Navier-Stokes方程组反映了粘性流体流动的基本力学规律, 它是流体力学、气象学、航天学、环境工程和数学中非常重要的方程组之一, 可以用于水流、空气动力学的研究以及污染效应的分析^[1].它是个非线性偏微分方程组, 对于像这样的非线性偏微分方程组求精确解非常困难和复杂, 目前只有在某些十分简单的问题上能求得精确解, 在大部分情况下, 只能求得近似解^[2-4].对于夹在上下两壁面之间且上下两壁面可渗透的流体流动, 其满足Navier-Stokes方程组系统

$\begin{equation}\label{a1} \begin{cases} \frac{{\partial {u^\varepsilon }}}{{\partial t}} - \varepsilon \Delta {u^\varepsilon } + ({u^\varepsilon } \cdot \nabla ){u^\varepsilon } + \nabla {p^\varepsilon } = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {\rm div}{u^\varepsilon } = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {u^\varepsilon }(x,y,h,t) = (0,0,- U),\ & (x,y,h) \in \Omega ,t \in (0,T),\;\\ {u^\varepsilon }(x,y,0,t) = (0,0,- U),\ & (x,y,0) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {u^\varepsilon }|_{t = 0} = u_0^\varepsilon ,\ & (x,y,z) \in \Omega,\\ \end{cases} \end{equation}$

(1.1)

其中${u^\varepsilon } = (u_1^\varepsilon ,u_2^\varepsilon ,u_3^\varepsilon )$为粘性流体的流速, $p^\varepsilon $为压力, ${u^\varepsilon },{p^\varepsilon }$在$x$方向以$L_1$为周期, ${u^\varepsilon },{p^\varepsilon }$在$y$方向以$L_2$为周期, $U$ (非负常数)为渗透的速率.

对于像空气、水等流体的流动来说, Navier-Stokes方程组中流体的粘性系数$\varepsilon$往往是很小的, 因此为了求得近似解, 可利用奇异摄动理论使方程组简化^[5-7]进而得到一致有效的近似解, 也就是说可以研究上述Navier-Stokes方程组系统当$\varepsilon\to 0 $时的极限问题.作为研究Navier-Stokes方程组系统极限问题的一部分, 考虑它的简单一点儿的情况, 研究线性化Navier-Stokes方程组系统当$\varepsilon \to 0$时的极限问题.考虑将Navier-Stokes方程组关于稳态解$(0,0,-U)$摄动后去掉非线性项的情况, 即先令

${v^\varepsilon }(x,y,z,t) = {u^\varepsilon }(x,y,z,t) - \left( {0,0,- U} \right),$

然后去掉非线性项即得

$\begin{equation}\label{a2} \begin{cases} \frac{{\partial {v^\varepsilon }}}{{\partial t}} - \varepsilon \Delta {v^\varepsilon } - UD_3{v^\varepsilon } + \nabla {p^\varepsilon } = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {\rm div}{v^\varepsilon } = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v^\varepsilon }(x,y,h,t) = (0,0,0),\ & (x,y,h) \in \Omega ,t \in (0,T),\;\\ {v^\varepsilon }(x,y,0,t) = (0,0,0),\ & (x,y,0) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v^\varepsilon }|_{t = 0} = v_0^\varepsilon ,\ & (x,y,z) \in \Omega,\\ \end{cases} \end{equation}$

(1.2)

其中${D_3}{v^\varepsilon }$表示$v^\varepsilon$关于$z$的偏导数, 这是一个线性化Navier-Stokes方程组系统.

注意$\left( {0,0,- U} \right)$是Navier-Stokes方程组当外力为零时的稳态解.

