模表示论中块论是其核心部分, 而亏群在块论中起到关键的作用.它是联系群论性质和表示论性质最重要的对象.因而, 下列问题一直是模表示论研究的核心问题.

一个$p$ -子群$D$何时是有限群$G$的$p$ -块的亏群?如果$D$是亏群, 用群论性质来计算以$D$为亏群的$p$ -块的个数.

这个问题在有限群表示论中具有重要意义, Brauer在文献[1]中将它列为问题19, 而在文献[2]中被Feit列为问题5.

特别地, 对$D=1$, 以$D$为亏群的$p$ -块被称为亏零$p$ -块.关于这一问题现在已有许多结论见文献[3-8], 在这里我们给出了一类存在极大子群是幂零群的有限群有亏零$p$ -块的充要条件.

本文讨论的群均为有限群, 如无特别说明所使用的符号和术语均符合标准.

定义2.1^[9] 有限群$G$的一个子群$H$称为半正规的, 若对任意的子群$K\leq G$, 只要$(|K|, \ |H|)=1$, 就有$KH=HK$.

由定义下面的引理是显然的.

引理2.2 设$G$为有限群, $H$为$G$的半正规的子群.

(1) 若$H\leq K\leq G$, 则$H$为$K$的半正规的子群.

(2) 设$N\lhd G$, 若$(|N|, \ |H|)=1$, 则$HN/N$为$G/N$的半正规的子群.

引理2.3^[10] 假设有限群$G$有一个极大幂零子群, 且Sylow 2子群是交换的, 则群$G$是可解的.

引理2.4^[11] 假设$G$是有限可解群, $P$是$G$的Sylow $p$ -子群且是交换的, $O_{p'}(G)$是幂零的, 其中$p$是整除群$G$阶的素数.则下列条件是等价的:

(1) $G$有亏零$p$ -块.

(2) $P\bigcap P^{x}$=1, 对某个元素$x\in G$.

(3) $O_{p}(G)$=1.

引理2.5^[12] 设$N$是可解群$G$的一个正规子群, 且$N$的阶与$p$互素, 其中$p$是一个素数.令$K_{1}, K_{2}, \cdots, K_{r}$是$G$的亏零类, 并且它们都包含在$N$中.则$G$至少有$r$个亏零特征标.

引理2.6 设$G$是有限群, $G=PN$, 其中$P$是$G$的Sylow 2 -子群, $N$是初等交换$q$ -群, $q\neq 2$, $N\lhd G$.若$G$的2阶群均是半正规的子群, 则$G$有亏零2 -块的充要条件是$O_{2}(G)=1$, 并且存在$a\in N$, 使得$C_{G}(a)$是$2'$子群.

证 1)对任意$a\in N$, $a\neq 1$, $x\in G$, $x^{2}=1$, $x\neq 1$, 有$x\in C_{G}(a)$或$a^{x}=a^{-1}$.

由$\langle x\rangle$是半正规的子群, 有$\langle x\rangle\langle a\rangle\leq G$, 于是$\langle a\rangle\lhd \langle x\rangle\langle a\rangle$, 若$x \overline{\in} C_{G}(a)$, 则$a^{x}=a^{l}=b$, 其中$2\leq l\leq q-1$.于是有$b^{x}=(a^{x})^{x}=a^{x^{2}}=a$.进而有$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}=ba=ab$, 从而$ab=1$, 即有$a=b^{-1}$.由$x, \ a$的任意性知对任意的2阶元$x$及$q$ -阶元$a$有$x\in C_{G}(a)$或$a^{x}=a^{-1}$.

2) 命题成立.

