设$E$为可度量的Lusin空间, $m$为Borel$\sigma$ -代数$\mathcal{B}(E)$上正的$\sigma$ -有限测度. $(\mathcal{E}, D(\mathcal{E}))$为$L^2(E, m)$上的拟正则半狄氏型, $M=(X_t, P_{x})$为$(\mathcal{E}, D(\mathcal{E}))$联系的$m$ -胎紧特殊标准马氏过程, 见文献[1-4].对于一个$(E, \mathcal{B}(E))$上正的测度$\mu$, 如果满足$\mu(N)=0$, 其中$N\in\mathcal{B}(E)$为零容集, 且存在由$E$的紧子集组成的$\mathcal{E}$ -网$\{F_k\}_{k=1}^{\infty}$, 使得对于所有的$k\in\mathbb{N}$, 有$\mu(F_k)<\infty$, 则称$\mu$为关于$(\mathcal{E}, D(\mathcal{E}))$的光滑测度, 记$\mu\in S$.令$(A_t)_{t\geq0}$为$M$的一个正的连续可加泛函(记为$A^{c, +}$), 则存在唯一的$\mu\in S$满足:对于$D(\mathcal{E})$中任意$\alpha$ -共轭过分函数$g$ (这里$\alpha>0$), 任意的$f\in\mathcal{B}^+(E)$有

$ \begin{eqnarray}\label{e1.1} \lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}E_{g\cdot m}[\int^t_0f(X_s)dA_s]=\int_E fgd\mu, \end{eqnarray} $

(1.1)

称$\mu$为$(A_t)_{t\geq0}$的Revuz测度, 记作$\mu_A$.反之, 若$\mu\in S$, 则必存在一个$A\in A^{c, +}$, 使得(1.1)式成立, 称$S$与$A^{c, +}$之间的这种对应关系为Revuz对应(见文[5, 定理5.8]). $(E, \mathcal{B}(E))$上一个正的测度$\mu$称为有限能量积分测度(记为$S_0$), 如果$\mu$在零容集上为$0$, 且存在正的常数$C$, 使得对任意$f\in D(\mathcal{E})$有

$ \begin{eqnarray*} \int_E|f(x)|\mu(dx)\leq C\mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(f, f), \end{eqnarray*} $

这里$\ \mathcal{E}_{\alpha}(f, g)=\mathcal{E}(f, g)+\alpha\displaystyle\int_E f(x)g(x)m(dx)$.

在对称狄氏型框架下, 文[6]研究了对称狄氏型的Kato类光滑测度扰动; 文[7]考虑了一类Kato类光滑测度的可加泛函及其大偏差问题; 文[8]给出了一类Revuz测度是Kato类光滑测度的连续可加泛函, 并研究了由此类可加泛函诱导的Feynman-Kac半群谱界的$L^p$ -独立性; 文[9]借助于Kato类光滑测度, 研究了对称狄氏型的一般扰动; 在非对称狄氏型框架下, 文[10]给出了Kato类光滑测度的定义, 并研究了Kato类光滑测度对狄氏型的扰动; 文[11]研究了符号光滑测度对广义狄氏型的扰动; 文[12]研究了符号光滑测度对半狄氏型的扰动; 文[1]借助于Kato类光滑测度用局部化的方法给出了广义Feynman-kac半群强连续的两个充分条件.

本文给出半狄氏型框架下Kato类光滑测度的定义及关于Green核的Kato类光滑测度定义, 在第二节中证明了它们的等价性; 在第三节中研究Kato类光滑测度的一些基本性质.本文的结果将有助于研究半狄氏型扰动、保正型的$h$ -变换、广义Feynman-Kac半群强连续性、大偏差、半群谱界的$L^p$-独立性等.

定义2.1 (关于$M$的Kato类光滑测度)如果一个光滑测度$\mu\ $满足$\lim\limits_{t\rightarrow0}||E_{\cdot}(A^{\mu}_t)||_q=0$, 其中

$ ||f||_q=\inf\limits_{Cap(N)=0} \sup\limits_{x\in E-N}|f(x)|, \ f(x)\in\mathcal{B}(E), \ A^{\mu}_t\in A^{c, +}, $

则称$\mu$属于Kato类光滑测度, 记$\mu\in S_k$.

