近些年, 分数布朗运动因具有自相似性、长相依性等特点被广泛地应用于金融、通信等领域, 已成为随机分析及其相关领域研究的热点问题之一.但是, 当Hurst参数$H\neq\frac{1}{2}$时, 分数布朗运动既不是半鞅, 也不是马尔科夫过程.于是, 随机分析中一些经典的方法就不能直接拿来处理分数布朗运动相关问题了.

流概念源于几何测度理论.最简单的形式为如下泛函

$ \varphi\rightarrow\displaystyle\int_0^T\langle \varphi(\gamma(t)), \gamma(t)'\rangle_{\mathbb{R}^d}dt, $

其中$\varphi: \mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}^d$和$\gamma(t)$为可度量长度的曲线.记上述泛函为$\xi(x)=\displaystyle\int_0^T\delta(x-\gamma(t))\gamma(t)'dt.$一般来讲, 随机流定义为$\varphi\rightarrow I(\varphi)=\displaystyle\int_0^T\langle \varphi(X_t), dX_t\rangle, $其中$\varphi$是定义在$\mathbb{R}^d$上属于某个Banach空间V的泛函.学者们已研究了高斯随机流, 获得了一些结果, 例如Flandoli等在文献[6]中利用Malliavin计算研究了随机流的存在性和正则性.在文献[4]中作者验证了随机流的Sobolev正则性.

基于文献[6, 8], 本文利用白噪声分析方法研究Wick积分意义下的分数布朗随机流.行文安排如下:在第2部分中主要介绍分数布朗运动和白噪声分析框架的一些基本事实; 在第3部分, 先给出Wick型分数布朗随机流的定义, 其次借助于解析刻画定理证明分数布朗随机流在白噪声分析框架下是一个广义泛函.

该部分主要介绍分数布朗运动、白噪声分析框架及一些相关结果, 详细内容见文献[2, 7-8].

定义2.1 ^[1-2]  如果$\{B^H{(t)}\}_{t\in\mathbb{R}}$是一个中心高斯过程且有

$ E[B^{H}(t)B^{H}(s)]=\frac{1}{2}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}), ~~ t, s\in\mathbb{R}, $

称随机过程$\{B^H{(t) }\}_{t\in\mathbb{R}}$为分数布朗运动.

为了获得$B^H(t)$的表示形式, 需要利用分数积分算子$I_{\pm}^{\alpha}$和微分算子$D_{\pm}^{\alpha}, \alpha\in(0, 1)$.如果$\frac{1}{2} < H < 1$, 定义

$ (I_{\mp}^{\alpha}f)(x)\equiv\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int _0^{\infty}f(x\pm t)t^{\alpha-1}dt. $

如果$0 < H < \frac{1}{2}$和$\varepsilon >0$, 定义

$ (D_{\pm, \varepsilon}^{\alpha}f)(x)\equiv \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int _{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)-f(x\mp t)}{t^{\alpha+1}}dt, $

从而分数微分算子$D_{\pm}^{\alpha}f\equiv \lim\limits_{{\varepsilon\rightarrow 0+}}(D_{\pm, \varepsilon}^{\alpha}f).$

定义2.2 ^[1-2]  假设$0 < H < 1$, 算子$M_{\pm}^{H}$定义为

$ \begin{equation*} \begin{array}{lll} M_{\pm}^Hf\equiv \left\{ \begin{array}{ll} K_HD_{\pm}^{-(H-\frac{1}{2})}f, ~~&0 < H < \frac{1}{2}, \\ f, ~~&H=\frac{1}{2}, \\ K_HI_{\pm}^{(H-\frac{1}{2})}f, ~~&\frac{1}{2} < H < 1, \end{array} \right. \end{array} \end{equation*} $

其中

$ K_H\equiv\Gamma(H+\frac{1}{2})\big(\int_0^{\infty}((1+s)^{H-\frac{1}{2}}-s^{H-\frac{1}{2}})ds +\frac{1}{2H}\big)^{-\frac{1}{2}}, $

则分数布朗运动有连续版本$\langle \cdot, M_{-}^H\textbf{I}_{[0, t]}\rangle.$

第一组Gelfand三元组为$\mathcal{S}(\mathbb{R})\subset L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{d})\subset\mathcal{S}^{\ast}(\mathbb{R}), $其中$\mathcal{S}(\mathbb{R})$和$\mathcal{S}^{\ast}(\mathbb{R})$分别为Schwartz向量值检验泛函空间和缓增函数空间.

