本文讨论如下具有prey-taxis的~Holling-Tanner捕食模型

$ \begin{equation}\label{P3} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=d_1\Delta u+au-u^2-\frac{uv}{m+u},&(x, t)\in \Omega \times (0, \infty), \\[1ex] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}= d_2\Delta v-\chi\nabla(v\nabla u)+bv-\frac{v^{2}}{ru},&(x, t)\in \Omega \times (0, \infty), \\[1ex] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu} =\frac{\partial v}{\partial \nu}=0,&x\in \partial\Omega\times (0, \infty), \\ u(x, 0)=u_0(x), \ \ \ \ v(x, 0)=v_0(x),&x\in \Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

(1)

其中$u, v$分别表示食饵和捕食者的密度函数, $a, b$是其各自的内禀增长率, $ru $可解释为依赖于食饵的捕食者的承载能力, $ {u}/({m+u})$是Holling Ⅱ型功能反应函数, 表示捕食者吃食饵的速率.参数$a, m, b, r$均为正常数.正常数$ d_1, d_2 $为扩散系数, $\chi\nabla(v\nabla u)$为prey-taxis项.齐次Neumann边界条件意味着该生态系统是自我封闭的, 在边界$\partial\Omega$上物种的流量为零.

模型(1.1)所对应的常微分方程系统(即(1.1)中$d_1=d_2=\chi=0$)被称为Holling-Tanner捕食模型^[1], 是数学家和生物学家Robert May为了能够精确地描述诸如山猫和野兔、麻雀和食雀鹰等生态系统物种间的相互作用而提出的一个新的具有Holling响应函数的模型^[2].由于其重要的生物意义和特有的数学特性, 该模型得到了大量的研究.如稳定的极限环、半稳定的极限环、分支、周期解等有趣的数学现象均被发现^[3-5].考虑到种群密度空间分布不均匀因素, 彭锐等在文献[6, 7]中关注了具有扩散的Holling-Tanner捕食模型(即(1.1)中$\chi=0$), 获得了非常数正解的存在性和不存在性的一些结果.给出了唯一的正常数平衡解全局渐近稳定的一些充分条件.

事实上, 在现实生态环境中, 物种的扩散往往还会受到其他物种的影响.这些物种间的相互作用可以通过交错扩散模型来描述, 相应的数学模型是强耦合的非线性偏微分方程组^{[8, 9]}.与仅带一般扩散的弱耦合系统相比, 强耦合的系统在理论研究和数值计算两方面都存在更大的困难.模型(1.1)中prey-taxis项$\chi\nabla(v\nabla u)$就是一种交错扩散项, 如果$\chi>0$称趋化吸引, 表示捕食者向食饵密度增大的方向运动, 即捕食者追逐食饵.如果$\chi<0$称趋化排斥, 表示捕食者向食饵密度减小的方向运动, 从生物学的角度来看, 这表示食饵聚集起来形成了一个团结互助、共同抵御外敌的群体, 从而保护自己免受捕食者的攻击^[10].

本文主要关注prey-taxis项对平衡态斑图的影响.我们的结果表明趋化吸引具有稳定化作用, 会抑制平衡态斑图生成, 而趋化排斥具有不稳定化作用, 会导致平衡态斑图生成.具体地, 我们首先对模型(1.1)的线性稳定性进行详细的分析, 得到唯一正常数平衡点$(u^*, v^*)$的一些稳定性结果.然后应用Crandall-Rabinowitz分支理论^[11], 以趋化系数$ \chi$为分支参数, 讨论模型(1.1)的正分支解的存在性以及分支方向, 从而对平衡态斑图的结构进行更深刻的刻画.

