半次覆盖远离子群和有限群的可解性


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	李士恒

	柳海萍

	刘冬华

半次覆盖远离子群和有限群的可解性

李士恒¹, 柳海萍², 刘冬华³

1. 郑州航空工业管理学院理学院, 河南郑州 450015;
2. 郑州航空工业管理学院经贸学院, 河南郑州 450015;
3. 郑州铁路职业技术学院公共教学部, 河南郑州 450052

收稿日期：2016-01-28; 接收日期：2016-06-08

基金项目：国家自然科学基金青年项目资助（11501176）；河南省高等学校重点科研项目资助（16A110039）

作者简介：李士恒(1977-), 男, 河南邓州, 讲师, 主要研究方向:群论

摘要：本文定义了有限群的半次覆盖远离子群概念，研究了半次覆盖远离子群和有限群的可解性问题.利用某些半次覆盖远离子群刻划了有限群的可解性，得到了若所有的sylow子群（或极大子群）半次覆盖远离则群可解，推广了文献[6]中的结果.

关键词：有限群半次覆盖远离子群极大子群可解

SEMI-SUBNORMAL-COVER-AVOIDANCE SUBGROUPS AND THE SOLVABLITY OF FINITE GROUPS

LI Shi-heng¹, LIU Hai-ping², LIU Dong-hua³

1. School of Science, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450015, China;
2. School of Economics and Trade, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450015, China;
3. Department of Public Education, Zhengzhou Railway Vocational and Technical College, Zhengzhou 450052, China

Abstract: In this paper, we define semi-subnormal-cover-avoidance subgroups of finite groups and study the solvability between groups and their semi-subnormal-cover-avoidance subgroups. With semi-subnormal-cover-avoidance subgroups, we characterize the solvability of finite groups and obtain the results that the group is soluble if all of its sylow groups (or maximal subgroups) are semi-subnormal-cover-avoidance subgroups, which generalize the results in[6].

Key words: finite group Semi-subnormal-cover-avoidance subgroups maximal subgroups solvable

1 引言

利用子群研究有限群的结构, 在有限群的研究中有很重要的地位.很多学者都在这些方面进行了研究, 得到了很多重要的结果.如著名的Huppert定理, 即有限群为超可解当且仅当它的所有极大子群的指数为素数; 有限群为幂零群当且仅当每个极大子群都正规; 有限群可解当且仅当它的极大子群均$c$ -正规(见文献[1])等.很多学者对子群的正规性进行了推广, 并由此得到了许多关于可解性、超可解性和幂零性的一些充分条件.例如文献[2]证明了如果群$G$的每一个Sylow子群有在$G$中正规的极大子群那么$G$超可解; 文献[3, 4]中刻画了满足换位子条件的群的结构; 文献[10]用某些子群的半正规性刻画了有限群的可解性等.郭秀云在文献[5]中用覆盖-离开子群刻画了群的结构; 樊恽、郭秀云^[6]等介绍了概念半覆盖远离, 这个概念是覆盖远离、几乎正规(见文献[6]定义2.1(2))的推广, 而几乎正规是$c$ -正规的推广.他们用Sylow子群或极大子群的半覆盖远离性刻画了有限群的可解性, 也用其他一些子群的半覆盖远离性刻画了有限群的超可解性.本文定义了有限群的半次覆盖远离性子群, 用有限群的半次覆盖远离性子群刻划群$G$的可解性.

文中, $\pi$是一个素数集合, $G$是一个群, 所有的群都是有限群. $\pi(G)$表示群$G$的阶的所有素因子作成的集合; 如果数$n$的每一个素因子都在$\pi$中, 称$n$是一个$\pi$ -数; $H<G$表示$H$为$G$的真子群, $H\lhd\lhd G$表示$H$为$G$的次正规子群, $H$为$G$的极大子群记作$H<\cdot G$; 称$L$为$G$的2 -极大子群, 如果存在$G$的极大子群$M$使$L<\cdot M$.

定义1.1 设商群$M/N$为$G$的次正规因子, $H$是$G$的子群.若$H$满足$HM=HN$ (这里$HM$和$HN$不一定是群$G$的子群), 则称$H$覆盖$M/N$; 若$H\cap M=H\cap N$($\Leftrightarrow H\cap M/H\cap N=1$), 则称$H$远离$M/N$.如果$H$覆盖或者远离$G$的某个合成列的每个合成因子, 那么称$H$是$G$的半次覆盖远离子群.显然这是半覆盖远离子群和次正规子群的一个推广.

