在研究空间三维Belousov-Zhabotinski型反应扩散系统的角相位湍流时, Kuramoto^[1]导出了如下一类四阶Kuramoto Sivashinsky (KS)方程

$ \begin{equation}\label{KS} u_t+u_{xxxx}+\lambda u_{xx}+uu_x=0, \end{equation} $

(1.1)

其中$u=u(x, t)$是未知函数, $\lambda>0$被称为反扩散常数.这个方程也被Sivashinsky^[2]用来研究空间二维层焰面的微热扩散不稳定性问题.此外, 该方程在其他领域还有广泛的应用^[3].近年来, 该方程的很多性质被广泛研究^[4-6], 如非平凡解的分岔与稳定性、吸收集半径、渐近吸因子、零解的可控性、时间离散化与稳定性区域等.

本文将在半无界区域上研究如下一类KS方程的初边值问题

$ \begin{equation}\label{ivbp} \begin{cases}u_t+u_{xxxx}+u_{xx}=f, \\ u(x, 0)=\varphi(x), \ \ \ \ \ x\geqslant 0, \\ u(0, t)=\psi_0(t), \ \ u_x(0, t)=\psi_1(t). \end{cases} \end{equation} $

(1.2)

KS方程Cauchy问题的研究已有很多结果^[7-9].而初边值问题的适定性和数值计算至今尚未解决.本文将采用近年来在相关领域内提出的新的一致变换方法(UTM)来研究方程(1.2)的显式解, 这个方法的最新进展参见文献[11-13].利用UTM方法得到的显式解的公式, 可以为后续KS方程初边值问题的适定性和数值计算的研究提供新的思路.

本文的主要结论由下面的定理给出.

定理1  初边值问题(1.2)的显式解是

$ \begin{align} u(x, t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx-\omega(k)t}\widehat{\varphi}(k){\rm{d}} k-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^te^{ikx+\omega(k)(\tau-t)}\widehat{f}(k, \tau){\rm{d}}\tau{\rm{d}} k\nonumber\\ &+\frac{1}{2\pi}\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G_1(k, t){\rm{d}} k+\frac{1}{2\pi}\int_{\partial D_2^+}e^{ikx-\omega(k)t}G_2(k, t){\rm{d}} k, \label{uxt2} \end{align} $

(1.3)

其中$D_i^+$由下文中的图 1给出, $G_1(k, t), G_2(k, t)$分别由(2.6), (2.7)式决定.

假定$v(x, t)=e^{ikx-\omega(k)t}$是方程$v_t+v_{xxxx}+v_{xx}=0$的一个解, 代入方程中得到KS方程的象征关系式$\omega(k)=k^4-k^2$, $\omega(k)$在显式解的求解过程中起着关键的作用.

首先把方程写成散度形式, 这样做的目的是便于使用Green公式.设$u(x, t)$是方程(1.2)的解, 则

$ \begin{eqnarray} \left(e^{-ikx+\omega(k)t}u\right)_t&=&\omega(k)e^{-ikx+\omega(k)t}u+e^{-ikx+\omega(k)t}u_t\nonumber\\ &=&\omega(k)e^{-ikx+\omega(k)t}u+e^{-ikx+\omega(k)t}\left(-u_{xxxx}-u_{xx}+f\right)\nonumber\\ &=&\left(\omega(k)u+f\right)e^{-ikx+\omega(k)t}-\left[e^{-ikx+\omega(k)t}\left(u_{xxx}+u_x\right)\right]_x\nonumber\\ &&-\left[ike^{-ikx+\omega(k)t}\left(u_{xx}+u\right)\right]_x+k^2e^{-ikx+\omega(k)t}\left(u_{xx}+u\right)\nonumber\\ &=&e^{-ikx+\omega(k)t}f-\left[e^{-ikx+\omega(k)t}\left(u_{xxx}+iku_{xx}\right)\right]_x\nonumber\\ &&+\left[e^{-ikx+\omega(k)t}\left((k^2-1)u_x+(ik^3-ik)u\right)\right]_x.\label{local} \end{eqnarray} $

(2.1)

(2.1)式就是和(1.2)式等价的散度形式的方程, 把它称为方程(1.2)的局部关系等式.