由$N$是初等交换$q$ -群, 于是可设$N=\langle a_{1}\rangle\bigoplus\langle a_{2}\rangle\bigoplus\cdots\bigoplus\langle a_{n}\rangle$, 其中$a_{1}, \ a_{2}, \ \cdots a_{n}$是$q$ -阶元.由$O_{2}(G)=1$知$C_{G}(N)=N$.否则, 令$Q$为$C_{G}(N)$的Sylow 2 -子群, 则$Q\neq 1$且$C_{G}(N)=N\times Q$, 从而$Q$是$C_{G}(N)$特征子群, 进而$Q\triangleleft G$, 与$O_{2}(G)=1$矛盾.设$a=a_{1} +a_{2} +\cdots +a_{n} $, $x$是2阶元, 若$x\in C_{G}(a)$, 则$a=a^{x}=a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots +a_{n}^{x}$.由1)及$N=\langle a_{1}\rangle\bigoplus\langle a_{2}\rangle\bigoplus\cdots\bigoplus\langle a_{n}\rangle$, 知$a_{i}^{x}=a_{i}$, 其中$i=1, \ 2, \ \cdots, n$.由于$a_{1}, \ a_{2}, \cdots, \ a_{n}$是$N$的生成元, 从而有$x\in C_{G}(N)$, 与$C_{G}(N)=N$矛盾.从而$C_{G}(a)$是$2'$子群, 且有$a\in O_{2'}(G)=N$.由引理2.5知$G$有亏零2 -块, 于是命题成立.

引理2.7^[13] 设$G$是奇阶群, $p$是一个素数, $O_{p'}(G)$和$G/O_{p'}(G)$是幂零的.则$G$有亏零$p$ -块的充要条件是$O_{p}(G)=1$.

引理2.8^[11] 设$G$是有限群, $D$是$G$的正规$p$ -子群, $PN\lhd G$, 其中$P\in $Syl$_{p}(G)$, $N$是$G$的正规$p'$ -子群.则下列条件是等价的:

1) $G$有以$D$为亏群的$p$ -块.

2) $PN$有以$D$为亏群的$p$ -块.

3) $N$有以$D$为亏群的$G$的共轭类.

引理2.9 设$G$是有限群, $G=PO_{p'}(G)$, 其中$P\in $Syl$_{p}(G)$, $p$是整除群$G$阶的一个素因子.若$G/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块, 则$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

证 设$\overline{G}=G/O_{p}(G)$, 则$\overline{G}=\overline{P}\overline{O_{p'}(G)}$是$p$ -幂零的.由$\overline{G}$有亏零$p$ -块, 知存在$\overline{x}\in \overline{O_{p'}(G)}$, 使得$C_{\overline{G}}(\overline{x})$是$p'$ -群, 并且可设$x\in O_{p'}(G)$.因为$O_{p}(G)\unlhd G, \ O_{p'}(G)\unlhd G$, 所以$O_{p}(G)\subseteq C_{G}(O_{p'}(G))\subseteq C_{G}(x)$.显然有$C_{G}(x)/O_{p}(G)\subseteq C_{\overline{G}}(\overline{x})$, 而$C_{\overline{G}}(\overline{x})$是$p'$ -群, 于是$C_{G}(x)/O_{p}(G)$是$p'$ -群, 从而$O_{p}(G)\in $Syl$_{p}(C_{G}(x))$.由引理2.8知$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

关于亏零$p$ -块问题, 人们希望给出存在亏零$p$ -块的各种群论条件.这一问题现在已有一些重要结果, 在这里又给出了一类存在极大幂零子群的有限群有亏零$p$ -块的充要条件.首先给出一些关于有限群有亏零2 -块的充要条件.

定理3.1 设$G$是有限群, 且$G$有一个极大幂零子群.若$G$的Sylow 2 -子群是交换的, 则$G$有亏零2 -块的充要条件是$O_{2}(G)=1$.

证 必要性是显然的, 下面只需证充分性.

1) 若$M\lhd G$.设$P$是$M$的Sylow 2 -子群, 由$M$是幂零的, 知$P$ Char $M$, 从而$P\lhd G$.由$O_{2}(G)=1$, 知$P=1$.再由$M$是$G$的极大子群, 知$\mid G:M\mid=2$, 从而$G$的Sylow 2 -子群的阶是2, 进而是交换的.由$O_{2'}(G)=M$是幂零的及引理2.4知$G$有亏零2 -块.

2) 假设$M$不是$G$的正规子群.若$\Phi(G)\neq 1$.由$\Phi(G)$是幂零的和$O_{2}(G)=1$, 知$\Phi(G)$是$2'$ -子群.若$O_{2}(G/\Phi(G))\neq 1$, 则令$K/\Phi(G)=O_{2}(G/\Phi(G))$.于是$K$是幂零的, 进而$K$的Sylow 2 -子群是$K$的不为1的特征子群, 从而是$G$的不为1的正规2 -子群与$O_{2}(G)=1$矛盾, 因而$O_{2}(G/\Phi(G))=1$.再由$\Phi(G)\leq M$和归纳假设知$G/\Phi(G)$有亏零2 -块, 从而$G$有亏零2 -块.

