数学杂志  2018, Vol. 38 Issue (4): 706-712   PDF    
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白月星
苏道毕力格
Poisson方程的一维最优系统和不变解
白月星, 苏道毕力格    
内蒙古工业大学理学院, 内蒙古 呼和浩特 010051
摘要:本文研究了Poisson方程的一维最优系统及其不变解问题.利用吴-微分特征列集算法,借助于Mathematica软件,计算了Poisson方程的古典对称,并构建了Lie代数的一维最优系统.同时,利用不变量法,获得了一维最优系统中一个元素对应的Poisson方程的不变解.得到的结果推广了Poisson方程的精确解.
关键词古典对称    最优系统    吴-微分特征列集算法    不变解    
ONE-DIMENSIONAL OPTIMAL SYSTEM AND THE INVARIANT SOLUTIONS OF POISSON EQUATION
BAI Yue-xing, SUDAO Bilige    
College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China
Abstract: In this paper, we discuss one-dimensional optimal system and the invariant solutions of Poisson equation. By using Wu-differential characteristic set algorithm with the aid of Mathematica software, the classical symmetries of the Poisson equation are calculated, and the one-dimensional optimal system of Lie algebra is constructed. And we obtain the invariant solution of the Poisson equation corresponding to one element in one dimensional optimal system by using the invariant method, which generalizes the exact solutions of the Poisson equation.
Key words: classical symmetry     optimal system     Wu-differential characteristic set algorithm     invariant solutions    
1 引言

在现代经济学和物理领域中求解偏微分方程(PDEs)的解常常是困难的, 因此求解(PDEs)显得至关重要. Lie对称是公认的普适性最广的方法之一, Lie群是研究微分方程的对称性并求出其解析解的强有力工具, 一个主要应用是寻找群不变解[1-5].利用给定对称群的任意子群求解相应的特征方程, 可以把原方程约化为自变量更少的方程.对称群的每个子群都对应着一组群不变解, 然而这样的子群似乎总有无穷多个, 要列出所有可能的群不变解几乎是不可能的.要找到这些完整且不等价的群不变解, 也就需要对所有的群不变解进行分类.对这个问题, Ovsiannikov和Olver分别发展出一些系统有效的方法, 由此引入了“最优系统”的概念.构建最优系统有很多方法, 如Ovsiannikov利用伴随表示的矩阵法构建最优系统[6], Petera发展了一种很重要的方法, 已经广泛的应用到物理学中[7, 8].目前国内外研究者对其进行研究, 推动了最优系统的发展[9-15].

应用对称方法的前提是确定PDEs拥有的各类对称. Lie算法把确定对称的问题转化为确定对应无穷小向量的问题, 而该无穷小向量是由满足确定方程组的无穷小生成函数确定.完成这个过程将涉及到大量、复杂的机械化计算.研究发现, 微分形式的吴方法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一.近年来, 朝鲁教授推广建立了微分形式的吴方法, 即吴-微分特征列集算法[16, 17].该算法主要考虑控制计算过程中符号堆积及易于在软件Mathematica中实现的问题, 使吴方法的应用从纯代数理论推广到微分情形, 发展了吴方法.我们知道如果直接得到微分方程(组)的全部对称群是非常困难的, 并且传统Lie算法中未能考虑未知量的序关系, 导致计算机上的无穷循环及工作量大等许多困难, 而这些问题由吴-微分特征列集算法得到部分解决.目前, 吴-微分特征列集算法成功的应用在PDEs的古典对称、非古典对称、高阶对称、近似对称、势对称、守恒律和对称分类等问题上, 取得了优异的成果, 促进了PDEs对称理论的研究[18-23].我们基于该算法研究了对称方法在NLPDE边值问题中的应用[24, 25].最近, 朝鲁等人利用该算法研究了Lie代数的最优系统.

