近年来, 有大量的文献关注复差分方程的亚纯解的增长性问题, 例如参考文献[1]和[2]等.本文主要考察以下形式的线性差分方程

$ A_n(z)f(z+n)+\cdots+A_1(z)f(z+1)+A_0(z)f(z)=0, $

(1.1)

其中$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$均是整函数.

2008年, Chiang和Feng研究了方程(1.1)解的增长性, 并给出了其解增长级的一个下界估计.

定理 A^[3]  设$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$均为多项式, 且存在$l:0\leq l\leq n$使得$\max\{\deg(P_j):0\leq j\leq n, j\neq l\}<\deg(P_l)$.如果$f(z)$是方程(1.1)的任意非零亚纯解, 则必有$\rho(f)\geq 1$.

同时, 他们还考虑了方程系数为超越整函数的情形, 也给出了方程解的增长级的下界估计.

定理 B^[3]  设$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$均为整函数, 且存在$l:0\leq l\leq n$使得$\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n, j\neq l\}<\rho(A_l)$.如果$f(z)$是方程(1.1)的任意非零亚纯解, 则必有$\rho(f)\geq\rho(A_l)+1$.

当系数都是多项式时, 称次数等于$\max\{\deg P_j(z):0\leq j\leq n\}$的系数为主导系数; 当系数有超越整函数时, 称增长级等于$\max\{\rho(A_j(z):0\leq j\leq n\}$的系数为主导系数.注意到定理A和定理B的共同点就是都只有一个主导系数.如果方程拥有多个主导系数时, 是否还有相应结论？这个问题引起很多研究人员的关注. 2011年, 陈宗煊考虑了这个问题, 在弱化定理A的条件下, 得到如下定理.

定理 C^[2]  设系数$P_0(z), \cdots, P_n(z)$均为多项式, 且满足$P_n(z)P_0(z)\not\equiv 0$和

$ \deg (P_n+\cdots+P_0)=\max\{\deg P_j:j=0, \cdots, n\}\geq1. $

(1.2)

如果$f(z)$是方程(1.2)的任意非零解亚纯解, 则必有$\rho(f)\geq 1$.

Laine和Yang改进了定理B, 并证明了以下结果.

定理 D^[4]  假设$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$均为有穷级整函数, $w_j~(j=0, \cdots, n)$为任意复常数, 且型最大的主导系数仅有一个.记$\rho=\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n\}$, 则方程

$ A_n(z)f(z+w_n)+\cdots+A_1(z)f(z+w_1)+A_0(z)f(z)=0 $

(1.3)

的任意非零解都满足$\rho(f)\geq\rho+1$.

同时, Laine和Yang还提出如下问题.

问题  如果方程型最大的主导系数不止一个, 定理B或定理D的结论是否还成立?

2015年, Heittokangas ^[5]等应用Phragmén-Lindelöf指标函数来研究二阶微分线性微分方程解的增长性, 得到很多结果.受到文献[5]的研究方法的启发, 本文利用指标函数研究高阶线性差分方程问题, 为此先回顾Phragmén-Lindelöf指标函数的定义.

对于一个有穷正级整函数$g(z)$, 其指标函数定义为

$ h_g(\theta)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log |g(re^{i\theta})|}{r^{\rho(g)}}, ~~\theta\in[-\pi, ~\pi). $

如果$g(z)$的型有限, 则$h_g(\theta)$是一个连续有上界的函数.且对任意$\varepsilon>0$, 易知

$ \limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log |g(re^{i\theta})|}{r^{\rho(g)+\varepsilon}}=0. $

(1.4)

为了方便叙述起见, 我们引入以下符号.对于$n+1$个有穷正级的整函数$A_j$ $(j=0, \cdots, n), $$\rho=\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n\}$, 记主导函数指标集为$D(n)$, 即$D(n)=\{j:\rho(A_j)=\rho\}$, 并用$|D(n)|$表示$D(n)$的元素个数.

本文得到如下几个结果.

