{''}=(ae)b^{'}(eae^{2})b^{''}=a(eb^{'}e)a(eb^{''}e)$, 其中$eb^{'}e, eb^{''}e\in eRe$, 所以$a$在$eRe$中弱正则.若$1-a$在$R$中弱正则, 则存在$c^{'}, c^{''}\in R$使得$1-a=(1-a)c^{'}(1-a)c^{''}$.由此可得$e-a=e(1-a)e=e(1-a)c^{'}(1-a)c^{''}e=(e-a)ec^{'}e(e-a)ec^{''}e$, 其中$ec^{'}e, ec^{''}e\in eRe$.所以$1-a$在$eRe$中弱正则.这证明了$eRe$是几乎弱正则环.

引理2.12  设$A={\rm diag}\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$是主对角线元素为$a_{i}$, 其余位置都是$0$的$n\times n$阶矩阵.在$M_{n}(R)$中, $A={\rm diag}\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$弱正则当且仅当$a_{1}, \cdots, a_{n}$都在$R$中弱正则.

定理2.13  设$R$是一个环, 以下命题等价:

(1) $R$是弱正则环;

(2) 对于每一自然数$n$, $M_{n}(R)$是几乎弱正则环.

证  $(1)\Rightarrow (2)$.由文献[11]引理1.1, $R$是弱正则环可以得到$M_{n}(R)$是弱正则环, 因此也是几乎弱正则环.

$(2)\Rightarrow (1)$.对任意$a\in R$, 取$A={\rm diag}\{a, 1-a, 1, \cdots, 1\}\in M_{n}(R)$, $I_{n}$是$M_{n}(R)$中单位矩阵.从而$I_{n}-A={\rm diag}\{1-a, a, 0, \cdots, 0\}$因为$M_{n}(R)$是几乎弱正则环, 所以$A$或$I_{n}-A$在$M_{n}(R)$中是弱正则的.由引理2.12知无论$A$或$I_{n}-A$是弱正则的, 均可以得到$a$在$R$中弱正则.因此$R$是弱正则环.

命题2.14  (1)单环都是几乎弱正则环;

(2) 如果环$R$的每个右理想都是由幂等元生成的, 则$R$是几乎弱正则环.

证  由文献[8, 命题4.7]知单环是弱正则环; 如果环$R$的每个右理想都是由幂等元生成的, 则$R$是弱正则环.因此, 它们都是几乎弱正则环.

文献[12]中称一个环$R$是ELT环, 如果$R$中每个本质左理想都是理想.

命题2.15  设$R$是ELT环, 以下命题等价:

(1) $R$是几乎弱正则环;

(2) $R$是VNL环.

证  $(2)\Rightarrow (1)$显然成立.

$(1)\Rightarrow (2).$构造这样一个本质左理想$I=(a\rangle \bigoplus \sum L_{i}$, 其中$(a\rangle$是$R$中由$a$生成的主左理想, $L_{i}$是$R$中所有不含$a$的左理想.由$R$是ELT环知$I$是$R$的理想.因为$R$是几乎弱正则环, 对任意$a\in R$, 有$a$或$1-a$弱正则.如果$a$是弱正则的, 则存在$x^{'}, x^{''}\in R$使得$a=ax^{'}ax^{''}\in aRaR\subseteq aI$.于是存在$b\in R, l\in \sum l_{i}$使得$a=a(ba+l)$, $a-aba=(1-ab)a\in (a\rangle$.另一方面, $a-aba=al\in \sum L_{i}$, 而$(a\rangle \bigcap \sum L_{i}=0$, 这推出$a=aba$, 所以$a$在$R$中是正则的.如果$1-a$是弱正则的, 类似可证$1-a$是正则的.综上, $R$是VNL环.

引理2.16  ^[8]对于一个约化环$R$以及$a\in R$, 有

$ r_{R}(a)=l_{R}(a)=r_{R}(RaR)=l_{R}(RaR)=\{b\in R|RaR\bigcap RbR=0\} $

是$R$的一个理想$I$, 且$I\bigcap RaR=0$, 其中$l_{R}(a), r_{R}(a)$分别表示环$R$中$a$的左、右零化子集合.

定义2.17  称一个环是几乎双正则环, 如果对任意$x\in R$, $RxR$或$R(1-x)R$是由中心幂等元生成的.