本文利用Lie对称方法研究了Poisson方程的单参数李对称群和群对应的伴随表达式, 在此基础上构建了该Lie对称群的一维最优系统, 并利用一维最优系统中的元素对Poisson方程进行对称约化, 确定不变解及其精确解.具体过程:首先, 利用吴-微分特征列集算法和符号计算软件Mathemetica, 计算Poisson方程对应的古典对称; 其次, 计算换位子、伴随算子, 通过伴随方法构建该方程的一维最优系统; 最后, 确定古典对称所对应的不变解以及精确解, 丰富了Poisson方程的精确解.

2 Poisson方程的一维最优系统
2.1 Poisson方程的对称

考虑Poisson方程

$ u_{tt}+2u_{x}u_{xx}-(1-u_{x}^{2})u_{xx}=0. $ (2.1)

假设方程(2.1)对应的对称向量为

$ X=\xi(x, t, u)\frac{\partial}{\partial x}+\tau(x, t, u)\frac{\partial}{\partial t}+\eta(x, t, u)\frac{\partial}{\partial u}, $ (2.2)

其中$\xi(x, t, u)$, $\tau(x, t, u)$, $\eta(x, t, u)$为该对称的无穷小生成函数.根据Lie算法可以得到方程(2.1)的对称对应的确定方程组, 但是很难手动求解.基于吴-微分特征列集算法, 应用该算法的Mathematica程序包进行计算得到与确定方程组等价的特征列集对应的方程组, 即

$ \xi_{t}=\xi_{u}=\xi_{xx}=0, \tau_{x}=\tau_{u}=0, \eta_{x}=\eta_{tt}=0, \xi_{x}-\tau_{t}=0, \eta_{u}-\xi_{x}=0. $

求解上面的方程组, 得到无穷小生成函数

$ \xi=c_{1}x+c_{2}, \tau=c_{1}t+c_{5}, \eta=c_{1}u+c_{3}t+c_{4}, $

其中$c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_4$, $c_5$是任意常数, 则无穷小向量为

$ X=(c_{1}x+c_{2})\frac{\partial}{\partial x}+(c_{1}t+c_{5})\frac{\partial}{\partial t}+(c_{1}u+c_{3}t+c_{4})\frac{\partial}{\partial u}, $ (2.3)

所以方程(2.1)有5个单参数古典对称, 其对应的无穷小向量为

$ X_1=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial u}, X_2=\frac{\partial}{\partial x}, X_3=t\frac{\partial}{\partial u}, X_4=\frac{\partial}{\partial u}, X_5=\frac{\partial}{\partial t}. $
2.2 Poisson方程的一维最优系统

在上一部分中得到了无穷小生成向量, 下面构造一维最优系统.

定义 1  无穷小生成元$X_\alpha$, $X_\beta$的换位子是一阶算子

$ [X_\alpha, X_\beta]=X_\alpha X_\beta-X_\beta X_\alpha=\sum\limits_{j=1}^{n}\eta_{j}(x)\frac{\partial}{\partial x_j}, $ (2.4)

其中

$ \eta_{j}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}(\xi_{\alpha i}(x)\frac{\partial\xi_{\beta j}(x)}{\partial x_i}-\xi_{\beta i}(x)\frac{\partial\xi_{\alpha j}(x)}{\partial x_i}), $

因此得到$[X_\alpha, X_\beta]=-[X_\beta , X_\alpha]$.

定义 2  设$G$是Lie对称群, $g$$G$对应的Lie代数, 对于每一个$v\in g$, 伴随算子$Adv$关于$w\in g$, 有

$ Ad(\exp(\varepsilon v))w=w-\varepsilon[v, w]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}[v, [v, w]]-\cdots. $ (2.5)

根据定义1和定义2, 可以计算方程(2.1)所拥有的Lie对称构造一维最优系统.

表 1 换位子表

表 2 伴随关系表

根据求一维最优系统的方法, 设一个非零的$X\in L_5$, $L_5$是构成Lie代数

$ X=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+a_{5}X_{5}, $ (2.6)

其中$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$是任意常数.