定义2.2(关于Green核的Kato类$K_{\nu, \beta}$, 见文[13])令$\nu>0, \beta>0$, $E$上的一个光滑测度$\mu$, 如果满足

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \lim\limits_{r\rightarrow0}\sup\limits_{x\in E}\displaystyle\int_{d(x, y)<r}G(x, y)\mu(dy)=0, &\ \ \nu>\beta; \\ \sup\limits_{x\in E}\displaystyle\int_{d(x, y)<1}\mu(dy)<\infty, &\ \ \nu<\beta, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

则称$\mu$是关于Green核的Kato类光滑测度, 记$\mu\in K_{\nu, \beta}$, 这里

$ G(x, y):=G(d(x, y)), ~~ G(r):=\left\{ \begin{array}{ll} r^{\beta-\nu}, &\ \ \ \nu\geq\beta; \\ \log(r^{-1}), &\ \ \ \nu=\beta. \end{array} \right. $

设过程$M$及其转移概率函数$p_t(x, y)$满足下面三个条件:

(A2.1) (生命时条件) 设$\zeta$为过程$M$的生命时, 且

$ \lim\limits_{t\rightarrow0}\sup\limits_{x\in E}P_x(\zeta\leq t)=\gamma\in[0, 1). $

(A2.2) (Bishop型不等式)假设$V$为$(0, \infty)$上正的单调函数, $r\rightarrow V(r)/r^{\nu}$是单增的或有界的, 且$\sup\limits_{x\in E}m(B_r(x))\leq V(r), \forall r>0$.

(A2.3) (热核的上下界估计)令$\phi_i(i=1, 2)$为$(0, \infty)$上与$t_0<\infty$相关的单调递减函数, 且满足如下条件

$ \begin{eqnarray*} &&\int^{\infty}_1\frac{(V(t)\vee t^{\nu})\phi_2(t)}{t}dt<\infty, \\ &&\frac{1}{t^{\nu/\beta}}\phi_1(\frac{d(x, y)}{t^{1/\beta}})\leq p_{t}(x, y)\leq\frac{1}{t^{\nu/\beta}}\phi_2(\frac{d(x, y)}{t^{1/\beta}}). \end{eqnarray*} $

定理2.3 若(A2.1)-(A2.3)成立, 则$S_k=K_{\nu, \beta}$, 即定义2.1与定义2.2等价.

证 当对称狄氏型联系的马氏过程有转移密度函数时, 文[13]在条件(A2.1)-(A2.3)下证明了定义2.1与定义2.2等价.因为光滑测度是正的Borel测度, 故类似于文[13, 引理4.4]的证明, 利用证明过程与半群的对称性或对偶无关, 可得到$S_k\subset K_{\nu, \beta}$.当$\mu\in K_{\nu, \beta}$时, 得$\mu\in S$.由Revuz对应知道存在$A_t^{\mu}\in A^{c, +}$使得

$ \begin{eqnarray*} E_x(A^{\mu}_t)=\int_E\int_0^tp_s(x, y)ds\mu(dy) \end{eqnarray*} $

成立, 对文[13, 定理3.2]的证明过程稍作修改, 可以得到$\ K_{\nu, \beta}\subset S_k$.由双边包含关系, 故定理得证.

注 对于非对称狄氏型, 文[10]给出了Kato类光滑测度的定义:一个光滑测度$\mu\in S$, 如果满足

$ \lim\limits_{t\rightarrow0}(||E_{\cdot}(A^{\mu}_t)||_q\vee||\widehat{E}_{\cdot} (\widehat{A}^{\mu}_t)||_q)=0, $

则称$\mu$属于Kato类光滑测度, 记作$\mu\in S_k$, 其中$\widehat{A}^{\mu}_t$为对偶过程$\widehat{M}$的可加泛函, 其对应的Revuz测度也为$\mu$.由定理2.3知道, 当过程$M$及其对偶过程$\widehat{M}$都有转移核且都满足(A2.1)-(A2.3)时,

$ \lim\limits_{t\rightarrow0}||E_{\cdot}(A^{\mu}_t)||_q=0 \Leftrightarrow \lim\limits_{t\rightarrow0}||\widehat{E}_{\cdot}(\widehat{A}^{\mu}_t)||_q=0, $

即文[10]中Kato类光滑测度的定义可以简化.

