生物种群模型主要是用来描述、调节、控制和预测每个物种的发展过程和发展趋势, 从而对一些生态问题和自然生命现象做出合理的决策和方案, 其中Logistic种群系统作为最基本的一类生物数学模型, 已经被广大学者所研究. 1993年, Gopalsamy和Weng考虑到物种在其生存的环境中可能会受到负反馈的影响, 譬如有毒的剩余残渣的积累, 人为的控制调节等.同时考虑到种群的密度变化和种群生命运行规律活动的演化过程不是瞬时发生的, 而是有一定的时间延迟的; 大量事实也表明许多事物的变化规律不仅依赖于当前的状态，还与过去的历史有关, 即受时间滞后的影响.于是提出了如下一类具有反馈控制的logistic模型^[1]

$ \begin{equation} \label{f1} \left\{ \begin{aligned} \frac{dx(t)}{dt} &=x(t)[r-ax(t)-bx(t-\tau)-cu(t)], \\ \frac{du(t)}{dt} &=-eu(t)+fx(t), \end{aligned} \right. \end{equation} $

(1.1)

其中$x(t)$是种群在$t$时刻的种群密度, $u(t)$是反馈控制变量; $r$表示内凛增长率; $a, ~b$表示同种群的竞争系数, 且$r, ~a, ~b, ~c, ~e, ~f$为正常数.他们探讨该系统平衡点的全局渐近稳定性等性态.近年来, 具有反馈控制的种群系统受到广大学者的关注^[2-5].

然而, 在现实环境中, 种群不可避免的会受到环境中各种细小的随机因子的干扰, 如某天突然下场雨、温度突然升高等等, 捕食者与食饵的随机相遇等, 这些细小的随机因子可以综合看成是白噪声的作用.因此环境白噪声对种群的影响是不可忽视的且考虑白噪声的干扰将更加有实际意义.目前已经引起了广大学者的高度重视^[6-8]. Mao ^[6]指出环境白噪声的干扰可能会影响出生率, 死亡率和竞争系数等其他参数.在这里假设环境白噪声主要影响系统(1)的增长率$r$.而我们通常估计一个值都是通过它的平均值加上它的误差项, 即$r\rightarrow r+\sigma \dot{B}(t)$, 其中$\dot{B}(t)$代表白噪声, 而$\sigma^2$代表白噪声的浓度, $\sigma\geq0$. $B(t)$是定义在完备概率空间$(\Omega, F, P)$上的布朗运动, 且$B(0)=0$.因此在系统(1.1)的基础上提出如下一类具有反馈控制和时滞的随机logistic种群模型

$ \begin{equation} \label{f2} \left\{ \begin{aligned} {dx(t)}&=x(t)[r-ax(t)-bx(t-\tau)-cu(t)]{dt}+\sigma x(t)dB(t), \\ {du(t)} &=[-eu(t)+fx(t)]{dt}. \end{aligned} \right. \end{equation} $

(1.2)

令初始条件为

$ \begin{equation}\label{f3} x(\theta)=\varphi(\theta)>0, \theta\in[-\tau, 0], u(0)>0. \end{equation} $

(1.3)

对于具有反馈控制的随机种群模型的研究成果还很少, 因此在这里也没有太多的文献可以借鉴.为了方便起见, 给出了下列记号

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &R_+^*=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i>0, i=1, 2, \cdots, n\}, \langle f(t)\rangle=t^{-1}\int_{0}^{t}f(s)ds, \\ &\langle f(t)\rangle^*=\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty}t^{-1}\int_{0}^{t}f(s)ds, \langle f(t)\rangle_*=\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty}t^{-1}\int_{0}^{t}f(s)ds. \end{aligned} \end{equation*} $

因为$x(t)$代表种群的密度, 那么它应该是非负的.因此首先就是讨论系统(1.2)存在唯一全局正解.

定理 2.1  对任意给定的正初始值满足条件(1.3), 系统(1.2)存在唯一全局正解$(x(t), u(t))$ $(t\geq-\tau)$, 且此解以概率1停留在$R_+$内.