在研究线性化Navier-Stokes方程组系统极限问题时, 利用奇异摄动理论结合解的适定性需要, 得到了一个双曲-椭圆耦合系统

$\begin{equation}\label{a3} \begin{cases} \frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} - UD_3{v} + \nabla {p} = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {\rm div}{v} = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v} = 0,\ & (x,y,h) \in \Omega ,t \in (0,T),\;\\ {v_3} = 0,\ & (x,y,0) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v}|_{t = 0} = v_0,\ & (x,y,z) \in \Omega,\\ \end{cases} \end{equation}$

(1.3)

其中$v = ({v_1},{v_2},{v_3})$为无粘性流体的流速, $p$为压力, $v, p$在$x$方向以$L_1$为周期, $v,p$在$y$方向以$L_2$为周期, $U$为常数, $\Omega = (0,{L_1}) \times (0,{L_2}) \times (0,h)$.为了更好地研究线性化Navier -Stokes方程的极限问题, 首先必须解决上述双曲-椭圆耦合系统解的存在唯一性问题.对于双曲-椭圆耦合系统, 文献[8-10]研究了双曲-椭圆耦合系统的柯西问题, 文献[11]研究了双曲-椭圆耦合系统的初边值问题, 但边界条件和这里的边界条件差别较大.对于这里的初边值问题除文^[7]给出了证明的大概思路外, 目前还没有严格的证明结果.本文利用半群理论, 通过能量方法具体证明了上述双曲-椭圆耦合系统中解的存在性唯一性.

为了给出弱解的定义, 需要确定试验函数所在的空间以及解函数所在的空间.根据研究问题的边界条件特点和弱解对试验函数的要求取希尔伯特空间

$H = \left\{ {v \in {{({L^2}(\Omega ))}^3},{\rm div}v = 0,v\left| {_{x = 0}} \right. = v\left| {_{x = {L_1}}} \right.,v\left| {_{y = 0} = v\left| {_{y = {L_2}},{v_3}(x,y,0) \\ = {v_3}(x,y,h) = 0} \right.} \right.} \right\}$

作为试验函数所在的空间.在研究线性化Navier-Stokes方程组的极限问题时, 对弱解正则性是有一定要求的, 比如要求${D_3}v \in {({L^2}(\Omega ))^3}$或$z{D_3}v \in {({L^2}(\Omega ))^3}$, 如果所研究的问题中没有压力项和${\rm div}v = 0$, 则在通常边界条件下, 通过能量方法等, 可以得到${D_3}v$的${({L^2}(\Omega ))^3}$模估计, 根据解函数所在的空间对可解性和极限问题解的正则性的要求, 可取

$\left\{ {v \in {{({L^2}(\Omega ))}^3},{D_3}v \in {{({L^2}(\Omega ))}^3},v\left| {_{x = 0}} \right. = v\left| {_{x = {L_1}}} \right.,v\left| {_{y = 0} = v\left| {_{y = {L_2}},{v_3}(x,y,0) =\\ {v_3}(x,y,h) = 0} \right.} \right.} \right\}$

作为解函数所在的空间.但目前所研究的问题中含有压力项和${\rm div}v = 0$, 由所研究问题根据问题边界条件无法得到$D_3v$的${({L^2}(\Omega ))^3}$模估计, 但能得到$z{D_3}v$的${({L^2}(\Omega ))^3}$模估计, 这种估计也符合在研究线性化Navier-Stokes方程组极限问题时对弱解正则性的要求, 因此根据解函数所在的空间对可解性和对弱解正则性的要求, 这里确定

$\left\{ {\left. {v \in H} \right|z{D_3}v \in {{({L^2}(\Omega ))}^3},v(x,y,h) = 0,\exists p \in D'(\Omega ) {\rm s.t.} - U{D_3}v + \nabla p \in H} \right\}$

作为解函数所在的空间.为了以后使用方便, 记

$\begin{equation*} \begin{split} &X = \left\{ {\left. {v \in H} \right|z{D_3}v \in {{({L^2}(\Omega ))}^3},v(x,y,h) \\ = 0,\exists p \in D'(\Omega ) {\rm s.t.} - U{D_3}v + \nabla p \in H} \right\},\\ &Y = \left\{ {p \in {L^2}(\Omega ),p\left| {_{x = 0}} \right. = p\left| {_{x = {L_1}}} \right.,p\left| {_{y = 0} = p\left| {_{y = {L_2}}} \right.} \right.} \right\}. \end{split} \end{equation*}$

对$X$赋予以下范数:对任意$v \in X,{\left\| v \right\|_X} = {(\left| v \right|_H^2 + \left| {z{D_3}v} \right|_{{{({L^2}(\Omega ))}^3}}^2 + \left| {U{D_3}v - \nabla p} \right|_H^2)^{\frac{1}{2}}}$, 对$H$和$Y$分别赋予${({L^2}(\Omega ))^3}$和${L^2}(\Omega )$空间的范数.

