本文研究带不同质量两粒子线性Boltzmann算子的性质.这类线性算子在Vlasov-Maxwell-Boltzmann模型中有着重要的应用. Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组是分子动理学理论中一类常见的方程组, 可以用来描述弱电离化的等离子体中各种粒子比如说离子和电子的动力学行为^[19].对于两族的不考虑物理参数如粒子质量、电量等的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组的经典解的存在性以及大时间行为的研究已经取得了很多重要的成果, 见Guo^[16]、Strain^[24]、Duan-Strain^[13]、Duan-Lei-Yang-Zhao^[12]、Lei-Zhao^[23]、Ha-Xiao-Xiong-Zhao^[17]等在碰撞核截断情形的工作, 以及Duan-Liu-Yang-Zhao^[11]、Fang-Lei^[15]等在碰撞核非截断情形的工作.我们知道带正电的离子和带负电的电子其质量一般相差较大, 因此从物理角度来讲, Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组应该考虑两种粒子的质量的影响, 注意到Duan-Liu^[10]以及Huang-Liu^[18]近期关于带不同质量的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组的非平凡解稳定性的研究工作, 证实了两种粒子质量不同, 所遇到的困难会更大.因此对带不同质量两粒子线性Boltzmann算子的研究具有深刻的意义.此外, 还注意到Boudin-Grec-Pravic-Salvarani^[8]最近研究了多族的在整体Maxwellian附近的线性Boltzmann算子的紧性性质, 本文讨论来源于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组由两流体分解得到的在局部Maxwellian附近的线性Boltzmann算子的性质.

在这里先对紧算子的相关定义、性质及其一些判别准则做一个整理和总结.紧算子的相关等价定义

定义2.1 ^[1] 设$X$、$Y$是赋范线性空间, 若算子$T: X \rightarrow Y$将$X$中任何有界集映成$Y$中的列紧集, 则称$T$是紧算子.如果紧算子$T$还是线性算子, 则称$T$为紧线性算子.

定义2.2 ^[2] 设$X$, $Y$是Banach空间, 设$T: X \rightarrow Y$线性; 称$T$是紧算子, 如果$\overline{T(B_{1})}$在$Y$中是紧集, 其中$B_{1}$是$X$中的单位球.

定义2.3 ^[3] 设$T$是赋范空间$X$上到赋范空间$Y$中的线性算子, 如果对$X$中任意有界集$M$, $\overline{TM}$为$Y$中紧集, 称$T$是紧算子.

定义2.4 ^[4] 设$T$: $D \subset X \rightarrow Y$是一连续映射, 若对任意有界序列$\{x_{n}\}\subset D$, $Tx_{n}$恒有收敛子列, 则称$T$为紧算子或紧映射.

由定义不难证明, 紧算子的下列性质

引理2.5 ^[1] 设$T: X \rightarrow Y$是线性算子, 则下述条件相互等价

(1) $T$是紧算子;

(2) $T$把$X$中的单位球映成$Y$中的列紧集;

(3) 对$X$中任何有界点列$\{x_{k}\}$, $\{Tx_{k}\}$存在收敛子列.

引理2.6 ^[2] 设$X$, $Y$是赋范空间, $T\in B(X, Y)$, $B(X, Y)$是$X$到$Y$的有界线性算子空间, 如果$T$是紧算子, 则$T$把$X$中的弱收敛点列映为$Y$中的强收敛点列.

下面给出三个判别紧算子的准则和方法.

引理2.7 ^[3] 设$\{T_{n}\}$是赋范空间$X$上到Banach空间$Y$中的紧算子列且按范数收敛于算子$T$, 则$T$也是紧算子.

引理2.8 ^[4] 设$\Omega\in\mathbb{R}^n$是一个可测集, 又设$K\in L^2(\Omega\times\Omega)$, 则

$ T: f(u)\mapsto\int_{\Omega}K(u, v)f(u)du, \ (\forall f\in L^2(\Omega)) $

是$L^2(\Omega)$上的紧算子.

引理2.9 ^[5] 假设$K(u, v) \geq 0$为$u, v$的函数, 设$Tf(\upsilon) = \displaystyle{\int} K(u, \upsilon)f(u)du, $ $K_{n} = K(u, v)\chi_{\Omega_n}$, 这里$\Omega_{n} = A_{n} \bigcap B_{n}$, 其中$A_{n} = \{(u, \upsilon): |u - \upsilon| \geq \frac{1}{n}\}, \ \ B_{n} = \{(u, \upsilon): |\upsilon|\leq n\}$, $n$为正整数.若

(1) $\displaystyle{\int} K(u, v)du$关于$v$是有界的;

(2) 对所有的$n$, $K \in L^{2}(\Omega_{n})$;

(3) $\sup \limits_{v} \displaystyle{\int} (K - K_{n})du \rightarrow 0, \ n \rightarrow \infty$,

则$T$在$L^{2}$上是紧的.引理的证明在参考文献[9]中已给出, 这里证明略去.