(1) 假设$a_{1}\neq0$, 不失一般性.令$a_{1}=1$, 则$X=X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+a_{5}X_{5}.$为了使$X_2$消失, 利用伴随算子$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))X, \nonumber$通过计算有

$ X'=X_{1}+(a_{2}-\varepsilon )X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}+\varepsilon a_{5})X_{4}+a_{5}X_{5}. $

$\varepsilon=a_2$, 则有

$ X'=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5)X_{4}+a_{5}X_{5}. $

下一步将$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X'$, 有$X''=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X', \nonumber $通过计算有

$ X''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-\varepsilon a_3)X_{4}+(a_5-\varepsilon)X_{5}. $

为了消去$X_{5}$, 令$\varepsilon=a_5$, 有$X''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-a_3a_5)X_{4}.\nonumber$$Ad(\exp(\varepsilon X_{4}))$作用于$X''$, 有$X'''=Ad(\exp(\varepsilon X_{4}))X'', \nonumber$通过计算有

$ X'''=X_{1}+a_{3}X_{3}+(a_4+a_2a_5-a_3a_5-\varepsilon)X_{4}. $

为了消去$X_{6}$, 令$\varepsilon=a_4+a_2a_5-a_3a_5$, 有$X'''=X_{1}+a_{3}X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(2) 假设$a_{1}=0$, $a_5\neq0$, 不失一般性.令$a_{5}=1$, 则$X=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+X_{5}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))$作用于$X$, 有

$ X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{3}))X, $

通过计算有

$ X'=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}-\varepsilon)X_{4}+X_{5}. $

$\varepsilon=a_4$, 则有$X'=a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+X_{5}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(3) 假设$a_{1}=a_{5}=0$, $a_2\neq0$, 不失一般性.令$a_{2}=1$, 则$X=X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X$, 有$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X, \nonumber$通过计算有

$ X'=X_{2}+a_{3}X_{3}+(a_{4}-\varepsilon a_{3})X_{4}. $

$\varepsilon=\frac{a_4}{a_3}$, 则有$X'=X_{2}+a_{3}X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(4) 假设$a_{1}=a_{2}=a_{5}=0$, $a_3\neq0$, 不失一般性.令$a_{3}=1$, 则$X=X_{3}+a_{4}X_{4}.\nonumber$为了使$X_4$消失, 将伴随算子$Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))$作用于$X$, 有$X'=Ad(\exp(\varepsilon X_{5}))X, \nonumber $通过计算有

$ X'=X_{3}+(a_{4}-\varepsilon )X_{4}. $

$\varepsilon=a_4$, 则有$X'=X_{3}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

(5) 假设$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{5}=0$, $a_4\neq0$.不失一般性, 令$a_{4}=1$, 则$X=X_{4}.\nonumber$由上式知不能再继续利用伴随算子.

综上得到方程(2.1)的一维最优系统为

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} X_1, \ X_2, \ X_3, \ X_4, \ X_5, \ X_1+\lambda_{1} X_3, \ X_2+\lambda_{2} X_3, \\ \lambda_{3}X_2+X_5, \lambda_{4}X_3+X_5, \lambda_{5} X_2+\lambda_{6}X_3+X_5 \end{array} \right\}, \label{e1.7} \end{eqnarray} $ (2.7)

其中$\lambda_{i}~ (i=1\cdots6)$是任意常数.

3 Poisson方程的不变解

本节将计算古典对称对应的不变解.古典对称$X_1+X_3=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+(u+t)\frac{\partial}{\partial u}$对应的特征方程为

$ \frac{dx}{x}=\frac{dt}{t}=\frac{du}{u+t}. $ (3.1)

由特征方程(3.1)得到不变量$\theta=\frac{t}{x}$, 并且由$\frac{dx}{x}=\frac{du}{u+t}$, 得$u=-t+{A(\theta)}x$, 将其代入方程(2.1), 解得

$ \begin{equation} {A(\theta)= \begin{cases} \frac{1}{\theta}[\theta+\frac{1}{2}B+\arctan\frac{\theta^{2}}{B}]+\frac{c_{1}}{\theta}, \\ -\frac{c_{2}}{\theta}+c_{3}, \\ \frac{c_{4}}{\theta}+\frac{1}{\theta}(\theta-\frac{1}{2}B+\frac{B\sqrt{\ln (2(\theta+Q))}}{\theta Q}). \end{cases}\nonumber} \end{equation} $

