设$X, Y$为线性空间, $L(X, Y)$表示从$X$到$Y$中的线性算子的全体.对$T\in L(X, Y)$, $D(T)$, $N(T)$和$R(T)$分别表示算子$T$的定义域, 核空间和值域. $I$表示恒等算子.设$M, N$为$X$的线性子空间, $M\dot{+}N$表示$M$与$N$的代数直和.若$X, Y$为Banach空间, $M$和$N$为$X$的闭子空间, $M\oplus N$表示$M$与$N$的拓扑直和. $B(X, Y)$, $C(X, Y)$分别表示从$X$到$Y$中的有界线性算子组成的Banach空间和稠定闭算子全体构成的齐次集.

定义1.1 ^{[1, 2]}    设$X, Y$为线性空间, $T\in L(X, Y)$.若$S\in L(Y, X)$满足$R(T)\subseteq D(S)$, $R(ST)\subseteq D(T)$, 且$TST=T$, 则称$S$为$T$的代数内逆; 若$S$满足$R(S)\subseteq D(T)$, $R(TS)\subseteq D(S)$, 且$STS=S$, 则称$S$为$T$的代数外逆.若$S$既是$T$的代数内逆, 又是$T$的代数外逆, 则称$S$为$T$的代数广义逆, 记作$T^+$.

代数广义逆与空间的代数直和分解是一一对应的^[3], 其不涉及空间的拓扑结构.在Banach空间或Hilbert空间中, 对应于不同的拓扑结构, 可以引入相应的广义逆.

定义1.2 ^[3]    设$X, Y$为Banach空间, $T\in B(X, Y)$.若$S\in B(Y, X)$满足$TST=T$, 则称$S$为$T$的内逆; 若$S$满足$STS=S$, 则称$S$为$T$的外逆.若$S$既是$T$的内逆, 又是$T$的外逆, 则称$S$为$T$的广义逆, 仍记作$T^+$.

Banach空间的广义逆与空间的拓扑直和分解对应, 即

定理1.3 ^[4]    $T^+\in B(Y, X)$为算子$T\in B(X, Y)$的广义逆当且仅当$X, Y$分别具有拓扑直和分解, $X=N(T)\oplus R(T^+), $ $Y=R(T)\oplus N(T^+).$

定义1.4 ^[3]    若$X, Y$为Hilbert空间, 定理1.3中的分解为正交分解, 则称相应的广义逆为$T$的Moore-Penrose逆, 记为$T^\dagger$.

定义1.5 ^[5]    设$X, Y$为Banach空间, $T\in C(X, Y)$.若算子$S\in C(Y, X)$满足$R(S)\subseteq D(T)$, $R(T)\subseteq D(S)$, 且在$D(T)$上$TST =T$; 在$D(S)$上$STS=S$, 则称$S$为$T$的(无界)广义逆, 仍记作$T^+$.

定理1.6 ^[3]    设$X, Y$为Banach空间, $T\in C(X, Y)$, $N(T)$和$R(T)$的闭包$\overline{R(T)}$分别在$X, Y$中存在拓扑补$N(T)^{c}$和$\overline{R(T)}^{c}$, 即

$X=N(T)\oplus N(T)^{c}, \quad Y=\overline{R(T)}\oplus \overline{R(T)}^{c}.$

(1.1)

记$P$, $Q$分别为$X$沿$N(T)^{c}$到$N(T)$上和$Y$沿$\overline{R(T)}^{c}$到$\overline{R(T)}$上的投影算子, 则存在唯一的算子$S\in C(Y, X)$满足: 1) 在$D(T)$上$TST=T$; 2) 在$D(S)$上$STS=S$; 3) 在$D(T)$上$ST=I-P$和4) 在$D(S)$上$TS=Q$, 其中$D(S)=R(T)+\overline{R(T)}^{c}$.进一步, $S$有界当且仅当$R(T)$在$Y$中闭.