命题2.18  设$R$是约化环, 则以下命题等价:

(1) $R$是几乎弱正则环;

(2) $R$是几乎双正则环.

证  $(2)\Rightarrow (1).$对于$a\in R$, $RaR$或$R(1-a)R$是由中心幂等元生成的.如果$RaR$是由中心幂等元生成的, 则存在一个中心幂等元$e\in R$使得$RaR=(e)$, 从而$aR=aRe\subseteq aR(RaR)=(aR)^{2}\subseteq aR$, 因此$a$在$R$中是弱正则的.如果$R(1-a)R$是由中心幂等元生成的, 同理可以得到$1-a$在$R$中是弱正则的.

$(1)\Rightarrow (2).$对于$a\in R$, 由假设知$a$或$1-a$是弱正则的.如果$a$在$R$中弱正则, 记$r_{R}(a)=B$, 由引理2.16知$B=r_{R}(a)=r_{R}(RaR)=l_{R}(RaR)$且$B\bigcap RaR=0$.因为$a$是弱正则的, 所以存在$b\in RaR$使得$a=ab$, 因此有$a-ab=0, a(1-b)=0$, $1-b\in r_{R}(a)$, 因此$RaR+B=R$.又因为$B\bigcap RaR=0$, 从而有$RaR\bigoplus B=R$.由文献[13]引理4知, $RaR$是由中心幂等元生成的.如果$1-a$在$R$中弱正则, 同理可得$R(1-a)R$是由中心幂等元生成的.

命题2.19  约化的几乎强$\pi$ -正则环是VNL环.

证  任取$x\in R$, 因为$R$是几乎强$\pi$ -正则环, 则$x$或$1-x$是强$\pi$ -正则的.假定$x$是强$\pi$ -正则的, 则存在$z\in R$和正整数$n$使得$x^{n}=x^{n+1}z, xz=zx$.设$e=x^{n}z^{n}$.因为$x^{n}=x^{n+1}z=x^{n+2}z^{2}=\cdots =x^{2n}z^{n}=x^{n}z^{n}x^{n}$.因此$e^{2}=e$, $x$与$1-e$可交换,

$ [x(1-e)]^{n}=x^{n}(1-e)=x^{n}-x^{2n}z^{n}=x^{n}-x^{n}=0. $

又因为$R$是约化环, 从而有

$ x(1-e)=0, x=xe=x^{n+1}z^{n}=x(x^{n-1}z^{n})x, $

即$x$是正则的.假定$1-x$是强$\pi$ -正则的, 类似可得$1-x$也是正则的.所以$R$是VNL环.

命题2.20  设环$T=S+K$, 其中$S$是$T$的子环, $K$是$T$的幂零理想, 则$T$是几乎强$\pi$ -正则环当且仅当$S$是几乎强$\pi$-正则环.

证  假定$K^{n}=0$, 对于特定的$n\geq 1$.

$(\Longleftarrow)$任取$t\in T, t=s+x$其中$s\in S, x\in K$.因为$S$是几乎强$\pi$ -正则的, 有$s$或$1-s$是强$\pi$-正则的.如果$s$是强$\pi$ -正则的, 则存在$k\geq 1$使得$s^{k}S=s^{k+1}S=\cdots$, 因此存在$s_{0}\in S$使得$s^{k}=s^{nk+1}s_{0}$.于是有$t^{k}=(s+x)^{k}=s^{k}+x_{0}=s^{nk+1}s_{0}+x_{0}$$t^{nk+1}=(s+x)^{nk+1}=s^{nk+1}+x_{1}$, 其中$x_{0}, x_{1}\in K$.这样, $t^{k}-t^{nk+1}s_{0}=x_{0}-x_{1}s_{0}\in K$.因为$K^{n}=0, (t^{k}-t^{nk+1}s_{_{0}})^{n}=0$, 从而得到$t^{nk}\in t^{nk+1}T$, 所以$t$在$T$中是强$\pi$-正则的.如果$1-s$是强$\pi$ -正则的, 同理可证$1-t$是强$\pi$-正则的.所以$T$是几乎强$\pi$ -正则环.