设$(L^2)\equiv L^2(\mathcal{S}^{\ast}(\mathbb{R}), d \mu)$为$\mathcal{S}^{\ast}(\mathbb{R})$上关于$\mu$平方可积泛函所构成的希尔伯特空间.则由Wiener-Itô-Segal同构定理知, 对每个$f\in (L^2)$有以下混沌表示

$ f(\textbf{w})=\sum\limits_{\textbf{m}\in\mathbb{N}^d}\langle :\textbf{w}^{\otimes \textbf{m}}: , \textbf{f}_{\textbf{m}}\rangle. $

设$\Gamma(A)$是$A$的二次量子化算子, 其中$A$定义如下

$ (A\textbf{g})_i(t)=(-\frac{d^2}{dt^2}+t^2+1)g_i(t). $

对每个整数$p$, 设$(\mathcal{S}_p)$为$\Gamma(A)^p$关于希尔伯特范数$\parallel \cdot\parallel_p=\parallel \Gamma(A)^p\parallel_0$完备化空间.从而, 设$(\mathcal{S})=\bigcap\limits_{p\geq 0}(\mathcal{S}_p)$和$(\mathcal{S})^{\ast}=\bigcup\limits_{p\geq 0}(\mathcal{S}_{-p})$分别为$\{(\mathcal{S}_p)\mid p\geq 0\}$和$\{(\mathcal{S}_{-p})\mid p\geq 0\}$的投影极限和归纳极限.于是, 第二组Gelfand三元组为$(\mathcal{S})\subset(L^2)\subset(\mathcal{S})^{\ast}.$ $(\mathcal{S})$ (相应地, $(\mathcal{S})^{\ast})$中元素称之为Hida检验泛函(相应地, 广义泛函).

对所有的检验泛函$\textbf{f}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{d})$, 在$(\mathcal{S})\times(\mathcal{S})^{\ast}$上定义$S$-变换如下

$ \Phi(\textbf{f})=\langle\langle\Phi, :\exp \langle \cdot, \textbf{f}\rangle:\rangle\rangle. $

引理2.3 ^[7-9]  设$\{G_k\}_{k\in \mathbb{N}}$表示U-泛函序列:

(1) 对$\textbf{f}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}), \{G_k(\textbf{f})\}_{k\in\mathbb{N}}$是一个柯西列;

(2) 存在$C_i$和$p$使得在$\mathbb{R}$中一致有$\mid G_k(z\textbf{f})\mid\leq C_1\exp\{C_2\mid z\mid ^2\mid A^p\textbf{f}\mid_2^2\}$, 则存在唯一$\Phi\in(\mathcal{S})^{\ast}$使得$S^{-1}G_k$强收敛于$\Phi.$

引理2.4 ^[7-9]  设$(\Omega, \mathfrak{B}, \mu)$是一个可测空间以及在$\Omega$上定义取值于$(\mathcal{S})^{\ast}$的一个映射为$\Phi_{\lambda}$.假设$\Phi_{\lambda}$的$S$-变换满足

(1) 对所有的$\textbf{f}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{d})$, 是关于$\lambda$的$\mu$-可测函数;

(2) 服从U-泛函估计$\mid S\Phi_{\lambda}(z\textbf{f})\mid\leq C_1(\lambda)\exp \{C_2(\lambda)\mid z\mid^2\mid A^p\textbf{f}\mid_2^2\}, $对固定的$p$和对$C_1\in L^1(\mu), ~C_2\in L^{\infty}(\mu)$成立,

从而$\Phi_{\lambda}$在希尔伯特空间$(\mathcal{S})_{-q}$中当$q$足够大时是Bochner可积的,

$ \int_{\Omega}\Phi_{\lambda}d\mu(\lambda)\in(\mathcal{S})^{\ast}~~ \mbox{且}~~ S(\int_{\Omega}\Phi_{\lambda}d\mu(\lambda))(\textbf{f})=\int_{\Omega}(S\Phi_{\lambda}) (\textbf{f})d\mu(\lambda). $

因为存在非适应性积分, 在定义分数布朗随机流时, 需要考虑随机积分的处理难易性以及如何给出合理的解释.在该部分中, 首先给出Wick积分意义下的分数布朗随机流的定义; 其次讨论该随机流的存在性问题.

定义3.1  设$\varphi: \mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}^d$定义在由所有光滑紧支撑向量域构成的集合上, 则

$ \varphi\rightarrow I(\varphi):= \int_0^T\langle\varphi(B^H_t), ^{\diamond} dB^H_t\rangle $

是一个泛函. Wick型分数布朗随机流定义为

$ \begin{eqnarray*} \xi(x)=\int_0^T\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_tdt, \end{eqnarray*} $

其中$W^H_t=\frac{dB^H_t}{dt}$, $\diamond$表示Wick积分和$\delta(\cdot)$Dirac德尔塔函数.

