众所周知, 对于[-1, 1]上的函数$|x|$用$n$次多项式逼近的最佳逼近阶^[1]为$O(\frac{1}{n})$, 此结果在阶的意义下是精确的, 不可改进. 1964年, Newman取结点组$X_{n}=\{a^{k}\}^{n-1}_{k=0}, a=e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}$构造$|x|$的有理插值函数

$ \begin{eqnarray*} r_{n}(X;x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)}, ~p(x)=\prod^{n}_{k=1}(x+x_{k}), \end{eqnarray*} $

得到^[2]结论$||x|-r_{n}(X;x)|\leq3e^{-\sqrt{n}}, x\in[-1, 1].$这个结论大大改进了多项式插值的结果, 也引起了许多学者的研究兴趣, 几年来关于$|x|$的有理插值, 围绕着结点分布与误差收敛速度发表了许多有意义的结果^[3-5].

2004年, 夏懋^[6]研究了对$|x|^{\alpha}(1\leq\alpha<2)$在等距结点的Lagrange插值多项式的逼近, 主要给出了在零点的逼近阶, 文中最终得到定理:令$m\in n, n=2m-1$且$1\leq\alpha<2$, 则有$L_{n}(|x|^{\alpha})=O(\frac{1}{n{\rm ln}n})$; 而在2011年, 张慧明、李建俊和门玉梅^[7]等研究了$|x|$在正切结点组的有理插值, 得到逼近阶为$O(\frac{1}{n{\rm ln}n})$; 朱来义^[8]等取偶次第二类Chebyshev多项式零点的第二类chebyshev结点, 用不同的方法得到逼近阶为$O(\frac{1}{n{\rm log}n})$, 且不能改善.

本文对Newman结点组进行了调整, 将Newman结点组中的$e$一般化为任意$m~(e<m<n)$, 在$x\in[-1, 1]$选取结点组$X=\{x_{i}=b^{i}, b=m^{\frac{-1}{\sqrt{n}}}\}^{n}_{i=1}$, Newman-$\alpha$型算子定义为

$ \begin{eqnarray*} r_{n}(X;x)=x^{\alpha}\frac{p(X;x)-p(X;-x)}{p(X;x)+p(X;-x)}, p(X;x)=\prod^{n-1}_{i=1}(x+b^{i}), \end{eqnarray*} $

构造$|x|^{\alpha}$的有理插值函数, 其中$1\leq\alpha=\frac{q}{p}<2$, $p, q$互素且为奇数, 得到如下一般的结论.

定理1.1 对$n\geq 17$, 成立$|E_{n}(X;x)|\leq 3e^{\frac{-\alpha\sqrt{n}}{{\rm log}m}}$.

为了方便证明定理1.1, 先给出如下引理.

引理2.1 对$n\geq17$, 有$\prod\limits^{n-1}_{j=1}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}}\leq3e^{\frac{-\alpha\sqrt{n}}{{\rm log}m}}.$

证 对于$0\leq t\leq 1$, 有熟知的不等式$\frac{1-t}{1+t}\leq e^{-2t}$, 那么

$ \begin{eqnarray*} \prod^{n-1}_{j=1}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}}\leq \exp\{-2 \sum\limits_{j=1}^{n-1}b^{j}\}=\exp\{-2\frac{b-b^{n}}{1-b}\}. \end{eqnarray*} $

一方面, $b-b^{n}=m^{\frac{-1}{\sqrt{n}}}-m^{-\sqrt{n}}=e^{\frac{1{\rm log}m}{\sqrt{n}}}-e^{-\sqrt{n}{\rm log}m}.$经初等计算得, 当$n\geq17$时有$b-b^{n}\geq e^{\frac{-{\rm log}m}{\sqrt{17}}}-e^{-\sqrt{17}{\rm log}m}>\frac{1}{2}.$

另一方面, 又由$1-e^{-t}\leq t$, 故$1-b=1-m^{\frac{-1}{\sqrt{n}}}=1-e^{\frac{-{\rm log}m}{\sqrt{n}}}\leq \frac{{\rm log}m}{\sqrt{n}}, $于是

$ \begin{eqnarray*} \prod^{n-1}_{j=1}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}}\leq \exp\{{\frac{-\sqrt{n}}{{\rm log}m}}\}\leq 3e^{{\frac{-\sqrt{n}}{{\rm log}m}}}. \end{eqnarray*} $

引理结论得证.