于是可假设$\Phi(G)=1$.设$M_{G}$是$M$中的$G$的极大正规子群, 若$M_{G}\neq 1$.由$M$是幂零的, 知$M_{G}$是幂零的且是$p'$ -子群.若$O_{2}(G/M_{G})=1$, 则由归纳假设知$G/M_{G}$亏零$2$ -块.从而$G$有亏零$2$ -块.现设$O_{2}(G/M_{G})=N/M_{G}\neq 1$.易知$N/M_{G}$不是$ M/M_{G}$的子群, 再由$M$是$G$的极大子群, 知$G=NM$, 从而$G/N$同构于$M$的子群是幂零的.设$L/N$是$G/N$的Sylow $2$ -子群, 由$G/N$幂零性知$L$是$G$的正规子群且$G/L$是$p'$ -子群.从而$G$有亏零$2$ -块的充要条件是$L$有亏零$2$ -块.由$G$的Sylow 2 -子群是交换的, 知$L$的Sylow 2 -子群是交换的, 而$O_{2'}(L)=M_{G}$是幂零的, 由引理2.4知$L$有亏零$2$ -块, 从而$G$有亏零$2$ -块.

设$M_{G}=1$.令$K$是$G$的极小正规子群, 由引理2.3知$G$是可解的, 再由$\Phi(G)=1$知$K$是初等交换$q$ -群, 其中$q$是不同于$2$的素数.由$M_{G}=1$和$M$是$G$的极大子群知$G=KM$, 于是$G/K$同构于$M$的子群是幂零的, 从而$G/K$的Sylow $2$ -子群$W/K$是$G/K$的正规子群.于是$G/W$是$2'$ -子群, 从而$G$有亏零$2$ -块的充要条件是$W$有亏零$2$ -块.设$W=P_{0}K$, 其中$P_{0}$是$G$的Sylow $2$ -子群.而$O_{2'}(W)=K$是幂零的, 由$G$的Sylow 2 -子群是交换的, 知$W$的Sylow 2 -子群是交换的, 由引理2.4知$W$有亏零$2$ -块, 从而$G$有亏零$2$ -块.

关于奇阶幂零群被幂零群扩张的群有亏零$p$ -块已有很多很好的结果, 例如引理2.7.而对于偶阶群结果还不是很多, 下面给出一类偶阶群有亏零2-块的充要条件.

定理3.2 设$G$是有限群, $G=PN$, 其中$P$是$G$的Sylow 2 -子群, $N\lhd G$且$N$是幂零的.若$G$的2阶子群均是半正规的子群, 则$G$有亏零2 -块的充要条件是$O_{2}(G)=1$, 并且存在$a\in N$, 使得$C_{G}(a)$是$2'$ -子群.

证 必要性是显然的, 下面只需证充分性.

假设$\Phi(G)\neq 1$.则$\Phi(G)$是$G$的$2'$ -子群.否则由$\Phi(G)\neq 1$的幂零性知$1\neq$Syl$_{2}(\Phi(G))\triangleleft \Phi(G)$ char $G$.则$1\neq$Syl$_{2}(\Phi(G))\triangleleft G$, 则与$O_{2}(G)=1$矛盾.

设$\overline{G}=G/\Phi(G)$及$O_{2}(\overline{G})=D_{0}\Phi(G)/\Phi(G)$.显然有$D_{0}\Phi(G)\triangleleft G$.对任意$g\in G$, 有$D_{0}^{g}\subseteq D_{0}\Phi(G)$, 于是存在$g_{1}\in \Phi(G)$, 使得$D_{0}^{g}=D_{0}^{g_{1}}$.进而有$gg_{1}^{-1}\in N_{G}(D_{0})$, 从而有$g\in N_{G}(D_{0})\Phi(G)$, 即$G=N_{G}(D_{0})\Phi(G)=N_{G}(D_{0})$.因此有$D_{0}\lhd G$.由$O_{2}(G)=1$, 知$D_{0}=1$.于是$O_{2}(\overline{G})=1$.由$\Phi(G)$是$2'$ -子群及引理2.2, 知$\overline{G}$满足定理条件, 进而由归纳假设知$\overline{G}$有亏零2 -块, 从而$G$有亏零2 -块.