下面的例1.1说明半次覆盖远离子群既不是次正规子群也不是半覆盖远离子群, 例1.2说明半次覆盖远离子群不一定覆盖远离每一个合成列, 相关概念见文献[7, A, 第18节].

例1.1 设$G=N\wr S_3$是$N$和$S_3$的圈积(wreath product), 其中$S_3$为3次对称群, $N$为一个非交换单群.再设$H=D\langle (12) \rangle$, 其中$D$为基群(base group) $B$的对角子群(diagonal subgroup), $(12)$为$S_3$的一个置换.下面验证$H$覆盖远离次正规列$1<N_1<N_1\times N_2<B<B\langle(123)\rangle <G$, 其中$N_1=\{ (a, 1, 1)|a\in N\}$, $N_2=\{ (1, a, 1)|a\in N\}$.显然有$N_1\cap H=1=N_1\cap 1$、$N_1\cap H=1=(N_1\times N_2)\cap H$、$(N_1\times N_2)H=B\langle (12)\rangle=BH$、$B\cap H=D=B\langle (123)\rangle\cap H$、$(B\langle (123))\rangle H=G$ (由$|B\langle (123)\rangle H|=\frac{|B\langle (123)\rangle||H|}{|D|}=\frac{|B||\langle (123)\rangle||H|}{|D|}=|G|$得)成立, 因此$H$覆盖远离上述次正规列.

另一方面, 由$B\cap H=D\neq 1$和$BH=B\langle (12)\rangle\neq H$得$H$不覆盖或远离$G$的主因子$B/1$, 又$B$是$G$唯一的极小正规子群, 所以$H$不覆盖或远离$G$的任何主列, 即是$H$不是$G$的半覆盖远离子群.显然$H$也不是$G$的次正规子群(否则$H\cap B=D$是$G$的次正规子群从而也是$B$的次正规子群, 但由文献[8, 第一章, 9.12]可看出这是不可能的).

例1.2 设$G=A_5\times \langle (67) \rangle$, 其中$A_5$为5次交错群, $(67)$为$S_7$的一个置换, $H=\langle (12)(34)(67) \rangle$.则$H$覆盖远离合成列$1<A_5<G$ (也是主列), 但不覆盖远离$G$的合成列$1<\langle (67) \rangle<G$ (也是主列).

2 引理

引理2.1 设$H$是群$G$的子群, $1<\cdots<N<M<\cdots<G$是$G$的一个次正规列.如果$H$覆盖（远离）$M/N$, 那么$H$覆盖(远离)这个次正规列细化后的在$M$和$N$之间的任一个合成因子.

证设$A/B$是满足$N\leq B<A\leq M$的群$G$的合成因子.当$H$覆盖$M/N$时, 由$HM\supseteq HA\supseteq HB\supseteq HN$得$H$覆盖$A/B$.如果$H$远离$M/N$, 那么$H\cap M=H\cap N$.因为$H\cap M\geq H\cap A\geq H\cap B\geq H\cap N$, 所以$ H\cap A=H\cap B$.引理得证.

引理2.2 设$H\leq G$, $N\unlhd G$且$(|H|, |N|)=1$.如果$M\unlhd\unlhd G$, 那么$M\cap HN=(M\cap H)(M\cap N)$.

证设$W=M\cap HN$.由$M\lhd\lhd G$得存在次正规子群$G_i$ ($i=0, 1, \cdots, r$)满足$M=G_r\lhd G_{r-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$.对$r$用数学归纳法.

当$r=1$时$M\unlhd G$.从而$W\unlhd HN$, $WH=HW$且$NW=WN$.又由$(|H|, |N|)=1$得$(|HN:N|, |HN:H|)=1$.因此由文献[7, A, 1.6(c)]得$W=(W\cap H)(W\cap N)=(M\cap H)(M\cap N)$.

假定$G_{r-1}\cap HN=(G_{r-1}\cap H)(G_{r-1}\cap N)$.设$H_{r-1}=(G_{r-1}\cap H)$, $N_{r-1}=(G_{r-1}\cap N)$.由$M\leq G_{r-1}$和归纳假定得$W=M\cap(G_{r-1}\cap HN)=M\cap H_{r-1}N_{r-1}=W\cap H_{r-1}N_{r-1}$.

由$M\unlhd G_{r-1}$得$M\perp H_{r-1}$和$M\perp N_{r-1}$, 显然也有$(|H_{r-1}N_{r-1}:H_{r-1}|, |H_{r-1}N_{r-1}:N_{r-1}|)=1$.再次由文献[7, A, 1.6(c)]得

$ W=(W\cap H_{r-1})(W\cap N_{r-1})=(W\cap H)(W\cap N)=(M\cap H)(M\cap N). $

引理2.3 设$H$是$G$的半次覆盖远离子群.

