在现代经济学和物理领域中求解偏微分方程(PDEs)的解常常是困难的, 因此求解(PDEs)显得至关重要. Lie对称是公认的普适性最广的方法之一, Lie群是研究微分方程的对称性并求出其解析解的强有力工具, 一个主要应用是寻找群不变解^[1-5].利用给定对称群的任意子群求解相应的特征方程, 可以把原方程约化为自变量更少的方程.对称群的每个子群都对应着一组群不变解, 然而这样的子群似乎总有无穷多个, 要列出所有可能的群不变解几乎是不可能的.要找到这些完整且不等价的群不变解, 也就需要对所有的群不变解进行分类.对这个问题, Ovsiannikov和Olver分别发展出一些系统有效的方法, 由此引入了“最优系统”的概念.构建最优系统有很多方法, 如Ovsiannikov利用伴随表示的矩阵法构建最优系统^[6], Petera发展了一种很重要的方法, 已经广泛的应用到物理学中^{[7, 8]}.目前国内外研究者对其进行研究, 推动了最优系统的发展^[9-15].

应用对称方法的前提是确定PDEs拥有的各类对称. Lie算法把确定对称的问题转化为确定对应无穷小向量的问题, 而该无穷小向量是由满足确定方程组的无穷小生成函数确定.完成这个过程将涉及到大量、复杂的机械化计算.研究发现, 微分形式的吴方法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一.近年来, 朝鲁教授推广建立了微分形式的吴方法, 即吴-微分特征列集算法^{[16, 17]}.该算法主要考虑控制计算过程中符号堆积及易于在软件Mathematica中实现的问题, 使吴方法的应用从纯代数理论推广到微分情形, 发展了吴方法.我们知道如果直接得到微分方程(组)的全部对称群是非常困难的, 并且传统Lie算法中未能考虑未知量的序关系, 导致计算机上的无穷循环及工作量大等许多困难, 而这些问题由吴-微分特征列集算法得到部分解决.目前, 吴-微分特征列集算法成功的应用在PDEs的古典对称、非古典对称、高阶对称、近似对称、势对称、守恒律和对称分类等问题上, 取得了优异的成果, 促进了PDEs对称理论的研究^[18-23].我们基于该算法研究了对称方法在NLPDE边值问题中的应用^{[24, 25]}.最近, 朝鲁等人利用该算法研究了Lie代数的最优系统.

本文利用Lie对称方法研究了Poisson方程的单参数李对称群和群对应的伴随表达式, 在此基础上构建了该Lie对称群的一维最优系统, 并利用一维最优系统中的元素对Poisson方程进行对称约化, 确定不变解及其精确解.具体过程:首先, 利用吴-微分特征列集算法和符号计算软件Mathemetica, 计算Poisson方程对应的古典对称; 其次, 计算换位子、伴随算子, 通过伴随方法构建该方程的一维最优系统; 最后, 确定古典对称所对应的不变解以及精确解, 丰富了Poisson方程的精确解.

考虑Poisson方程

$ u_{tt}+2u_{x}u_{xx}-(1-u_{x}^{2})u_{xx}=0. $

(2.1)

假设方程(2.1)对应的对称向量为

$ X=\xi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial x}+\tau(x, t, u)\frac{\partial}{\partial t}+\eta(x, t, u)\frac{\partial}{\partial u}, $

(2.2)

其中$\xi(x, t, u)$, $\tau(x, t, u)$, $\eta(x, t, u)$为该对称的无穷小生成函数.根据Lie算法可以得到方程(2.1)的对称对应的确定方程组, 但是很难手动求解.基于吴-微分特征列集算法, 应用该算法的Mathematica程序包进行计算得到与确定方程组等价的特征列集对应的方程组, 即

$ \xi_{t}=\xi_{u}=\xi_{xx}=0, \tau_{x}=\tau_{u}=0, \eta_{x}=\eta_{tt}=0, \xi_{x}-\tau_{t}=0, \eta_{u}-\xi_{x}=0. $

求解上面的方程组, 得到无穷小生成函数

$ \xi=c_{1}x+c_{2}, \tau=c_{1}t+c_{5}, \eta=c_{1}u+c_{3}t+c_{4}, $

其中$c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_4$, $c_5$是任意常数, 则无穷小向量为

$ X=(c_{1}x+c_{2})\frac{\partial}{\partial x}+(c_{1}t+c_{5})\frac{\partial}{\partial t}+(c_{1}u+c_{3}t+c_{4})\frac{\partial}{\partial u}, $

(2.3)

所以方程(2.1)有5个单参数古典对称, 其对应的无穷小向量为

$ X_1=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial u}, X_2=\frac{\partial}{\partial x}, X_3=t\frac{\partial}{\partial u}, X_4=\frac{\partial}{\partial u}, X_5=\frac{\partial}{\partial t}. $

在上一部分中得到了无穷小生成向量, 下面构造一维最优系统.