性质3.1  设$\mu\in S$, 则存在一个由紧集组成的$\mathcal{E}$ -网$\{F_n\}$, 使得对每一个$n$, 有$I_{F_n}\mu\in S_k$.

证 首先证明当$\mu\in S_0$时, 结论成立.

设$(P_t)_{t>0}$为过程$M$的转移半群, 即对任意$f\in L^2(E;m), f\geq0$, 有$P_tf(x)=E_x[f(X_t)]$, $U_{\alpha}\mu$为有限能量积分测度$\mu$的$\alpha$ -位势(见文[5, 注5.2]), 且

$ U^1_A1(x)=E_x[\displaystyle\int^{\infty}_0e^{-s}dA_s^{\mu}], $

则

$ U_t1(x):=E_x[\displaystyle\int^t_0e^{-s}dA^{\mu}_s]=U^1_A1(x)-e^{-t}P_tU^1_A1(x). $

由文[5, 定理5.8]知$\ U^1_A1(x)$是$U_1\mu\in D(\mathcal{E})$的拟连版本, 且由文[14]知当$t\rightarrow0$时,

$ \mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(U_1\mu-P_tU_1\mu, U_1\mu-P_tU_1\mu)\rightarrow0, $

所以

$ \begin{eqnarray*} &&\mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(U_1\mu-e^{-t}P_tU_1\mu, U_1\mu-e^{-t}P_tU_1\mu)\\ &=&\mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(U_1\mu-e^{-t}U_1\mu+e^{-t}U_1\mu-e^{-t}P_tU_1\mu, U_1\mu-e^{-t}U_1\mu+e^{-t}U_1\mu-e^{-t}P_tU_1\mu)\\ &\leq&|1-e^{-t}|\mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(U_1\mu, U_1\mu) +e^{-t}\mathcal{E}_1^{\frac{1}{2}}(U_1\mu-P_tU_1\mu, U_1\mu-P_tU_1\mu)\rightarrow0\mbox{. } \end{eqnarray*} $

因此由文[15, 命题2.18(ⅰ)]知, 存在子列$\{U_{t_k}\}$及一个由闭子集$\{F_n\}$组成的$\mathcal{E}$ -网, 使得在每一个$F_n$上一致地有$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}U_{t_k}1(x)=0$, 即对任意的$k$有

$ \begin{eqnarray}\label{e3.1} \lim\limits_{t\downarrow0}\sup\limits_{x\in E}|U_{t_k}1(x)|=0\mbox{. } \end{eqnarray} $

(3.1)

下面证明$I_{F_n}\mu\in S_k$.

设$\tau_n=\inf\{t>0:X_t\in F_n\}$, 则

$ \begin{eqnarray*} &&||E_{\cdot}[\int^t_0e^{-s}I_{F_n}(X_s)dA^{\mu}_s]||_q\\ &=&||E_{\cdot}[I_{\{t>\tau_n\}}\int^t_{\tau_n}e^{-s}I_{F_n}(X_s)dA^{\mu}_s]||_q\\ &=&||E_{\cdot}\{I_{\{t>\tau_n\}}e^{-\tau_n}E_{x}[\int^t_{\tau_n}e^{-(s-\tau_n)}I_{F_n} (X_s)dA^{\mu}_s|F_{\tau_n}]\}||_q\\ &=&||E_{\cdot}\{I_{\{t>\tau_n\}}e^{-\tau_n}E_{X_{\tau_n}}[\int^t_{\tau_n}e^{-(s-\tau_n)}I_{F_n} (X_{s-\tau_n})dA^{\mu}_{s-\tau_n}]\}||_q\\ &=&||E_{\cdot}\{I_{\{t>\tau_n\}}e^{-\tau_n}E_{X_{\tau_n}}[\int^{t-t_{\tau_n}}_0e^{-s}I_{F_n} (X_{s})dA^{\mu}_{s}]\}||_q\\ &\leq&\sup\limits_{x\in F_n}|E_x[\int^{t}_0e^{-s}I_{F_n} (X_{s})dA^{\mu}_{s}]|\\ &\leq&\sup\limits_{x\in F_n}|E_x[\int^{t}_0e^{-s} dA^{\mu}_{s}]|\leq\sup\limits_{x\in F_n}|U_t1(x)|, \end{eqnarray*} $

由(3.1)式知道

$ \lim\limits_{t\downarrow0}||E_{\cdot}[\displaystyle\int^t_0e^{-s}I_{F_n}(X_s)dA^{\mu}_s]||_q=0, $

从而$I_{F_n}\mu\in S_k$.