$(\Longrightarrow)$任取$s\in S$.因为$T$是几乎强$\pi$-正则的, 有$s$或$1-s$在$T$中是强$\pi$ -正则的.如果$s$是强$\pi$ -正则的, 则存在$k\geq 1$使得$s^{k}T=s^{k+1}T=\cdots$, 因此存在$t\in T, s^{k}=s^{nk+1}t$.令$t=a+x$, 其中$a\in S, x\in K$.这样就有$s^{k}-s^{nk+1}a=s^{nk+1}x\in K$, $K^{n}=0, (s^{k}-s^{nk+1}a)^{n}=0$, 从而有$s^{nk}\in s^{nk+1}S$, 所以$s$在$S$中是强$\pi$ -正则的.如果$1-s$在$T$中是强$\pi$ -正则的, 同理可证$1-s$在$S$中也是强$\pi$-正则的, 即$S$是几乎强$\pi$ -正则环.

文献[12]中称环$R$的右理想$I$为广义弱理想(GW理想), 如果对任意$a\in I$, 存在一个正整数$n$, 使得$Ra^{n}\subseteq I$.

命题2.21  设环$R$中的极大右理想都是GW理想, 则以下命题等价:

(1) $R$是几乎强正则环;

(2) $R$是几乎弱正则环.

证  $(1)\Rightarrow (2)$由定义可得.

$(2)\Rightarrow (1).$因为$R$是几乎弱正则环, 对于任意$a\in R$, 有$a$或$1-a$弱正则.如果$a$是弱正则的, 则存在$s, t\in R$使得$a=asat$.假设$r(a)+aR\neq R$且$M$是$R$中包含$r(a)+aR$的极大右理想, 则由$a(1-sat)=0$知$1-sat\in r(a)\subseteq M$.如果$sat\notin M$, 则有$M+satR=R$, 且存在$x\in M, r\in R$使得$x+satr=1$.因为$M$是GW理想且$atrs\in M$, 故存在一个正整数$n$使得$s(atrs)^{n}\in M$, 于是有$(1-x)^{n+1}=(satr)^{n+1}=s(atrs)^{n}atr\in M$.又因为$x\in M$, 从而有$1\in M$, 这与$M\neq R$矛盾.因此必有$sat\in M$, 从而得到$1\in M$, 此为矛盾.所以假定不成立, 有$r(a)+aR=R$, 因此$a$在$R$中是强正则的.如果$1-a$在$R$中是弱正则的, 利用上述方法可以得到$1-a$在$R$中是强正则的.综上, $R$是几乎强正则环.

命题3.1  几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$-正则环)的同态像还是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环).

证  设$R$是几乎弱正则环, $\sigma:R\rightarrow R^{'}$是一个环同态.对任意$a\in R$, 有$a$或$1-a$是弱正则的.如果$a$是弱正则的, 则存在$r^{'}, r^{''}\in R$使得$a=ar^{'}ar^{''}$.于是有$\sigma(a)=\sigma(ar^{'}ar^{''})=\sigma(a)\sigma(r^{'})\sigma(a)\sigma(r^{''})$, 所以$\sigma(a)$是$R^{'}$中弱正则元.同理可证, 如果$1-a$是$R$中弱正则元, 则$1-\sigma(a)$是$R^{'}$中弱正则元.因此$R^{'}$也是几乎弱正则环.对于几乎$\pi$-正则环与几乎强$\pi$ -正则环的情况, 类似可证.

定理3.2  (1)一族环的直积$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}$是几乎弱正则环当且仅当存在$\alpha_{0}\in I$使得$R_{\alpha_{0}}$是几乎弱正则环, 其余$\alpha\in I-\alpha_{0}, R_{\alpha}$均为弱正则环.

(2) 一族环的直积$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}$是几乎$\pi$-正则环当且仅当存在$\alpha_{0}\in I$使得$R_{\alpha_{0}}$是几乎$\pi$ -正则环, 其余$\alpha\in I-\alpha_{0}, R_{\alpha}$均为$\pi$ -正则环.

(3) 一族环的直积$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}$是几乎强$\pi$ -正则环当且仅当存在$\alpha_{0}\in I$使得$R_{\alpha_{0}}$是几乎强$\pi$ -正则环, 其余$\alpha\in I-\alpha_{0}, R_{\alpha}$均为强$\pi$ -正则环.

证  (1)充分性.显然成立.