易知, 系统(1.1)存在唯一的正常数平衡解$(u^*, v^*)$, 其中

$ \begin{equation*} u^*=\frac{1}{2}(a-m-br+\sqrt{4am+(m+br-a)^2}), ~~v^*=bru^*. \end{equation*} $

为简便起见, 记

$ \begin{equation*} \begin{array}{c} f(u, v)= au-u^2-\frac{uv}{m+u}, ~~g(u, v)=bv-\frac{v^{2}}{ru}, \\ f_1=f_{u}(u^*, v^*)=a-2u^*-\frac{mv^*}{(m+u^*)^2}, \ f_2=f_{v}(u^*, v^*)=-\frac{u^*}{m+u^*}<0, \\ g_1=g_{u}(u^*, v^*)= b^2 r>0, \ g_2=g_{v}(u^*, v^*)=-b<0. \end{array} \end{equation*} $

在全文中, 我们总假设

$ \begin{equation*} f_1+g_2<0, \ \ f_1g_2-f_2g_1>0 \end{equation*} $

(H0)

成立.这意味着$(u^*, v^*)$作为系统(1.1)相应的常微分系统的常数平衡点是稳定的.

令$0=\mu_0<\mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\cdots$是椭圆算子$-\Delta$在$\bar{\Omega}$上相应于齐次~Neumann边界条件的特征值, 每个特征值$\mu_i$的重数为$m_i\geq1$. $\phi_{ij}, 1\leq j\leq m_i$为$\mu_i$标准化的特征函数.则集合$\{\phi_{ij}|i\geq 0, 1\leq j\leq m_i\}$构成$L^2(\Omega)$空间中的一组完备正交基.记${{\bf{X}}}_{ij}=\{{\bf{c}}\phi_{ij}:\bf{c}\in\mathbb{R}^2\}$, ${\bf{X}}_i=\bigoplus_{j=1}^{m_i}{\bf{X}}_{ij}$以及${{\bf{X}}}=\bigoplus_{i=1}^{+\infty}{\bf{X}}_i$.下面我们用线性化分析的方法得到系统(1.1)唯一的正常数平衡点$(u^*, v^*)$的线性稳定性结果.

考察线性化算子

$ \begin{equation}{\label{L0}} L_0=\left(\begin{array}{cc} d_1\Delta+f_1&f_2 \\ -\chi v^*\Delta+g_1 &d_2\Delta +g_2 \\ \end{array}\right). \end{equation} $

(2.1)

对于每一个$i\geq 0$, ${\bf{X}}_i$在算子$L_0$的作用下是不变的, $\eta$是$L_0$在${\bf{X}}_i$上的特征值当且仅当$\eta$是矩阵$\left(\begin{array}{cc} -\mu_id_1+f_1 &f_2\\ \mu_i\chi v^*+g_1&-\mu_id_2+g_2\\ \end{array}\right)$的特征值.特征方程为$\eta^2-P_i(\mu_i, \chi )\eta+Q_i(\mu_i, \chi )=0$, 其中,

$ P_i(\mu_i, \chi )=-(d_1+d_2)\mu_i+f_1+g_2, \label{P-0} $

(2.2)

$ Q_i(\mu_i, \chi )=d_1d_2\mu_i ^2 -(\chi v^*f_2+d_2f_1+d_1g_2)\mu_i+f_1g_2-f_2g_1.\label{Q-0} $

(2.3)

显然, $P_i(\mu_i, \chi )=P_i(\mu_i, 0)$, $Q_i(\mu_i, \chi )=Q_i(\mu_i, 0)-\chi v^*f_2\mu_i$.记

$ \begin{equation}\label{HH} \chi_{i}：=\frac{Q_i(\mu_i, 0)}{f_2v^*\mu_i}=\frac{d_1d_2\mu_i^2-(d_2f_1+d_1g_2)\mu_i+f_1g_2-f_2g_1}{f_2v^*\mu_i}, i\geq 1. \end{equation} $

(2.4)

注意到$f_2<0$和假设条件(H0), 易于得到下述定理.

定理2.1 (ⅰ)如果$P_i(\mu_i, 0)<0, \ Q_i(\mu_i, 0 )>0$对所有的$i\geq 1$成立.则对所有的$\chi>0$, 系统(1.1)唯一的正常数平衡点$(u^*, v^*)$是局部渐近稳定的.