于是可以假设$\Phi(G)=1$.由$O_{2'}(G)=N$, $N$是幂零的, 及$\Phi(G)=1$知$N=O_{2'}(G)=F(G)=N_{1}\times N_{2}\times \cdots \times N_{e}$, 其中$N_{i}$是$G$的极小正规子群且是初等交换$q_{i}$ -子群, $1\leq i \leq e$.显然有$O_{2'}(G)\subseteq C_{G}(O_{2'}(G))=C_{G}(F(G))\subseteq O_{2'}(G)$.进而$P$作用在$O_{2'}(G)$上是忠实的.

对每个$N_{i}$可看作是不可约$F_{q_{i}}[G]$ -模, 其中$F_{q_{i}}$是$q_{i}$个元素的域.由$G=PO_{2'}(G)$及$O_{2'}(G)$是交换的, 有$N_{i}$可看作是不可约$F_{q_{i}}[P]$ -模.设$K_{i}$是$P$作用在$N_{i}$上的核, 由于$P$作用在$O_{2'}(G)$上是忠实的, 因而有$\bigcap\limits_{i=1}^{e}K_{i}=1$, 且$N_{i}$可看作是不可约$F_{q_{i}}[P/K_{i}]$ -模.由引理2.6, 存在$n_{i}\in N_{i}\setminus \{1\}$, 对任意$x\in P\setminus K_{i}$有$n_{i}^{x}\neq n_{i}$.令$n=n_{1}n_{2}\cdots n_{e}\in O_{2'}(G)$.若存在$1\neq y\in P$, $y^{2}=1$, 使得$n^{y}=n_{1}^{y}n_{2}^{y}\cdots n_{e}^{y}=n$, 则有$n_{i}^{y}=n_{i}$, $1\leq i\leq e$.因为$n_{i}\neq 1$, 所以$y\in K_{i}$, 即有$y\in \bigcap\limits_{i=1}^{e}K_{i}=1$.由$G=PO_{2'}(G)$及$O_{2'}(G)$是交换的, 则对于$n$有$2 \dagger \mid C_{G}(n)\mid$, 于是有$C_{G}(n)$是$2'$ -子群.再由引理2.5, $G$有亏零2 -块.

注 有例子说明定理3.2的条件群$G$的2阶子群均是半正规的是必要的.设$q=1+2^m$是Fermat素数, 令$G=Z_{2}\wr (Z_{q}:Z_{q-1})$, 是$Z_{q}:Z_{q-1}$与$Z_{2}$的圈积, 则$G$是幂零群被幂零群扩张的群, 且$O_{2}(G)=1$, 但$G$没有亏零2 -块.

定理3.3 设$G$是有限群, 且$G$有一个极大幂零子群.若$G$的2阶群均是半正规的子群, 则$G$有亏零2 -块的充要条件是$O_{2}(G)=1$.

证 必要性是显然的, 下面只需证充分性.

1) 若$M\lhd G$.设$P$是$M$的Sylow $2$ -子群, 由$M$是幂零的, 知$P$ Char $M$, 从而$P\lhd G$.由$O_{2}(G)=1$, 知$P=1$.再由$M$是$G$的极大子群, 知$\mid G:M\mid=2$, 从而$G$的Sylow $2$ -子群的阶是$2$, 进而是交换的.由$O_{2'}(G)=M$是幂零的及引理2.4知$G$有亏零$2$ -块.

2) 若$M$不是$G$的正规子群.设$M_{G}$是$M$中的$G$的极大正规子群, 若$M_{G}\neq 1$.由$M$是幂零的, 知$M_{G}$是幂零的且是$2'$ -子群.若$O_{2}(G/M_{G})=1$, 则由引理2.2及归纳假设知$G/M_{G}$有亏零$2$ -块.从而$G$有亏零$2$ -块.现设$O_{2}(G/M_{G})=N/M_{G}\neq 1$.易知$N/M_{G}$不是$ M/M_{G}$的子群, 再由$M$是$G$的极大子群, 知$G=NM$.从而$G/N$同构于$M$的子群, 于是$G/N$幂零的.设$L/N$是$G/N$的Sylow $2$ -子群, 由$G/N$幂零性知$L$是$G$的正规子群且$G/L$是$2'$ -子群.从而$G$有亏零$2$ -块的充要条件是$L$有亏零$2$ -块.而$O_{2'}(L)=M_{G}$是幂零的, $L/O_{p'}(L)=L/M_{G}$是$2$ -群, 因而也是幂零的, 由定理3.2知$L$有亏零$2$ -块, 从而$G$有亏零$2$ -块.