为了研究问题(1.3) 的解, 对$\lambda$为实常数, 首先给出问题

$\begin{equation}\label{b1} \begin{cases} - UD_3{v} +\lambda v+ \nabla {p} = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,\\ {\rm div}{v} = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,\\ {v} = 0,\ & (x,y,h) \in \Omega ,\\ {v_3} = 0,\ & (x,y,0) \in \Omega \\ \end{cases} \end{equation}$

(2.1)

的弱解定义, 进而构造闭线性算子.

定义 若对$v \in X,p \in Y$有

$\iiint\limits_{\Omega}{( - U{D_3}v + \lambda v)\varphi dxdydz}=\iiint\limits_{\Omega}f\varphi dxdydz,\forall \varphi \in H$

成立, 则称$(v,p)$为问题(2.1) 的弱解.

定理1 对任意$f \in H$, 对任意$\lambda$, 问题(2.1) 有唯一弱解$v \in X,p \in Y$, 当$\lambda > 0$时, 有${\left| v \right|_H} \le \frac{1}{\lambda }{\left| f \right|_H},{\left| p \right|_{{L^2}(\Omega )}} \le {M_1}{\left| f \right|_H}$, 其中$M_1$是只与区域$\Omega$和$\lambda>0$有关的常数.

注 这里要求$f \in H$是不失一般性的.事实上Hodge分解定理^[12]告诉我们, 对任意$u \in {L^2}({R^N})\bigcap {{C^\infty }} ({R^N})$, 有唯一的正交分解$u = w + \nabla q,{\rm div}w = 0$且

(i) $w,\nabla q \in {L^2}({R^N})\bigcap {{C^\infty }} ({R^N})$,

(ii) ${(w,\nabla q)_{{L^2}}} = 0$.

对于一般的外力项$f$, 由Hodge分解定理知$f = {f_1} + \nabla {f_2},{\rm div}{f_1} = 0,$则由

$ - U{D_3}v + \lambda v + \nabla p = {f_1} + \nabla {f_2},{\rm div}{f_1} = 0,$

得

$ - U{D_3}v + \lambda v + \nabla (p - {f_2}) = {f_1},{\rm div}{f_1} = 0.$

用$p-f_2,f_1$代替$p,f$即可.

证 以$z$为参数做$v\in X$和$p\in Y$关于变量$x,y$的傅里叶变换容易证明对任意$f\in H$, 对任意$\lambda$, 问题(2.1) 有唯一弱解$v\in X,p\in Y$.下面证明当$\lambda>0$时, 有

${\left| v \right|_H} \le \frac{1}{\lambda }{\left| f \right|_H},{\left| p \right|_{{L^2}(\Omega )}} \le {M_1}{\left| f \right|_H}.$

在方程$ - U{D_3}v + \lambda v + \nabla p = f$两边分别与$v\in X$作内积, 然后在$\Omega$上积分并分部积分, 注意到解的边界条件和不可压缩条件, 有

$\frac12{\int_{\,0}^{\,{L_1}} {\int_{\,0}^{\,{L_2}} {U\left| {v(x,y,0)} \right| ^2} }}dxdy + \lambda \iiint\limits_{\Omega}{{{\left| v \right|}^2}dxdydz}=\iiint\limits_{\Omega}{f \cdot v dxdydz}.$

由上式并利用Holder不等式和Cauchy不等式得

$ \lambda\iiint\limits_{\Omega}|v|^2dxdydz\le \iiint\limits_{\Omega}f\cdot vdxdydz \le {\left| f \right|_H}{\left| v \right|_H} \le \frac{\lambda }{2}\left| v \right|_H^2 + \frac{1}{{2\lambda }}\left| f \right|_H^2,$

所以${\left| v \right|_H} \le \frac{1}{\lambda }{\left| f \right|_H}.$又

${\left| {\nabla p} \right|_{{H^{ - 1}}}} \le {\left| f \right|_{{H^{ - 1}}}} + \lambda {\left| v \right|_{{H^{ - 1}}}} + U{\left| {{D_3}v} \right|_{{H^{ - 1}}}} \le {C_1}{\left| f \right|_H},$

其中$C_1$是只与区域$\Omega$和$\lambda>0$有关的常数.