证  因为系统(1.2)的系数满足局部Lipschitz条件, 那么对于任意给定的正初始值满足条件(1.3), 存在唯一的局部解$(x(t), u(t))$在$[-\tau, \tau_e)$, 其中$\tau_e$是爆破时间.

为了去证明系统(1.2)的解是全局正解, 那么只要证明$\tau_e=\infty$.设$n_0>0$充分大, 使得初始值落入区间$[1/n_0, n_0]$, 对于每一个正整数$n>n_0$, 定义停时

$ \begin{equation} \label{f4} \tau_n=\inf\{t\in[0, \tau_e): x(t)\notin(1/n, n), u(t)\notin(1/n, n) \}. \end{equation} $

(2.1)

显然$\tau_n$随着$n\rightarrow+\infty$是递增的, 设$\tau_{\infty}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\tau_n$, 因此$\tau_{\infty}\leq\tau_{e}$.所以只需要证明$\tau_{\infty}=+\infty$.使用反证法, 如果结论是错的, 那么这里一定存在常数$T>0$和$\varepsilon\in(0, 1)$, 使得$P(\tau_{\infty}<T)>\varepsilon$, 即存在一个整数$n_1>n_0$, 有$P(\tau_{n}<T)>\varepsilon, ~n>n_1$.

定义一个函数$V(x, u)=x+1-\ln x+\frac{cu}{e}$,

$ \begin{equation*} \begin{aligned} dV(x, u) &=\{(x-1)[r-ax(t)-bx(t-\tau)-cu]+o.5\sigma^2-cu+\frac{cfx}{e}\}dt+\sigma(x-1)dB(t)\\ &\leq [r+\frac{cf}{e}+a]x-ax^2+bx(t-\tau)+0.5\sigma^2]dt+\sigma(x-1)dB(t). \end{aligned} \end{equation*} $

上式从0到$\tau_n\wedge T$积分再取均值有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &EV(x(\tau_n\wedge T), u(\tau_n\wedge T))-V(x(0), u(0))\\ \leq& E\int_0^{\tau_n\wedge T} [r+\frac{cf}{e}+a+b]x-ax^2+0.5\sigma^2ds +b\int_{-\tau}^{0}x(s)ds. \end{aligned} \end{equation*} $

很容易知道一定会存在正常数$K$, 有

$ [r+\frac{cf}{e}+a+b]x-ax^2+0.5\sigma^2+bT^{-1}\int_{-\tau}^{0}x(s)ds\leq K. $

则

$ \begin{equation*} EV(x(\tau_n\wedge T), u(\tau_n\wedge T))\leq V(x(0), u(0))+KT. \end{equation*} $

由于剩下的证明跟文献[7]的证明类似, 在这里就省略了.

本节主要是探讨系统(1.2)解的均值稳定性与灭绝性.首先先介绍几个引理.

引理 3.1 ^[8]  假设$Z(t, \omega)\in C(R_+, \Omega)$.

(1) 如果存在正常数$\mu$和$T$, 使得对任意的$t\geq T$, 有

$ \ln Z(t)\leq \lambda t-\mu\int_0^tZ(s)ds+\sum\limits_{i=1}^n\beta_iB_i(t), $

那么

$ \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &\langle Z(t)\rangle^*\leq\frac{\lambda}{\mu}~~{\rm a.s.} ~~\lambda\geq0, \\ &\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}Z(t)=0~~{\rm a.s.}~~ \lambda\leq0. \end{aligned}\right. \end{equation*} $

(2) 如果存在正常数$\lambda$, $\mu$和$T$, 使得对任意的$t\geq T$, 有

$ \ln Z(t)\geq \lambda t-\mu\int_0^tZ(s)ds+\sum\limits_{i=1}^n\beta_iB_i(t), $

那么$\langle Z(t)\rangle^*\geq\frac{\lambda}{\mu} ~~{\rm a.s.}$

引理 3.2 ^[9]  考虑随机微分方程$dx=x[r-ax]dt+\sigma xdB(t)$, 其中$r, ~a, ~\sigma$为正常数.当$r>0.5\sigma^2$时, 对于任意的初始值$x_0>0$, 方程的解$x$有

$ \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\ln x(t)/t=0~~{\rm a.s.}, ~~ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle x(t)\rangle=\frac{r-0.5\sigma^2}{a}~~{\rm a.s..} \end{equation*} $

定理 3.1  当$r\neq0.5\sigma^2$时, 对任意初始值满足(1.3), 则系统(1.2)有

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{\ln x(t)}{t}\leq0, ~~ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{u(t)}{t}=0~~{\rm a.s..} $

证  由系统(1.2)显然有$dx\leq x[r-ax]dt+\sigma xdB(t)$.