(ⅱ)如果对所有的$i\geq 1$, $P_i(\mu_i, 0)<0$, 存在某些$i\geq 1$使得$Q_i(\mu_i, 0 )<0$成立.记$\Lambda_1=\{i|i\geq 1, Q_i(\mu_i, 0 )<0 \}$.则对所有的$\chi>\max_{i\in\Lambda_1 }\chi_{i}>0$, $Q_i(\mu_i, \chi )>0$, 系统(1.1)唯一的正常数平衡点$(u^*, v^*)$是局部渐近稳定的.

(ⅲ)如果$P_i(\mu_i, 0)<0, \ Q_i(\mu_i, 0 )>0$对所有的$i\geq 1$成立.则对所有的$\chi < \mathop {{\rm{max}}}\limits_{_{1 \le i \le + \infty }} {\chi _i}$, 系统(1.1)唯一的正常数平衡点$(u^*, v^*)$是不稳定的.

定理2.1(ⅰ)表明, 无趋化时($\chi=0$)稳定的正常数平衡点在捕食者对食饵的趋化是吸引($\chi>0$)时仍保持稳定.定理2.1(ⅱ)意味着常微分系统稳定的常数平衡点, 在只有扩散而无趋化时由于扩散导致的不稳定, 当捕食者对食饵的趋化吸引出现时, 会将这种扩散导致的不稳定再次变得稳定.也就是说, 趋化吸引具有稳定化作用, 会抑制斑图的生成.定理2.1(ⅲ)表明, 对于常微分系统和只有扩散的偏微分系统均稳定的常数平衡点, 捕食者对食饵的趋化排斥会导致常数平衡点不稳定.即趋化排斥具有不稳定化作用, 可能会导致斑图生成.

显然当$f_1<0$时, (2.2)和(2.3)中$P_i(\mu_i, 0)<0, \ Q_i(\mu_i, 0 )>0$对所有的$i\geq 1$成立.定理2.1的(ⅰ)和(ⅲ)意味着只有趋化排斥才可能导致斑图生成.本节我们在条件$f_1<0$下, 以趋化系数$\chi<0$为分支参数, 应用分支理论证明非常数正平衡解的存在性.从而说明趋化排斥确实会导致平衡态斑图生成.

为了简便起见, 我们在一维空间$ \Omega=(0, l), l>0 $上讨论, 对于高维情形可类似讨论.即关注平衡态系统

$ \begin{equation}\label{1SP} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle d_1\Delta u+au-u^2-\frac{uv}{m+u}=0,&x \in (0, l), \\ \displaystyle d_2\Delta v-\chi\nabla(v\nabla u)+bv-\frac{v^{2}}{ru}=0,&x \in (0, l), \\ \displaystyle u'(x)=v'(x)=0,&x= 0, l, \end{array} \right. \end{equation} $

(3.1)

在一维情况下, $ \mu_i=({\pi i}/{l})^2$, 相应的标准化的特征函数为

$ \phi_0 (x)=1/\sqrt{l}, \ \phi_i (x)=\sqrt{2/l}\cos{i\pi }x/{l}, \ i\geq1. $

令$ {\rm{Y}}=L^2 (0, l)\times L^2 (0, l)$是一个Hilbert空间, 其内积形式为$ (U_1, U_2)_{\rm{Y}} =(u_1, u_2)_{ L^2 (0, l)}+(v_1, v_2)_{ L^2 (0, l)}$, $\bar{{\rm{X}}}=\{ (u, v):u, v\in L^2 (0, l), u'=v'=0, x=0, x=l\}.$定义算子$F: \mathbb{R} \times \bar{{\rm{X}}} \rightarrow {\rm{Y}}$,

$ \begin{equation*} F(\chi;u, v)= \left( \begin{array}{c} d_1\Delta u+f(u, v)\\ d_2\Delta v-\chi \nabla (v \nabla u)+g(u, v) \end{array} \right). \end{equation*} $

首先, 我们在平凡解曲线$ \Gamma =\{ \chi;(u^*, v^*)\}\subseteq \mathbb{R}\times X $上寻找所有可能的分支点.