(a) 如果$H\leq M\leq G$, 那么$H$是$M$的半次覆盖远离子群.

(b) 如果$N\leq H$或$(|H|, |N|)=1$, 那么$HN/N$是$G/N$的半次覆盖远离子群.

证 (a)设$H$是$G$的半次覆盖远离子群.那么$G$有合成列$1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$使对$i=1, \cdots, n$有$HG_i=HG_{i-1}$或$H\cap G_{i-1}=H\cap G_i$.设$M_i=G_i\cap M, \ i=0, \cdots, n.$那么有$HM_i=HM_{i-1}$或$H\cap M_i=H\cap M_{i-1}$.于是$H$覆盖远离$M$的次正规列$1=M_n\unlhd M_{n-1}\unlhd \cdots\unlhd M_0=M$, 从而由引理2.1得$H$是$M$的半次覆盖远离子群.

(b) 设$H$是$G$的半次覆盖远离子群, $H$覆盖远离主列$1=G_0<G_1<\cdots<G_t=G.$即有$HG_i=HG_{i-1}$或$H\cap G_i=H\cap G_{i-1}$. $HG_i=HG_{i-1}$显然结论成立, 只需要证明$H\cap G_i=H\cap G_{i-1}$时的情形.

如果$N\leq H$, 那么$H/N\cap G_{i-1}N/N=N(H\cap G_{i-1})/N$ (由文献[7, A, 1.3]可得)且$H/N\cap G_{i}N/N=N(H\cap G_{i})/N$.结合$H\cap G_i=H\cap G_{i-1}$得$(H/N\cap G_{i}N/N)=(H/N\cap G_{i-1}N/N)$.于是, 由引理2.1得$H/N$是$G/N$的半次覆盖远离子群.

如果$(|H|, |N|)=1$, 那么$HN/N\cap G_{i-1}N/N=N(HN\cap G_{i-1})/N$.又由引理2.2得$HN\cap G_{i-1}=(H\cap G_{i-1})(N\cap G_{i-1})$, 所以$HN/N\cap G_{i-1}N/N=N(H\cap G_{i-1})(N\cap G_{i-1})/N=N(H\cap G_{i-1})/N\cong H\cap G_{i-1}$.同理有$H/N\cap G_iN/N\cong H\cap G_i$.因此$HN/N\cap G_{i-1}N/N=HN/N\cap G_iN/N$, 从而$H/N$是$G/N$的半次覆盖远离子群.

引理2.4 设$G$为有限群且$L$是$G$的2 -极大子群.如果$L=1$, 那么$G$可解.

证如果$L=1$, 那么$G$有一个素数阶的极大子群, 从而由文献[8, 第四章, 7.4]得$G$可解.

引理2.5 设$G$为有限群, $A/B$为$G$的次正规因子, $H\leq G$, 则有

(1) $(A\cap H)B=A\Leftrightarrow HB=HA$;

(2) $(A\cap H)B=B\Leftrightarrow B\cap H=A\cap H$.

证 (1)若$(A\cap H)B=A$则$HB=(H(A\cap H))B=H((A\cap H)B)H=HA$; 反之, 若$HB=HA$则由文献[7, A, 1.3]得$A=A\cap HA=A\cap HB=(A\cap H)B$.

(2) 若$(A\cap H)B=B$则由文献[7, A, 1.3]得$B\cap H=((A\cap H)B)\cap H=(A\cap H)(B\cap H)=A\cap H$; 反之, 若$B\cap H=A\cap H$则$B(A\cap H)=B(B\cap H)=B$.

3 主要结果

定理3.1 设$G$是有限群.如果$G$的每一个极大子群都是$G$的半次覆盖远离子群, 那么$G$是可解的.

证假设结论不成立, 设$G$是极小阶反例.

因为$G$的商群的极大子群的逆像是$G$的极大子群, 由引理2.3, $G$的商群满足定理的假设.因此, 对任意的$N\unlhd G$, 由$G$是极小阶反例得$G/N$是可解的.如果$G$有两个极小正规子群, 那么由可解群类是饱和群系得$G$是可解的.因此, 假定$G$有唯一的极小正规子群, 设为$N$.若$N$是可解的则$G$是可解的, 所以假定$N$非可解.于是$N=N_1\times N_2\times\cdots\times N_r$, 其中$N_1\cong N_2\cong \cdots\cong N_r$为非可解单群.由文献[7, A, 15.2]得$C_G(N)=1$.