设$X(t)$是下面这个随机微分方程的解

$ \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &dX(t)=X(t)[r-aX(t)]dt+\sigma X(t)dB(t), \\%rt-0.5\sigma^2t+\sigma B(t)rs-0.5\sigma^2s+\sigma B(s), &X(0)=x(0). \end{aligned}\right. \end{equation*} $

上式方程有如下复杂的显式解

$ X(t)=\frac{\exp\{rt-0.5\sigma^2t+\sigma B(t)\}}{x^{-1}(0)\displaystyle\int_{0}^t\exp\{rs-0.5\sigma^2s+\sigma B(s)\}ds}. $

同样根据方程(1.2)的第二个方程有

$ u(t)=\frac{f\displaystyle\int_0^tx(s)\exp\{es\}ds+u(0)}{\exp\{et\}}. $

如果$r<0.5\sigma^2$, 由比较原理可知

$ x(t)\leq X(t)\leq x(0)\exp\{[r-0.5\sigma^2+\sigma \frac{B(t)}{t}]t\}. $

由于$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{B(t)}{t}=0$, 易知

$ \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x(t))}{t}\leq0~{\rm a.s.}, $

且$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}x(t)=0~{\rm a.s.}$, 故显然有$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{u(t)}{t}=0~~{\rm a.s.}$.

如果$r>0.5\sigma^2$, 那么

$ \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x(t))}{t}\leq\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{\ln(X(t))}{t}=0, ~~{\rm a.s.}. $

对$\exp\{et\}\ln X(t)$应用伊藤公式,

$ \begin{equation*} \begin{aligned} d\exp\{et\}\ln X(t)&=e\exp\{et\}\ln X(t)dt+\frac{\exp\{et\}}{X(t)}dX(t)-\frac{\exp\{et\}\sigma^2}{2X^2(t)}(dX(t))^2\\ &=\exp\{et\}[e\ln X(t)+(r-0.5\sigma^2)-aX(t)]dt+\sigma\exp\{et\}dB(t), \end{aligned} \end{equation*} $

然后两边同时在[0, t]上积分再除以$t\exp\{et\}$有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{a\displaystyle\int_0^tX(s)\exp\{es\}ds}{t\exp\{et\}}=&\frac{\ln X(0)}{t\exp\{et\}}-\frac{\ln X(t)}{t}+\frac{e\displaystyle\int_0^t\exp\{es\}\ln X(s)ds}{t\exp\{et\}}\\ &+\frac{(r-0.5\sigma^2)[\exp\{et\}-1]}{t\exp\{et\}}+\frac{\displaystyle\int_0^t\sigma\exp\{es\}dB(s)}{t\exp\{et\}}, \end{aligned} \end{equation*} $

那么根据积分中值定理有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{a\displaystyle\int_0^tX(s)\exp\{es\}ds}{t\exp\{et\}}=&\frac{\ln X(0)}{t\exp\{et\}}+\frac{\ln X(\tau_1)}{t}-\frac{\ln X(\tau_1)}{t\exp\{et\}}+\frac{(r-0.5\sigma^2)[\exp\{et\}-1]}{t\exp\{et\}}\\ &-\frac{\ln X(t)}{t}+\frac{\sigma B(t)}{t}+\frac{e\sigma B(\tau_2)(\exp\{et\}-1)}{t\exp\{et\}}, \end{aligned} \end{equation*} $

其中$\tau_1, ~\tau_2\in[0, t]$.由引理3.2和$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{B(t)}{t}=0$, 有

$ \begin{equation*} 0\leq\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{a\displaystyle\int_0^tx(s)\exp\{es\}ds+u(0)}{t\exp\{et\}}\leq \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{a\displaystyle\int_0^tX(s)\exp\{es\}ds+u(0)}{t\exp\{et\}}=0. \end{equation*} $

故$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\frac{u(t)}{t}=0$.证明完成.