由Magenes-Stampacchia的结果^[13]得${\left| p \right|_{{L^2}(\Omega )}} \le {M_1}{\left| f \right|_H}$, 证毕.

由定理1, 对任意$f\in H$, 对任意$\lambda$, 问题(2.1) 有唯一弱解$v\in X,p\in Y$, 为此可以利用问题(2.1) 的解$v\in X,f\in H$, 定义线性算子$A_\lambda$如下: ${A_\lambda }v = f$, $A_\lambda$的定义域$D({A_\lambda }) = X$.

由定理1, 对任意$f \in H,\lambda = 0$, 有$v \in X,p \in Y$是问题

$\begin{equation*} \begin{cases} - UD_3{v} +\nabla {p} = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,\\ {\rm div}{v} = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,\\ {v} = 0,\ & (x,y,h) \in \Omega ,\\ {v_3} = 0,\ & (x,y,0) \in \Omega \\ \end{cases} \end{equation*}$

的弱解.对此定义算子$A$: $Av=f$, $D(A)=X$, 显然$A = {A_\lambda } - \lambda I$或${A_\lambda } = A + \lambda I$.

定理2  对问题(2.1) 的任意弱解$v\in X$, 当$\lambda>0$时, 有${\left\| v \right\|_X} \le {M_2}{\left| f \right|_H}$, 其中$M_2$是只与区域$\Omega$和$\lambda$有关的常数.

证 在方程$ - U{D_3}v + \lambda v + \nabla p = f$两边分别与$ - {z^2}{D_3}v \in {({L^2}(\Omega ))^3}$作内积, 然后在$\Omega$上积分并分部积分, 注意到解的边界条件和不可压缩条件, 利用Holder不等式和Cauchy不等式得

$\begin{eqnarray*}&&U\iiint\limits_{\Omega}|zD_3v|^2dxdydz-\lambda\iiint\limits_{\Omega}{v \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz}-\iiint\limits_{\Omega}{\nabla p \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz}\\ &=&-\iiint\limits_{\Omega}{f \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz}.\end{eqnarray*}$

注意到$v(x,y,h,t) = 0$, 有

$\begin{alignat*}{2} - \lambda\iiint\limits_{\Omega}{v \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz} & = - \lambda \iiint\limits_{\Omega}{[{v_1}{z^2}{D_3}{v_1} + {v_2}{z^2}{D_3}{v_2} + {v_3}{z^2}{D_3}{v_3}]dxdydz} \\ &=-\lambda\iiint\limits_{\Omega}{\frac{1}{2}[{z^2}{D_3}v_1^2 + {z^2}{D_3}v_2^2 + {z^2}{D_3}v_3^2]dxdydz}\\ &=-\lambda\iiint\limits_{\Omega}{\frac{1}{2}{z^2}{D_3}{{\left| v \right|}^2}dxdydz} = \lambda \iiint\limits_{\Omega}{z{{\left| v \right|}^2}dxdydz}\geq 0,\\ \iiint\limits_{\Omega}{\nabla p \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz}&=\iiint\limits_{\Omega}{[{p_x}{z^2}{D_3}{v_1} + {p_y}{z^2}{D_3}{v_2} + {p_z}{z^2}{D_3}{v_3}]dxdydz}=\\ &{I_1} + {I_2} + {I_3}. \end{alignat*}$

注意到$v,p$在$x$方向以$L_1$为周期, $v,p$在$y$方向以$L_2$为周期, 得

$\begin{alignat*}{2} I_1 &=\iiint\limits_{\Omega}{{p_x}{z^2}{D_3}{v_1}dxdydz}=-\iiint\limits_{\Omega}{p{z^2}{D_3}{v_{1x}}dxdydz},\\ I_2 &=\iiint\limits_{\Omega}{{p_y}{z^2}{D_3}{v_2}dxdydz}=-\iiint\limits_{\Omega}{p{z^2}{D_3}{v_{2y}}dxdydz}. \end{alignat*}$