$A(\theta)=\frac{1}{\theta}[\theta+\frac{1}{2}B+\arctan\frac{\theta^{2}}{B}]+\frac{c_{1}}{\theta}$时, 即可得到方程(2.1)的不变解

$ {u=x+t(-1+c_1+\frac{1}{2}C)+t\arctan \frac{x^{2}}{t^{2}C}}, $

其中$Q=\sqrt{-2+\theta^{2}}$, $B=\sqrt{-\theta^{2}(-2+\theta^{2})}$, $C=\sqrt{\frac{x^{2}(2t^{2}-x^{2})}{t^{4}}}$, $c_1, c_2, {c_3, c_4}$位任意常数, 由于篇幅有限省去其它两种情况的不变解.

1.下面计算古典对称

$ X_1+X_3=x\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial t}+(u+t)\frac{\partial}{\partial u} $

对应的Lie变换群. $X_1+X_3$对应的初值问题为

$ \begin{equation} \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx^{*}}{d\varepsilon^{*}}=x^{*}, \frac{dt^{*}}{d\varepsilon^{*}}=t^{*}, \ \frac{du^{*}}{d\varepsilon^{*}}=u^*+t^{*}, \\ x^{*}\mid_{\varepsilon=0}=x, \ t^{*}\mid_{\varepsilon=0}=t, \ u^{*}\mid_{\varepsilon=0}=u. \end{array} \right. \end{equation} $ (3.2)

通过求解(3.2)式, 得到对应的单参数Lie变换群如下

$ \begin{equation} \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=e^{\varepsilon}x, \\ t^{*}=e^{\varepsilon}t, \\ u^{*}=e^{\varepsilon}(u+t\varepsilon). \end{array} \right. \end{equation} $ (3.3)

将Lie变换群(3.3)作用于该情况的不变解${u=x+t(-1+c_1+\frac{1}{2}C)+t\arctan \frac{x^{2}}{t^{2}C}}$, 得到下面的新解

$ {u_{1}(x, t)=\frac{1}{2}[-2t+2c_1t+2\varepsilon t+2\arctan (\frac{x^{2}}{t^{2}D})t+2x+tC]}. $

其中$D=\sqrt{\frac{e^{4\varepsilon}(2e^{-4\varepsilon}t^{2}x^{2}-e^{-4\varepsilon}x^{4})}{t^{4}}}$.

2.通过古典对称

$ X_2+X_3+X_5=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}+t\frac{\partial}{\partial u} $

对应的单参数Lie变换群为

$ \begin{equation}\ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=x+\varepsilon, \\ t^{*}=t+\varepsilon, \\ u^{*}=\frac{1}{2}(2u+2t\varepsilon+\varepsilon^{2}). \end{array} \right. \end{equation} $ (3.4)

将Lie变换群(3.4)作用于该情况的不变解${u_{1}(x, t)}$, 得到

$ {u_{2}(x, t)=-\varepsilon +\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\varepsilon(-\varepsilon+t)+\arctan\frac{(\varepsilon-x)^{2}}{(\varepsilon-t)^{2}E}(-\varepsilon+t)+(-\varepsilon+t)(-1+c_1+\varepsilon+\frac{1}{2}E)+x}. $

其中$E=\sqrt{\frac{2(\varepsilon-t)^{2}(\varepsilon-x)^{2}-(\varepsilon-x)^{4}}{(\varepsilon-t)^{4}}}$, 以上得到的精确解都是对应方程的新解, 因篇幅有限, 其它情况在本文中不进行讨论.

4 本文结论

偏微分方程(PDEs)的求解经常出现在物理、工程力学等研究领域中.随着科技的进步, 推动了求解PDEs的持续发展, 目前计算PDEs的不变解显得尤为重要.本文通过应用吴-微分特征列集算法和Mathematica软件, 获得了Poisson方程的对称和Lie代数的一维最优系统, 并且计算了最优系统中对应元素的Lie变换群.将所得的Lie变换群作用于不变解得到了新的精确解, 达到了丰富Poisson方程的精确解的效果.

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