定理 3.2  对于任意初始值满足条件(1.3),

(1) 如果$r-0.5\sigma^2<0$, 那么种群$x(t)$将趋于灭绝.即$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}x(t)=0, \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}u(t)=0~~{\rm a.s..}$

(2) 如果$r-0.5\sigma^2>0$, 那么种群$x(t)$均值稳定.即

$ \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}\langle x(t)\rangle=\frac{(r-0.5\sigma^2)e}{ae+be+cf}, \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}u(t)=\frac{(r-0.5\sigma^2)f}{ae+be+cf}~~{\rm a.s..} $

证  对(1.2)式应用伊藤公式, 有

$ \begin{eqnarray} \frac{\ln x(t)-\ln x(0)}{t}=[r-0.5\sigma^2-a\langle x(t)\rangle-b\langle x(t-\tau)\rangle-c\langle u(t)\rangle]+\frac{\sigma B(t)}{t}, \end{eqnarray} $

(3.1)

$ \begin{eqnarray} \frac{u(t)- u(0)}{t}=-e\langle u(t)\rangle+f\langle x(t)\rangle. \end{eqnarray} $

(3.2)

由(3.1)式可知

$ \begin{equation*} \frac{\ln x(t)-\ln x(0)}{t}\leq[r-0.5\sigma^2-a\langle x(t)\rangle]+\frac{\sigma B(t)}{t}. \end{equation*} $

(1) 当$r-0.5\sigma^2<0$时, 根据引理3.1可知$\lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}x(t)=0, \lim\limits_ {t\rightarrow+\infty}u(t)=0~~{\rm a.s..}$

(2) 当$r-0.5\sigma^2>0$时, 由(3.1)式可知

$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\ln x(t)-\ln x(0)}{t}=&[r-0.5\sigma^2-(a+b)\langle x(t)\rangle-c\langle u(t)\rangle]+\frac{\sigma B(t)}{t}\\ &-b[t^{-1}\displaystyle\int_{-\tau}^0x(s)ds+t^{-1}\displaystyle\int_{t}^{t-\tau}x(s)ds]. \end{aligned} \end{equation} $

(3.3)

根据引理3.2可得

$ \begin{equation*} 0\geq t^{-1}\displaystyle\int_{t}^{t-\tau}x(s)ds\geq t^{-1}\displaystyle\int_{t}^{t-\tau}X(s)ds=t^{-1}\displaystyle\int_{0}^{t-\tau}x(s)ds-t^{-1}\displaystyle\int_{0}^{t}x(s)ds\rightarrow0~~ (t\rightarrow+\infty). \end{equation*} $

因此对于$\varepsilon>0$, 假设$\varepsilon$足够的小, 使得$r-0.5\sigma^2-\varepsilon>0$, 存在常数$T>0$, 当$t\geq T$时, 有

$ \begin{array}{l} -\frac{\varepsilon}{3}\leq b[t^{-1}\displaystyle\int_{-\tau}^0x(s)ds+t^{-1}\displaystyle\int_{t}^{t-\tau}x(s)ds]\leq\frac{\varepsilon}{3}, -\frac{\varepsilon}{3}\leq \frac{\ln x(0)}{t}\leq-\frac{\varepsilon}{3}, \\ -\frac{\varepsilon}{3}\leq\frac{c}{e}\frac{u(t)- u(0)}{t}\leq\frac{\varepsilon}{3}. \end{array} $

把上面不等式代入等式(3.1)和(3.2)可得

$ \frac{\ln x(t)}{t}\leq[r-0.5\sigma^2+\varepsilon-(a+b+\frac{cf}{e})\langle x(t)\rangle]+\frac{\sigma B(t)}{t}, $

(3.4)