在弱电离化的等离子体中, 带正电的离子和带负电的电子的动力学行为可以用如下Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组来刻画(见文献[16, 19])

$ \begin{equation}\label{equ-1.1} \left\{ \begin{array}{lll} \begin{split} &\partial_{t} F_{i} + \xi\cdot \nabla_{x} F_{i} + \frac{Ze}{m_i}(E + \xi\times B) \cdot \nabla_{\xi} F_{i} = Q_{ii}(F_{i}, F_{i}) + Q_{ie}(F_{i}, F_{e}), \\ &\partial_{t} F_{e} + \xi\cdot \nabla_{x} F_{e} - \frac{e}{m_e}(E + \xi \times B) \cdot \nabla_{\xi} F_{e} = Q_{ee}(F_{e}, F_{e}) + Q_{ei}(F_{e}, F_{i}), \end{split} \end{array} \right. \end{equation} $

(3.1)

其中电场$E$和磁场$B$满足Maxwell方程组

$ \begin{equation}\label{M} \left\{ \begin{split} &\partial_t E-\nabla_x\times B=-\int_{\mathbb{R}^3} \xi (ZeF_i-eF_e)\, d\xi, \\ &\partial_t B+\nabla_x\times E =0, \\ &\nabla_x\cdot E =\int_{\mathbb{R}^3} (ZeF_i-eF_e)\, d\xi, \ \ \nabla_x \cdot B=0, \end{split}\right. \end{equation} $

(3.2)

这里$F_{i}=F_{i}(t, x, \xi)\geq 0, F_{e}=F_{e}(t, x, \xi)\geq 0$可分别看作离子和电子的密度函数, $x$和$\xi$分别表示离子和电子的空间位置和速度, $(t, x, \xi)\in (0, \infty) \times \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}$. $m_i$, $Ze$分别表示离子的质量和电量, 而$m_e$, $-e$分别表示电子的质量和电量.

(3.1)式中$Q_{\alpha\beta}(\cdot, \cdot)$ $(\alpha, \beta\in\{i, e\})$是Boltzmann碰撞算子, 这里取如下硬球模型的非对称形式

$ \begin{equation}\label{g.cop} Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_\beta)=\frac{(\sigma_\alpha+\sigma_\beta)^2}{4}\int_{\mathbb{R}^3\times \mathbb{S}_+^2} [F_\alpha(\xi')F_\beta(\xi'_\ast)-F_\alpha(\xi)F_\beta(\xi_\ast)]|(\xi-\xi_\ast)\cdot\omega|\, d\xi_\ast d\omega, \end{equation} $

(3.3)

这里$\mathbb{S}_+^2=\{\omega\in\mathbb{S}^2: (\xi-\xi_\ast)\cdot\omega\geq0\}$, $\sigma_\alpha$是$\alpha$粒子的直径, 本文取$\sigma_\alpha=\sigma_\beta=1$. $(\xi, \xi_{\ast})$和$(\xi', \xi_{\ast}')$分别表示粒子碰撞前以及碰撞后的速度.由于粒子碰撞前后动量和能量守恒, 故

$ \begin{equation}\label{con.law} m_\alpha\xi+m_\beta\xi_{\ast}=m_\alpha\xi'+m_\beta\xi'_{\ast}, \quad m_\alpha|\xi|^2+m_\beta|\xi_{\ast}|^2=m_\alpha|\xi'|^2+m_\beta|\xi'_{\ast}|^2, \end{equation} $

(3.4)

由此易知

$ \begin{equation*} \xi'=\xi-\frac{2m_\alpha}{m_\alpha+m_\beta}[(\xi-\xi_\ast)\cdot\omega]\omega, \quad \xi_\ast'=\xi_\ast+\frac{2m_\alpha}{m_\alpha+m_\beta}[(\xi-\xi_\ast)\cdot\omega]\omega. \end{equation*} $

为方便起见, 将方程组(3.1)写成如下向量形式

$ \begin{equation}\label{ve.F} \partial_{t} F + \xi \cdot \nabla_{x}F + m^{-1}q \left(E + \xi \times B\right) \cdot \nabla_{\xi}F = C(F, F), \end{equation} $

(3.5)

这里记

$ F = \left( \begin{array}{ccc} F_{i}\\ F_{e}\\ \end{array} \right), \ \ m^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{m_{i}}&0 \\ 0&\frac{1}{m_{e}}\\ \end{array} \right), \ \ q = \left( \begin{array}{ccc} Ze&0 \\ 0&-e\\ \end{array} \right), \ \ C(F, F)= \left( \begin{array}{ccc} C_i(F, F) \\ C_e(F, F) \end{array} \right), $

其中$C_\alpha(F, F)=\sum\limits_{\beta}Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_\beta)$.

现在令

$ \begin{eqnarray}\label{two.de} F = \left( \begin{array}{ccc} F_{i}\\ F_{e}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} {\bf{M}}_{i}\\ {\bf{M}}_{e}\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} {\bf{G}}_{i}\\ {\bf{G}}_{e}\\ \end{array} \right), \end{eqnarray} $

(3.6)

并称此形式为一个两流体分解, 其中

$ \begin{equation} {\bf{M}}_{\alpha}(\xi) = \frac{n_{\alpha}}{(2\pi k_{\alpha}\theta)^{3/2}}\exp \left(- \frac{m_{\alpha}|\xi - u|^{2}}{2 k_{\alpha}\theta}\right), \ \ \alpha = i, e \end{equation} $

(3.7)

为标准的麦克斯韦分布, 这里$k_\alpha=k_B/m_\alpha$, $k_B$为Boltzmann常数, $n_\alpha, u, \theta$分别表示$\alpha$ -粒子的宏观密度、速度和温度.具体来讲, (3.7)式中的$[n_i, n_e, u, \theta](t, x)$由下式确定