定理 1.1  设$A_j(z)(j=0, \cdots, n)$是有穷正级整函数且至多有一个为无穷型, $w_j(j=0, \cdots, n)$为任意复常数, 记$\rho=\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n\}$.如果方程

$ A_n(z)f(z+w_n)+\cdots+A_1(z)f(z+w_1)+A_0(z)f(z)=0 $

(1.5)

有一个非零解$f(z)$满足$\rho(f)<\rho+1$, 则对于任意的$\theta\in [-\pi, ~\pi)$, 要么$\max\{h_{A_i}(\theta):i\in D(n)\}\leq0$, 要么存在$s, k\in D(n)$使得

$ h_{A_s}(\theta)= h_{A_k}(\theta)\geq \max\{h_{A_i}(\theta):i\in D(n)\}. $

如果方程(1.5)的所有系数的增长级都相同时, 我们得到下面的结果.

定理 1.2  设$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$是有穷正级整函数且至多有一个为无穷型, $w_j(j=0, \cdots, n)$为任意复常数, 记$\rho=\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n\}$且$|D(n)| =n+1$.如果方程(1.5)有一个非零解$f(z)$满足$\rho(f)<\rho+1$, 则对于任意的$\theta\in [-\pi, ~\pi)$, 必存在$s, k\in D(n)$使得

$ h_{A_s}(\theta)= h_{A_k}(\theta)\geq \max\{h_{A_i}(\theta):i\in D(n)\}. $

由以上两个定理及其证明过程, 容易得到以下推论.

推论 1.3  设$A_j(z)~(j=0, \cdots, n)$是有穷正级整函数且至多有一个为无穷型, 记$\rho=\max\{\rho(A_j):0\leq j\leq n\}$, 如果存在$\theta_0\in[-\pi, ~\pi)$和某个$s_0\in D(n)$满足下列三个条件之一

(1) $|D(n)|<n+1$且$h_{A_{s_0}}(\theta_0)>\max\bigl\{0, h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}$;

(2) $|D(n)|=n+1$且$h_{A_{s_0}}(\theta_0)>\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}$;

(3) $|D(n)|=n+1$且$\max\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)\}<0$.

那么方程(1.3)的每个非零解$f(z)$都满足$\rho(f)\geq\rho+1$.

为了证明上述定理, 需要如下的几个引理.

引理 1 ^[3]  设$\eta_1, ~\eta_2$是任给的两个复数, $f(z)$是一个有穷级的亚纯函数, 则对于任意给定的正数$\varepsilon$, 必有相应的性线测度为零的集合$E\subset[0, ~2\pi)$且当$\theta\not\in E$时, 必存在正常数$R_0=R_0(\theta)>1$, 当$z$满足$\arg z=\theta$和$|z|\geq R_0$时, 有

$ \exp\{-r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\leq\left|\frac{f(z+\eta_1)}{f(z+\eta_2)}\right|\leq\exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}. $

引理 2  设$A(z)$和$B(z)$为整函数且满足下列条件之一

(1) $\rho(B)<\rho(A)\in(0, ~~+\infty)$且$h_A(\theta)\geq 0$;

(2) $\rho(B)=\rho(A)\in(0, ~~+\infty)$且$h_A(\theta)>0\geq h_B(\theta)$;

(3) $\rho(B)=\rho(A)\in(0, ~~+\infty)$且$h_A(\theta)\geq h_B(\theta)>0$.

则有

$ \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log[|A(re^{i\theta})|+|B(re^{i\theta})|]}{r^{\rho(A)}}\leq h_A(\theta) . $

(2.1)

证  当$A(z)$和$B(z)$满足条件(1)时, 取$\varepsilon_0=\frac{\rho(A)-\rho(B)}{2}$, 则由级的定义可知, 当$r$充分大时, 有

$ |B(re^{i\theta})|\leq M(r, B)\leq\exp\{r^{\rho(B)+\varepsilon_0}\}. $

(2.2)

同时由$h_A(\theta)$的定义可得, 对任意$\varepsilon>0$, 有

$ |A(re^{i\theta})|\leq\exp\{(h_A(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}\}. $

(2.3)

于是结合(2.2)和(2.3)式便有

$ \begin{align*} &\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log[|A(re^{i\theta})|+|B(re^{i\theta})|]}{r^{\rho(A)}} \\&\leq \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log\{\exp[(h_A(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}]+\exp[r^{\rho(B)+\varepsilon_0}]\}}{r^{\rho(A)}} \\&\leq \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{(h_A(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}+r^{\rho(B)+\varepsilon_0}+\log2}{r^{\rho(A)}} \leq h_A(\theta)+\varepsilon. \end{align*} $

由于$\varepsilon$的任意性便得结论.