$ \frac{\ln x(t)}{t}\geq[r-0.5\sigma^2-\varepsilon-(a+b+\frac{cf}{e})\langle x(t)\rangle]+\frac{\sigma B(t)}{t}, $

(3.5)

那么由(3.4), (3.5)式和引理3.1可知

$ \begin{equation*} \frac{r-0.5\sigma^2-\varepsilon}{a+b+\frac{cf}{e}}\leq \langle x(t)\rangle_*\leq\langle x(t)\rangle^*\leq\frac{r-0.5\sigma^2+\varepsilon}{a+b+\frac{cf}{e}}. \end{equation*} $

由$\varepsilon$的任意性可知

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle x(t)\rangle=\frac{(r-0.5\sigma^2)e}{ae+be+cf} ~~{\rm a.s.}, $

故

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle u(t)\rangle=\frac{(r-0.5\sigma^2)f}{ae+be+cf} ~~{\rm a.s..} $

完成证明.

上一节已经讨论了一类具有反馈控制和时滞的logistic种群模型的均值稳定性和灭绝性.现在把它推广到更一般的情形, 考虑$n$个相互竞争种群, 同样我们考虑环境白噪声的干扰, 在这里假设种群可能同时受到$n$个独立的白噪声源的影响, 假设白噪声主要影响种群的增长率, 因此采用下面这种扰动形式, 如文献[10], 即$r_i\rightarrow r_i+\sum\limits_{j=1}^n\sigma_{ij}B_j(t), ~~i=1, 2, \cdots, n$, 其中$\sigma_{ij}\geq0$.

下面就来考虑一类具有反馈控制的$n$个种群的随机Lotka-Valterra竞争系统

$ \begin{equation} \label{f10} \left\{ \begin{aligned} &dx_i(t) =x_i(t)[r_i-\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x(t)-\sum\limits_{j=1}^nb_{ij}x_j(t-\tau_{ij})-\sum\limits_{j=1}^nc_{ij}u_j(t)]dt+\sum\limits_{j=1}^n\sigma_{ij}x_i(t)dB_j(t), \\ &du_i(t)=-e_iu_i(t)+\sum\limits_{j=1}^nf_{ij}x_j(t);~~~~r_i, ~a_{ij}, ~b_{ij}, ~c_{ij}, e_i, f_{ij}\in(0, +\infty); ~~i, ~ j=1, ~2, \cdots, ~n, \end{aligned} \right. \end{equation} $

(4.1)

其中$x_i(t)$代表第$i$个种群的种群密度; $u_i(t)$表示反馈控制变量; $\tau_{ij}\geq0$代表时滞, $i, ~j=1, ~2, \cdots, ~n$.令初始条件

$ x_i(\theta)=\varphi_i(\theta)>0, ~~\theta\in[-\tau, 0], ~u_i(0)>0, ~~i=1, 2, \cdots, n, ~~\tau=\max\limits_{i, j=1, 2, \cdots, n}\{\tau_{ij}\}. $

为了方便起见, 假设非空集合$I=\{1, 2, \cdots, n\}$, $I_m=\{l_1, l_2, \cdots, l_m\}$且集合$J$满足

$ J\bigcap I_m=\emptyset, ~~I=I_m\bigcup J, $

其中$l_1<l_2<\cdots<l_m.$

设

$ R_i=r_i-0.5\sum\limits_{j=1}^n\sigma_{ij}^2, h_{ij}=a_{ij}+b_{ij}+\sum\limits_{l=1}^n\frac{c_{il}f_{ij}}{e_i}, A=|h_{ij}|_{n\times n}, B=|h_{l_il_j}|_{m\times m}, $

$A_{ki}$表示行列式$A$第$k$行第$i$列的余子式, $B_{ki}$表示行列式$B$第$k$行第$i$列的余子式.