定理1.1的证明 由于$|x|^\alpha$与$r_{n}(X;x)$为偶函数, 故只需考虑$x\in[0, 1]$的情形.

1) 当$x\in[0, b^{n}]$时, $p(X;-x)=\prod\limits^{n-1}_{i=1}(b^{i}-x)>\prod\limits^{n-1}_{i=1}(b^{i}-b^{n})>0, $有

$ \begin{equation}\nonumber r_{n}(X;x)=x^{\alpha}\frac{p(X;x)-p(X;-x)}{p(X;x)+p(X;-x)}<x^{\alpha}, \end{equation} $

则$|E_{n}(X;x)|=||x|^{\alpha}-r_{n}(X;x)|<x^{\alpha}\leq b^{n \alpha}=e^{-\alpha \sqrt{n} {\rm log}m}\leq e^{\frac{-\alpha \sqrt{n}}{{\rm log}m}}.$其次, 有

$ \begin{equation}\nonumber |E_{n}(X;x)|=||x|^{\alpha}-r_{n}(X;x)|=2x^{\alpha}|\frac{p(X;-x)}{p(X;x)+p(X;-x)}|\leq \frac{2x^{\alpha}}{|\frac{p(X;x)}{p(X;-x)}|-1}. \end{equation} $

2) 当$x\in[b^{n}, 1]$时, 必存在某一个$k, 0\leq k\leq n-1$, 使得$b^{k+1}\leq x\leq b^{k} \leq b$, 则

$ \begin{equation}\nonumber \begin{split} |\frac{p(X;-x)}{p(X;x)}|&=\prod^{k}_{i=1}\frac{x_{i}-x}{x_{i}+x}\prod^{n-1}_{i=k+1}\frac{x-x_{i}}{x+x_{i}} \leq \prod^{k}_{i=1}\frac{b^{i}-b^{n}}{b^{i}+b^{n}}\prod^{n-1}_{i=k+1}\frac{b^{k}-b^{i}}{b^{k}+b^{i}}\\ &=\prod^{n-1}_{j=n-k}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}}\prod^{n-k-1}_{j=1}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}} =\prod^{n-1}_{j=1}\frac{1-b^{j}}{1+b^{j}}\leq e^{\frac{-\sqrt{n}}{{\rm log}m}}, \end{split} \end{equation} $

则

$ \begin{equation}\nonumber \begin{split} &|E_{n}(X;x)|=||x|^{\alpha}-r_{n}(X;x)|=2x^{\alpha}|\frac{p(X;-x)}{p(X;x)+p(X;-x)}|\\ \leq& \frac{2x{^\alpha}}{|\frac{p(X;x)}{p(X;-x)}|-1}\leq 3b^{\alpha}e^{\frac{-\sqrt{n}}{{\rm log}m}} \leq 3e^{\frac{-\sqrt{n}}{{\rm log}m}}. \end{split} \end{equation} $

综上定理得证.

本文取插值结点组$X=\{x_{i}=b^{i}, b=m^{\frac{-1}{\sqrt{n}}}\}^{n}_{i=1}$结点时, 得到Newman-$\alpha$型有理算子逼近$|x|^\alpha$的收敛速度为$3e^{\frac{-\alpha\sqrt{n}}{{\rm log}m}}$, 该结果相比以往估计是更一般性的结论, 当$\alpha=1$时, 结果包含了$|x|$的有理插值得到的逼近阶.后续将对其他结点组的情况进行近一步探究, 使结论更加完善.