当$A(z)$和$B(z)$满足条件(2)或者条件(3)时, 类似(2.3)式有

$ |B(re^{i\theta})|\leq\exp\{(h_B(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}\}. $

(2.4)

从而由(2.3)和(2.4)式, 并注意到$ h_B(\theta)-h_A(\theta)\leq 0$, 于是有

$ \begin{align*} &\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log[|A(re^{i\theta})|+|B(re^{i\theta})|]}{r^{\rho(A)}} \\&\leq \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log\{\exp[(h_A(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}]+\exp[(h_B(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(B)}]\}}{r^{\rho(A)}} \\&\leq \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{(h_A(\theta)+\varepsilon)r^{\rho(A)}+\log\{1+\exp\{[h_B(\theta)-h_A(\theta)]r^{\rho(A)}\}\}}{r^{\rho(A)}} \\&\leq h_A(\theta)+\varepsilon. \end{align*} $

同理由于$\varepsilon$的任意性便得结论.

引理 3  设$A(z)$为有穷正级且型有穷的整函数, $f(z)$是亚纯函数且满足$\rho(f)<\rho(A)+1$.则对任意给定$\eta_1, ~\eta_2$和充分小的$\varepsilon>0$, 必有相应的性线测度为零的集合$E\subset[0, ~2\pi)$且当$\theta\not\in E$, 存在正常数$R_0=R_0(\theta)>1$, 当$z$满足$\arg z=\theta$和$|z|=r$充分大时, 有

$ \left|\frac{f(z+\eta_1)}{f(z+\eta_2)}\right||A(re^{i\theta})|\leq\exp\{[h_A(\theta)+\varepsilon]r^{\rho(A)}\}. $

证  取$\varepsilon$满足$0<\varepsilon<\frac{\rho(A)+1-\rho(f)}{3}$, 由引理1可知存在线性测度为零的集合$E\subset[0, ~2\pi)$且当$\theta\not\in E$时, 存在正常数$R_0=R_0(\theta)>1$, 当$z$满足$\arg z=\theta$和$|z|\geq R_0$, 有

$ \left|\frac{f(z+\eta_1)}{f(z+\eta_2)}\right|\leq\exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}. $

(2.5)

同时由$h_A(\theta_0)$的定义可得有

$ |A(re^{i\theta})|\leq\exp\{(h_A(\theta)+\frac{\varepsilon}{2})r^{\rho(A)}\}. $

(2.6)

由(2.5)和(2.6)式便知

$ \begin{align*} \left|\frac{f(z+\eta_1)}{f(z+\eta_2)}\right||A(re^{i\theta})| &\leq \exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\exp\{(h_A(\theta)+\frac{\varepsilon}{2})r^{\rho(A)}\} \\&=\exp\{r^{\rho(A)}[(h_A(\theta)+\frac{\varepsilon}{2})+\frac{{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}}}{r^{\rho(A)}}]\}. \end{align*} $

注意到$\rho(A)>\rho(f)-1+\varepsilon$, 于是当$r$充分大时就得引理结论.

定理1.1的证明  根据$D(n)$的定义可知$D(n)$非空且元素多于一个, 否则由定理C便得方程(1.3)的每一个非零解都满足$\rho(f)\geq\rho+1$.易知对于任意$i\in D(n)$, $A_i(z)$都为有限型.若不然, 假设存在$i_0\in D(n)$使得$A_{i_0}(z)$为无穷型, 但由定理条件可知, 无穷型的系数至多只有一个, 于是由定理D可得, 方程(1.3)的每一个非零解都满足$\rho(f)\geq\rho+1$, 这都得到了矛盾.