于是可假设$M_{G}=1$.设$K$是$G$的极小正规子群, 由引理2.3知$G$是可解的, 于是$K$是初等交换$q$ -群, 其中$q$是不同于$2$的素数.由$M_{G}=1$和$M$是$G$的极大子群知$G=KM$, 于是$G/K$同构于$M$的子群, 进而$G/K$幂零的.从而$G/K$的Sylow $2$ -子群$W/K$是$G/K$的正规子群.于是$G/W$是$2'$ -子群, 从而$G$有亏零$2$ -块的充要条件是$W$有亏零$2$ -块.设$W=P_{0}K$, 其中$P_{0}$是$G$的Sylow $2$ -子群.而$O_{2'}(W)=K$是幂零的, $W/O_{2'}(W)=W/K$是$2$ -群, 因而也是幂零的, 由定理3.2知$W$有亏零$p$ -块, 从而$G$有亏零$p$ -块.

接下来给出一类奇阶群有亏零$p$ -块的充要条件.

定理3.4 设$G$是奇阶群, $M$是$G$的极大子群且是幂零的, $p$是整除群$G$阶的一个素因子.则$G$有亏零$p$ -块的充要条件是$O_{p}(G)=1$.

证 必要性是显然的, 下面只需证充分性.

1) 若$M\lhd G$.设$P$是$M$的Sylow $p$ -子群, 由$M$是幂零的, 知$P$ char $M$, 从而$P\lhd G$.由$O_{p}(G)=1$, 知$P=1$.再由$M$是$G$的极大子群, 知$\mid G:M\mid=p$, 从而$G$的Sylow $p$ -子群的阶是$p$, 进而是交换的.由$O_{p'}(G)=M$是幂零的及引理2.4知$G$有亏零$p$ -块.

2) 若$M$不是$G$的正规子群.设$M_{G}$是$M$中的$G$的极大正规子群, 若$M_{G}\neq 1$.由$M$是幂零的, 知$M_{G}$是幂零的且是$p'$ -子群.若$O_{p}(G/M_{G})=1$, 则$M/M_{G}$是$G/M_{G}$的极大子群且是幂零的, 从而由归纳假设知$G/M_{G}$亏零$p$ -块.进而$G$有亏零$p$ -块.现设$O_{p}(G/M_{G})=N/M_{G}\neq 1$.易知$N/M_{G}$不是$ M/M_{G}$的子群, 再由$M$是$G$的极大子群, 知$G=NM$, 从而$G/N$同构于$M$的子群, 进而是幂零的.设$L/N$是$G/N$的Sylow $p$ -子群, 由$G/N$幂零性知$L$是$G$的正规子群且$G/L$是$p'$ -子群.从而$G$有亏零$p$ -块的充要条件是$L$有亏零$p$ -块.而$O_{p'}(L)=M_{G}$是幂零的, $L/O_{p'}(L)=L/M_{G}$是$p$ -群, 因而也是幂零的, 由引理2.7知$L$有亏零$p$ -块, 从而$G$有亏零$p$ -块.

于是可假设$M_{G}=1$.设$K$是$G$的极小正规子群, 由$G$的可解性知$K$是初等交换$q$ -群, 其中$q$是不同于$p$的素数.由$M_{G}=1$和$M$是$G$的极大子群知$G=KM$, 于是$G/K$同构于$M$的子群是幂零的, 从而$G/K$的Sylow $p$-子群$W/K$是$G/K$的正规子群.于是$G/W$是$p'$ -子群, 从而$G$有亏零$p$ -块的充要条件是$W$有亏零$p$ -块.设$W=P_{0}K$, 其中$P_{0}$是$G$的Sylow $p$ -子群.而$O_{p'}(W)=K$是幂零的, $W/O_{p'}(W)=W/K$是$p$ -群, 因而也是幂零的, 由引理2.7知$W$有亏零$p$ -块, 从而$G$有亏零$p$ -块.