必要性.假定$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}$是几乎弱正则环.因为$R_{\alpha}$是$\prod R_{\alpha}$的同态像, 由命题2.1知每个$R_{\alpha}$都是几乎弱正则环.任取一${\alpha_{0}\in I}$, 记$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}=R_{\alpha_{0}}\times S$, 其中$S=\prod \{R_{\alpha}:\alpha\in I-\alpha_{0}\}$.如果$R_{\alpha_{0}}$与$S$都不是弱正则环, 则存在非弱正则元$r\in R_{\alpha_{0}}, s\in S$.取$a=(r, I_{S}-s)$, 则在$\prod\{R_{\alpha}:\alpha \in I\}$中, $a$或$1-a$都不是弱正则的, 得到矛盾.因此, $R_{\alpha_{0}}$或$S$必有之一是弱正则的.如果$S$是弱正则的, 则定理得证.如果$S$是几乎弱正则环, 则重复以上讨论, 可得结论.

(2)和(3)的证明与(1)类似.

推论3.3  如果$R=S\times T$是几乎弱正则环(几乎$\pi$-正则环, 几乎强$\pi$ -正则环), 则$S$和$T$一个是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环), 另一个是弱正则环($\pi$ -正则环, 强$\pi$ -正则环).

两个几乎弱正则环的直积未必是几乎弱正则环.由例2.2, $\mathbb{Z}_{4}$是几乎弱正则环, 但$\mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{4}$不是几乎弱正则环.这是因为, 取$a=(\bar{2}, \bar{3}), 1-a=(\bar{3}, \bar{2})$, 则在$\mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{4}$中, $a$或者$1-a$都不是弱正则的.

设$D$是环$C$的一个子环, 且$1_{c}\in D$, 则

$ R[C, D]=\{(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)|a_{i}\in C, b\in D, n\geq 1\} $

在普通的加法和乘法定义下构成一个环.

定理3.4  下面两个命题等价:

(1) $R[C, D]$是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$-正则环);

(2) $C$是弱正则环($\pi$ -正则环, 强$\pi$ -正则环)且$D$是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环).

证  $(1)\Rightarrow (2)$.设$\varphi :R[C, D]\rightarrow D$, $\varphi (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)=b$.易见$\varphi$是一个环同态.由命题3.1知$D$是几乎弱正则环.假定$C$不是弱正则环, 则存在$x\in C$不是弱正则元.取$a=(x, 1-x, 1, 1, \cdots)\in R[C, D]$, 有$1-a=(1-x, x, 0, 0, \cdots)$.由于$R[C, D]$是几乎弱正则环, 则$a$或$1-a$在$R[C, D]$中是弱正则的.如果$a$是弱正则的, 则$x\in C$是弱正则的, 矛盾.若$1-a$是弱正则的, 则也有$x\in C$是弱正则的, 矛盾.所以假设不成立, $C$是弱正则环.

$(2)\Rightarrow (1)$.对任意$(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)\in R[C, D]$, 其中$a_{i}\in C, b\in D$.因为$C$是弱正则环, 所以存在$x_{i}^{'}, x_{i}^{''}\in C$使$a_{i}=a_{i}x_{i}^{'}a_{i}x_{i}^{''}$.因为$D$是几乎弱正则环, 则$b$或$1-b$是$D$中弱正则元.如果$b$是弱正则元, 则存在$y^{'}, y^{''}\in D$使得$b=by^{'}by^{''}$.因此有

$ \begin{eqnarray*}(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)&=&(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)(x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \cdots, x_{n}^{'}, y^{'}, y^{'}, \cdots)\\ &&(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)(x_{1}^{''}, x_{2}^{''}, \cdots, x_{n}^{''}, y^{''}, y^{''}, \cdots), \end{eqnarray*} $

这表明$(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)$是$R[C, D]$中弱正则元.如果$1-b$是$D$中弱正则元.同理可证$1-(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b, b, \cdots)$是$R[C, D]$中弱正则元.综上知$R[C, D]$是一个几乎弱正则环.

对于几乎$\pi$ -正则环和几乎强$\pi$ -正则环的情况, 类似可以证明.

设$R$是一个环, $_{R}V_{R}$是一个双模, 且$V$是一个一般环(未必有1).称环$I(R;V)=R\oplus V$是环$R$关于$V$的理想扩张, 其中加法是通常的加法, 乘法运算定义为$(r, v)(s, w)=(rs, rw+vs+vw)$.