根据定理1.6, 在空间具有拓扑直和分解(1.1) 的条件下, $T$存在无界广义逆.又若$X, Y$为Hilbert空间, (1.1) 中的分解为正交分解, 则称相应的广义逆为$T$的Moore-Penrose逆, 记为$T^\dagger$.

广义逆扰动理论是广义逆理论研究的核心内容之一, 在近代分析、计算、优化与控制论等学科中有着广泛而重要的应用^{[3, 4, 6-8]}.广义逆扰动理论主要研究算子经过微小扰动后是否仍然存在广义逆, 若不存在, 什么条件可以保证存在; 若存在, 能否给出其表达式或广义逆是否(在某种意义下)收敛于原广义逆.国内外很多学者研究了Banach空间中的各种线性算子广义逆和Hilbert空间中Moore-Penrose逆的表示与扰动问题^{[3, 6, 7, 9-18]}, 如

定理1.7 ^[7]    设$X, Y$为Banach空间, $ T\in B(X, Y)$存在广义逆$T^+\in B(Y, X)$, $\delta T\in B(X, Y)$满足$\|\delta TT^+\|＜1$.则下列命题等价

(1) $B=T^+(I+\delta TT^+)^{-1}$为$\overline{T}=T+\delta T$的广义逆;

(2) $R(\overline{T})\cap N(T^+ )=\{0\};$

(3) $ (I-T^+ T)N(\overline{T})=N(T);$

(4) $X=N(\overline{T})\oplus R(T^+)$或 $X=N(\overline{T})+R(T^+);$

(5) $Y=R(\overline{T})\oplus N(T^+);$

(6) $(I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T} N(T)\subseteq R(T).$

定理1.8 ^[9]    设$X, Y$为Hilbert空间, $T\in B(X, Y)$存在Moore-Penrose逆$T^\dagger\in B(Y, X)$.若$\delta T\in B(X, Y)$满足$\|\delta TT^\dagger\|＜1$, 则$B=T^\dagger(I+\delta TT^\dagger)^{-1}$为$\overline{T}=T+\delta T$的Moore-Penrose逆当且仅当$R(\overline{T})=R(T), $ $ N(\overline{T})=N(T).$

无论是在Banach空间或Hilbert空间, 讨论有界线性算子或稠定闭算子的广义逆或Moore-Penrose逆的扰动表示问题, 本质上都是讨论线性空间中代数广义逆的可加性问题.因而, 在一般线性空间框架中从纯代数的角度讨论代数广义逆更具有一般性.在1974年, Nashed和Votruba就在其系列论文中从纯代数的角度研究了线性空间中代数内逆、代数外逆、代数广义逆及其性质^{[1, 2, 3]}.代数广义逆与Banach空间中的广义逆不同, 最本质的区别在于代数广义逆不涉及空间的拓扑.由于子空间在线性空间中总是代数可补, 因而代数广义逆总是存在的^[3].一个自然的问题是什么条件能保证代数广义逆唯一?能否给出相应广义逆的具体表达式?本文拟从纯代数角度给出代数广义逆的最简形式的表示, 主要结果推广和改进了文[6, 7, 9, 12-16, 18]中的相关结果.

引理2.1    设$T\in L(X, Y)$, $S\in L(Y, X)$满足$R(S)\subseteq D(T)$, $R(T)\subseteq D(S)$.若$S$为$T$的代数外逆, 则下列命题等价

(1) $S$为$T$的代数广义逆;

(2) $R(T)=R(TS)$;

(3) $D(S)=R(T)\dot{+}N(S)$;

(4) $R(T)\cap N(S)=\{0\}$;

(5) $N(ST)=N(T)$;

(6) $D(T)=R(S)\dot{+}N(T)$或$D(T)=R(S)+N(T)$.