$ \begin{eqnarray*}&M_i=\left| \begin{array}{ccccccc} h_{11}& \cdots& h_{1(i-1)}&R_1&h_{1(i+1)}& \cdots&h_{1n} \\ h_{21}& \cdots& h_{2(i-1)}&R_2&h_{2(i+1)}& \cdots&h_{2n} \\ \cdots& \cdots&\cdots& \cdots&\cdots \\ h_{n1}& \cdots& h_{n(i-1)}&R_n&h_{n(i+1)}& \cdots&h_{nn} \\ \end{array} \right| , ~~i=1, ~2, \cdots, ~n, \\ &G_i=\left| \begin{array}{ccccccc} h_{l_1l_1}& \cdots& h_{l_1l_{(i-1)}}&R_{l_1}&h_{l_1l_{(i+1)}}& \cdots&h_{l_1l_m} \\ h_{l_2l_1}& \cdots& h_{l_2l_{(i-1)}}&R_{l_2}&h_{l_2l_{(i+1)}}& \cdots&h_{l_2l_m} \\ \cdots& \cdots&\cdots& \cdots&\cdots \\ h_{l_ml_1}& \cdots& h_{l_ml_{(i-1)}}&R_{l_m}&h_{l_ml_{(i+1)}}& \cdots&h_{l_ml_m} \\ \end{array} \right| , ~~i=1, ~2, \cdots, ~m.\end{eqnarray*} $

定理 4.1  对任意给定的正初始值, 系统(4.1)存在唯一全局正解$(t\geq-\tau)$.如果$R_i\neq0$, 则系统(4.1)的解有

$ \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{\ln x_i(t)}{t}\leq0, ~~\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{u_i(t)}{t}=0~~{\rm a.s.}~~i=1, 2, \cdots, n. \end{equation*} $

证  构造函数$V(X(t), U(t))=\sum\limits_{i=1}^n(x_i+1-\ln x_i+\frac{c_i}{e_i}u_i)$.方法跟定理2.1, 定理3.1的证明类似, 在这里就省略了.

定理 4.2  如果$R_i>0$且$A>0$, 那么$M_i<0$, $i=1, 2, \cdots, n$不能同时成立.

证  假设结论不成立, 那么$M_i<0, ~i=1, 2, \cdots, n$, 容易得出$M_i=\sum\limits_{k=1}^nR_kA_{ki}<0$.因为$h_{ij}$都是正常数, 故$h_{1i}M_i=\sum\limits_{k=1}^nR_kh_{1i}A_{ki}<0$.那么很容易看出

$ \sum\limits_{i=1}^nh_{1i}M_i=\sum\limits_{k=1}^nR_k\sum\limits_{i=1}^nh_{1i}A_{ki}=R_1A<0. $

也就是说$A<0$, 显然与$A>0$矛盾.完成证明.

定理 4.3 (ⅰ) 假设$R_i>0$且$A>0, ~i=1, 2, \cdots, n$,

(a) 如果$M_i>0$, $A_{ii}>0$和$A_{ki}\leq 0~(k\neq i, ~~ k, i=1, 2, \cdots, n)$, 那么种群$x_i$均值稳定.即$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle x_i(t)\rangle=M_i/A~{\rm a.s.}~~i=1, 2, \cdots, n.$

(b) 假设$M_{l_i}>0$且$M_k<0$, $l_i\in I_m, k\in J$, 如果$B>0, G_i>0, B_{ii}>0$和$B_{ki}\leq0$ $(k\neq i, k, ~i=1, 2, \cdots, n)$, 那么种群$x_{l_i}$均值稳定, 种群$x_k$将趋于灭绝.即

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle x_{l_i}(t)\rangle=G_i/B~~{\rm a.s.}~~l_i\in I_m, ~~i=1, 2, \cdots, m., ~~\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x_k(t)=0~~{\rm a.s.}~~ k\in J. $

(ⅱ) 如果$R_i<0$, 那么种群$x_i$将趋于灭绝.即$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x_i=0~~ {\rm a.s.} ~~i=1, 2, \cdots, n.$

(ⅲ) 假设$R_{l_i}>0$且$R_k<0$, $l_i\in I_m, k\in J$, 如果$B>0, G_i>0, B_{ii}>0$和$B_{ki}\leq0$ $(k\neq i, ~~ k, ~i=1, 2, \cdots, n)$, 那么种群$x_{l_i}$均值稳定, 种群$x_k$将趋于灭绝.即