现假设定理的结论不成立, 即存在$\theta_0\in [-\pi, ~\pi)$, 有$\max\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)\}>0$且对于任意$s, k\in D(n)$, 要么

$ h_{A_s}(\theta_0)\neq h_{A_k}(\theta_0), $

(3.1)

要么

$ h_{A_s}(\theta_0)= h_{A_k}(\theta_0)<\max\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)\}. $

(3.2)

注意到不管是(3.1)式成立还是(3.2)式成立, 都必定存在$s_0\in D(n)$使得下式成立

$ h_{A_{s_0}}(\theta_0)>\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}. $

(3.3)

于是由引理1便知存在至多$n$个零测集$E_i~(0\leq i\leq n, i\neq s_0)$, 对于任意

$ \theta\in [-\pi, ~\pi)-\bigcup\limits_{i=0, i\neq s_0}^nE_i $

都能找到$R_0=R_0(\theta)>1$, 使得当$|z|=r\geq R_0$时, 有

$ \exp\{-r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\leq\left|\frac{f(re^{i\theta}+w_i)}{f(re^{i\theta}+w_{s_0})}\right|\leq\exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}~~(0\leq i\leq n, i\neq s_0), $

(3.4)

其中$w_0=0$.由于$A_i(z)~(i\in D(n))$都是有限型, 故$h_{A_i}(\theta)~(i\in D(n))$都是连续函数.注意到$\bigcup\limits_{i=0, i\neq s_0}^nE_i$是一个零测度集, 结合(3.3)式便知存在$\theta_1\in[-\pi, ~\pi)-\bigcup\limits_{i=0, i\neq s_0}^nE_i$使得下列不等式成立

$ h_{A_{s_0}}(\theta_1)>\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}. $

(3.5)

同时, 改写方程可以得到

$ \begin{align*} |A_{s_0}(re^{i\theta_1})| \leq& |A_n(re^{i\theta_1})|\left|\frac{f(re^{i\theta_1}+w_n)}{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_{s_0+1}(re^{i\theta_1})|\left|\frac{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0+1})}{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right| \\&+|A_{s_0-1}(re^{i\theta_1})|\left|\frac{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0-1})}{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_0(re^{i\theta_1})|\left|\frac{f(re^{i\theta_1})}{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|. \end{align*} $

现设$\delta=\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}$再分类讨论.如果$\delta>0$, 则存在$k_0\in D(n)-\{s_0\}$使得

$ h_{A_{k_0}}(\theta_1)=\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}>0. $

设$\varepsilon=\frac{\rho+1-\rho(f)}{2}$, 则由(3.4)式可以得到

$ \begin{align*} &|A_{s_0}(re^{i\theta_1})| \\\leq& \exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\{|A_n(re^{i\theta_1})|+\cdots+|A_{s_0+1}(re^{i\theta_1})|+|A_{s_0-1}(re^{i\theta_1})|+\cdots+|A_0(re^{i\theta_1})|\}. \end{align*} $

于是由引理2可得

$ \begin{align*} h_{A_{s_0}}(\theta_1)&=\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log|A_{s_0}(re^{i\theta_1})|}{r^{\rho}} \\&\leq\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}+\log\{|A_n(re^{i\theta_1})|+\cdots+|A_0(re^{i\theta_1})|\}}{r^{\rho}} \\&\leq\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}}{r^{\rho}}+\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sup\frac{\log\{|A_n(re^{i\theta_1})|+\cdots+|A_0(re^{i\theta_1})|\}}{r^{\rho}} \\&\leq h_{A_{k_0}}(\theta_1) =\max\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)-\{s_0\}\}. \end{align*} $

这与(3.5)式矛盾.

如果$\delta\leq0.$对于$\forall i\in D(n)-\{s_0\}, ~~j \in\{0, 1, 2, \cdots n\}-D(n)$, 设

$ \varepsilon=\min\bigl\{\frac{h_{A_{s_0}}(\theta_1)- h_{A_i}(\theta_1)}{n+1}, ~\frac{\rho+1-\rho(f)}{2}, ~\frac{h_{A_{s_0}}(\theta_1)}{2}, ~\frac{\rho-\rho(A_j)}{3}\bigr\}, $

则存在点列$r_m$使得

$ \begin{align*} &\exp\{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\} \leq |A_{s_0}(r_me^{i\theta_1})| \\\leq&|A_n(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_n)}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_{s_0+1}(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0+1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right| \\&+|A_{s_0-1}(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0-1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_0(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|. \end{align*} $

根据引理3可得

$ \begin{align*} &\exp\{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\} \\\leq& \exp\biggl\{r_m^{\rho}\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]\biggr\}+\exp\{r_m^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\sum\limits_{i\not\in D(n)}|A_i(r_me^{i\theta_1})| \\\leq& \exp\biggl\{r_m^{\rho}\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]\biggr\}+\exp\{r_m^{\rho(f)-1+\varepsilon}+r_m^{\rho-\varepsilon}\}. \end{align*} $