利用定义3.1可以证明:分数布朗随机流在白噪声分析框架下是一个Hida广义泛函.

定理3.2  对每个正整数$d$, 每个$H\in(0, 1)$和$\varepsilon>0$, 分数布朗随机流

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \xi_{H, \varepsilon}(x)=\int_0^Tp_{\varepsilon}(x-B^H_t)\diamond W^H_tdt \end{aligned} \end{equation*} $

是一个Hida广义泛函, 其中$p_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}}\exp\{-\frac{x^2}{2\varepsilon}\}$.进一步, 对每个$\textbf{f}\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, $\xi_{H, \varepsilon}(x)$的$S$变换为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} S(\xi_{H, \varepsilon}(x))(\textbf{f}) =&\int_0^T\big(\frac{1}{2\pi(\varepsilon+t^{2H})}\big)^{\frac{d}{2}}\\ &\cdot\exp\{\frac{(x-\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2}{2(\varepsilon+t^{2H})}\} (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t)dt.\\ \end{aligned} \end{equation*} $

证  对任意$\textbf{f}\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, 首先验证引理2.4中可积性条件满足.计算$S$-变换

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &S(p_{\varepsilon}(x-B^H_t)\diamond W^H_t)(\textbf{f})\\ =&S(p_{\varepsilon}(x-B^H_t))(\textbf{f})S(W^H_t)(\textbf{f})\\ =&\big(\frac{1}{2\pi(\varepsilon+t^{2H})}\big)^\frac{d}{2} \exp\{-\frac{(x-\displaystyle\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2}{2(\varepsilon+t^{2H})}\} (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t).\\ \end{aligned} \end{equation*} $

由文献[1]中的引理2.5, 定理2.3以及推论2.8, 对$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, 有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mid (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)f(t)\mid&=\mid (M^H_+f)(t)\mid \leq\max\limits_{x\in\mathbb{R}}\mid (M^H_+f)(x)\mid\\ &\leq C_{3, 1}(\max\limits_{x\in\mathbb{R}}\mid f(x)\mid+\max\limits_{x\in\mathbb{R}}\mid f'(x)\mid+ \mid f\mid_{L^1(\mathbb{R})}), \end{aligned} \end{equation*} $

其中$C_{3, 1}$是一个依懒于$H$的常数.因而, 对所有复值$z\in\mathbb{C}$, 有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &\mid S(p_{\varepsilon}(x-B^H_t)\diamond W^H_t)(z\textbf{f})\mid\\ \leq&\big(\frac{1}{2\pi(\varepsilon+t^{2H})}\big) ^{\frac{d}{2}}\exp\{\frac{x^2+\mid \displaystyle\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s) z\textbf{f}(s)ds\mid^2}{\varepsilon+t^{2H}}\} \mid z\mid\mid M^H_+\textbf{f}(t)\mid\\ \leq&\big(\frac{1}{2\pi(\varepsilon+t^{2H})}\big)^{\frac{d}{2}}\exp\{\frac{x^2+C_{3, 1}^2\mid z\mid^2t^2 \parallel\textbf{f}\parallel^2}{\varepsilon+t^{2H}}\}C_{3, 1}\mid z\mid \parallel\textbf{f}\parallel, \\ \end{aligned} \end{equation*} $

其中$\parallel \textbf{f}\parallel=(\sum\limits_{i=1}^d(\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\mid f_i(x)\mid +\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\mid f'_i(x)\mid+\mid f_i\mid)^2)^{\frac{1}{2}}, \textbf{f}=(f_1, \cdots, f_d) \in\mathcal{S}(\mathbb{R})$.最后一个等式的指数部分是可积的, 且$\frac{t^{2}}{t^{2H}+\varepsilon}$在$[0, T]$上是有界的.于是, 由引理2.4知

$ \begin{equation*} \begin{aligned} S(\xi_{H, \varepsilon}(x))(\textbf{f}) &=\int_0^T\big(\frac{1}{2\pi(\varepsilon+t^{2H})}\big)^{\frac{d}{2}}\\ &~~\cdot\exp\{-\frac{(x-\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2}{2(\varepsilon+t^{2H})}\} (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t)dt. \end{aligned} \end{equation*} $

定理3.3  对每个$H\in(0, 1)$和$d\geq1$, Bochner积分

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \delta(x-B^H(t))\equiv \big(\frac{1}{2\pi}\big)^d\int_{\mathbb{R}^d} \exp\{i\lambda (x-B^H_t)\}d\lambda \end{aligned} \end{equation*} $

和

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \xi_{H}(x)=\int_0^T\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_tdt \end{aligned} \end{equation*} $

都是Hida广义泛函.进一步, 当$\varepsilon$趋于0时, $\xi_{H, \varepsilon}(x)$在$(\mathcal{S})^{*}$中收敛到$\xi_{H}(x)$.