证    由于$S$为$T$的代数外逆, 则$TS, ST$均为幂等算子, 且$R(S)=R(ST), N(TS)=N(S)$, $D(T)=R(ST)\dot{+}N(ST)=R(S)\dot{+}N(ST)$, $D(S)=R(TS)\dot{+}N(TS)=R(TS)\dot{+}N(S)$.

$(1) \Rightarrow (2)$若$S$为$T$的代数广义逆, 则$TST=T$, 从而$R(T)=R(TST)\subseteq R(TS)\subseteq R(T)$.

$(2) \Rightarrow (3)$若$R(T)=R(TS)$, 则$D(S)=R(TS)\dot{+}N(S)=R(T)\dot{+}N(S).$

$(3) \Rightarrow (4)$显然.

$(4) \Rightarrow (1)$对任意$x\in D(T)$, $S(TSTx-Tx)=STSTx-STx=STx-STx=0$, 从而$TSTx-Tx\in N(S)$.又$TSTx-Tx\in R(T)$, 根据(4), 则$TSTx=Tx.$故$TST=T$.因此, $S$为$T$的代数广义逆.

$(1) \Rightarrow (5)$若$S$为$T$的代数广义逆, 则$TST=T$.如果$STx=0$, 那么$Tx=TSTx=0$, 即$N(ST)\subseteq N(T)$, 又显然有$N(T)\subseteq N(ST)$成立.故$N(ST)=N(T)$.

$(5) \Rightarrow (6)$若$N(ST)=N(T)$, 则$D(T)=R(S)\dot{+}N(ST)=R(S)\dot{+}N(T).$

$(6) \Rightarrow (1)$对任意$x\in D(T)$, 由(6), 存在$y\in D(S)$和$x_1\in N(T)$, 使得$x=Sy+x_1$.从而$TSTx=TST(Sy+x_1)=TSTSy=TSy=T(Sy+x_1)=Tx.$故$TST=T$, 从而$S$为$T$的代数广义逆.证毕.

引理2.2    设$T^+\in L(Y, X)$为$T\in L(X, Y)$的代数广义逆, $A\in L(X, Y)$满足$D(T)\subseteq D(A)$, $R(T^+)\subseteq D(A)$, $R(A)\subseteq D(T^+)$.若$\overline{T}=T+A$, 则下列命题等价

(1) $I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射;

(2) $I+T^+A: D(T)\rightarrow D(T)$为双射;

(3) $N(\overline{T})\cap R(T^+)=\{0\}$和$D(T^+)=\overline{T}R(T^+)\dot{+}N(T^+).$

证    $(1) \Rightarrow (2)$先证$I+T^+A: D(T)\rightarrow D(T)$为单射.若$x\in D(T)$, $(I+T^+A)x=0$, 则$A(I+T^+A)x=0$, 即$(I+A T^+)Ax=0.$根据(1), $Ax=0$, 从而$x=-T^+Ax=0$.次证$I+T^+A: D(T)\rightarrow D(T)$为满射, 也就是需证对任意$y\in D(T)$, 存在$x\in D(T)$使得$(I+T^+A)x=y$.事实上, 由于$Ay\in D(T^+)$, 由(1), 存在$h\in D(T^+)$, 满足$(I+AT^+)h=Ay$.令$x=y-T^+h$, 则$x\in D(T)$, 且

$(I+T^+A)x = (I+T^+A)(y-T^+h)=y+T^+Ay-(I+T^+A)T^+h\\ =y+T^+Ay-T^+(I+AT^+)h=y+T^+Ay-T^+Ay=y. $

$(2) \Rightarrow (3)$若$I+T^+A: D(T)\rightarrow D(T)$为双射.设$y\in N(\overline{T})\cap R(T^+)$, 则存在$x\in D(T^+)$, 满足$y=T^+x$, $\overline{T}T^+x=\overline{T}y=0$.因此