定理3.5 设$G$是奇阶群, $M$是$G$的极大子群且是幂零的, $p$是整除群$G$阶的一个素因子.若$O_{p}(M)\subseteq O_{p}(G)$, 则$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

证 1)若$O_{p}(M)< O_{p}(G)$, 则$O_{p}(G)$不是$M$的子群, 由$M$是$G$的极大子群, 有$G=MO_{p}(G)$, 于是$G/O_{p}(G)$同构于$M$的子群是幂零的.设$P\in $Syl$_{p}(G)$, 则有$P/O_{p}(G)\in {\rm Syl}_{p}(G/O_{p}(G))$且有$P/O_{p}(G)\lhd G/O_{p}(G), $于是有$P=O_{p}(G)\lhd G$.由于$1\in O_{p'}(G)$, $P\in $Syl$_{p}(G)$=Syl$_{p}({1})$.由引理2.8知$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

2) 若$O_{p}(G)=O_{p}(M)$.由$M$是幂零的, 知$O_{p}(G)=O_{p}(M)\in $Syl$_{p}(M)$.若$M\lhd G$, 由$M$是$G$的极大子群, 有$|G:M|=q$, 其中$q$是整除群$G$阶的一个素因子.若$q\neq p$, 则$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块的充要条件是$M$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.由$M$是幂零的, 则有$M=O_{p}(M)\times O_{p'}(M)$.于是对任意$x\in O_{p'}(M)$, 有$O_{p}(M)\in $Syl$_{p}(C_{G}(x))$.从而$M$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.于是$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

若$q=p$.令$P\in $Syl$_{p}(G)$, 则有$G=PM$.易知$P/O_{p}(G)\in $Syl$_{p}(G/O_{p}(G))$, $M/O_{p}(G)$是$G/O_{p}(G)$的极大子群且幂零的, 且有$O_{p}(G/O_{p}(G))=1$.于是由定理3.4知$G/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块.由$O_{p'}(M)$chra$M\lhd G$, 知$O_{p'}(M)\leq O_{p'}(G)$.由$|G:M|=p$, 知$O_{p'}(M)=O_{p'}(G)$.于是$M=O_{p}(M)\times O_{p'}(M)=O_{p}(G)\times O_{p'}(G)$.于是由引理2.9及$G/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块, 知$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

若$M$不是$G$的正规子群.由于$M/O_{p}(G)$是$G/O_{p}(G)$的极大子群且幂零的,

$ O_{p}(G/O_{p}(G))=1, $

于是由定理3.4知$G/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块.设$M_{G}$是$M$中的$G$的极大正规子群.若$O_{p}(G/M_{G})\neq 1$, 则由$M/M_{G}$是$p'$ -子群, 知$O_{p}(G/M_{G})=H/M_{G}$不是$M/M_{G}$的子群.由$M/O_{p}(G)$是$G/O_{p}(G)$的极大子群, 有$G=HM$, 且有$(H/M_{G})\cap (M/M_{G})=1$.于是有$|G/M_{G}|=|H/M_{G}||M/M_{G}|, $即有$|G:H|=|M/M_{G}|$, 从而$G/H$是$p'$ -群.设$P\in $Syl$_{p}(H)$, 则有$H=PM_{G}=PO_{p'}(M_{G})$, 且$O_{p'}(M_{G})\lhd H$和$O_{p}(H)=O_{p}(G)$.由$G/H$是$p'$ -群及$G/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块, 知$H/O_{p}(G)$有亏零$p$ -块, 再由引理2.9知$H$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.从而存在$x\in O_{p'}(M_{G})$, 使得$O_{p}(G)\in $Syl$_{p}(C_{H}(x))$.由$O_{p'}(M_{G})\lhd G$, 有$O_{p'}(M_{G})\subseteq O_{p'}(G)$, 即有$x\in O_{p'}(G)$.于是由引理2.8知$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.

若$O_{p}(G/M_{G})= 1$.由$G/M_{G}$的可解性知, $O_{p'}(G/M_{G})\neq 1$.易知$O_{p'}(G/M_{G})$不是$M/M_{G}$的子群, 于是有$G/M_{G}=(O_{p'}(G/M_{G}))(M/M_{G})$.而$O_{p'}(G/M_{G}), \ M/M_{G}$均是$p'$ -群, 所以$G/M_{G}$也是$p'$ -群.进而有$O_{p}(M_{G})=O_{p}(G)=P\in$ Syl$_{p}(G)$, 于是$G$有以$O_{p}(G)$为亏群的$p$ -块.