定义 1  无穷小生成元$X_\alpha$, $X_\beta$的换位子是一阶算子

$ [X_\alpha, X_\beta]=X_\alpha X_\beta-X_\beta X_\alpha=\sum\limits_{j=1}^{n}\eta_{j}(x)\frac{\partial}{\partial x_j}, $

(2.4)

其中

$ \eta_{j}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}(\xi_{\alpha i}(x)\frac{\partial\xi_{\beta j}(x)}{\partial x_i}-\xi_{\beta i}(x)\frac{\partial\xi_{\alpha j}(x)}{\partial x_i}), $

因此得到$[X_\alpha, X_\beta]=-[X_\beta , X_\alpha]$.

定义 2  设$G$是Lie对称群, $g$是$G$对应的Lie代数, 对于每一个$v\in g$, 伴随算子$Adv$关于$w\in g$, 有

$ Ad(\exp(\varepsilon v))w=w-\varepsilon[v, w]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}[v, [v, w]]-\cdots. $

(2.5)

根据定义1和定义2, 可以计算方程(2.1)所拥有的Lie对称构造一维最优系统.

根据求一维最优系统的方法, 设一个非零的$X\in L_5$, $L_5$是构成Lie代数

$ X=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+a_{5}X_{5}, $

(2.6)

其中$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$是任意常数.

(1) 假设$a_{1}\neq0$, 不失一般性.令$a_{1}=1$, 则$X=X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+a_{5}X_{5}.$为了使$X_2$消失, 利用伴随算子$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))X, \nonumber$通过计算有

$ X'=X_{1}+(a_{2}-\varepsilon )X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}+\varepsilon a_{5})X_{4}+a_{5}X_{5}. $

令$\varepsilon=a_2$, 则有

$ X'=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5)X_{4}+a_{5}X_{5}. $

下一步将$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X'$, 有$X''=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X', \nonumber $通过计算有

$ X''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-\varepsilon a_3)X_{4}+(a_5-\varepsilon)X_{5}. $

为了消去$X_{5}$, 令$\varepsilon=a_5$, 有$X''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-a_3a_5)X_{4}.\nonumber$将$Ad(\exp(\varepsilon X_{4}))$作用于$X''$, 有$X'''=Ad(\exp(\varepsilon X_{4}))X'', \nonumber$通过计算有

$ X'''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-a_3a_5-\varepsilon)X_{4}. $

为了消去$X_{6}$, 令$\varepsilon=a_4+a_2a_5-a_3a_5$, 有$X'''=X_{1}+a_{3}X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(2) 假设$a_{1}=0$, $a_5\neq0$, 不失一般性.令$a_{5}=1$, 则$X=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+X_{5}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))$作用于$X$, 有

$ X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))X, $

通过计算有

$ X'=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}-\varepsilon)X_{4}+X_{5}. $

令$\varepsilon=a_4$, 则有$X'=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+X_{5}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(3) 假设$a_{1}=a_{5}=0$, $a_2\neq0$, 不失一般性.令$a_{2}=1$, 则$X=X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X$, 有$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X, \nonumber$通过计算有

$ X'=X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}-\varepsilon a_{3})X_{4}. $

令$\varepsilon=\frac{a_4}{a_3}$, 则有$X'=X_{2}+a_{3}X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(4) 假设$a_{1}=a_{2}=a_{5}=0$, $a_3\neq0$, 不失一般性.令$a_{3}=1$, 则$X=X_{3}+a_{4}X_{4}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X$, 有$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X, \nonumber $通过计算有

$ X'=X_{3}+(a_{4}-\varepsilon )X_{4}. $

令$\varepsilon=a_4$, 则有$X'=X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(5) 假设$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{5}=0$, $a_4\neq0$.不失一般性, 令$a_{4}=1$, 则$X=X_{4}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

综上得到方程(2.1)的一维最优系统为

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} X_1, \ X_2, \ X_3, \ X_4, \ X_5, \ X_1+\lambda_{1} X_3, \ X_2+\lambda_{2} X_3, \\ \lambda_{3}X_2+X_5, \lambda_{4}X_3+X_5, \lambda_{5} X_2+\lambda_{6}X_3+X_5 \end{array} \right\}, \label{e1.7} \end{eqnarray} $

(2.7)

其中$\lambda_{i}~ (i=1\cdots6)$是任意常数.