命题3.5  如果环$R$关于$V$的理想扩张$S=I(R;V)$是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环), 则$R$是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环).

证  因为$S=I(R;V)$是几乎弱正则环, 所以对任意$(r, v)\in I(R;V)$, $(r, v)$或$(1, 0)-(r, v)$是弱正则的.若$(r, v)$是弱正则元, 则存在$(x^{'}, y^{'}), (x^{''}, y^{''})\in I(R;V)$使得$(r, v)=(r, v)(x^{'}, y^{'})(r, v)(x^{''}, y^{''})$.这推出$r=rx^{'}rx^{''}$, $r$在$R$中是弱正则的.若$(1, 0)-(r, v)$是弱正则的, 则存在$(x^{'}, y^{'}), (x^{''}, y^{''})\in I(R;V)$使得$(1-r, -v)=(1-r, -v)(x^{'}, y^{'})(1-r, -v)(x^{''}, y^{''})$, 于是有$1-r=(1-r)x^{'}(1-r)x^{''}$.所以$1-r$在$R$中是弱正则的.综上知$R$是几乎弱正则环.

命题3.5的逆命题不成立.例如, 环$R=\mathbb{Z}_{4}$是几乎弱正则环, 取$V=\mathbb{Z}_{4}$, 则$S=I(\mathbb{Z}_{4};\mathbb{Z}_{4})$不是几乎弱正则环.这是因为在$I(\mathbb{Z}_{4};\mathbb{Z}_{4})$中, $(\bar{2}, \bar{1})$不是弱正则的, $(\bar{1}, \bar{0})-(\bar{2}, \bar{1})$也不是弱正则的.假设$(\bar{2}, \bar{1})$是弱正则的, 则存在$(x^{'}, y^{'}), (x^{''}, y^{''})\in I(\mathbb{Z}_{4};\mathbb{Z}_{4})$使得$(\bar{2}, \bar{1})=(\bar{2}, \bar{1})(x^{'}, y^{'})(\bar{2}, \bar{1})(x^{''}, y^{''})$, 于是有$\bar{2}=\bar{2}x^{'}\bar{2}x^{''}$, 这不可能.所以假设不成立.另一方面, 对于$(\bar{1}, \bar{0})-(\bar{2}, \bar{1})=(\bar{3}, \bar{3})$, 假设存在$(x, y), (m, n)\in I(\mathbb{Z}_{4};\mathbb{Z}_{4})$使得$(\bar{3}, \bar{3})=(\bar{3}, \bar{3})(x, y)(\bar{3}, \bar{3})(m, n)$.则有$(\bar{3}, \bar{3})=(\bar{3x}, \bar{3y}+\bar{3x}+\bar{3y})(\bar{3}, \bar{3})(m, n)=(\bar{9x}, \bar{27x}+\bar{36y})(m, n)=(\bar{x}, \bar{3x})(m, n)=(\overline{xm}, \overline{4xn+3xm})$, 要满足等式成立, 则需取$\overline{xm}=\bar{3}$, 此时$\overline{3xm}=\bar{1}\neq \bar{3}$矛盾.因此$(\bar{1}, \bar{0})-(\bar{2}, \bar{1})$也不是弱正则的.所以$S=I(Z_{4};Z_{4})$不是几乎弱正则环.几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环的情况类似可以证明.

命题3.6  (1)如果$R$是弱正则环, $S$是局部环, 设$_{R}M_{S}$是一个双模, 则$\left(\begin{array} {cc} R& M \\ 0& S \\ \end{array} \right )$是几乎弱正则环.

(2) 如果$R$是$\pi$ -正则环(强$\pi$ -正则环), $S$是局部环, 则$\left(\begin{array} {cc} R& 0 \\ 0& S \\ \end{array} \right )$是$\pi$ -正则环(强$\pi$ -正则环).

