考虑第一类算子方程

$ T\varphi=f, $

(1.1)

其中$T\in\mathcal{B}(X, Y)$, $f\in Y$是已知项, $\varphi\in X$为未知项, 这里$\mathcal{B}(X, Y)$表示Hilbert空间$X$和$Y$之间的全体有界线性算子所组成的Banach空间, 并以$\mathcal{D}(T)$, $\mathcal{R}(T)$, $\mathcal{N}(T)$分别表示$T$的定义域, 值域, 零空间.

方程(1.1)不一定有解, 即使有解也不一定是唯一的.因此, 考虑方程(1.1)的最佳逼近解$\varphi_{\infty}=T^{†}f$, 其中$T^{†}$是$T$的Moore-Penrose广义逆.人们感兴趣的是$\dim{X}=\infty$时$\varphi_{\infty}$的有限维投影逼近问题.为此, 取完备(正交)投影格式$\left(X, \{X_n\};Y, \{Y_n\}\right)$, 即, $\{X_n\}$和$\{Y_n\}$分别是$X$和$Y$上的有限维子空间序列, 满足

$ \underset{n\to\infty}{\mathop{\mbox{s}-\lim}}P_{X_n}=I_X, \;\;\;\underset{n\to\infty}{\mathop{\mbox{s}-\lim}}Q_{Y_n}=I_Y, $

其中$P_n:X\to X_n$, $Q_n:Y\to Y_n$为正交投影算子, 而$I_X$和$I_Y$分别表示$X$上和$Y$上的恒等算子.考虑方程(1.1)的有限维投影近似系统

$ T_n\varphi_n=f_n\;\;\;(\varphi_n\in X_n), $

(1.2)

其中$T_n:=Q_nTP_n:X_n\to Y_n$, $f_n=Q_nf$.我们感兴趣的是$\varphi_n:=T_n^{†}f_n$能否逼近$\varphi_{\infty}:=T^{†}f$的问题, 文献[1-8]系统的研究了上述问题, 给出了$T^{†}$的投影逼近格式$\{T_n^{†}\}$强收敛和弱收敛的充要条件.

对于方程(1.1), 还会不可避免的出现扰动问题

$ (T+S)\varphi=f, $

(1.3)

其中$S\in\mathcal{B}(X, Y)$适合

$ \|S\|\|T^{†}\|<1 ~\mbox{且} ~\mathcal{R}(T+S)\cap\mathcal{R}(T)^{\bot}=\{0\} (\mbox{稳定扰动条件}). $

(1.4)

文献[9-20]对扰动问题(1.3)已经作出了系统分析, 给出了稳定扰动的一系列刻画.

本文关心的是$T^{†}$的投影逼近格式$\{T_n^{†}\}$的强收敛性是否经得起稳定扰动.即若$S$适合(1.4)式, 是否有

$ (T_n+S_n)^{†}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\longrightarrow}(T+S)^{†}(n\to\infty), $

其中$S_n:=Q_nSP_n$.这是方程(1.1)的计算格式$\{T_n^{†}\}$及其扰动系统(1.3)的计算格式$\{(T_n+S_n)^{†}\}$所面临的格式扰动基本问题.文献[21-27]对上述问题在$T$是单射的情况下给出了一些零散的结果, 这些结果有些只能适用于$T$的定义空间$X$是有限维的情形^[26], 鉴于上述问题在一般情形下是一个非常困难的问题, 难以给出统一的判断条件, 本文考虑一个特定的积分算子

$ K\varphi(x):=\int_{-1}^1(x-y)\varphi(y)dy, $

(1.5)

研究(1.5)引出的第一类算子方程和第二类算子方程的计算格式所面临的格式扰动基本问题, 给出了完整的收敛性分析.

本文以下由三节组成:第二节研究由积分算子(1.5)引出的第一类算子方程; 第三节研究了由积分算子(1.5)引出的第二类算子方程; 最后一节是结论和评注.