$(I+T^+A)T^+x=T^+x+T^+AT^+x=T^+TT^+x+T^+AT^+x=T^+\overline{T}T^+x=0.$

故$T^+x=0$, 即$y=T^+x=0$.从而$N(\overline{T})\cap R(T^+)=\{0\}$.下面证$\overline{T}R(T^+)\cap N(T^+)=\{0\}.$设$v\in \overline{T}R(T^+)\cap N(T^+)$, 则存在$u\in D(T^+)$, 满足$v=\overline{T}T^+u$.因此

$0=T^+v=T^+\overline{T}T^+u=T^+(T+A)T^+u\\ =T^+ TT^+u+T^+AT^+u=T^+u+T^+AT^+u\\=(I+T^+A)T^+u.$

那么$T^+u=0$, $v=\overline{T}T^+u=0$.

最后证$D(T^+)=\overline{T}R(T^+)+N(T^+).$一方面, 易见$\overline{T}R(T^+)+N(T^+)\subseteq D(T^+).$另一方面, 任取$x\in D(T^+)$, $T^+x\in D(T)$.根据(2), 存在$y\in D(T)$, 使得$T^+x=(I+T^+A)y$, 即$T^+x=(I-T^+T)y+T^+\overline{T}y.$从而

$T^+(x-\overline{T}y)=(I-T^+T)y\in R(T^+)\cap N(T)=\{0\}.$

因此$y=T^+Ty\in R(T^+)$, $T^+x=T^+\overline{T}y$, 进而$x-\overline{T}y\in N(T^+)$.则

$x=\overline{T}y+(x-\overline{T}y)=\overline{T}T^+Ty+(x-\overline{T}y)\in \overline{T}R(T^+)+N(T^+), $

故$D(T^+)=\overline{T}R(T^+)+N(T^+).$

$(3) \Rightarrow (1)$首先证明$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为单射.事实上, 若$x\in D(T^+)$满足$(I+AT^+)x=0, $则$\overline{T}T^+x=TT^+x-x\in \overline{T}R(T^+)\cap N(T^+)=\{0\}, $从而$x=TT^+x$, $\overline{T}T^+x=0$.故$T^+x\in N(\overline{T})\cap R(T^+)$, 根据(3), $T^+x=0$.因此$x=TT^+x=0$.为完成证明, 只需证$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为满射.对任何$y\in D(T^+)$, 由于$D(T^+)=\overline{T}R(T^+)+N(T^+), $ $y$能表示为$y=\overline{T}T^+ y_1+y_2$, 其中$y_1\in D(T^+)$, $y_2\in N(T^+)$.因此

$ (I+AT^+)(TT^+y_1+y_2)=(TT^+y_1+y_2)+(\overline{T}-T)T^+TT^+ y_1\\ =TT^+y_1+y_2+\overline{T}T^+ y_1-TT^+ y_1\\ =y_2+\overline{T}T^+ y_1=y. $

故$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射.证毕.

下面的定理说明如果$\overline{T}$的代数广义逆$\overline{T}^+$保持$T$的代数广义逆$T^+$的定义域, 值域和核空间, 那么$\overline{T}^+$是唯一确定的, 并且具有最简表示形式.

定理2.3    设$T^+\in L(Y, X)$为$T\in L(X, Y)$的代数广义逆, $A\in L(X, Y)$满足$D(T)\subseteq D(A)$, $R(T^+)\subseteq D(A)$, $R(A)\subseteq D(T^+)$.若$\overline{T}=T+A$存在代数广义逆$\overline{T}^+\in L(Y, X)$, 满足

$D(\overline{T}^+)=D(T^+), \ N(\overline{T}^+)=N(T^+), \ R(\overline{T}^+)=R(T^+), $

则$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射, 且$\overline{T}^+=T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+.$