然后证明当$\mu\in S$成立时, 结论成立.

由文[5, 定理5.4]的证明知, 存在由紧集组成的$\mathcal{E}$ -网$\{E_n\}$, 使得$I_{E_j}\mu\in S_0$, 故由上面的证明得:存在一个由闭子集组成的$\mathcal{E}$ -网$\{F_{n, j}\}$, 使得$I_{F_{n, j}}I_{E_j}\mu\in S_k$.取$G_n=\bigcup\limits_{j=1}^n(F_{n, j}\cap E_j)$, 则$\{G_n\}$为由紧集组成的$\mathcal{E}$ -网, 且$I_{G_n}\mu\in S_k$.故结论得证.

性质3.2  设$\mu\in S_k$, 则对任意$\delta>0$, 存在$A_{\delta}>0$, 使得对任意$f\in D(\mathcal{E})$有

$ \begin{eqnarray}\label{ma1} \int_{E}\tilde{f}^{2}d\mu\leq \delta \mathcal{E}(f, f)+A_{\delta}\|f\|^{2}_{2}, \end{eqnarray} $

(3.2)

其中$\widetilde{f}$为$f$的拟连续版本(见文[15, 命题3.6]).

证  由正则半狄氏型与拟正则半狄氏型的拟同胚(见文[3]), 不失一般性, 可以假定$(\mathcal{E}, D(\mathcal{E}))$为$L^2(E;m)$上的正则半狄氏型.

首先设$\mu\in S_0\cap S_k$, 将证明对任意$\alpha\geq0$, $f\in D(\mathcal{E})$, 如下式子成立

$ \begin{eqnarray}\label{e4.27} \int_{E}\tilde{f}^{2}d\mu\leq 16(K+1)^2||U_{\alpha}\mu||_{\infty}\mathcal{E}_{\alpha}(f, f)\mbox{. } \end{eqnarray} $

(3.3)

设$t>0$, $K_t=\{x\in E\mid\ |\tilde{f}(x)|\geq t\}$, $\mathcal{L}_{K_t}:=\{v\in D(\mathcal{E})\mid \mbox{在}K_t\mbox{上}\tilde{v}\geq 1\ \mathcal{E}-{\rm q.e.}\}$.由文[15, 注2.2 (ⅲ)]知$|f|\in D(\mathcal{E})$且$\mathcal{L}_{K_t}\neq\emptyset$.设$\hat{e}_{K_t}$为$\alpha$ -共轭位势, $e_{K_t}$为$\alpha$ -位势, $\bar{e}_{K_t}$为对称$\alpha$ -位势, 则

$ \begin{eqnarray*} \mathcal{E}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t}) &\leq& (K+1)\mathcal{E}_{\alpha}^{1\over2}(\bar{e}_{K_t}, \bar{e}_{K_t}) \mathcal{E}_{\alpha}^{1\over 2}(\hat{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t})\\ &=& (K+1)\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}^{1\over2}(\bar{e}_{K_t}, \bar{e}_{K_t}) \mathcal{E}_{\alpha}^{1\over 2}(\hat{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t})\\ &\leq&(K+1)\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}^{1\over2}(\bar{e}_{K_t}, \bar{e}_{K_t}) \mathcal{E}_{\alpha}^{1\over 2}(\bar{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t}), \end{eqnarray*} $

其中$K$为常数, 所以$\mathcal{E}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t})\leq (K+1)^2\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \bar{e}_{K_t})$.由文[16, 引理1.2]可知$u$为$\alpha$ -位势当且仅当$u$为$\alpha$ -过分函数, 所以类似于文[17, 命题1]的证明, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \int^{\infty}_{0}t\mathcal{E}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \bar{e}_{K_t})dt \leq 2\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}(|f|, |f|), \end{eqnarray*} $