将(2.1)式在区域$D=\{x\geqslant 0, 0<t\leqslant T\}$上作二重积分, 得到

$ \begin{align*} &\int\int_{D}\left(e^{-ikx+\omega(k) t}u(x, t)\right)_t{\rm{d}} t{\rm{d}} x+\int\int_{D}e^{-ikx+\omega(k) t}f(x, t){\rm{d}} t{\rm{d}} x\\ &+\int\int_{D}\left(e^{-ikx+\omega(k) t}\left(u_{xxx}+iku_{xx}-(k^2-1)u_{x}-(ik^3-ik)u\right)\right)_x{\rm{d}} t{\rm{d}} x=0. \end{align*} $

使用Green公式, 有

$ \begin{align*} &\int_{\partial D}e^{-ikx+\omega(k) t}u(x, t){\rm{d}} x+\int\int_{D}e^{-ikx+\omega(k) t}f(x, t){\rm{d}} t{\rm{d}} x\\ &-\int_{\partial D}e^{-ikx+\omega(k) t}\left(u_{xxx}+iku_{xx}-(k^2-1)u_{x}-(ik^3-ik)u\right){\rm{d}} t=0, \end{align*} $

即

$ \begin{align*} &-\int_0^{\infty}e^{-ikx}\varphi(x){\rm{d}} x+\int_0^{\infty}e^{-ikx+\omega(k)T}u(x, T){\rm{d}} x+\int_0^{\infty}\int_0^Te^{-ikx+\omega(k) t}f(x, t){\rm{d}} t{\rm{d}} x\\ =&-\int_0^Te^{\omega(k)t}\left(u_{xxx}(0, s)+ iku_{xx}(0, s)-(k^2-1)u_{x}(0, s)-(ik^3-ik)u(0, s)\right){\rm{d}} t. \end{align*} $

定义在半直线上函数$u(x, t)$的Fourier变换为

$ \widehat{u}(k, t)=\int_0^{\infty}e^{-ikx}u(x, t){\rm{d}} x, \ \ \ k\in\mathbb{C}^-=\{k\in\mathbb{C}:{\rm Im}\ k\leqslant 0\}, $

这里${\rm Re}(-ikx)=x{\rm Im}k\leqslant 0$.另外, 记

$ g_i(k, t)=\int_0^te^{k\tau}\partial_x^iu(0, \tau){\rm{d}}\tau, \ \ \ k\in\mathbb{C}, \ \ \ i=0, 1, 2, 3. $

则下列整体关系等式成立

$ \begin{align} &\widehat{\varphi}(k)+g_3(\omega(k), T)+ikg_2(\omega(k), T)-(k^2-1)g_1(\omega(k), T)-(ik^3-ik)g_0(\omega(k), T)\nonumber\\ =&e^{\omega T}\widehat{u}(k, T)-\int_0^Te^{\omega(k)t}\widehat{f}(k, t){\rm{d}} t.\label{global} \end{align} $

(2.2)

把上式中的$T$替换为$t$, 并令

$ \begin{equation} G(k, t)=g_3(\omega(k), t)+ikg_2(\omega(k), t)-(k^2-1)g_1(\omega(k), t) -(ik^3-ik)g_0(\omega(k), t), \label{gkt} \end{equation} $

(2.3)

则有

$ \begin{equation}\label{global2} e^{\omega(k)t}\widehat{u}(k, t)=\widehat{\varphi}(k)+G(k, t)-\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(k, \tau){\rm{d}}\tau. \end{equation} $

(2.4)

定义区域

$ D=\{k:{\rm Re}\left(\omega(k)\right)<0\}, \ \ \ D^+=D\cap\mathbb{C}^+, \ \ \ D^-=D\cap\mathbb{C}^-. $

由于

$ {\rm Re}\left(\omega(k)\right)=({\rm Re}k)^4-6({\rm Re}k)^2({\rm Im}k)^2+({\rm Im}k)^4-({\rm Re}k)^2+({\rm Im}k)^2, $

故$D$的图形如图 1所示, 共由四部分组成, 分别是$D_i^+, D_j^-, i=1, 2;j=1, 2$.