设$P=P_1\times P_2\times\cdots\times P_r>1$, 其中$P_i\in Syl_p(N_i)$, $i=1, 2, \cdots, r$, 则$P\in Syl_p(N)$.由Frattini推断得$G=NN_G(P)$.因为$N$是$G$的极小正规子群且$P<N$, 所以存在$M<\cdot G$使$N_G(P)\leq M$, 从而$G=MN$.由题设, 可设$M$覆盖远离合成列$1=G_0<G_1<\cdots<G_t=G.$由文献[7, A, 14.3]得$N\leq N_G(G_1)$, 若$N\cap G_1=1$, 则有$1=C_G(N)\geq G_1$, 这是不可能的.因此$N\cap G_1\neq 1$, 又$N\cap G_1\lhd\lhd G$, 结合$G_1$为极小次正规子群得$N\geq G_1$.由文献[8, 第一章, 9.12定理]可假设$N_1=G_1$.因为$M\cap G_1\geq P_1>1$, 所以$M$覆盖$G_1/1$, 即有$MG_1=M$, 从而$N_1=G_1\leq M$.由$N_1\unlhd N$得$N_1^N=N_1$, 所以$N_1^G=N_1^{NM}=N_1^M\leq M$.由$N$是唯一的极小正规子群得$N\leq N_1^G\leq M$, 所以$G=MN=M$, 与$M<\cdot G$矛盾.定理得证.

定理3.2 若群$G$的每一个2 -极大子群都是$G$的半次覆盖远离子群, 那么$G$是可解的.

证对每一个$M<\cdot G$, 由定理的假设条件和引理2.3得$M$的每一个极大子群均在$M$中半覆盖远离.因此由定理3.1得$M$可解.

另一方面, 对每一个$N\lhd G$, 由引理2.3, 有$G/N$满足定理的假设条件.如果$N\neq 1$, 那么对$|G|$用归纳法得$G/N$可解.因此, 如果$N<G$那么$N$必含于某一个极大子群, 从而$N$可解, $G$可解.因此, 可假定$G$是非交换单群.于是, 对$G$的任一个2 -极大子群$L$, 由假设条件得$L=G$或$L=1$.由$L$是一个2 -极大子群知$L=G$不可能, 于是必有$L=1$, 从而由引理2.4得$G$是可解群.

定理3.3 群$G$是可解群当且仅当$G$的任意子群都是$G$的半次覆盖远离子群.

证必要性:群$G$是可解群, 设$1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$是$G$的合成列, 则由$G$是可解群得$G_{i-1}/G_{i}$为$p$阶群, $i=1, \cdots, n-1.$设$H\leq G$, 则$G_{i-1}\cap H\nsubseteq G_i$或$G_{i-1}\cap H\subseteq G_i$.若前者成立, 则$(G_{i-1}\cap H)G_{i}=G_{i-1}$; 若后者成立, 则$(G_{i-1}\cap H)G_{i}=G_i$.由引理2.5分别得

$ HG_{i}=HG_{i-1}~~~\mbox{和}~~~G_{i}\cap H=G_{i-1}\cap H. $

充分性由定理3.1或定理3.2显然可得.

注3.1 由定理3.3知道半次覆盖远离子群只能刻画群的可解性, 且定理3.1和定理3.2的条件都是群可解的充要条件.

定理3.4 群$G$是$p$ -可解群当且仅当$G$有Sylow $p$ -子群$P$是$G$的半次覆盖远离子群.

证必要性:假设群$G$是$p$ -可解群, $1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$是$G$的合成列, 则由$G$是$p$ -可解群得$G_{i-1}/G_{i}$为$p$阶群或$p'$ -群, $i=1, \cdots, n-1.$设$P$是$G$的任一Sylow $p$ -子群.则$G_{i-1}/G_{i}$为$p$阶群时, $G_{i-1}\cap P\nsubseteq G_i$; $G_{i-1}/G_{i}$为$p'$ -群时, $G_{i-1}\cap P\subseteq G_i$.从而$G_{i}(G_{i-1}\cap P)=G_{i-1}$和$G_{i}(G_{i-1}\cap P)=G_i$.由引理2.5分别得$PG_{i}=PG_{i-1}$和$G_{i}\cap P=G_{i-1}\cap P$.

充分性:假设$G$有Sylow $p$ -子群$P$是$G$的半次覆盖远离子群, 则可设$P$覆盖远离$G$的一个合成列$1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$.

若$PG_{i}=PG_{i-1}$, 则由引理2.5得$(G_{i-1}\cap P)G_{i}=G_{i-1}$.由$G_{i-1}\lhd\lhd G$得$G_{i-1}\cap P\in Syl_p(G_{i-1})$.从而$G_{i-1}/G_{i}$为$p$ -群, 结合$G_{i-1}/G_{i}$为单群得$G_{i-1}/G_{i}$为$p$阶群.