考虑由积分算子(1.5)引出的第一类算子方程

$ K\varphi:=\int_{-1}^1(x-y)\varphi(y)dy=f, $

(2.1)

这里$K:L_{\mathbb{C}}^2[-1, 1]\to L_\mathbb{C}^2[-1, 1]$为紧算子, 满足

$ \mathcal{R}(K)=\left\{ax+b\mid a, b\in\mathbb{C}\right\}, \dim\mathcal{R}(K)=2<\infty, \\ \mathcal{N}(K)=\left\{\varphi\in L^2[{-1}, 1]\Big| \int_{-1}^1\varphi(y)dy=\int_{-1}^1y\varphi(y)dy=0\right\}, \dim\mathcal{N}(K)=\infty. $

还易知对任意的$f=ax+b\in \mathcal{R}(T)$, 方程(2.1)有如下最佳逼近解

$ K^{†}\left(ax+b\right)=\frac{1}{2}a+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot3}{n\pi}\sin \pi nx\cdot b. $

取$X_n$为

$ \begin{equation*} \begin{split} &X_n={{\bf{span}}}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-in\pi x}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi x}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi x}, \cdots, , \frac{1}{\sqrt{2}}e^{in\pi x}\right\}, \end{split} \end{equation*} $

对任意的$f\in Y$, 此时方程(2.1)在$X_n$上的最佳逼近解为

$ K_n^{†}f=\frac{\pi\cdot\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\cdot\sin k\pi x}{k}}{4\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}}\int_{-1}^1f(y)dy+\frac{3}{4}\int_{-1}^1yf(y)dy, $

其中$K_n:=KP_{X_n}$.当方程有扰动$S\in\mathcal{B}(X)$时, 若$S$适合条件(1.4), 有如下定理.

定理 2.1  对上述积分方程(2.1), 考虑形如(1.2)的投影方程, 其中$X_n$如上所述, $K_n=KP_{X_n}$, 那么$K_n^{†}\overset{\mathop{\|\cdot\|}}{\longrightarrow}K^{†}(n\to\infty);$进一步, 若$S$适合条件(1.4), 则

$ ((K+S)P_{X_n})^{†}\overset{\mathop{\|\cdot\|}}{\longrightarrow}(K+S)^{†}~(n\to\infty). $

证  令$\|M\|:=\|\sum\limits_{k=1}^n\sin\pi kx/{k}\|<\infty$, 那么对任意的$n\in\mathbb{N}^*$,

$ \begin{equation*} \begin{split} \|(KP_{X_n})^{†}\|&=\sup\limits_{\|f\|=1}\|(KP_{X_n})^{†}f\|_{L^2}\\ &<\sup\limits_{\|f\|=1}\left(\frac{\pi}{4}\|M\|\|\int_{-1}^1f(y)dy\|+\frac{3}{4}\|\int_{-1}^1yf(y)dy\|\right)<\infty. \end{split} \end{equation*} $

对任意的$\varphi\in L_{\mathbb{C}}^2[-1, 1]$, 有

$ \varphi=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left<\varphi, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi nx}\right>\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi nx}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi_ne^{i\pi nx}, $

那么$T\varphi=ax+b, $其中$a=\varphi_0$, $-b=1/(\pi i)\sum\limits_{n\neq0}((-1)^n\cdot\varphi_n)/n$, 且$\varphi=1/2a+1/2\sum\limits_{n\neq0}\varphi_ne^{i\pi nx}$.

由于$P_{X_n}\varphi=1/2\sum\limits_{k=-n}^n\varphi_k\cdot e^{i\pi kt}$, 那么$KP_{X_n}\varphi=a_1x+b_1, $其中

$ a_1=a, b_1=1/(\pi i)\sum\limits_{k=-n}^n((-1)^k\varphi_k)/k. $

再由$f=ax+b$, 那么

$ \begin{equation*} \begin{split} &\|K-KP_{X_n}\|_{L^2}^2=\sup\limits_{\varphi\neq0}\frac{\|\left(K-KP_{X_n}\right)\varphi\|_{L^2}^2}{\|\varphi\|_{L^2}^2} =\sup\limits_{\varphi\neq0}\frac{\|b-b_1\|_{L^2}^2}{\|\varphi\|_{L^2}^2}\\ =&\frac{1}{\pi^2}\sup\limits_{\varphi\neq0}\frac{\left\|\sum\limits_{|k|\geq n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^k\varphi_k}{k}\right\|_{L^2}^2}{\|\varphi\|_{L^2}^2}\leq\frac{1}{\pi^2}\sup\limits_{\varphi\neq0}\frac{\sum\limits_{|k|\geq n+1}^{+\infty}\bigg|\frac{\varphi_k}{k}\bigg|_{L^2}^2}{\|\varphi\|_{L^2}^2}\\ <&\frac{1}{\pi^2}\sup\limits_{\varphi\neq0}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}\left(\sum\limits_{k\neq0 }|\varphi_k|_{L^2}^2+a^2\right)}{\|\varphi\|_{L^2}^2}=\frac{4}{\pi^2(n+1)^2}, \end{split} \end{equation*} $

那么$\lim\limits_{n\to\infty}\|K-KP_{X_n}\|=0$.