因为${v_1}(x,y,h) = {v_2}(x,y,h) = 0$, 所以${v_{1x}}(x,y,h) = {v_{2y}}(x,y,h) = 0$, 又由不可压条件知${v_{1x}}(x,y,h) + {v_{2y}}(x,y,h) + {v_{3z}}(x,y,h) = 0$, 进而${v_{3z}}(x,y,h) = 0$, 故

$\begin{alignat*}{2} I_3 &=\iiint\limits_{\Omega}{{p_z}{z^2}{D_3}{v_3}dxdydz}=\iint\limits_{(0,{L_1}) \times (0,{L_2})}dxdy \int_0^h{{p_z}{z^2}{v_{3z}}dz}\\ &=\iint\limits_{(0,{L_1}) \times (0,{L_2})}[p{z^2}{v_{3z}}]|{_0^h}dxdy \\ &-\iint\limits_{(0,{L_1}) \times (0,{L_2})}\int_0^h {\left( {2pz{v_{3z}} + p{z^2}{v_{3zz}}} \right)}]dxdydz\\ &=\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}p(x,y,h)h^2v_{3z}(x,y,h)dxdy-\\ &\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}\int_0^h(2pzv_{3z}+pz^2v_{3zz})dxdydz\\ &=-\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}\int_0^h(2pzv_{3z}+pz^2v_{3zz})dxdydz,\\ I_1+I_2+I_3=& -\iiint\limits_{\Omega}pz^2D_3v_{1x}dxdydz-\iiint\limits_{\Omega}pz^2D_3v_{2y}dxdydz\\ &-\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}\int_0^h(2pzD_3v_3+pz^2D_3v_{3z})dxdydz \end{alignat*}$

$\begin{alignat*}{2} =&-\iiint\limits_{\Omega}pz^2D_3{\rm div} v dxdydz-\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}\int_0^h 2pzD_3v_3 dxdydz\\ =&-\iint\limits_{(0,L_1)\times (0,L_2)}\int_0^h 2pzD_3v_3 dxdydz,\\ &|-\iiint\limits_{\Omega}{\nabla p \cdot {z^2}{D_3}vdxdydz}|=|\iiint\limits_{\Omega}{2p \cdot z{D_3}{v_3}dxdydz}|\\ \leq& \frac U4 \iiint\limits_{\Omega}|zD_3v_3|^2dxdydz+\frac4U \iiint\limits_{\Omega}|p|^2dxdydz \leq \frac U4 \iiint\limits_{\Omega}|zD_3v|^2dxdydz+C_2|f|_H^2,\\ &|-\iiint\limits_{\Omega}f \cdot z^2D_3vdxdydz| \leq \frac U4 \iiint\limits_{\Omega}|zD_3v|^2dxdydz+\frac 1U \iiint\limits_{\Omega}|zf|^2dxdydz\\ \leq& \frac U4 \iiint\limits_{\Omega}|zD_3v|^2 dxdydz+\frac{h^2}{U}\iiint\limits_{\Omega}|f|^2dxdydz=\frac U4 |zD_3v|_{L^2(\Omega)}^2+\frac{h^2}{U}|f|_H^2, \end{alignat*}$

所以${\left| {z{D_3}v} \right|_{{L^2}(\Omega )}} \le {C_3}{\left| f \right|_H}$, 其中$C_2, C_3$是只与区域$\Omega$和$U,\lambda>0$有关的常数.

注意到${\left| {U{D_3}v - \nabla p} \right|_H} = {\left| {f - \lambda v} \right|_H}$, 有${\left\| v \right\|_X} \le {M_2}{\left| f \right|_H}$.

定理3  线性算子$A_\lambda(\lambda>0)$是一个闭线性算子.