由Fourier逆变换公式, 得到

$ \begin{align*} u(x, t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx-\omega(k)t}\widehat{\varphi}(k){\rm{d}} k+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^te^{ikx+\omega(k)(\tau-t)}\widehat{f}(k, \tau){\rm{d}}\tau{\rm{d}} k\nonumber\\ &+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k. \end{align*} $

利用与Fokas^[14]文中的第一章命题1.1证明类似的方法, 可以证明

$ \begin{align} u(x, t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx-\omega(k)t}\widehat{\varphi}(k){\rm{d}} k+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^te^{ikx+\omega(k)(\tau-t)}\widehat{f}(k, \tau){\rm{d}}\tau{\rm{d}} k\nonumber\\ &+\frac{1}{2\pi}\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k, \label{uxt} \end{align} $

(2.5)

这里$\partial D_i^+$取逆时针方向.

在上式中, $\varphi(x)$, $f(x, t)$是已知的, 因此第一、二项直接可得.在后两项中, 积分路径已知, 被积函数$G(k, t)$中存在未知项$g_2, g_3$.下面用$g_0, g_1$来表示$g_2, g_3$.解方程$k^4-k^2=\mu^4(k)-\mu^2(k)$, 除$\mu(k)=k$之外, 还有三个根

$ \mu_1(k)=-\sqrt{1-k^2}, ~~ \mu_2(k)=-k, ~~ \mu_3(k)=\sqrt{1-k^2}, $

且满足

$ \mu_1(k): D_2^+\mapsto D_1^+, ~~ \mu_2(k): D_2^+\mapsto D_1^-, ~~ \mu_3(k): D_2^+\mapsto D_2^-. $

如果$k\in D_1^+$, 那么$\mu_1(k)\in D_1^ - $, $\mu_2(k)\in D_2^ - $, 把$\mu_1(k), \mu_2(k)$代入整体关系式(2.2), 有

$ \begin{eqnarray*} &&\widehat{\varphi}(\mu_1)+\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_1, \tau){\rm{d}}\tau+g_3(\omega, t)+i\mu_1g_2(\omega, t)\\ &&-(\mu_1^2-1)g_1(\omega, t)-(i\mu_1^3-i\mu_1)g_0(\omega, t)-e^{\omega t}\widehat{u}(\mu_1, t)=0, \\ &&\widehat{\varphi}(\mu_2)+\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_2, \tau){\rm{d}}\tau+g_3(\omega, t)+i\mu_2g_2(\omega, t)\\ &&-(\mu_2^2-1)g_1(\omega, t)-(i\mu_2^3-i\mu_2)g_0(\omega, t)-e^{\omega t}\widehat{u}(\mu_2, t)=0. \end{eqnarray*} $

联立以上两式, 解得

$ \begin{eqnarray*} g_3(\omega, t)&=&\frac{-\mu_2\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_1(k), \tau){\rm{d}}\tau+ \mu_1\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_2(k), \tau){\rm{d}}\tau}{\mu_2-\mu_1}\\ &&+e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)\mu_2-\widehat{u}(\mu_2, t)\mu_1}{\mu_2-\mu_1}-\frac{\widehat{\varphi}(\mu_1) \mu_2-\widehat{\varphi}(\mu_2)\mu_1}{\mu_2-\mu_1}\\ &&+(1-\mu_1\mu_2)g_1(\omega, t)-i(\mu_1+\mu_2)\mu_1\mu_2g_0(\omega, t), \\ g_2(\omega, t)&=&\frac{-\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_1(k), \tau){\rm{d}}\tau+ \displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_2(k), \tau){\rm{d}}\tau}{i(\mu_1-\mu_2)}-\frac{\widehat{\varphi}(\mu_2)-\widehat{\varphi}(\mu_1)}{i(\mu_2-\mu_1)}\\ &&+e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)-\widehat{u}(\mu_2, t)}{i(\mu_1-\mu_2)}-i(\mu_1+\mu_2)g_1(\omega, t)\\ &&+(\mu_1^2+\mu_1\mu_2+\mu_2^2-1)g_0(\omega, t). \end{eqnarray*} $