令$A_n=2/\pi\cdot\sum\limits_{k=1}^n1/k^2$, $B_nx=\sum\limits_{k=1}^n\left((-1)^k\sin k\pi x\right)/k$, 那么$\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\pi/3=A$, $\lim\limits_{n\to+\infty}B_nx=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left((-1)^k\sin k\pi x\right)/k=Bx$, 利用$f=ax+b$, 那么

$ \begin{equation*} \begin{split} \|K^{†}-K_n^{†}\|&=\underset{\begin{smallmatrix} f\in D(K^{†}) \\ \left\| f \right\|=1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\sup }}\, \|\left(K^{†}-(KP_{X_n})^{†}\right)P_{\mathcal{R}(K)}f\|\\ &=\underset{\begin{smallmatrix} f\in D(K^{†}) \\ \left\| f \right\|=1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\sup }}\, \|\left(\frac{B_nx}{A_n}-\frac{Bx}{A}\right)\cdot b\|\\ &\leq\underset{\begin{smallmatrix} f\in D(K^{†}) \\ \left\| f \right\|=1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\sup }}\, \frac{\|A\|\|B_nx-Bx\|+\|Bx\|\|A_n-A\|}{\|A_n\|\|A\|}\cdot\|b\|, \end{split} \end{equation*} $

那么$\lim\limits_{n\to\infty}\|K^{†}-(KP_{X_n})^{†}\|=0.$

下面考虑有扰动的算子的抗扰稳定性问题, 即对任意的$S\in\mathcal{B}(X)$, 满足条件(1.5).令$\widetilde{K}=K+S$, 由文献[18]定理4可知$\|\widetilde{P}-P\|<1$, 其中$\widetilde{P}$, $P$分别是$Y$到$\mathcal{R}(K)$及$\mathcal{R}(K)$上的正交投影.再根据文献[28]可知$\dim\mathcal{R}(\widetilde{K})=\dim\mathcal{R}(K)=2<\infty$, 即$\widetilde{K}$, $K$都是有限秩算子, 那么$S=\widetilde{K}-K$也是有限秩算子, 即$\dim\mathcal{R}(S)<+\infty$, 再利用文献[29]引理4.2.1, 那么$\lim\limits_{n\to+\infty}\|S_n-S\|=0$, 则$\lim\limits_{n\to\infty}\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|=0.$

下面计算$\widetilde{K}^{†}$和$\widetilde{K}_n^{†}$.由于$\mathcal{R}(\widetilde{K})\bigcap\mathcal{R}(K)^{\bot}=\{0\}$, 利用文献[11]定理1可知

$ \widetilde{K}^{†}=\left(I_X-O(Q)\right)\left(I_X+K^{†}S\right)^{-1}K^{†}O\left(\widetilde{K}B\right), $

(13)

其中$Q=\left(I_X+K^{†}S\right)^{-1}\left(I_X-K^{†}K\right)$, $B=\left(I_X+K^{†}S\right)^{-1}K^{†}$, 这里$O(Q)$, $O(\widetilde{K}B)$表示从$X$到$\mathcal{R}(Q)$和从$X$到$\mathcal{R}(\widetilde{K}B)$的正交投影, 即

$ O(Q)=-Q(I-Q-Q^*)^{-1}, O(\widetilde{K}B)=-(\widetilde{K}B)\left(I-(\widetilde{K}B)-(\widetilde{K}B)^*\right)^{-1}, $

那么

$ \|\widetilde{K}^{†}\|\leq\frac{\|K^{†}\|}{1-\|K^{†}\|\|S\|}<+\infty. $

而$\lim\limits_{n\to\infty}\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|=0$, 那么存在$N\in\mathbb{N}^+$, 当$n>N$时, 有$\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|<\frac{1}{\|\widetilde{K}^{†}\|}, $即$\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|\|\widetilde{K}^{†}\|<1$.