根据隐函数定理, 若$(\chi;u^*, v^*)$是一个分支点, 则算子$ F(\chi;u, v)$关于$ (u, v) $的导算子$ F_{(u, v)} (\chi;u, v)$在$ (\chi;u^*, v^*)$处退化.由第2部分稳定性分析的过程知, 在(2.1)式线性化算子$L_0$中取$\chi=\chi_i$, 则$L_0(\chi_i)=F_{(u, v)}(\chi_i;u^*, v^*)$.易见(2.3)中$\chi=\chi_i$时$Q_i(\mu_i, \chi_i )=0$, 算子$F_{(u, v)}(\chi_i;u^*, v^*)$具有零特征值.这意味着对所有的$i\geq 1$, $(\chi_i;u^*, v^*)$均为可能的分支点.

定理3.1 假设$f_1<0$成立.设$ i$是一个正整数, 若$ i\neq j $时, $ \chi_i\neq \chi_j $, 则存在一个正常数$\delta$使得系统(3.1)在分支点$(\chi_{i};u^*, v^*)$邻域中的非常数正解可以表示为

$ \begin{equation}\label{b1} \chi(s)=\chi_i+s^2\tilde \chi(s), \ u(s)=u^*+s\phi_i+s^2 \tilde u(s), \ v(s)=v^*+sb_{i}\phi_i+s^2 \tilde v(s), \ s\in(-\delta, \delta), \end{equation} $

(3.2)

其中$b_{i}=\frac{d_1\mu_i-f_1}{f_2}<0$, $\tilde{\chi}(s), \tilde{u}(s), \tilde{v}(s)$是关于$s$的光滑函数, 且满足$\int_{0}^{l}(\tilde{u}(s)+b_{i}\tilde{v}(s))\phi_idx=0$.

证  由定理的假设条件知,

$ \begin{equation*} {\rm{Ker }}F_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)={\rm{span}}\left\{U_0\right\}, \ \ U_0=(\phi_i, b_{i}\phi_i ), \ \ b_{i}=\frac{d_1\mu_i-f_1}{f_2}<0. \end{equation*} $

考虑$ F_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)$的共轭算子$F^{*}_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)$, 易于验证

$ \begin{equation*} {\rm{Ker}} F^{*}_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)={\rm{span}}\left\{ U^*_0\right\}, \ \ U^*_0=(\phi_i, b^*_{i}\phi_i ), \ \ b^{*}_{i}=\frac{f_2}{d_2\mu_i-g_2}<0.\end{equation*} $

由Frédholm二择一定理,

$ {\rm{Range}}F_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)=[{\rm{Ker}}F_{(u, v)}^{*}(\chi_{i};u^*, v^*)]^{\perp}. $

因此${\rm{codim~ Range}}F_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)=1.$由于

$ \begin{equation*}\label{aa} \left\langle F_{\chi, (u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)U_0, U^*_0\right\rangle = - \int_{0}^{l} \mu_iv^*b_i^*\phi_i^2 dx >0, \end{equation*} $

故$F_{\chi, (u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)U_0\notin {\rm{Range}} F_{(u, v)}(\chi_{i};u^*, v^*)$.由局部分支定理[11], 系统~(3.1)存在一条由点$(\chi_i;u^{*}, v^{*})$分支出的非平凡解曲线$(\chi(s);u(s), v(s))$, 其中$u(s)=u^*+s\phi_i+s^2 \tilde u(s)$, $v(s)=v^*+sb_{i}\phi_i+s^2 \tilde v(s)$, $\chi(s)=\chi_i+s\beta(s)$, $s \in(-\delta, \delta)$, $\tilde{\chi}(s), \tilde{u}(s), \tilde{v}(s)$是关于$s$的光滑函数, 且满足$\int_{0}^{l}(\tilde{u}(s)+b_{i}\tilde{v}(s))\phi_idx=0$.