证  利用文献[8]中的一些结果, 易见

$ \begin{eqnarray*} \delta(x-B^H(t))\equiv \big(\frac{1}{2\pi}\big)^d\int_{\mathbb{R}^d} \exp\{i\lambda (x-B^H_t)\}d\lambda \end{eqnarray*} $

是一个Hida广义泛函.再次利用引理2.4证明$\xi_{H}(x)=\displaystyle\int_0^T\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_tdt$也是一个Hida广义泛函.事实上, 可积性显然.有界性条件验证如下

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &S(\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_t)(\textbf{f}) =S(\delta(x-B^H_t))(\textbf{f})S(W^H_t)(\textbf{f})\\ =&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^d}S(e^{i\lambda(x-B^H_t)})(\textbf{f}) (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t)d\lambda\\ =&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{2}\lambda^2t^{2H}+ i\lambda(x-\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2\} d\lambda(M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t), \\ \end{aligned} \end{equation*} $

则对所有的$z\in\mathbb{C}$, 有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} &\mid S(\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_t)(z\textbf{f})(t)\mid\\ =&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\mid \int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{2} \lambda^2t^{2H}+\\&i\lambda(x-z\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2\}d\lambda \mid (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)z\textbf{f}(t)\mid\\ \leq&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\mid (M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t)\textbf{f}(t)\mid\mid z\mid \mid\int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{4} \mid \lambda\mid^2t^{2H}\}\\ &\cdot\exp\{-(\frac{1}{2} \mid \lambda\mid^2t^{2H}-\frac{1}{t^H}\mid x-z \int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds\mid)^2\}\\ &\cdot\exp\{\frac{1}{t^{2H}}\mid x-z\int_{\mathbb{R}} (M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds\mid^2\}d\lambda\\ \leq&(\frac{1}{2\pi t^{2H}})^{\frac{d}{2}}\mid z\mid\mid M^H_+\textbf{f}(t)\mid\mid \int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{4} \mid \lambda\mid^2t^{2H}\} \cdot\exp\\&\{\frac{2}{t^{2H}}(x^2+\mid z\mid^2C_{3, 1}^2t^2\parallel \textbf{f}\parallel^2)\}d\lambda\\ \leq&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\mid z\mid C_{3, 1}\parallel \textbf{f}\parallel \int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{4}\mid \lambda\mid^2t^{2H}\}\exp\\&\{\frac{2}{t^{2H}}(x^2+\mid z\mid^2C_{3, 1}^2t^2\parallel\textbf{f}\parallel^2)\}d\lambda.\\ \end{aligned} \end{equation*} $

最后一个等式在$\mathbb{R}^d$上关于$\lambda$可积, 同时第二部分关于$\lambda$是一个常数.

因此, 由引理2.4, 分数布朗随机流$\xi_{H}(x)=\displaystyle\int_0^T\delta(x-B^H_t)\diamond W^H_tdt$是一个Hida广义泛函, 且有如下不等式

$ \begin{equation*} \begin{aligned} S(\xi_H(x))(\textbf{f})=&\int_0^TS(\delta(x-B^H_t))(\textbf{f})S(W^H_t)(\textbf{f})dt\\ =&\big(\frac{1}{2\pi t^{2H}}\big)^{\frac{d}{2}}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^d}\exp\{-\frac{1}{2}\lambda^2t^{2H}\\ &+i\lambda(x-\int_{\mathbb{R}}(M^H_-\textbf{I}_{[0, t]})(s)\textbf{f}(s)ds)^2\}(M^H_-\textbf{I}_{[0, s]})(t) \textbf{f}(t)d\lambda dt. \end{aligned} \end{equation*} $

由控制收敛定理知, 当$\varepsilon$趋于0时, $S(\xi_{H, \varepsilon}(x))(\textbf{f})$收敛于$S(\xi_H(x))(\textbf{f})$.由引理2.3知, 当$\varepsilon$趋于0时, $\xi_{H, \varepsilon}(x)$收敛到$\xi_H(x)$.

文献[6]利用Malliavin计算讨论了Skorohod积分意义下的布朗和分数布朗随机流.相比较Malliavin计算白噪声分析方法在某种程度上将更方便, 因为此时可以利用白噪声分析方法方便地处理随机积分问题.同时所获得的结果对Hurst指数的要求更加宽泛, 正则性条件也有别于文献[6]中的条件:对$H\in(\frac{1}{2}, 1)$时, 分数布朗随机流属于Sobolev空间的条件是$r>\frac{1}{2H}-\frac{1}{2}$.