$ \begin{eqnarray}\label{macroscopic-component} \left\{ \begin{array}{rll} \begin{split} &m_in_i\equiv \int_{{\mathbb{R}}^3}\psi_{0i}\cdot F(t, x, \xi)d\xi, \ \ m_en_e\equiv \int_{{\mathbb{R}}^3}\psi_{0e}\cdot F(t, x, \xi)d\xi, \\ &(m_{i}n_i+m_en_e)u_j\equiv\int_{{\mathbb{R}}^3} \psi_{j}\cdot F(t, x, \xi)d\xi, \ \ j=1, 2, 3, \\ &n_i\left(\theta+\frac{1}{2}m_i|u(t, x)|^2\right)+n_e\left(\theta+\frac{1}{2}m_e|u(t, x)|^2\right)\equiv \int_{{\mathbb{R}}^3}\psi_{4}\cdot F(t, x, \xi)d\xi, \end{split} \end{array}\right. \end{eqnarray} $

(3.8)

其中$\psi_{0i}$, $\psi_{0e}$和$\psi_{j}$, $j=1, 2, 3, 4, $是六个碰撞不变量, 有如下形式

$ \begin{eqnarray} \psi_{0i}=\left(\begin{array}{cc} m_i \\ 0 \end{array}\right), \ \ \psi_{0e}=\left(\begin{array}{cc} 0 \\ m_e \end{array}\right), \ \ \psi_{j}=\left(\begin{array}{cc} m_i \xi_j \\ m_e\xi_j \end{array}\right), \ j=1, 2, 3, \ \ \psi_{4} =\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{2}m_i|\xi|^2 \\ \frac{1}{2}m_e|\xi|^2 \end{array}\right). \end{eqnarray} $

(3.9)

进一步可验证

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\mathbb{R}}^3} Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_{\beta})d\xi=0, \ \ \int_{{\mathbb{R}}^3}m_\alpha\xi_j Q_{\alpha\alpha}(F_\alpha, F_{\alpha}) d\xi=0, \ j=1, 2, 3, \\ &&\int_{{\mathbb{R}}^3}\frac{1}{2}m_\alpha|\xi|^2 Q_{\alpha\alpha}(F_\alpha, F_{\alpha}) d\xi=0 \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rll} \begin{split} &\int_{{\mathbb{R}}^3}m_\alpha\xi_j Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_{\beta}) d\xi+\int_{{\mathbb{R}}^3}m_\beta\xi_j Q_{\beta\alpha}(F_\beta, F_{\alpha}) d\xi=0, \ j=1, 2, 3, \\ &\int_{{\mathbb{R}}^3}\frac{1}{2}m_\alpha|\xi|^2 Q_{\alpha\beta}(F_\alpha, F_{\beta}) d\xi+\int_{{\mathbb{R}}^3}\frac{1}{2}m_\mathcal {B}|\xi|^2 Q_{\beta\alpha}(F_\beta, F_{\alpha}) d\xi=0 \end{split} \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

对$\alpha\neq\beta$$(\beta\in\{i, e\})$成立.对于(3.7)式中定义的${\bf{M}}_\alpha$, 有

引理3.1 设${\bf{M}}_\alpha$定义如(3.7)式, 则

$ \begin{equation}\label{M.pro} Q_{\alpha\beta}({\bf{M}}_\alpha, {\bf{M}}_\beta)=0. \end{equation} $

(3.10)

证 将(3.7)式代入(3.3)式, 再利用(3.4)式即可得(3.10)式.现将$F$的两流体分解(3.6)代入(3.5)式可得

$ \partial_{t} ({\bf{M}} + {\bf{G}}) + \xi \cdot \nabla_{x}({\bf{M}} + {\bf{G}}) + m^{-1}q (E + \xi \times B) \cdot \nabla_{\xi}({\bf{M}} + {\bf{G}}) = L_{\bf{M}} {\bf{G}}+\Gamma({\bf{G}}, {\bf{G}}), $

这里

$ \begin{eqnarray} &L_{{\bf{M}}}{\bf{G}} = \left( \begin{array}{ccc} Q_{ii}({\bf{M}}_{i}, {\bf{G}}_{i}) + Q_{ii}({\bf{G}}_{i}, {\bf{M}}_{i}) + Q_{ie}({\bf{M}}_{i}, {\bf{G}}_{e}) + Q_{ie}({\bf{G}}_{i}, {\bf{M}}_{e})\\ Q_{ee}({\bf{M}}_{e}, {\bf{G}}_{e}) + Q_{ee}({\bf{G}}_{e}, {\bf{M}}_{e}) + Q_{ei}({\bf{M}}_{e}, {\bf{G}}_{i}) + Q_{ei}({\bf{G}}_{e}, {\bf{M}}_{i}) \end{array} \right), \\ &\Gamma ({\bf{G}}, {\bf{G}}) = \left( \begin{array} Q_{ii}({\bf{G}}_{i}, {\bf{G}}_{i}) + Q_{ie}({\bf{G}}_{i}, {\bf{G}}_{e}) \\ Q_{ee}({\bf{G}}_{e}, {\bf{G}}_{e}) + Q_{ei}({\bf{G}}_{e}, {\bf{G}}_{i}) \end{array} \right).\end{eqnarray} $

(3.11)