证  (1) $R$是弱正则环, 对任意$\left(\begin{array} {cc} r& m \\ 0& s \\ \end{array} \right )$$\in $$\left(\begin{array} {cc} R& M \\ 0& S \\ \end{array} \right )$, 其中$s$或者$1-s$在$S$中可逆.如果$s$是可逆元, 因为$R$是弱正则环, 对任意$r\in R$, 都存在$a^{'}, a^{''}\in R$使得$r=ra^{'}ra^{''}$, 则有

$ \left(\begin{array} {cc} r& m \\ 0& s \\ \end{array} \right )=\left(\begin{array} {cc} r& m \\ 0& s \\ \end{array} \right )\left(\begin{array} {cc} a^{'}&-a^{'}ms^{-1} \\ 0& s^{-1} \\ \end{array} \right )\left(\begin{array} {cc} r& m \\ 0& s \\ \end{array} \right )\left(\begin{array} {cc} a^{''}& 0 \\ 0& 1 \\ \end{array} \right ). $

这表明$\left(\begin{array} {cc} r&m \\ 0& s \\ \end{array} \right )$是弱正则的.如果$1-s$是可逆元, 因为$1-r\in R$是弱正则的, 类似可证$I_{2}-\left(\begin{array} {cc} r&m \\ 0& s \\ \end{array} \right )$也是弱正则的.因此$\left(\begin{array} {cc} R&M \\ 0& S \\ \end{array} \right )$是几乎弱正则环.

(2) $R$是$\pi$ -正则环, 对任意$\left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )$$\in $$\left(\begin{array} {cc} R&0 \\ 0& S \\ \end{array} \right )$, 其中$s$或者$1-s$在$S$中可逆.如果$s$是可逆元, 由$R$是$\pi$ -正则环知对任意$r\in R$, 都存在$x\in R$使得$r^{n}=r^{n}xr^{n}$, 于是有

$ \left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )^{n}=\left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )^{n}\left(\begin{array} {cc} x&0 \\ 0& (s^{-1})^{n} \\ \end{array} \right )\left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )^{n}. $

这表明$\left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )$是$\pi$ -正则的.如果$1-s$是可逆元, 因为$1-r\in R$是$\pi$ -正则的, 类似可证$I_{2}-\left(\begin{array} {cc} r&0 \\ 0& s \\ \end{array} \right )$也是$\pi$ -正则的.因此$\left(\begin{array} {cc} R&0 \\ 0& S \\ \end{array} \right )$是几乎$\pi$ -正则环.

$R$是强$\pi$ -正则环的情况类似可证.

命题3.7  几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$-正则环)的直极限仍是几乎弱正则环(几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环).

证  设$\{R_{\alpha}, \varphi_{\alpha\beta}|\alpha, \beta\in I\}$是几乎弱正则环上的直系统, $R$为$R_{\alpha}$的直极限, $\eta_{\alpha}:R_{\alpha}\rightarrow R, \alpha\in I$是环单同态, $R=\bigcup\limits_{\alpha\in I}Im(\eta_{\alpha})$, 其中$Im(\eta_{\alpha})$表示单同态$\eta_{\alpha}$的像.下证$R$是几乎弱正则的.任取$r\in R$, 存在$\alpha\in I$, 使得$r\in I_{m}\eta_{\alpha}$, 即存在$r_{\alpha}\in R_{\alpha}$, 使得$\eta_{\alpha}(r_{\alpha})=r$, 同时有$\eta_{\alpha}(1_{R_{\alpha}}-r_{\alpha})=1_{R}-r$.由于$R_{\alpha}$是几乎弱正则环, 所以$r_{\alpha}$或$1_{R_{\alpha}}-r_{\alpha}$弱正则.如果$r_{\alpha}$是弱正则的, 则存在$x_{\alpha}^{'}, x_{\alpha}^{''}\in R_{\alpha}$使得$r_{\alpha}=r_{\alpha}x_{\alpha}^{'}r_{\alpha}x_{\alpha}^{''}$, 从而有$r=\eta_{\alpha}(r_{\alpha}x_{\alpha}^{'}r_{\alpha}x_{\alpha}^{''})=r\eta_{\alpha}(x_{\alpha}^{'})r\eta_{\alpha}(x_{\alpha}^{''})$, 其中$\eta_{\alpha}(x_{\alpha}^{'}), \eta_{\alpha}(x_{\alpha}^{''})\in R$, 即$r$在$R$中是弱正则的.同理, 如果$1_{R_{\alpha}}-r_{\alpha}$是弱正则的, 可以得到$1_{R}-r$在$R$中是弱正则的.综上知$R$是几乎弱正则环.

几乎$\pi$ -正则环, 几乎强$\pi$ -正则环的情况类似可以证明.