证    由于$\overline{T}^+$为$\overline{T}$的代数广义逆, 则$ N(\overline{T})\cap R(\overline{T}^+)=\{0\}$和$D(\overline{T}^+)=R(\overline{T}\overline{T}^+)\dot{+} N(\overline{T}\overline{T}^+)$ $=\overline{T}R(\overline{T}^+)\dot{+} N(\overline{T}^+).$因此根据假设, 得到$ N(\overline{T})\cap R(T^+)=\{0\}, $ $D(T^+)=\overline{T}R(T^+)\dot{+} N(T^+).$由引理2.2, $I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$和$I+T^+A: D(T)\rightarrow D(T)$均为双射.进一步可验证$T^+(I+AT^+)^{-1}$和$(I+T^+A)^{-1}T^+$均是可定义的, 且

$T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+.$

又由$ N(\overline{T}^+)=N(T^+)$和$\overline{T}^+(I-TT^+)=0$及$R(\overline{T}^+)=R(T^+)$和$(I-\overline{T}^+\overline{T})T^+=0$可知, $\overline{T}^+=\overline{T}^+ TT^+$和$\overline{T}^+\overline{T}T^+=T^+$.故$\overline{T}^++\overline{T}^+\overline{T}T^+-\overline{T}^+ TT^+=T^+$, 从而$\overline{T}^+(I+AT^+)=T^+.$因此, $\overline{T}^+=T^+(I+AT^+)^{-1}.$证毕.

下面给出$\overline{T}^+$具有最简表示形式$\overline{T}^+=T^+(I+AT^+)^{-1}$的充要条件.

定理2.4    设$T^+\in L(Y, X)$为$T\in L(X, Y)$的代数广义逆, $A\in L(X, Y)$满足$D(T)\subseteq D(A)$, $R(T^+)\subseteq D(A)$, $R(A)\subseteq D(T^+)$.若$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射, 则下列命题等价

$(1)\ B=T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+$为$\overline{T}=T+A$的代数广义逆;

$(2)\ R(\overline{T})=R(\overline{T}T^+)$;

$(3)\ D(T^+)=R(\overline{T})\dot{+} N(T^+);$

$(4)\ R(\overline{T})\cap N(T^+)=\{0\};$

$(5)\ N(T^+\overline{T})=N(\overline{T})$;

$(6)\ D(T)=N(\overline{T})\dot{+} R(T^+)$或$D(T)=N(\overline{T})+R(T^+);$

$(7)\ (I+AT^+)^{-1} R(\overline{T})=R(T)$;

$(8)\ (I+T^+A)^{-1}N(T)=N(\overline{T})$;

$(9)\ (I+AT^+)^{-1}\overline{T} N(T)\subseteq R(T).$

证    易见$B=T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+$是可定义的, 且$R(B)=R(T^+)$, $N(B)=N(T^+)$.因为

$B\overline{T}B=(I+T^+A)^{-1}T^+(T+A)T^+(I+AT^+)^{-1} \\ =(I+T^+A)^{-1}(T^+ +T^+AT^+)(I+AT^+)^{-1}\\ =(I+T^+A)^{-1}(I+T^+A)T^+(I+AT^+)^{-1}\\=T^+(I+AT^+)^{-1}=B, $

所以$B$为$\overline{T}$的代数外逆.注意到$R(\overline{T}B)=R(\overline{T}T^+)$和$N(B\overline{T})=N(T^+\overline{T})$, 根据引理2.1, 我们知(1)~(6) 两两等价.

$(1) \Rightarrow (7)$若$B$为$\overline{T}$的广义逆, 则

$ R(\overline{T})=R(\overline{T}B)=\overline{T}R(B)=\overline{T}R(T^+)=\overline{T}R(T^+T)=\overline{T}T^+R(T)\\ =(\overline{T}T^++I-TT^+)R(T)=(I+AT^+)R(T). $

$(7) \Rightarrow (8)$显然, $(I+T^+A)N(\overline{T})=[I+T^+(\overline{T}-T)]N(\overline{T})=(I-T^+T)N(\overline{T})\subseteq N(T).$

另一方面, 由(7), 对任何$x\in N(T)$, 有

$\overline{T}x\in R(\overline{T})\subseteq(I+AT^+)R(T)=\overline{T}T^+R(T)=\overline{T}R(T^+T)=\overline{T}R(T^+).$