注意到定义式(3.3), 记

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} Q_{\alpha\beta}(F_{\alpha}, F_{\beta}) =& \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} {\bf{B}} \left[F_{\alpha}(\xi^{'})F_{\beta}(\xi_{*}^{'})-F_{\alpha}(\xi)F_{\beta}(\xi_{*})\right]d\xi_{*}d\omega\\ =& \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} {\bf{B}} F_{\alpha}(\xi^{'})F_{\beta}(\xi_{*}^{'})d\xi_{*}d\omega - \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} {\bf{B}} F_{\alpha}(\xi)F_{\beta}(\xi_{*})d\xi_{*}d\omega\\ =& Q_{\alpha\beta}^{{\rm gain}}(F_{\alpha}, F_{\beta}) + Q_{\alpha\beta}^{{\rm loss}}(F_{\alpha}, F_{\beta}), \end{split} \end{equation} $

其中$Q_{\alpha\beta}^{{\rm gain}}$和$Q_{\alpha\beta}^{{\rm loss}}$分别称为“增益项”和“亏损项”, ${\bf{B}}=|(\xi-\xi_\ast)\cdot\omega|$.由(3.11)式, 可作如下分解

$ \begin{eqnarray} \nonumber L_{{\bf{M}}}{\bf{G}} =-\left( \begin{array}{ccc} \nu_{i}{\bf{G}}_i\\ \\ \nu_{e}{\bf{G}}_e \end{array}\right) +\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{{\bf{M}}_{i}}K_{i}{\bf{G}}\\ \sqrt{{\bf{M}}_{e}}K_{e}{\bf{G}} \end{array}\right), \end{eqnarray} $

其中

$ -\nu_\alpha=\sum\limits_{\alpha\in\left\{i, e\right\}}Q_{\alpha\beta}^{{\rm loss}}(1, {\bf{M}}_\alpha), ~~ K_\alpha=K_\alpha^1+K_\alpha^2+K_\alpha^3+K_\alpha^4, $

这里

$ \begin{eqnarray} \nonumber K_{\alpha}^{1} {\bf{G}} &=& {\bf{M}}^{-\frac{1}{2}}_{\alpha}\sum\limits_{\beta\in\left\{i,e\right\}}Q_{\alpha\beta}^{{\rm loss}}({\bf{M}}_{\alpha}, {\bf{G}}_{\beta}) \\%+ Q_{ie}^{{\rm loss}}({\bf{M}}_{i}, {\bf{G}}_{e}) \nonumber\\ &=& - \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} B \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi)} \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{\alpha}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}}}\right)(\xi_{\ast}) d\xi_{\ast} d\omega \nonumber\\&&- \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} B \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi)} \sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{\beta}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\beta}}}\right)(\xi_{\ast}) d\xi_{\ast} d\omega,\ \ \alpha\neq\beta,\nonumber\\ K_{\alpha}^{2} {\bf{G}} &=& {\bf{M}}^{-\frac{1}{2}}_{\alpha}\left\{Q_{\alpha\alpha}^{{\rm gain}}({\bf{M}}_{\alpha}, {\bf{G}}_{\alpha}) + Q_{\alpha\alpha}^{{\rm gain}}({\bf{G}}_{\alpha}, {\bf{M}}_{\alpha})\right\} \\ &=& \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} B \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi_{\ast})} \left[\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi')} \left(\frac{{\bf{G}}_{\alpha}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}}}\right)(\xi'_{\ast}) + \\\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi'_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{\alpha}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}}}\right)(\xi')\right] d\xi_{\ast} d\omega,\nonumber\\ %=& \int\int \widetilde{B_{ii}} \sqrt{M_{i}(\xi)} \sqrt{M_{i}(\xi_{\ast})} \sqrt{M_{i}(\xi'_{\ast})} % \frac{G_{i}}{\sqrt{M_{i}}}(\xi') d\xi_{\ast} d\omega\\ \nonumber K_{\alpha}^{3} {\bf{G}} &=& {\bf{M}}^{-\frac{1}{2}}_{\alpha}Q_{\alpha\beta}^{{\rm gain}}({\bf{M}}_{\alpha}, {\bf{G}}_{\beta}) \nonumber\\ &=& \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} B \sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi_{\ast})} \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi')} \left(\frac{{\bf{G}}_{\beta}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\beta}}}\right)(\xi'_{\ast}) d\xi_{\ast} d\omega,\ \ \alpha\neq\beta,\nonumber\\ K_{\alpha}^{4} {\bf{G}} &=& {\bf{M}}^{-\frac{1}{2}}_{\alpha}Q_{\alpha\beta}^{{\rm gain}}({\bf{G}}_{\alpha}, {\bf{M}}_{\beta}) \nonumber\\ &=& \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} B \sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi_{\ast})} \sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi'_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{\alpha}}{\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}}}\right)(\xi') d\xi_{\ast} d\omega,\ \ \alpha\neq\beta.\nonumber \end{eqnarray} $

(3.12)

现在记

$ \begin{eqnarray} \label{def.K} K{\bf{G}} =\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{{\bf{M}}_{i}}K_i{\bf{G}} \\ \sqrt{{\bf{M}}_{e}}K_e{\bf{G}} \end{array}\right). \end{eqnarray} $

(3.13)

下面将证明$K$是某个Hilbert空间上的紧算子, 为此先引入加权$L^2$空间, 规定$f\in L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_\alpha}})$当且仅当$f{\bf{M}}_\alpha^{-1/2}\in L^2(\mathbb{R}^3)$.下面是本文的主要结论.

定理3.2 设$K$的定义如(3.13)式, 则$K$是$L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_i}})\times L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_e}})$到$L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_i}})\times L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_e}})$的紧算子.