由于$\mathcal{R}(\widetilde{K}_n)\subset\mathcal{R}(\widetilde{K})$, 那么$\mathcal{R}(\widetilde{K}_n)\bigcap\mathcal{R}(\widetilde{K})^{\bot}=\{0\}, $利用文献[11]定理1可知存在$N\in\mathbb{N}$, 当$n>N$时, 有

$ \widetilde{K}_n^{†}=\left(I_X-O(Q_1)\right)\left(I_X+\widetilde{K}^{†}(\widetilde{K}_n-\widetilde{K})\right)^{-1}\widetilde{K}^{†}O\left(\widetilde{K}_nB_1\right), $

其中

$ Q_1=\left(I_X+\widetilde{K}^{†}(\widetilde{K}_n-\widetilde{K})\right)^{-1}\left(I_X-\widetilde{K}^{†}\widetilde{K}\right), B_1=\left(I_X+\widetilde{K}^{†}(\widetilde{K}_n-\widetilde{K})\right)^{-1}\widetilde{K}^{†}, \|\widetilde{K}_n^{†}-\widetilde{K}^{†}\|\leq\frac{1+\sqrt{5}}{2}\frac{\|\widetilde{K}^{†}\|^2\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|}{1-\|\widetilde{K}^{†}\|\|\widetilde{K}_n-\widetilde{K}\|}<+\infty, $

即$\lim\limits_{n\to\infty}\|\widetilde{K}_n^{†}-\widetilde{K}^{†}\|=0$.

对$\lambda\in\mathbb{C}\backslash \{0\}$, 考虑第二类算子方程

$ \begin{equation} T\varphi:=(\lambda I-K)\varphi=\lambda \varphi-x\cdot\int_{-1}^1\varphi(y)dy+\int_{-1}^1y\varphi(y)dy=f. \end{equation} $

(3.1)

易知

$ \mathcal{N}(T)=\left\{ax+b\Big| a, b\in\mathbb{C}, \begin{bmatrix} \lambda&-2\\ \frac{2}{3}&\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \right\}, \;\;\;\mathcal{R}(T)=L_{\mathbb{C}}^2[-1, 1], $

且

$ \begin{equation*} \dim\mathcal{N}(\lambda I-K)=\begin{cases} 0, &\lambda\neq\pm2i/\sqrt{3}, \\ 1, &\lambda=\pm2i/\sqrt{3}. \end{cases} \end{equation*} $

并令$T_n:=TP_{X_n}, ~n\in\mathbb{N}, $其中$\{X_n\}$是$X$的一列适当的有限维子空间.

显然, 当$\lambda\neq0$, $\pm2i/\sqrt{3}$时, 算子$T$是双射, 利用Banach逆算子定理和Neumann级数, 易说明最佳逼近解的投影逼近格式经得起稳定扰动, 即

$ \left((T+S)P_{X_n}\right)^{-1}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\longrightarrow}(T+S)^{-1}~(n\to\infty). $

注 3.1  注意, 算子$T$为双射时, 此时子空间的选取如下

$ \begin{equation*} \begin{split} &X_n={{\bf{span}}}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-in\pi x}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi x}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi x}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{in\pi x}\right\}, \\ &Y_n={{\bf{span}}}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-in\pi y}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi y}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi y}, \cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}e^{in\pi y}\right\}. \end{split} \end{equation*} $

对任意的$f\in Y$, 方程(3.1)的解为

$ T^{-1}f=\frac{1}{\lambda}f(x)+\int_{-1}^1\frac{(-6xy-2)\frac{1}{\lambda}+3x-3y}{3\lambda^2+4}f(y)dy. $

相应的投影解为

$ \begin{equation*} \begin{split} \left(TP_{X_n}\right)^{-1}f&=\sum\limits_{k\neq0}\left(2\sum\limits_{m\neq0}\frac{(-1)^{m+k}}{mk\pi^2\overline{\lambda}^2M}e^{ik\pi x}+\frac{1}{2\overline{\lambda}}e^{ik\pi x}-\frac{(-1)^k}{k\pi\overline{\lambda}M}\right)\cdot\int_{-1}^1e^{ik\pi y}f(y)dy\\ & +\left(\sum\limits_{k\neq0}\frac{(-1)^k}{k\pi\overline{\lambda}M}e^{ik\pi x}+\frac{1}{2M}\right)\cdot\int_{-1}^1f(y)dy, \end{split} \end{equation*} $

其中$M=\overline{\lambda}+8/(\overline{\lambda}\pi^2)\cdot\sum\limits_{k=1}^n1/k^2$.