$ \lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\langle x_{l_i}(t)\rangle=G_i/B~~{\rm a.s.}~~l_i\in I_m, ~~i=1, 2, \cdots, m, ~~\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x_k(t)=0~~{\rm a.s.}~~ k\in J. $

证  对于(4.1)式应用伊藤公式, 有

$ \begin{array}{l} \frac{\ln x_i(t)/x_i(0)}{t}&=\;\;[R_i-\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\langle x_j(t)\rangle-\sum\limits_{j=1}^nb_{ij}\langle x_j(t-\tau_{ij})\rangle-\sum\limits_{j=1}^nc_{ij}\langle u_j(t)\rangle]\\ &+\sum\limits_{j=1}^n\frac{\sigma_{ij}B_j(t)}{t}, \end{array} $

(4.3)

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^n\frac{c_{ij}}{e_i}\frac{u_i(t)-u_i(0)}{t}\;\;=\;\;-\sum\limits_{j=1}^nc_{ij}\langle u_i(t)\rangle+\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\frac{f_{ij}c_{ik}}{e_i}\langle x_j(t)\rangle, \end{eqnarray} $

(4.4)

$ \begin{eqnarray}\langle x_j(t-\tau_{ij})\rangle\;\;=\;\;t^{-1}[\displaystyle\int_{-\tau_{ij}}^{0}x_j(s)ds+\displaystyle\int_{t}^{t-\tau_{ij}}x_j(s)ds]+\langle x_j(t)\rangle. \end{eqnarray} $

(4.5)

结合(4.2), (4.4)和(4.5)式可得

$ \begin{equation}\label{f14} \begin{aligned} &\sum\limits_{k=1}^nA_{ki}[\frac{\ln x_k(t)/x_k(0)}{t}-\sum\limits_{j=1}^n\frac{c_{kj}}{e_k}\frac{u_k(t)-u_k(0)}{t}]=\sum\limits_{k=1}^nA_{ki}R_i-\sum\limits_{k=1}^nA_{ki} \sum\limits_{j=1}^nh_{kj}\langle x_j(t)\rangle\\ &+\sum\limits_{k=1}^nA_{ki}\sum\limits_{j=1}^n\frac{\sigma_{kj}B_j(t)}{t}-\sum\limits_{k=1}^nA_{ki}\sum\limits_{j=1}^nb_{kj}t^{-1}[\displaystyle\int_{-\tau_{kj}}^{0}x_j(s)ds+\displaystyle\int_{t}^{t-\tau_{kj}}x_j(s)ds] \\=&M_i-A\langle x_i(t)\rangle+\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\{\frac{A_{ki}\sigma_{kj}B_j(t)}{t}- \frac{b_{kj}A_{ki}}{t}[\displaystyle\int_{-\tau_{kj}}^{0}x_j(s)ds+\displaystyle\int_{t}^{t-\tau_{kj}}x_j(s)ds]\}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.6)

根据定理3.1的证明和定理4.1可知$\forall \varepsilon>0$, 存在$T>0$, 当$t\geq T$, 有

$ \begin{array}{l} \frac{-\varepsilon}{3}\leq\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\frac{b_{kj}A_{ki}}{t}[\displaystyle\int_{-\tau_{kj}}^{0}x_j(s)ds+\displaystyle\int_{t}^{t-\tau_{kj}}x_j(s)ds]\leq\frac{\varepsilon}{3}, \\ \frac{-\varepsilon}{3}\leq\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\frac{c_{kj}A_{ki}}{e_k}\frac{u_k(t)-u_k(0)}{t}\leq\frac{\varepsilon}{3}, ~~\sum\limits_{k=1, k\neq i}^n A_{ki}\frac{\ln x_k(t)/x_k(0)}{t}\geq\frac{-\varepsilon}{3}.\end{array} $

把上面不等式代入(4.6)式可得

$ \begin{eqnarray} A_{ii}\frac{\ln x_i(t)/x_i(0)}{t}\leq M_i+\varepsilon-A\langle x_i(t)\rangle+\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\frac{A_{ki}\sigma_{kj}B_j(t)}{t}, \end{eqnarray} $