故存在$y\in R(T^+)$, 使得$\overline{T}y=\overline{T}x$.那么$x-y\in N(\overline{T})$, 且

$(I+T^+A)(x-y)=(I-T^+T)(x-y)=(I-T^+T)x=x.$

因此$N(T)\subseteq(I+T^+A)N(\overline{T}).$

$(8) \Rightarrow (4)$任取$y\in R(\overline{T})\cap N(T^+)$, 存在$x\in D(\overline{T})$, 满足$y=\overline{T}x$和$T^+\overline{T}x=0$.因而

$ T(I+T^+A)x =Tx+TT^+Ax=Tx+TT^+\overline{T}x-Tx=0, $

即$(I+T^+A)x\in N(T)$.根据(8), $x\in N(\overline{T})$, 故$y=\overline{T}x=0$.

$(7) \Rightarrow (9)$显然.

$(9) \Rightarrow (4)$设$y\in R(\overline{T})\cap N(T^+)$, 存在$x\in D(\overline{T})=D(T)$满足$y=\overline{T}x$和$T^+\overline{T}x=0$.因为$D(T)=N(T)\dot{+}R(T^+)$, $x=x_1+x_2$, 这里$x_1\in N(T)$, $x_2\in R(T^+)$.则

$(I+AT^+)Tx_2=[I+(\overline{T}-T)T^+]Tx_2=\overline{T}T^+Tx_2=\overline{T}x_2.$

因而$(I+AT^+)^{-1}\overline{T}x_2=Tx_2\in R(T).$由(9), $(I+AT^+)^{-1}\overline{T}x_1\in R(T).$注意到$y\in N(T^+)$, 我们得到$(I+AT^+)y=y=\overline{T}x$, 进而

$y=(I+AT^+)^{-1}\overline{T}x=(I+AT^+)^{-1}\overline{T}(x_1+x_2)\in R(T).$

故$y\in R(T)\cap N(T^+)$.根据$R(T)\cap N(T^+)=\{0\}$知, $y=0$.证毕.

定理2.5    设$T\in L(X, Y)$为有限秩算子, $T^+\in L(Y, X)$为$T$的代数广义逆, $A\in L(X, Y)$满足$D(T)\subseteq D(A)$, $R(T^+)\subseteq D(A)$, $R(A)\subseteq D(T^+)$.若$I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射, 则$B=T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+$为$\overline{T}=T+A$的代数广义逆当且仅当

${\rm Rank}\ \overline{T}={\rm Rank}\ T＜+\infty.$

证    必要性由定理2.4的$(1)\Leftrightarrow(7)$可得.下面证明充分性.根据$(I+AT^+)T=T+AT^+T=\overline{T}T^+T$, 有$T=(I+AT^+)^{-1}\overline{T}T^+T$成立.如果${\rm Rank}\ \overline{T}={\rm Rank}\ T$, 那么$\dim R(\overline{T})=\dim R(T)=\dim R(\overline{T}T^+T)$.因此$R(\overline{T})=R(\overline{T}T^+T)\subseteq R(\overline{T}T^+)\subseteq R(\overline{T})$.再根据定理2.4中的$(1)\Leftrightarrow(2)$, $B$为$\overline{T}$的代数广义逆.证毕.