不等式右边第二项移到左边, 整理后得

$ \begin{align*} &\exp \{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\}\bigl\{1-\exp\{r_m^{\rho(f)-1+\varepsilon}+r_m^{\rho-\varepsilon}-[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\}\bigr\} \\\leq&\exp \biggl\{r_m^{\rho}\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]\biggr\}. \end{align*} $

由于$h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon>0$和$\rho>\rho(f)-1+\varepsilon$, 于是当$r_m$充分大时, 有

$ \begin{align*} \exp\{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\}\{1-\circ(1)\} \leq \exp\biggl\{r_m^{\rho}\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]\biggr\}. \end{align*} $

两边取对数并注意到$\delta\leq0$, 故有

$ \begin{align*} h_{A_{s_0}}(\theta_1)\leq&\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]+\varepsilon \leq\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}h_{A_i}(\theta_1)+(n+1)\varepsilon\\ \leq& h_{A_i}(\theta_1)+(n+1)\varepsilon. \end{align*} $

即$\varepsilon\geq\frac{h_{A_{s_0}}(\theta_1)-h_{A_i}(\theta_1)}{n+1}$.这与$\varepsilon$的设法矛盾.

定理1.2的证明  现假设定理的结论不成立, 即存在$\theta_0\in [-\pi, ~\pi)$, 对于任意$s, k\in D(n)$, 要么

$ h_{A_s}(\theta_0)\neq h_{A_k}(\theta_0); $

(3.6)

要么

$ h_{A_s}(\theta_0)= h_{A_k}(\theta_0)<\max\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)\}. $

(3.7)

注意到不管是(3.6)式成立还是(3.7)式成立, 都必定存在$s_0\in D(n)$使得下式成立

$ h_{A_{s_0}}(\theta_0)>\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_0):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\}. $

完全类似于定理1.1的证明, 即存在$\theta_1\in[-\pi, \pi)-\bigcup\limits_{i=0, i\neq s_0}^n{E_i}$, 有

$ \exp\{-r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}\leq\left|\frac{f(re^{i\theta_1}+w_i)}{f(re^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|\leq\exp\{r^{\rho(f)-1+\varepsilon}\}~(0\leq i\leq n, i\neq s_0) $

(3.8)

和

$ h_{A_{s_0}}(\theta_1)>\max\bigl\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)-\{s_0\}\bigr\} $

(3.9)

成立.设$\delta=\max\{h_{A_i}(\theta_1):i\in D(n)\}$, 若$\delta>0$, 证明方法完全类似于定理(1.1).

若$\delta\leq0$, $\forall i\in D(n)-\{s_0\}$, 设$\varepsilon=\min\biggl\{\frac{h_{A_{s_0}}(\theta_1)- h_{A_i}(\theta_1)}{n+1}, ~\frac{\rho+1-\rho(f)}{2}\biggr\}$, 则存在点列$r_m$使得

$ \begin{align*} &\exp\{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\} \leq |A_{s_0}(r_me^{i\theta_1})| \\\leq&|A_n(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_n)}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_{s_0+1}(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0+1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right| \\&+|A_{s_0-1}(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0-1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|+\cdots+|A_0(r_me^{i\theta_1})|\left|\frac{f(r_me^{i\theta_1})}{f(r_me^{i\theta_1}+w_{s_0})}\right|. \end{align*} $

根据引理3可得

$ \begin{align*} \exp\{[h_{A_{s_0}}(\theta_1)-\varepsilon]r_m^{\rho}\} \leq \exp\biggl\{r_m^{\rho}\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]\biggr\}. \end{align*} $

注意到$\delta\leq0$, 结合(3.9)式便有

$ \begin{align*} h_{A_{s_0}}(\theta_1)\leq\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}[h_{A_i}(\theta_1)+\varepsilon]+\varepsilon \leq\sum\limits_{i\in D(n)-\{s_0\}}h_{A_i}(\theta_1)+(n+1)\varepsilon <h_{A_i}(\theta_1)+(n+1)\varepsilon. \end{align*} $

即$\varepsilon>\frac{h_{A_{s_0}}(\theta_1)-h_{A_i}(\theta_1)}{n+1}$.这与$\varepsilon$的设法矛盾.