(4.7)

$ \begin{eqnarray} A_{ii}\frac{\ln x_i(t)/x_i(0)}{t}\geq M_i+\varepsilon-A\langle x_i(t)\rangle+\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\frac{A_{ki}\sigma_{kj}B_j(t)}{t}. \end{eqnarray} $

(4.8)

(ⅰ) (a)如果$R_i>0, ~A>0, ~A_{ii}>0, ~M_i>0, ~i=1, 2, \cdots, n.$由(4.7), (4.8)式和引理3.1, 有

$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \langle x_i(t)\rangle=M_i/A~~ {\rm a.s.}~~i=1, 2, \cdots, n. $

(ⅰ) (b)如果$R_k>0, A_{kk}>0, ~M_k<0, ~k\in J$.令$\varepsilon$足够小, 使得$M_k+\varepsilon<0$, 由(4.7)式和引理3.1, 有$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} x_k(t)=0~~ {\rm a.s.}~~k\in J.$, 那么

$ \begin{equation} \begin{aligned} &\sum\limits_{k=1}^mB_{ki}[\frac{\ln x_{l_k}(t)/x_{l_k}(0)}{t}-\sum\limits_{j=1}^m\frac{c_{l_kl_j}}{e_k}\frac{u_{l_k}(t)-u_{l_k}(0)}{t}]\\ =&G_i-B\langle x_{l_i}(t)\rangle +\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^m\{\frac{B_{ki}\sigma_{l_kl_j}B_{l_j}(t)}{t}- \frac{b_{l_kl_j}B_{ki}}{t}[\displaystyle\int_{-\tau_{l_kl_j}}^{0}x_{l_j}(s)ds+\displaystyle\int_{t}^{t-\tau_{l_kl_j}}x_{l_j}(s)ds]\}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.9)

由上面的方法可知

$ B_{ii}\frac{\ln x_{l_i}(t)/x_{l_i}(0)}{t}\leq G_i+\varepsilon-B\langle x_{l_i}(t)\rangle+\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^m\frac{B_{ki}\sigma_{l_kl_j}B_{l_j}(t)}{t}, $

(4.10)

$ B_{ii}\frac{\ln x_{l_i}(t)/x_{l_i}(0)}{t}\geq G_i-\varepsilon-B\langle x_{l_i}(t)\rangle+\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^m\frac{B_{ki}\sigma_{l_kl_j}B_{l_j}(t)}{t}. $

(4.11)

如果$B>0, ~B_{ii}>0, ~G_i>0, ~i=1, 2, \cdots, m$, 由(4.10), (4.11)式和引理3.1, 有$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \langle x_{l_i}(t)\rangle=G_i/B~~ {\rm a.s.}~~i=1, 2, \cdots, m.$

(ⅱ) 如果$R_i<0, ~i=1, 2, \cdots, n$, 那么

$ \frac{\ln x_i(t)/x_i(0)}{t}\leq R_i+\sum\limits_{j=1}^n\frac{\sigma_{ij}B_j(t)}{t}, $

又因为$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{B_j(t)}{t}=0~~{\rm a.s.}$, 故$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}x_i(t)=0~~{\rm a.s.}$ $i=1, 2, \cdots, n.$

(ⅲ) 如果$R_k<0, ~k\in J$, 根据(ⅰ) (b)的证明易得

$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\langle x_{l_i}(t)\rangle=\frac{G_i}{B}~~{\rm a.s.}~~ i=1, 2, \cdots, m, \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}x_k(t)=0~~{\rm a.s..} $

在这里就省略了.

本文首先探讨了一类具有反馈控制的随机logistic种群模型, 当$r-0.5\sigma^2>0$时, 种群$x$均值稳定, 当$r-0.5\sigma^2<0$时, 种群$x$灭绝.显然反馈没有影响该种群的均值持久性与灭绝性.接着我们在此基础上把他推广到$n$个种群上, 构建了一类具有时滞和反馈控制的$n$个种群的随机Lotka-Volerra竞争系统, 并获得了该系统中的每一个种群的均值稳定和灭绝的充分条件.