证 设${v_n} \in D({A_\lambda })$, 且在$H$中有${v_n} \to v,{A_\lambda }{v_n} = {f_n} \to f \in H$, 由${A_\lambda }$定义知$v_n\in X,p_n\in Y$是问题(2.1) 的解, 进而满足

$\begin{equation}\label{b3} \begin{split} \iiint\limits_{\Omega}{( - U{D_3}{v_n} + \lambda {v_n})}\varphi dxdydz=\iiint\limits_{\Omega}{{f_n}\varphi dxdydz,} \forall \varphi \in H. \end{split} \end{equation}$

(2.2)

对于$f\in H$, 由定理1知, 存在$\overline v \in X,\overline p \in Y$, 使得$\overline v \in X,\overline p \in Y$是问题(2.1) 的解, 从而$v_n - \overline v \in X,{p_n} - \overline p \in Y$是问题(2.1) 的解, 则由定理2有${\left\| {{v_n}} \right\|_X} \le {M_2}{\left| {{f_n}} \right|_H},{\left\| {{v_n} - \overline v } \right\|_X} \le {M_2}{\left| {{f_n} - f} \right|_H}$, 所以$v_n$在$X$收敛于$\bar v$, 又$X$是$H$的子空间, 所以$v=\bar v$, 即$v_n$在$X$收敛于$v$, 在(2.2) 式和${\left\| {{v_n}} \right\|_X} \le {M_2}{\left| {{f_n}} \right|_H}$中令$n\rightarrow \infty$得

$\iiint\limits_{\Omega}{( - U{D_3}{v} + \lambda {v})}\varphi dxdydz=\iiint\limits_{\Omega}{{f}\varphi dxdydz,} \forall \varphi \in H$

且${\left\| v \right\|_X} \le {M_2}{\left| f \right|_H}$, 即$v \in D({A_\lambda }) = X,{A_\lambda }v = f$, 所以线性算子$A_\lambda$是闭线性算子.

注 容易证明若$B$是$D(B)$到$H$中的闭线性算子, 则$B+\omega I$是$D(B)$到$H$中的闭线性算子, 其中$\omega$为一个常数.

利用定理3和上面的事实, 注意到$A = {A_\lambda } - \lambda I$, 有

定理4  线性算子$A$是一个$D(A)=X$到$H$中的闭线性算子.

定理5  设$f \in {C^1}([0,+ \infty );H),{v_0} \in H$, 则双曲-椭圆耦合系统(1.3) 在${C^1}({R_ + };D(A)) \cap {C^1}({R_ + };H)$中存在唯一解.

证 由定理4知线性算子$A$是一个$D(A)=X$到$H$中的闭线性算子, 从而$-A$也是闭线性算子.

又由定理1知${\left| v \right|_H} \le \frac{1}{\lambda }{\left| f \right|_H} = \frac{1}{\lambda }{\left| {{A_\lambda }v} \right|_H} = \frac{1}{\lambda }{\left| {(\lambda I + A)v} \right|_H}(\lambda > 0)$, 从而对任意$\lambda > 0,{(\lambda I + A)^{ - 1}}$存在, 且$\left\| {{{(\lambda I + A)}^{ - 1}}} \right\| \le \frac{1}{\lambda }$, 进而$\rho ( - A) \supset (0,+ \infty ),\left\| {{{(\lambda I - ( - A))}^{ - 1}}} \right\| \le \frac{1}{\lambda }$.

$\overline {D( - A)} = \overline {D(A)} = H$是显然的, 所以$-A$是一个线性有界算子压缩半群的无穷小生成元, 所以由半群理论关于抽象柯西问题的结果^[14]知

$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{dx(t)}{dt} = - Ax(t) + f(t),\\ x(0) = x_0 \in D(A) \end{cases} \end{equation*}$

在${C^1}({R_ + };D(A)) \cap {C^1}({R_ + };H)$中存在唯一解.即

$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} - UD_3{v} + \nabla {p} = f,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {\rm div}{v} = 0,\ & (x,y,z) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v} = 0,\ & (x,y,h) \in \Omega ,t \in (0,T),\;\\ {v_3} = 0,\ & (x,y,0) \in \Omega ,t \in (0,T),\\ {v}|_{t = 0} = v_0,\ & (x,y,z) \in \Omega \\ \end{cases} \end{equation*}$

在${C^1}({R_ + };D(A)) \cap {C^1}({R_ + };H)$中存在唯一解.