类似地, 可以证明

定理2.6    设$T^+\in L(Y, X)$为$T\in L(X, Y)$的代数广义逆, $A\in L(X, Y)$满足$D(T)\subseteq D(A)$, $R(T^+)\subseteq D(A)$, $R(A)\subseteq D(T^+)$.若$\dim N(T)＜+\infty$, $I+AT^+: D(T^+)\rightarrow D(T^+)$为双射, 则$B=T^+(I+AT^+)^{-1}=(I+T^+A)^{-1}T^+$为$\overline{T}=T+A$的代数广义逆, 当且仅当

$\dim N(\overline{T})=\dim N(T)<+\infty.$

作为进一步的应用, 本节讨论Banach空间中广义逆和Hilbert空间中Moore-Penrose逆的扰动表示.首先由定理2.4, 可以得到

定理3.1    设$X, Y$为Banach空间, $T\in C(X, Y)$存在广义逆$T^+\in C(Y, X)$, $\delta T\in B(X, Y)$满足$R(\delta T)\subseteq D(T^+)$.若$\|T^+\delta T\|＜1$, 则下列命题等价

$(1)\ B=T^+(I+\delta TT^+)^{-1}=(I+T^+\delta T)^{-1}T^+$为$\overline{T}=T+\delta T$的广义逆;

$(2)\ R(\overline{T})=R(\overline{T}T^+)$;

$(3)\ R(\overline{T})\cap N(T^+)=\{0\};$

$(4)\ N(T^+\overline{T})=N(\overline{T})$;

$(5)\ (I+\delta TT^+)^{-1} R(\overline{T})=R(T)$;

$(6)\ (I+T^+\delta T)^{-1}N(T)=N(\overline{T})$;

$(7)\ (I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T} N(T)\subseteq R(T).$

证    根据$T\in C(X, Y)$与$\delta T\in B(X, Y)$, $\overline{T}=T+\delta T$为稠定闭算子.又在假设$\|T^+\delta T\|＜1$下, 由著名的Banach引理, $I+T^+\delta T: X\rightarrow X$可逆, 且$(I+T^+\delta T)^{-1}$为有界线性算子.由$T^+$为稠定闭算子, 容易证明$B=(I+T^+\delta T)^{-1}T^+$也为稠定闭算子.根据定理2.4知, 结论成立.证毕.

定理3.2    设$X, Y$为Banach空间, $T\in C(X, Y)$存在有界广义逆$T^+\in B(Y, X)$.若$\delta T\in B(X, Y)$满足$\|\delta TT^+\|＜1$, 则下列命题等价

$(1)\ B=T^+(I+\delta TT^+)^{-1}=(I+T^+\delta T)^{-1}T^+: Y\rightarrow D(T)$为$\overline{T}=T+\delta T$的广义逆;

$(2)\ R(\overline{T})=R(\overline{T}T^+)$;

$(3)\ R(\overline{T})\cap N(T^+)=\{0\};$

$(4)\ N(T^+\overline{T})=N(\overline{T})$;

$(5)\ (I+\delta TT^+)^{-1} R(\overline{T})=R(T)$;

$(6)\ (I+T^+\delta T)^{-1}N(T)=N(\overline{T})$;

$(7)\ (I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T} N(T)\subseteq R(T);$

$(8)\ X=N(\overline{T})\oplus \overline{R(T^+)}$或$X=N(\overline{T})+\overline{R(T^+)};$

$(9)\ Y=R(\overline{T})\oplus N(T^+).$

证    在假设$\|\delta TT^+\|＜1$下, $I+\delta TT^+: Y\rightarrow Y$可逆, 且$(I+\delta TT^+)^{-1}$为有界线性算子.易见$B=T^+(I+\delta T T^+)^{-1}$为有界线性算子.若$B$为$\overline{T}$的广义逆, 则根据定理1.6和定理2.4, $(2)\sim(9)$均成立.反之, 若$(2)\sim(7)$中之一成立, 则(1) 成立.若(9) 成立, 则(3) 成立.若$X=N(\overline{T})+\overline{R(T^+)}$成立, 则对任何$x\in N(T)$, 存在$x_1\in N(\overline{T})$, $x_2\in\overline{R(T^+)}$, 使得$x=x_1+x_2$.从而$x_2=x-x_1\in D(T)$, 且$x_2-T^+Tx_2\in\overline{R(T^+)}\cap N(T)=\{0\}$, 即$x_2=T^+Tx_2$.因此

$ (I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T}x=(I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T}x_2=(I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T}T^+Tx_2\\ =(I+\delta TT^+)^{-1}(I+\delta TT^+)TT^+Tx_2=Tx_2\in R(T). $

故(7) 成立.证毕.