为了证明(3.2)式, 只需要证明$\beta(0)=0$.为方便起见, 记$f_{11}=f_{uu}(u^*, v^*), ~f_{12}=f_{uv}(u^*, v^*), ~g_{11}=g_{uu}(u^*, v^*), ~g_{12}=g_{uv}(u^*, v^*)$.将$(\chi(s);u(s), v(s))$代入(3.1)式的第一个方程, 关于$s$求导两次后令$s=0$得

$ \begin{equation}\label{TT1} 2d_1\Delta \tilde u(0)+2f_{1}\tilde{u}(0)+2f_{2}\tilde{v}(0)+f_{11}\phi_{i}^{2}+2f_{12}b_{i}\phi_{i}^{2}=0, \end{equation} $

(3.3)

(3.3)式与$\phi_i$作$L^2-$内积, 运用Green's 公式并注意

$ \begin{equation} \langle\phi_{i}^{2}, \phi_i\rangle=0, ~~\langle\Delta\tilde u(0), \phi_i\rangle=-\lambda_{i}\langle\tilde u(0), \phi_i\rangle, ~~\langle\Delta\tilde v(0), \phi_i\rangle=-\lambda_{i}\langle\tilde v(0), \phi_i\rangle, \end{equation} $

(3.4)

可得

$ \begin{equation}\label{TT2} (-\lambda_{i}d_1+f_{1})\langle \tilde u(0), \phi_i\rangle+f_{2}\langle \tilde v(0), \phi_i\rangle=0. \end{equation} $

(3.5)

另一方面, 将$(\chi(s);u(s), v(s))$代入(3.1)式的第二个方程, 关于$s$~求导两次后令$s=0$得

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;2{d_2}\Delta \tilde v(0) + 2\chi '(0){v^*}{\mu _i}{\phi _i} - 2{\chi _i}{b_i}\{ {({\phi _{i'}})^2} - {\mu _i}\phi _i^2\} \\ - \;\;2{\chi _i}{v^*}\Delta \tilde u(0) + 2{g_1}\tilde u(0) + 2{g_2}\tilde v(0) + {g_{11}}\phi _i^2 + 2{g_{12}}{b_i}\phi _i^2 + {g_{22}}b_i^2\phi _i^2 = 0. \end{array} $

(3.6)

将(3.6)式与$\phi_i$作$L^2-$内积, 结合(3.4)式, 并注意到$\langle(\phi_{i}')^{2}, \phi_i\rangle=0$可得

$ \begin{equation}\label{z2} \begin{array}{rl} \chi'(0)v^*\lambda_{i}\langle\phi_i, \phi_i\rangle +(g_2-d_2\mu_i)\langle\tilde{v}(0), \phi_i\rangle+(g_1+\chi_iv^*\mu_i)\langle\tilde{u}(0), \phi_i\rangle=0. \end{array} \end{equation} $

(3.7)

由$\chi_i$的定义式(2.4), 得$ g_1+\chi_iv^*\mu_i=\frac{(f_1-d_1\mu_i)(g_2-d_2\mu_i)}{f_2}$, 则(3.7)式等价于

$ \begin{equation}\label{TT3} \chi'(0)v^*\lambda_{i}\langle\phi_i, \phi_i\rangle+\frac{g_{2}-d_2\mu_i}{f_{2}}[(f_{1}-d_1\lambda_{i}) \langle\tilde u(0), \phi_i\rangle+f_{2}\langle\tilde v(0), \phi_i\rangle]=0, \end{equation} $

(3.8)

将(3.5)代入(3.8)式, 得$\beta(0)=\chi'(0)=0$.定理得证.