对$\alpha>1$, 由文[15, (2.1)]可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}t\mathcal{E}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t})dt \leq 2(K+1)^2\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}(|f|, |f|) \leq 8(K+1)^2\mathcal{E}_{\alpha}(f, f)\mbox{. } \end{eqnarray*} $

定义$\hat{\mathcal{E}}(u, v):=\mathcal{E}(v, u), $则易得$(\hat{\mathcal{E}}, D(\mathcal{E}))$为正则保正型且$\hat{e}_{K_t}$关于$(\hat{\mathcal{E}}, D(\mathcal{E}))$为$\alpha$ -位势.所以存在一个光滑测度$\nu$, 使得$\hat{e}_{K_t}=\hat{U}_{\alpha}\nu$.又因为${\rm supp}[\nu]\subset K_{t}$, 所以

$ \begin{eqnarray*} \int_{E}\widetilde{f}(x)^2\mu(dx) &=&2\int^{\infty}_{0}t\int_{E}I_{K_t}\mu(dx)dt\leq2\int^{\infty}_{0}t\int_{E}\widetilde{\hat{e}_{K_t}}\mu(dx)dt\\ &=&2\int^{\infty}_{0}t\mathcal{E}_{\alpha}(U_{\alpha}\mu , \hat{e}_{K_t})dt=2\int^{\infty}_{0}t\int_{E}\widetilde{(U_{\alpha}\mu)(x)}\nu(dx)dt\\ &\leq&2||\widetilde{U_{\alpha}\mu}||_{\infty}\int^{\infty}_{0}t \int_{E}\widetilde{\bar{e}_{K_t}}\nu(dx)dt=2||\widetilde{U_{\alpha}\mu}||_{\infty}\int^{\infty}_{0}t \mathcal{E}_{\alpha}(\bar{e}_{K_t}, \hat{e}_{K_t})dt\\ &\leq&16(K+1)^2||\widetilde{U_{\alpha}\mu}||_{\infty}\mathcal{E}_{\alpha}(f, f)\mbox{. } \end{eqnarray*} $

对$\mu\in S_k$, 由文[5, 定理5.4]知存在$\mathcal{E}$ -网$\{F_n\}_{n\geq1}$, 使得$\mu_n:=I_{F_n}\mu\in S_{0}$.设$A$为$\mu$对应的正的连续可加泛函, 则$A_{t}^{n}:=\displaystyle\int^{t}_0I_{F_n}(X_s)dA^{n}_s$为$\mu_n$对应的正的连续可加泛函.由文[5, 定理5.8]知$U_{\alpha}\mu_n$为$U^{\alpha}_{A_n}1$的一个拟连版本, 因此对任意的$n$,

$ ||\widetilde{U_{\alpha}\mu_n}||_{\infty}=||U^{\alpha}_{A^n}1||_{\infty}\leq||U^{\alpha}_{A}1||_{\infty}. $

所以对任意$f\in D(\mathcal{E})$有

$ \begin{eqnarray}\label{e*} \int \tilde{f}^2d\mu\nonumber &=&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int \tilde{f}^2d\mu_n\nonumber\\ &\leq&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}16(K+1)^2||\widetilde{U_{\alpha}\mu_n}||_{\infty}\mathcal{E}_{\alpha}(f, f)\nonumber\\ &\leq&16(K+1)^2||U^{\alpha}_{A}1||_{\infty}\mathcal{E}_{\alpha}(f, f)\mbox{. } \end{eqnarray} $

(3.4)

类似于文[6, 定理4.1]得对$\mu\in S_K$有$\lim\limits_{\alpha\rightarrow\infty}||U^{\alpha}_{A}1||_{\infty}=0$, 所以由(3.4)式知(3.2)式成立.

注 因为对称狄氏型与保正型之间有很多不同, 所以在证明过程中对文[17, 命题2]做了适当的改进.对于半狄氏型, 文[18, 命题4.2]在$\mu$满足$\mu U\leq C_0m$(其中$C_{0}>0$为常数)的条件下, 用不同的方法得到了式(3.3).对于非对称狄氏型, 文[19, 命题4.3]利用对偶过程的Green函数得到了式(3.2).但由于半狄氏型的对偶过程不一定存在, 所以文[19]的方法对半狄氏型行不通, 接下来将尝试利用文[20]中$h$ -变换的方法考虑与此相关的问题.