当$T\in B(X, Y)$, $T^+\in B(Y, X)$时, $R(T^+)$为闭集.由定理3.2, 直接可以得到

定理3.3    设$X, Y$为Banach空间, $T\in B(X, Y)$存在广义逆$T^+\in B(Y, X)$.若$\delta T\in B(X, Y)$满足$\|\delta TT^+\|＜1$.则下列命题等价

$(1)\ B=(I+T^+\delta T)^{-1}T^+=T^+(I+\delta TT^+)^{-1}$为$\overline{T}=T+\delta T$的广义逆;

$(2)\ R(\overline{T})=R(\overline{T}T^+)$;

$(3)\ R(\overline{T})\cap N(T^+)=\{0\};$

$(4)\ N(T^+\overline{T})=N(\overline{T})$;

$(5)\ X=N(\overline{T})\oplus R(T^+)$或$X=N(\overline{T})+R(T^+);$

$(6)\ (I+\delta TT^+)^{-1} R(\overline{T})=R(T)$;

$(7)\ (I+T^+\delta T)^{-1}N(T)=N(\overline{T})$;

$(8)\ (I+\delta TT^+)^{-1}\overline{T} N(T)\subseteq R(T);$

$(9)\ Y=R(\overline{T})\oplus N(T^+).$

注    定理3.2和定理3.3推广了文[6, 7, 13-16, 18]中的相关结果.

定理3.4    设$X, Y$为Hilbert空间, $T\in C(X, Y)$存在Moore-Penrose逆$T^\dagger\in B(Y, X)$.若$\delta T\in B(X, Y)$满足$\|\delta TT^\dagger\|＜1$, 则$B=T^\dagger(I+\delta TT^\dagger)^{-1}=(I+T^\dagger\delta T)^{-1}T^\dagger$为$\overline{T}=T+\delta T$的Moore-Penrose逆当且仅当$R(\overline{T})=R(T), $ $ N(\overline{T})=N(T).$

证    若$R(\overline{T})=R(T)$, $ N(\overline{T})=N(T)$成立, 则根据定理3.2, $B$为$\overline{T}$的广义逆.因此

$\begin{eqnarray}\label{(3.1)} X=N(\overline{T})\oplus \overline{R(B)}, \quad Y=R(\overline{T})\oplus N(B).\end{eqnarray}$

(3.1)

根据Moore-Penrose逆的定义, $X$与$Y$分别具有正交分解

$X=N(T)\oplus^{\perp}\overline{R(T^\dagger)}, \quad Y=R(T)\oplus^{\perp}N(T^\dagger).$

又$R(T^\dagger)=R(B)$, $N(T^\dagger)= N(B), $则$X=N(\overline{T}) \oplus^{\perp} \overline{R(B)}, $ $ Y=R(\overline{T}) \oplus^{\perp} N(B), $即(3.1) 式中的拓扑分解为正交分解.因此$B$为$\overline{T}$的Moore-Penrose逆.反之, 若$B$为$\overline{T}$的Moore-Penrose逆, 则

$X=N(\overline{T}) \oplus^{\perp} \overline{R(B)}, \quad Y=R(\overline{T}) \oplus^{\perp} N(B).$

从而$N(\overline{T})=R(B)^\perp$, $R(\overline{T})={N(B)}^\perp.$注意到$N(T)=R(T^\dagger)^\perp$, $R(T)={N(T^\dagger)}^\perp$, $R(T^\dagger)=R(B)$和$N(T^\dagger)= N(B), $我们得到$R(\overline{T})=R(T)$和$ N(\overline{T})=N(T).$证毕.

注    定理3.4推广了文[9, 14-16]中的相关结果.