证 现在证明$K$是紧算子, 即证明$K_{i}^{1}$, $K_{i}^{2}$, $K_{i}^{3}$, $K_{i}^{4}$, $K_{e}^{1}$, $K_{e}^{2}$, $K_{e}^{3}$, $K_{e}^{4}$是紧算子, 事实上只需要证明$K_{i}^{1}$, $K_{i}^{2}$, $K_{i}^{3}$, $K_{i}^{4}$是紧算子, $K_{e}^{1}$, $K_{e}^{2}$, $K_{e}^{3}$, $K_{e}^{4}$为紧算子同理可证.证明分以下四部分:

$1^{\circ}$易知

$ \sqrt{{\bf{M}}_{i}(\xi)} \sqrt{{\bf{M}}_{e}(\xi_{\ast})}\in L^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3), $

再结合引理2.2 ^[4]可知$K_{i}^{1}$显然是$L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_i}})\times L^2(\mathbb{R}^3, \frac{1}{\sqrt{{\bf{M}}_e}})$上的紧算子.

$2^{\circ}$现证明$K_{i}^{2}$为紧算子.对$K_{i}^{2}$算子, 注意到

$ \begin{equation} \nonumber \xi^{'} = \xi - [(\xi-\xi_{*})\cdot\omega]\omega, ~~ \xi_{*}^{'} = \xi_{*} + [(\xi-\xi_{*})\cdot\omega]\omega. \end{equation} $

令$V = \xi_{*}-\xi$, 设$\omega^{\bot} \bot \omega$, 有$V = \omega(\omega \cdot V ) + \omega^{\bot}(\omega^{\bot} \cdot V )$, 且

$ \begin{eqnarray*} &&\xi^{'} = \xi + (\omega \cdot V )\omega = \xi_{*} -\omega^{\bot}(\omega^{\bot} \cdot V ), \\ && \xi_{*}^{'} = \xi_{*} - (\omega \cdot V )\omega = \xi+ \omega^{\bot}(\omega^{\bot} \cdot V ). \end{eqnarray*} $

从而变量替换$\omega\rightarrow \omega^{\bot}$意味着$ \xi'\rightarrow\xi_\ast', \ \ \xi_\ast'\rightarrow\xi'. $基于此令$\widetilde{B} = B(|\xi - \xi_{*}|, \omega) + B(|\xi - \xi_{*}|, \omega^{\bot})$, 从而$K_{\alpha}^{2}$可化简为

$ \begin{equation} \begin{split} K_{i}^{2} {\bf{G}}= \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} \widetilde{B} \sqrt{{\bf{M}}_{i}(\xi_{\ast})} \sqrt{{\bf{M}}_{i}(\xi'_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)(\xi') d\xi_{\ast} d\omega. \end{split} \end{equation} $

(3.14)

接着作变量替换$V = \xi_{*} - \xi $, 可得

$ \begin{equation} \begin{split} K_{i}^{2} {\bf{G}}= \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} \widetilde{B} \sqrt{{\bf{M}}_{i}(\xi_{\ast})} \sqrt{{\bf{M}}_{i}(\xi'_{\ast})} \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)(\xi') dV d\omega. \end{split} \end{equation} $

(3.15)

进一步设$ V=\upsilon+W, $这里$\upsilon= (V \cdot \omega )\omega, \ \ W= (V -(V \cdot \omega )\omega ), $则有$dV = 2dW d|\upsilon|$, 并且

$ d\omega dV = d\omega \cdot 2dW d|\upsilon| = 2dW \cdot \frac{|\upsilon|^{2}d|\upsilon| d\omega}{|\upsilon|^{2}} = \frac{2d\upsilon dW}{|\upsilon|^{2}}. $

再由$\xi_{\ast} = \upsilon+W + \xi, \ \ \xi^{'} = \xi + \upsilon, \ \xi_\ast^{'} = \xi + W$, 可将$K_{i}^{2}$改写为

$ \begin{equation}\label{k2.2} \begin{split} K_{i}^{2}{\bf{G}} = 4\int_{\mathbb{R}^3\times \Pi} {\bf{M}}^{\frac{1}{2}}_{i}(\xi+\upsilon +W) {\bf{M}}_{i}^{\frac{1}{2}}(\xi + W) \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)(\xi + \upsilon) \frac{1}{|\upsilon|} d\upsilon dW, \end{split} \end{equation} $

(3.16)

这里$\Pi=\{\upsilon\}^\perp$, 在推导上式中还用到了$\widetilde{B}d\omega=2|V|\cos \varphi\sin\phi d\varphi d\phi$.

为计算(3.16)式, 令$\eta = \xi + \upsilon$, 此时有

$ \begin{equation}\label{k2.3} \begin{split} K_{i}^{2}{\bf{G}}= 4\int_{\mathbb{R}^3\times \Pi} {\bf{M}}^{\frac{1}{2}}_{i}(\eta + W) {\bf{M}}_{i}^{\frac{1}{2}}(\xi + w) \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)(\eta) \frac{1}{|\eta - \xi|} d\eta dW. \end{split} \end{equation} $

(3.17)

接下来, 对${\bf{M}}^{\frac{1}{2}}_{i}(\eta + W) {\bf{M}}_{i}^{\frac{1}{2}}(\xi+W)$作如下计算