当$\lambda=\pm2i/\sqrt{3}$时, 此时$\dim\mathcal{N}(T)=1$, $\dim\mathcal{R}(T)=\infty$.易知

$ \lim\limits_{n\to\infty}\|(T_n+S_n)-(T+S)\|=0 $

将不会恒成立, 即条件(1.4)将无法再保证, 而Banach逆算子定理和Neumann级数仅适用于单射的情形.为了研究问题, 必须讨论稳定性条件

$ \sup\limits_n\|(T_n+S_n)^{†}\|<\infty $

是否成立, 根据文献[4]定理1.1, 这只需判断, 是否存在$n\in\mathbb{N}$, 使得条件$\mathcal{N}(T+S)\subset X_n$成立.一般地, 上述条件成立有赖于$\{X_n\}$的选取.在此我们给出$\{X_n\}$的一种选法使上式不成立, 从而说明此时方程(3.1)的收敛的投影近似格式经不起稳定扰动.

取$X_n$, $Y_n$为

$ \begin{equation*} \begin{split} &X_n={\bf{span}}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}P_0(x), \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}P_1(x), \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}P_2(x), \cdots, \frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2}}P_n(x)\right\}, \\ &Y_n={\bf{span}}\left\{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}P_0(y), \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}P_1(y), \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}P_2(y), \cdots, \frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2}}P_n(y)\right\}, \end{split} \end{equation*} $

其中

$ P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}\left\{(x^2-1)^n\right\}. $

对任意的$f\in Y$, 若$\lambda =-2i/(\sqrt{3})$, 此时方程的投影解为

$ \begin{equation*} \begin{split} \left(TP_{X_n}\right)^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(-i+\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy-\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &-\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{k=2}^n\int_{-1}^1(2k+1)P_k(y)f(y)dy. \end{split} \end{equation*} $

若$\lambda =2i/(\sqrt{3})$, 此时方程的投影解为

$ \begin{equation*} \begin{split} \left(TP_{X_n}\right)^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(i-\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy+\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &+\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{k=2}^n\int_{-1}^1(2k+1)P_k(y)f(y)dy. \end{split} \end{equation*} $

进一步, 对任意的$S\in\mathcal{B}(X)$, 若条件(1.4)成立, 如下定理成立.

定理3.1  对上述积分方程(3.1), 考虑形如(1.2)的投影方程, 其中$X_n$, $Y_n$如上所述, 那么对任意的$f\in Y$, 有

$ \left(TP_{X_n}\right)^{†}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\longrightarrow}T^{†}~(n\to\infty). $

从而积分方程(3.1)的最佳逼近解如下:对任意的$f\in Y$,

若$\lambda =-2i/(\sqrt{3})$, 此时

$ \begin{equation*} \begin{split} T^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(-i+\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy-\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &-\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{n=2}^{\infty}\int_{-1}^1(2n+1)P_n(y)f(y)dy; \end{split} \end{equation*} $

若$\lambda =2i/(\sqrt{3})$, 此时

$ \begin{equation*} \begin{split} T^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(i-\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy+\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &+\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{n=2}^{\infty}\int_{-1}^1(2n+1)P_n(y)f(y)dy. \end{split} \end{equation*} $

但是, 若$S$适合条件(1.4), 此时$\left((T+S)P_{X_n}\right)^{†}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\nrightarrow}(T+S)^{†}~(n\to\infty).$

证  由于$\mathcal{N}(T)\subset X_1$, 利用文献[4]定理1.1可知

$ \left(TP_{X_n}\right)^{†}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\longrightarrow}T^{†}~(n\to\infty). $

(ⅰ) 若$\lambda =-2i/(\sqrt{3})$, 此时

$ \begin{equation*} \begin{split} T^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(-i+\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy-\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &-\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{n=2}^{\infty}\int_{-1}^1(2n+1)P_n(y)f(y)dy. \end{split} \end{equation*} $

(ⅱ) 若$\lambda =2i/(\sqrt{3})$, 此时

$ \begin{equation*} \begin{split} T^{†}f=&\frac{\sqrt{3}}{16}(i-\sqrt{3}x)\int_{-1}^1f(y)dy+\frac{3}{16}(1+\sqrt{3}ix)\int_{-1}^1yf(y)dy\\ &+\frac{\sqrt{3}}{4}i\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\int_{-1}^1(2n+1)P_n(y)f(y)dy. \end{split} \end{equation*} $

下面考虑扰动的情况, 当$S\in\mathcal{B}(X)$, 下面给出反例, 说明在不补充其他条件的情况下, 经不起稳定扰动, 请看下面的反例.