在这一小节, 我们讨论定理3.1中所得到的局部分支解的分支方向.本小节的目的是求出$\tilde{\chi}(0)$具体的表达式, 它决定了分支曲线(3.2)在点$(\chi_{i};u^{*}, v^{*})$处相应于平凡解曲线$\Gamma$的分支方向.如果$\tilde{\chi}(0)>0$, 则通常称分支为超临界的, 如果$\tilde{\chi}(0)<0$, 则称分支为次临界的.下面的定理告诉我们$\tilde{\chi}(0)$可由四个$L^2-$内积

$ \begin{equation}\label{52} (A, B, C, D):=(\langle\tilde{u}(0), \phi_i^2\rangle, \langle\tilde{u}(0), (\phi_{i}')^2\rangle, \langle \tilde{v}(0), \phi_i^2\rangle, \langle \tilde{v}(0), (\phi_{i}')^2\rangle) \end{equation} $

(4.1)

来表示.

定理4.1(3.2)式中的函数$\tilde{\chi}(s)$满足

$ \begin{equation}\label{53} \begin{array}{rl} &\tilde{\chi}(0)=-\frac{1}{\mu_iv^*}[(\frac{f_{11}+f_{12}}{b_i^*}+g_{11}+g_{12}b_{i}+\chi_i\mu_ib_i)A-\chi_ib_i B+(\frac{f_{12}}{b_i^*}+g_{12}+g_{22}b_i)C\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\chi_i D+\frac{1}{4l}(\frac{f_{111}+3f_{112}b_i}{b_i^*}+g_{111}+3g_{112}b_i+3g_{122}b_i^2)], \\ \end{array} \end{equation} $

(4.2)

其中$f_{111}:=f_{uuu}(u^*, v^*)$, $f_{112}:=f_{uuv}(u^*, v^*)$, $g_{111}:=g_{uuu}(u^*, v^*)$, $g_{112}:=g_{uuv}(u^*, v^*)$,

关于$ (A, B, C, D)$, 我们有如下引理.

引理4.2 $(A, B, C, D)$满足下述代数方程组

$ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{f_1} - 4{d_1}{\mu _i}}&{4{d_1}}&{2{f_2}}&0\\ {4{d_1}\mu _i^2}&{2{f_1} - 4{d_1}{\mu _i}}&0&{2{f_2}}\\ {2{g_1} + 4{\lambda _i}{\chi _i}{v^*}}&{ - 4{\chi _i}{v^*}}&{2{g_2} - 4{d_2}{\mu _i}}&{4{d_2}}\\ { - 4\lambda _i^2{\chi _i}{v^*}}&{2{g_1} + 4{\lambda _i}{\chi _i}{v^*}}&{4{d_2}\mu _i^2}&{2{g_2} - 4{d_2}{\mu _i}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A\\ B\\ C\\ D \end{array}} \right)\\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{{2l}}({f_{11}} + 2{f_{12}}{b_i})}\\ { - \frac{{{{(\pi i)}^2}}}{{2{l^3}}}({f_{11}} + 2{f_{12}}{b_i})}\\ { - \frac{3}{l}({\chi _i}{\mu _i}{b_i} + \frac{1}{2}{g_{11}} + {g_{12}}{b_i} + \frac{1}{2}{g_{22}}b_i^2) + \frac{{{{(\pi i)}^2}}}{{{l^3}}}{\chi _i}{b_i}}\\ { - \frac{{{{(\pi i)}^2}}}{{{l^3}}}({\chi _i}{\mu _i}{b_i} + \frac{1}{2}{g_{11}} + {g_{12}}{b_i} + \frac{1}{2}{g_{22}}b_i^2) + \frac{{3{{(\pi i)}^4}}}{{{l^5}}}{\chi _i}{b_i}} \end{array}} \right).\\ \\ \\ \end{array} $

(4.3)

证  令(3.3)式与(3.6)式各自分别与$\phi_i^{2}$和$(\phi_{i}')^2$作$L^{2}-$内积, 通过分部积分并注意到

$ \begin{equation*}\label{59*} \langle\phi_{i}^{2}, \phi_{i}^{2}\rangle=\frac{3}{2l}, ~ \langle\phi_{i}^{2}, (\phi_{i}')^2\rangle=\frac{(\pi i)^2}{2l^3}, ~\langle(\phi_{i}')^2, (\phi_{i}')^2\rangle=\frac{3(\pi i)^4}{2l^5}, \end{equation*} $

易得到(4.3).证明从略.