$ \begin{equation}\label{k2.4} \begin{split} &{\bf{M}}^{\frac{1}{2}}_{i}(\eta + W) {\bf{M}}_{i}^{\frac{1}{2}}(\xi+W) \\=&\frac{n_{i}}{(2\pi k_{i}\theta)^{3/2}}\exp \left(- \frac{m_{i}\left(|\eta+W - u|^{2}+|\xi+W-u|^2\right)}{4 k_{B}\theta}\right)\\ =&\frac{n_{i}}{(2\pi k_{i}\theta)^{3/2}}\exp \left(- \frac{m_{i}\left(2|W +\frac{\xi+\eta}{2}- u|^{2}+\frac{1}{2}|\xi-\eta|^2\right)}{4 k_{B}\theta}\right) \\ =&\frac{n_{i}}{(2\pi k_{i}\theta)^{3/2}}\exp \left(- \frac{m_{i}|W +\frac{\xi+\eta}{2}- u|^{2}}{2 k_{B}\theta}\right)\exp \left(- \frac{m_{i}|\xi-\eta|^2}{8 k_{B}\theta}\right) \\ =&\frac{n_{i}}{(2\pi k_{i}\theta)^{3/2}}\exp \left(- \frac{m_{i}|W +\varsigma|^2}{2 k_{B}\theta}\right) \exp \left(- \frac{m_{i}|(\xi-u)^2-(\eta-u)^2|^{2}}{8 k_{B}\theta|\xi-\eta|^2}\right)\\ & \exp \left(- \frac{m_{i}|\xi-\eta|^2}{8 k_{B}\theta}\right), \end{split} \end{equation} $

(3.18)

这里

$ \varsigma=\frac{\xi+\eta-2u}{2}-\frac{\xi+\eta-2u}{2}\cdot\frac{\xi-\eta}{|\xi-\eta|} \frac{\xi-\eta}{|\xi-\eta|}. $

将(3.18)式代入(3.17)式可得

$ \begin{align} & [K_{i}^{2}{\bf{G}}](\xi )=[K_{i}^{2}{{\bf{G}}_{i}}](\xi )= \\ & \int_{{{\mathbb{R}}^{3}}}{\exp }\left( -\frac{{{m}_{i}}|{{(\xi -u)}^{2}}-{{(\eta -u)}^{2}}{{|}^{2}}}{8{{k}_{B}}\theta |\xi -\eta {{|}^{2}}} \right)\exp \left( -\frac{{{m}_{i}}|\xi -\eta {{|}^{2}}}{8{{k}_{B}}\theta } \right)\left( \frac{{{\bf{G}}_{i}}}{\sqrt{{{\bf{M}}_{i}}}} \right)(\eta )\frac{1}{|\eta -\xi |} \\ & \times 4\int_{\Pi }{\frac{{{n}_{i}}}{{{(2\pi {{k}_{i}}\theta )}^{3/2}}}}\exp \left( -\frac{{{m}_{i}}|W+\varsigma {{|}^{2}}}{2{{k}_{B}}\theta } \right)dWd\eta = \\ & 4{{n}_{i}}\int_{{{\mathbb{R}}^{3}}}{\frac{1}{|\xi -\eta |}}\exp \left( -\frac{{{m}_{i}}|{{(\xi -u)}^{2}}-{{(\eta -u)}^{2}}{{|}^{2}}}{8{{k}_{B}}\theta |\xi -\eta {{|}^{2}}} \right) \\ & \times \exp \left( -\frac{{{m}_{i}}|\xi -\eta {{|}^{2}}}{8{{k}_{B}}\theta } \right)\left( \frac{{{\bf{G}}_{i}}}{\sqrt{{{\bf{M}}_{i}}}} \right)(\eta )d\eta , \\ \end{align} $

(3.19)

从而$K_{i}^{2}$的核可表示为

$ \kappa^2_{\alpha}(\xi, \eta) = 4n_{i}\frac{1}{|\xi-\eta|}\exp \left(- \frac{m_{i}|(\xi-u)^2-(\eta-u)^2|^{2}}{8 k_{B}\theta|\xi-\eta|^2}\right) \exp \left(- \frac{m_{i}|\xi-\eta|^2}{8 k_{B}\theta}\right) . $

利用引理2.2 ^[5]可证$K_{i}^{2}$为紧算子, 具体证明可见文献[8, 9].

$3^{\circ}$ $K_{i}^{3}$的证明要更复杂, 这里先证明$K_{i}^{4}$为紧算子.

对$K_{i}^{4}$, 与$K_{i}^{2}$不同的地方在于此时

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} \xi^{'} = \xi - \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}} [(\xi- \xi_{*})\cdot\omega]\omega, \ \ \xi_{*}^{'} = \xi_{*} + \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}} [(\xi-\xi_{*})\cdot\omega]\omega. \end{split} \end{equation} $

现在令$\xi_{*} - \xi = V = \upsilon + W$, 其中$ \upsilon = (V \cdot \omega) \omega, ~~W = V - (V \cdot \omega) \omega, $则有

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} \xi^{'} =& \xi + \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}} \upsilon, \\ \xi_{*}^{'} =& \upsilon + W + \xi - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\upsilon = \frac{m_{e} - m_{i}}{m_{i} + m_{e}} \upsilon + W + \xi. \end{split} \end{equation} $