对任意的$\varphi\in L_{\mathbb{C}}^2[-1, 1]$, 任意的充分小的正数$\varepsilon$, 令扰动算子

$ S(\varphi)=\varepsilon \varphi-\pi\varepsilon\sin\pi x\int_{-1}^1\varphi(y)dy-\left[\frac{(\lambda+\varepsilon)^2}{4(\varepsilon+\frac{1}{3})}+1\right]\int_{-1}^1y\varphi(y)dy, $

那么$S\in\mathcal{B}(X, Y)$, 且对充分小的$\varepsilon$, 满足条件(1.4), 那么

$ (T+S)(\varphi)=(\lambda+\varepsilon) x-(x+\varepsilon\pi\sin\pi x)\int_{-1}^1\varphi(y)dy-\frac{(\lambda+\varepsilon)^2}{4(\varepsilon+\frac{1}{3})}\int_{-1}^1y\varphi(y)dy, $

由于

$ \mathcal{N}(T+S)=\left\{\frac{x+\varepsilon\pi\sin\pi x}{\lambda+\varepsilon}a+\frac{\lambda+\varepsilon}{4(\varepsilon+\frac{1}{3})}b\bigg|a(\lambda+\varepsilon)-\frac{(\lambda+\varepsilon)^2}{2(\varepsilon+\frac{1}{3})}b=0\right\}, $

且$\dim\mathcal{N}(T+S)=1$, 但此时不存在$n\in\mathbb{N}$, 使得$\mathcal{N}(T+S)\subset X_n$, 由文献[4]定理1.1可知稳定性条件不满足, 即

$ \left((T+S)P_{X_n}\right)^{†}\overset{\mathop{\bf{s}}}{\nrightarrow}(\lambda I-T+S)^{†}(n\to\infty). $

对方程(1.5)引出的第一类算子方程(2.1), 我们得到了定理(2.1).实际上, 对于一般的有限秩算子, 定理(2.1)的结论也是成立的, 我们有如下的结论.

结论 4.1  对积分方程(1.1), 设$\dim\mathcal{R}(T)<\infty$, 考虑形如(1.2)式的投影方程, 其中$\{X_n\}$是$X$的一列有限维子空间, $T_n:=TP_{X_n}$, 且$\{X_n\}$满足

$ \dim X_n<+\infty, \;\;\;X_0\subset X_1\subset X_2\subset\cdots, \overline{\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}X_n}=X, $

$\left(X, \{X_n\}\right)$为完备(正交)投影格式.那么对任意的$f\in Y$, 有$T_n^{†}\overset{\mathop{\|\cdot\|}}{\longrightarrow}T^{†}(n\to\infty);$进一步, 若$S$适合条件(1.4), 那么

$ ((T+S)P_{X_n})^{†}\overset{\mathop{\|\cdot\|}}{\longrightarrow}(T+S)^{†}(n\to\infty). $

注 4.1  上述结论4.1, 仅仅只能适用于有限秩算子, 但是对于一般的无限维算子, 这个结论是不能成立的.

实际上, 这两种情况就是讨论了第二类积分方程中$\lambda$的选取问题, 情况一实际上讨论了$\lambda=0$, 情况二中讨论$\lambda$是否为算子$K$的特征值的情况, 这说明针对于算子(1.5), 第二类积分方程的最佳逼近解的投影逼近格式是否经得起稳定扰动, 与$\lambda$的选取有关.~因此可以给出如下的推论.

结论 4.2  已知积分算子(1.5), 设第二类积分方程

$ T\varphi:=(\lambda I-K)\varphi=\lambda \varphi-x\cdot\int_{-1}^1\varphi(y)dy+\int_{-1}^1y\varphi(y)dy=f. $

(4.1)

考虑形如(1.2)式的投影方程, 其中$\{X_n\}$是$X$的一列有限维子空间, $T_n:=TP_{X_n}$, 且$\{X_n\}$满足

$ {\bf{dim}} X_n<+\infty, \;\;\;X_0\subset X_1\subset X_2\subset\cdots, \;\;\;\overline{\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}X_n}=X, $

$\left(X, \{X_n\}\right)$为完备(正交)投影格式, 对任意的$n\in\mathbb{N}$, 满足稳定性条件: $\sup\limits_{n\to\infty}\|T_n^{†}\|<\infty$.令$\widetilde{T}:=T+S\in\mathcal{B}(X, Y)$, 其中$S\in\mathcal{B}(X, Y)$是任意充分小的扰动算子, 适合条件(1.4), 那么有如下结论

(1) 若$\lambda\neq\pm2i/\sqrt{3}$, 最佳逼近解的投影逼近格式经得起稳定扰动;

(2) 若$\lambda=\pm2i/\sqrt{3}$, 最佳逼近解的投影逼近格式经不起稳定扰动.