若$G_{i}\cap P=G_{i-1}\cap P$, 则由引理2.5得$G_{i}(G_{i-1}\cap P)=G_i$.由$G_{i-1}\lhd\lhd G$得$G_{i-1}\cap P\in Syl_p(G_{i-1})$.因此$G_{i-1}/G_{i}$为$p'$ -群.

由定理3.4可得推论3.1.

推论3.1 群$G$是可解群当且仅当$G$的任意Sylow子群都是$G$的半次覆盖远离子群.

由推论3.1、定理3.1和定理3.3得推论3.2.

推论3.2 (见文献[6, 定理2.2])设$G$是一个群.则如下的3个命题等价:

(l) G是一个可解群;

(2) $G$的每一Sylow子群在$G$中具有半覆盖远离性;

(3) $G$的每一极大子群在$G$中都具有半覆盖远离性.

平行于文献[6, 定理3.1], 结合定理3.3, 只可能得到如下结论.

定理3.5 群$G$是可解群当且仅当$G$每一个非循环Sylow子群的任一个极大子群都是$G$的半次覆盖远离子群.

证必要性由定理3.3显然可得, 下面证明充分性.

(1) 设$P$是$G$的一个Sylow $p$ -子群, $1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$是$G$的任一合成列, 其中$p\in\pi (G)$.则

$ G_i\cap P\in Syl_p(G_i), ~ i=0, 1, \cdots, n. $

于是$(G_{i-1}\cap P)G_i/G_i$是$G_{i-1}/G_i$的Sylow $p$ -子群.且由

$ (G_{i-1}\cap P)/(G_i\cap P)\cong (G_{i-1}\cap P)G_i/G_i $

得$(G_{i-1}\cap P)G_i/G_i$同构于$P$的一个截断.

(2) 设$P$是$G$的一个Sylow $p$ -子群, 若$P$循环则由(1)得$G_{i-1}/G_{i}$的Sylow $p$ -子群为循环群.

(3) 设$P$是$G$的一个Sylow $p$ -子群, $P_1<\cdot P$.若$P$非循环, 则$P_1$覆盖远离$G$的某一合成列$1=G_n\lhd G_{n-1}\lhd\cdots\lhd G_0=G$.

(ⅰ) 若$P_1$覆盖$G_{i-1}/G_{i}$, 则由引理2.5得$G_{i-1}=(P_1\cap G_{i-1})G_{i}$.于是

$ G_{i-1}/G_{i}=(P_1\cap G_{i-1})/G_{i}\cong (P_1\cap G_{i-1})/(P_1\cap G_i) $

是一个$p$ -群, 结合$G_{i-1}/G_{i}$是单群得$G_{i-1}/G_{i}$为$p$阶群.

(ⅱ) 若$P_1$远离$G_{i-1}/G_{i}$, 则由引理2.5得$G_i=(P_1\cap G_{i-1})G_{i}$.

若$(P\cap G_{i-1})\subseteq P_1$, 则$(P\cap G_{i-1})=(P_1\cap G_{i-1})$.因此得$G_i=(P\cap G_{i-1})G_{i}$, 从而由$P\cap G_{i-1}$为$G_{i-1}$的Sylow $p$ -子群得$G_{i-1}/G_{i}$为$p'$ -群.

若$(P\cap G_{i-1})\nsubseteq P_1$则$(P\cap G_{i-1})P_1=P$.又由$P_1<\cdot P$得$P_1\lhd P$且$|P:P_1|=p$.于是由$|(P\cap G_{i-1})||P_1|/|(P_1\cap G_{i-1})|=|P|$得$|(P\cap G_{i-1}):(P_1\cap G_{i-1})|=p.$所以

$ \begin{eqnarray*}&&((P\cap G_{i-1})G_i/G_i)/((P_1\cap G_{i-1})G_i/G_i)\\ &\cong& ((P\cap G_{i-1})G_i)/((P_1\cap G_{i-1})G_i)\\ &\cong& (P\cap G_{i-1})/((P\cap G_{i-1})\cap ((P_1\cap G_{i-1})G_i))\\ &=& (P\cap G_{i-1})/((P\cap G_i)(P_1\cap G_{i-1}))\end{eqnarray*} $

为$p$阶群或1.

总之, 由(2), (3)得$G_{i-1}/G_{i}$的Sylow子群为循环群.因此$G_{i-1}/G_{i}$可解(见文献[9, V, 6.2定理]), 从而为素数阶群.所以群$G$是可解群.

参考文献

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