定理4.1的证明 将$(\chi(s);u(s), v(s))$分别代入(3.1)的两个方程, 关于$s$求导三次后令$s=0$得

$ \begin{array}{l} 6{d_1}\Delta \tilde u'(0) + 6{f_1}\tilde u'(0) + 6{f_2}\tilde v'(0) + 6({f_{11}} + {f_{12}}{b_i})\tilde u(0){\phi _i} + 6{f_{12}}\tilde v(0){\phi _i}\\ + ({f_{111}} + 3{f_{112}}{b_i})\phi _i^3 = 0, \end{array} $

(4.4)

$ \begin{equation}\label{b3} \begin{array}{rl} 6d_2\Delta\tilde{v'}(0)-6 \tilde{\chi}(0)v^*\Delta\phi_i-6\chi_i\nabla\{\tilde{v}(0) \phi_{i}^{'}+b_i\phi_i\nabla \tilde{u}(0)+v^*\nabla\tilde{u'}(0)\}+6g_1\tilde{u'}(0)+6g_2\tilde{v'}(0)\\ +6(g_{11}+g_{12}b_i)\tilde{u}(0)\phi_i +6(g_{12}+g_{22}b_i)\tilde{v}(0)\phi_i+ (g_{111}+3g_{112}b_{i}+3g_{122}b_i^2)\phi_i^{3}=0. \end{array} \end{equation} $

(4.5)

将(4.4), (4.5)式分别与$ \phi_i$作$L^{2}-$内积, 由分部积分得

$ \begin{equation}\label{b4} \begin{array}{rl} &6(f_{1}-d_{1}\lambda_{i}) \langle\tilde{u'}(0), \phi_i\rangle+6f_{2}\langle\tilde{v'}(0), \phi_i\rangle +6(f_{11}+f_{12}b_{i})\langle\tilde{u}(0), \phi_{i}^{2}\rangle\\ +&6f_{12}\langle\tilde{v}(0), \phi_{i}^{2}\rangle+(f_{111}+3f_{112}b_{i})\langle\phi_{i}^{3}, \phi_i\rangle=0, \end{array} \end{equation} $

(4.6)

$ \begin{equation}\label{b5} \begin{array}{rl} &-6d_2\mu_i\langle\tilde{v'}(0), \phi_i\rangle+6\tilde{\chi}(0)v^*\mu_i\langle\phi_i, \phi_i\rangle +6\chi_i\{\langle\tilde{v}(0), (\phi_{i}')^{2}\rangle-b_i\langle\tilde{u}(0), (\phi_{i}')^{2} -\mu_i\phi_i^2\rangle\\ +&v^*\mu_i\langle\tilde{u'}(0), \phi_i\rangle\} +6g_{1}\langle\tilde{u'}(0), \phi_i\rangle+6g_{2}\langle\tilde{v'}(0), \phi_i\rangle+6(g_{11}+g_{12}b_i)\langle\tilde{u}(0), \phi_{i}^2\rangle\\ +&6(g_{12}+g_{22}b_i)\langle\tilde{v}(0), \phi_{i}^2\rangle+(g_{111}+3g_{112}b_{i}+3g_{122}b_i^2)\langle\phi_{i}^{3}, \phi_i\rangle=0. \end{array} \end{equation} $

(4.7)

再次注意到$ \langle\phi_i, \phi_i\rangle=1$, 并且在(4.6)和(4.7)式中$\langle\tilde{u'}(0), \phi_i\rangle$和$\langle\tilde{v'}(0), \phi_i\rangle$的系数间对应成比例, 将(4.7)式代入(4.6)式即得(4.2)式.定理4.1证毕！