本节将计算古典对称对应的不变解.古典对称$X_1+X_3=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+(u+t)\frac{\partial}{\partial u}$对应的特征方程为

$ \frac{dx}{x}=\frac{dt}{t}=\frac{du}{u+t}. $

(3.1)

由特征方程(3.1)得到不变量$\theta=\frac{t}{x}$, 并且由$\frac{dx}{x}=\frac{du}{u+t}$, 得$u=-t+{A(\theta)}x$, 将其代入方程(2.1), 解得

$ \begin{equation} {A(\theta)= \begin{cases} \frac{1}{\theta}[\theta+\frac{1}{2}B+\arctan\frac{\theta^{2}}{B}]+\frac{c_{1}}{\theta}, \\ -\frac{c_{2}}{\theta}+c_{3}, \\ \frac{c_{4}}{\theta}+\frac{1}{\theta}(\theta-\frac{1}{2}B+\frac{B\sqrt{\ln (2(\theta+Q))}}{\theta Q}). \end{cases}\nonumber} \end{equation} $

当$A(\theta)=\frac{1}{\theta}[\theta+\frac{1}{2}B+\arctan\frac{\theta^{2}}{B}]+\frac{c_{1}}{\theta}$时, 即可得到方程(2.1)的不变解

$ {u=x+t(-1+c_1+\frac{1}{2}C)+t\arctan \frac{x^{2}}{t^{2}C}}, $

其中$Q=\sqrt{-2+\theta^{2}}$, $B=\sqrt{-\theta^{2}(-2+\theta^{2})}$, $C=\sqrt{\frac{x^{2}(2t^{2}-x^{2})}{t^{4}}}$, $c_1, c_2, {c_3, c_4}$位任意常数, 由于篇幅有限省去其它两种情况的不变解.

1.下面计算古典对称

$ X_1+X_3=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+(u+t)\frac{\partial}{\partial u} $

对应的Lie变换群. $X_1+X_3$对应的初值问题为

$ \begin{equation} \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx^{*}}{d\varepsilon^{*}}=x^{*}, \frac{dt^{*}}{d\varepsilon^{*}}=t^{*}, \ \frac{du^{*}}{d\varepsilon^{*}}=u^*+t^{*}, \\ x^{*}\mid_{\varepsilon=0}=x, \ t^{*}\mid_{\varepsilon=0}=t, \ u^{*}\mid_{\varepsilon=0}=u. \end{array} \right. \end{equation} $

(3.2)

通过求解(3.2)式, 得到对应的单参数Lie变换群如下

$ \begin{equation} \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=e^{\varepsilon}x, \\ t^{*}=e^{\varepsilon}t, \\ u^{*}=e^{\varepsilon}(u+t\varepsilon). \end{array} \right. \end{equation} $

(3.3)

将Lie变换群(3.3)作用于该情况的不变解${u=x+t(-1+c_1+\frac{1}{2}C)+t\arctan \frac{x^{2}}{t^{2}C}}$, 得到下面的新解

$ {u_{1}(x, t)=\frac{1}{2}[-2t+2c_1t+2\varepsilon t+2\arctan (\frac{x^{2}}{t^{2}D})t+2x+tC]}. $

其中$D=\sqrt{\frac{e^{4\varepsilon}(2e^{-4\varepsilon}t^{2}x^{2}-e^{-4\varepsilon}x^{4})}{t^{4}}}$.

2.通过古典对称

$ X_2+X_3+X_5=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}+t\frac{\partial}{\partial u} $

对应的单参数Lie变换群为

$ \begin{equation}\ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=x+\varepsilon, \\ t^{*}=t+\varepsilon, \\ u^{*}=\frac{1}{2}(2u+2t\varepsilon+\varepsilon^{2}). \end{array} \right. \end{equation} $

(3.4)

将Lie变换群(3.4)作用于该情况的不变解${u_{1}(x, t)}$, 得到

$ {u_{2}(x, t)=-\varepsilon +\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\varepsilon(-\varepsilon+t)+\arctan\frac{(\varepsilon-x)^{2}}{(\varepsilon-t)^{2}E}(-\varepsilon+t)+(-\varepsilon+t)(-1+c_1+\varepsilon+\frac{1}{2}E)+x}. $

其中$E=\sqrt{\frac{2(\varepsilon-t)^{2}(\varepsilon-x)^{2}-(\varepsilon-x)^{4}}{(\varepsilon-t)^{4}}}$, 以上得到的精确解都是对应方程的新解, 因篇幅有限, 其它情况在本文中不进行讨论.

偏微分方程(PDEs)的求解经常出现在物理、工程力学等研究领域中.随着科技的进步, 推动了求解PDEs的持续发展, 目前计算PDEs的不变解显得尤为重要.本文通过应用吴-微分特征列集算法和Mathematica软件, 获得了Poisson方程的对称和Lie代数的一维最优系统, 并且计算了最优系统中对应元素的Lie变换群.将所得的Lie变换群作用于不变解得到了新的精确解, 达到了丰富Poisson方程的精确解的效果.