将$g_2(\omega, t), g_3(\omega, t)$代入(2.3)式, 就可以计算(2.5)式的第三项

$ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k, $

但其中有两部分包含未知函数$u$, 即

$ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)\mu_2-\widehat{u}(\mu_2, t)\mu_1}{\mu_2-\mu_1}{\rm{d}} k, \ \ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)-\widehat{u}(\mu_2, t)}{i(\mu_1-\mu_2)}{\rm{d}} k. $

由于被积函数项在$\mathbb{C}^+$上是有界解析的, 且当$k\rightarrow\infty$时, 它们一致收敛到0, 利用Jordan引理可知, 上面两个积分均为0.令

$ \begin{eqnarray} &&g_{21}(k, t)=g_2(\omega, t)-e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)-\widehat{u}(\mu_2, t)}{i(\mu_1-\mu_2)}, \nonumber\\ &&g_{31}(k, t)=g_3(\omega, t)-e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_1, t)\mu_2-\widehat{u}(\mu_2, t)\mu_1}{\mu_2-\mu_1}, \nonumber\\ \label{g1} &&G_1(k, t)=g_{31}(\omega, t)+ikg_{21}(\omega, t)-(k^2-1)g_1(\omega, t)-(ik^3-ik)g_0(\omega, t), \end{eqnarray} $

(2.6)

则

$ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G_1(k, t){\rm{d}} k. $

如果$k\in D_2^+$, 那么$\mu_2(k)\in D_1^-$, $\mu_3(k)\in D_2^-$, 把$\mu_2(k), \mu_3(k)$代入(2.2)式并联立方程组, 可解得

$ \begin{align*} g_3(\omega, t)=&\frac{-\mu_3\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_2, \tau){\rm{d}}\tau+ \mu_2\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_3, \tau){\rm{d}}\tau}{\mu_3-\mu_2}\\ &+e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_2, t)\mu_3-\widehat{u}(\mu_3, t)\mu_2}{\mu_3-\mu_2}-\frac{\widehat{\varphi}(\mu_2) \mu_3-\widehat{\varphi}(\mu_3)\mu_2}{\mu_3-\mu_2}\\ &+(1-\mu_2\mu_3)g_1(\omega, t)-i(\mu_2+\mu_3)\mu_2\mu_3g_0(\omega, t), \\ g_2(\omega, t)=&\frac{-\displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_2, \tau){\rm{d}}\tau+ \displaystyle\int_0^te^{\omega(k)\tau}\widehat{f}(\mu_3, \tau){\rm{d}}\tau}{i(\mu_2-\mu_3)}-\frac{\widehat{\varphi}(\mu_3)-\widehat{\varphi}(\mu_2)}{i(\mu_3-\mu_2)}\\ &+e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_2, t)-\widehat{u}(\mu_3, t)}{i(\mu_2-\mu_3)}-i(\mu_2+\mu_3)g_1(\omega, t)\\ &+(\mu_2^2+\mu_2\mu_3+\mu_3^2-1)g_0(\omega, t). \end{align*} $

同理, 令

$ \begin{eqnarray} &&g_{22}(k, t)=g_2(\omega, t)-e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_2, t)-\widehat{u}(\mu_3, t)}{i(\mu_2-\mu_3)}, \nonumber\\ &&g_{32}(k, t)=g_3(\omega, t)-e^{\omega t}\frac{\widehat{u}(\mu_2, t)\mu_3-\widehat{u}(\mu_3, t)\mu_2}{\mu_3-\mu_2}, \nonumber\\ \label{g2} &&G_2(k, t)=g_{32}(\omega, t)+ikg_{22}(\omega, t)-(k^2-1)g_1(\omega, t)-(ik^3-ik)g_0(\omega, t), \end{eqnarray} $

(2.7)

则

$ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G(k, t){\rm{d}} k=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{\partial D_1^+}e^{ikx-\omega(k)t}G_1(k, t){\rm{d}} k. $

定理得到证明.