利用上面的关系式, 与(3.16)式的计算类似, 这时$K_{i}^{4}$可转化为

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} K_{i}^{4}{\bf{G}} = &4\int_{\mathbb{R}^3\times\Pi} \sqrt{{\bf{M}}_{e}(\upsilon + W + \xi)} \sqrt{{\bf{M}}_{e}\left(\frac{m_{e} - m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\upsilon + W + \xi\right) }\\ &\times \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)\left(\xi + \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}}\upsilon\right) \frac{d\upsilon dW}{|\upsilon|}. \end{split} \end{equation} $

进一步设$\eta=\xi + \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}} \upsilon $即$\upsilon = \frac{m_{i} + m_{e}}{2m_{e}}(\eta - \xi).$从而

$ \begin{equation}\label{k4.1} \begin{split} K_{i}^{4}{\bf{G}} =& 4\left(\frac{2m_{e}}{m_{i}+m_{e}}\right)^{-3}\int_{\mathbb{R}^3\times \Pi} {\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{m_{i}+m_{e}}{2m_{e}}(\eta-\xi)+W+\xi \right) \\ &\times{\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{m_{e}-m_{i}}{2m_{e}}(\eta-\xi)+W+\xi \right) \left(\frac{{\bf{G}}_{i}}{\sqrt{{\bf{M}}_{i}}}\right)(\eta) \frac{1}{|\eta-\xi|} d\eta dW. \end{split} \end{equation} $

(3.20)

现在计算

$ \begin{equation}\label{k4.2} \begin{split} &{\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{m_{i}+m_{e}}{2m_{e}}(\eta-\xi)+W+\xi \right) {\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{m_{e}-m_{i}}{2m_{e}}(\eta-\xi)+W+\xi \right) \\ =&{\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{m_{i}+m_{e}}{2m_{e}}\eta + \frac{m_{e}-m_{i}}{2m_{e}}\xi +W \right)\cdot {\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{m_{i}+m_{e}}{2m_{e}}\xi + \frac{m_{e}-m_{i}}{2m_{e}}\eta +W \right) \\ =&{\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{m_{i}}{2m_{e}}(\eta-\xi) + \frac{1}{2}(\eta+\xi) +W \right)\cdot {\bf{M}}_{e}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{m_{i}}{2m_{e}}(\xi-\eta) + \frac{1}{2}(\eta+\xi) +W \right) \\ =&n_{e} (2\pi k_e \theta)^{-3/2} \exp \left(\frac{-m_{e}\left(\frac{m_{i}}{2m_{e}}(\eta-\xi)+\frac{1}{2}(\eta+\xi)+ W - u \right) ^{2}}{4k_B \theta} \right) \\ &\times\exp\left(\frac{-m_{e}\left(\frac{m_{i}}{2m_{e}}(\xi-\eta)+\frac{1}{2}(\eta+\xi)+ W - u \right)^{2}}{4k_B \theta} \right)\\ =&n_{e} (2k_e \pi \theta)^{-3/2} \exp \left(\frac{-m_{e}\cdot \frac{m_{i}^{2}}{2m_{e}^{2}}(\xi-\eta)^{2}} {4k_B \theta} - \frac{m_{e}\cdot 2 (W + \frac{1}{2}(\eta+\xi) -u)^{2}} {4k_B\theta} \right) \\ =&n_{e} (2k_e \pi \theta)^{-3/2} \exp \left(- \frac{m_{i}^{2}}{m_{e}} \frac{|\xi-\eta|^{2}}{8k_B \theta} - \frac{m_{e}}{2} \frac{((\eta-u)^{2}-(\xi-u)^{2})^{2}}{4k_B \theta |\eta-\xi|^{2}} \right) \\ &\times\exp \left(- \frac{m_{e} |W+\zeta_{2}|^{2}}{2k_B\theta} \right). \end{split} \end{equation} $

(3.21)

将(3.21)式代入(3.20)式可知$K_{i}^{4}$的核可以写为下列形式

$ \kappa^4_{i}(\xi, \eta) =4n_{e}\frac{1}{|\xi-\eta|} \exp\left(-\frac{m_{i}^{2}}{m_{e}}\frac{(\xi-\eta)^{2}}{8k_B\theta} -\frac{m_e((\eta-u)^{2}-(\xi-u)^{2})^{2}}{8k_B\theta|\xi-\eta|^{2}}\right). $

再次利用引理2.2 ^[5]可知$K_{i}^{4}$为紧算子.

$4^{\circ}$ 现在证明$K_{i}^{3}$是紧算子.与$K_{i}^{2}$, $K_{i}^{4}$的证明一样, 为了证明$K_{i}^{3}$是紧算子, 首先要将$K_{i}^{3}$化为一个更加简洁的形式, 为此先引入下面引理.

引理3.3 存在$b>0$对任意的$i, e$满足$m_{i}\neq m_{e}$及任意的$\xi, \xi_{*}\in \mathbb{R}^{3}$和$\xi^{'}, \xi_{*}^{'}$有

$ \begin{equation} \label{M4.0} \begin{split} \sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi_{*})}\sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi^{'})} \leq b \left(\sqrt{{\bf{M}}_{\beta}(\xi_{*}^{'})} \sqrt{{\bf{M}}_{\alpha}(\xi)} \right). \end{split} \end{equation} $

(3.22)

证 现在对此引理给出证明, 选择$m_i\neq m_e$, 进行变量变换$(\xi-u, \xi_\ast-u, \xi'-u, \xi_\ast'-u)\rightarrow (\xi, \xi_\ast, \xi', \xi_\ast')$:

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} \xi^{'} = \xi - \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}} [(\xi- \xi_{*})\cdot\omega]\omega, \ \ \xi_{*}^{'} = \xi_{*} + \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}} [(\xi-\xi_{*})\cdot\omega]\omega \end{split} \end{equation} $

可化为

$ \begin{eqnarray} \label{v4.3} && \xi^{'} = \left( I_{3} - \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right)\xi + \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T}\xi_{*}, \\ \label{v4.4} && \xi_{*}^{'} = \left( I_{3} - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right)\xi_{*} + \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T}\xi, \end{eqnarray} $

(3.23)

这里$I_{3}$是$3\times 3$单位矩阵.由(3.24)式可以得到

$ \left( I_{3} - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right)\xi_{*} = \xi_{*}^{'} - \frac{2m_{e}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T}\xi. $

为表达简便, 记

$ {\bf{A}} = \left( I_{3} - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right), $

因为$\det {\bf{A}} = \frac{m_{e} - m_{i}}{m_{e} + m_{i}}$和$m_i\neq m_e$, 所以${\bf{A}}$可逆.因此有

$ \begin{equation} \label{v4.5} \begin{split} \xi_{*} =& \left( I_{3} - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right)^{-1}\xi_{*}^{'} - \left( I_{3} - \frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T} \right)^{-1}\frac{2m_{i}}{m_{i} + m_{e}}\omega \omega^{T}\xi\\ =& {\bf{A}}^{-1}\xi_{*}^{'} + (I_{3} - {\bf{A}}^{-1})\xi. \end{split} \end{equation} $

(3.25)

把(3.25)式代入(3.23)式又可得到

$ \xi^{'} = - \frac{m_{e}}{m_{i}}(I_{3} - {\bf{A}}^{-1})\xi_{*}^{'} + \left( \frac{m_{i} + m_{e}}{m_{i}}I_{3} - \frac{m_{e}}{m_{i}} {\bf{A}}^{-1} \right)\xi. $

现在考虑如下的分块矩阵

$ \begin{eqnarray} \nonumber {\bf{B}} =\left( \begin{array}{ccc} {\bf{A}}^{-1}&\sqrt{\frac{m_{e}}{m_{i}}}(I_{3} - {\bf{A}}^{-1})\\ \frac{m_{i} + m_{e}}{m_{i}}I_{3} - \frac{m_{e}}{m_{i}}A^{-1} & -\sqrt{\frac{m_{e}}{m_{i}}}(I_{3} - {\bf{A}}^{-1}) \end{array}\right). \end{eqnarray} $

通过计算有$\det {\bf{A}} = 1$且${\bf{A}}^{-1} ={\bf{A}} $, 则有

$ \begin{eqnarray} \nonumber \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{m_{e}}\xi_{*}\\ \sqrt{m_{i}}\xi^{'} \end{array}\right) = {\bf{B}} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{m_{e}}\xi_{*}^{'}\\ \sqrt{m_{i}}\xi \end{array}\right). \end{eqnarray} $

事实上(3.22)式是通过找下面这个式子的下界得到的

$ \frac{\|{\bf{B}}[\sqrt{m_{e}}\xi_{*}^{'} \ \ \sqrt{m_{i}}\xi]^{T}\|^{2}}{\|[\sqrt{m_{e}}\xi_{*}^{'} \ \ \sqrt{m_{i}}\xi]^{T}\|^{2}}, $

且其是关于$\omega$的正函数并有$ b=\min \limits_{\omega \in S^{2}} \| {\bf{B}} \|^{2} > 0, $这就证明了引理3.2.

这时为了证明$K_{i}^{3}$是紧算子, 利用关系

$ \begin{eqnarray} \nonumber \left( \begin{array}{ccc} \xi_{*}-u\\ \xi^{'}-u \end{array}\right) = {\bf{B}} \left( \begin{array}{ccc} \xi_{*}^{'}-u\\ \xi-u \end{array}\right), \end{eqnarray} $

则$K_{i}^{3}$可化为

$\begin{equation} \label{K1.1} K_{i}^{3} = \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} {\bf{B}} \sqrt{{\bf{M}}_e(\xi_{\ast}(\xi_{*}^{'}, \xi))} \sqrt{{\bf{M}}_i(\xi'(\xi_{*}^{'}, \xi))} \left(\frac{{\bf{G}}_e}{\sqrt{{\bf{M}}_e}}\right)(\xi_{*}^{'}) d\xi_{\ast} d\omega. \end{equation} $

(3.26)

再通过变量变换$\xi_{*} \rightarrow \xi_{*}^{'}$, 可以得到

$ \begin{equation} \nonumber \begin{split} (3.26) = \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2_+} {\bf{B}} \sqrt{{\bf{M}}_e(\xi_{\ast}(\xi_{*}^{'}, \xi))} \sqrt{{\bf{M}}_i(\xi'(\xi_{*}^{'}, \xi))} \left(\frac{{\bf{G}}_e}{\sqrt{{\bf{M}}_e}}\right)(\xi_{*}^{'})|{\bf{A}}^{-1}| d\xi'_{\ast} d\omega. \end{split} \end{equation} $

上式也有确定的核形式, 其证明过程与$K_{i}^{2}$与$K_{i}^{4}$类似, 可知$K_{i}^{3}$是紧的.同理可证$K_{e}^{1}$, $K_{e}^{2}$, $K_{e}^{3}$, $K_{e}^{4}$也是紧算子.

综合上述可证明积分算子$K$为紧算子.