多值逻辑系统是$20$世纪$30$年代Lukasiewicz提出的.随着$20$世纪$70$年代模糊集概念的提出, 模糊逻辑与模糊推理理论得到了发展.基于对模糊逻辑与经典逻辑本质区别的分析, $1997$年, 王国俊^[1]提出了模糊命题的一种形式演绎系统£^*, 为了系统研究£^*, 王国俊^[2]引入了一种新的逻辑代数-$R_0$代数.这为这类演绎系统的研究提供了代数模型.随后, 很多学者^[3-5]都对$R_0$代数进行了研究.

作为多值逻辑中命题真值的平均度, 1995年Mundici ^[6]提出了$MV$代数上态的概念.近年来, 国内外很多学者致力于逻辑代数上态理论的研究.例如, 2008年, 刘练珍^[14]研究了$R_0$代数上的态存在问题. 2007年, Flaminio和Montagna ^[7]用一种新的方法研究了$MV$代数上的态.他们在MV代数上定义了一个一元运算$\sigma$ (称为内部态或者态算子), 它是态的推广.随后, 态算子在其他代数结构中进行了研究.例如, 2011年Ciungu等^[8]提出了态BL代数, 它是态MV代数的推广. 2015年, 贺鹏飞、辛小龙^[13]提出了态residuated lattices并研究了其相关性质.本文提出了态$R_0$代数的定义, 研究了它的性质, 又定义了态滤子和态局部$R_0$代数的概念, 并利用态滤子刻画了态局部$R_0$代数.

定义2.1 ^[2]设$L=(L,\wedge,\vee,',\rightarrow,0,1)$是$(2,2,1,2,0,0)$型代数, 若

(1) $(L,\wedge,\vee,0,1)$是一个有界分配格;

(2) $'$是关于序$\leq$而言的逆序对合对应;

(3) 对于$L$中的任意元素$x,y,z$, 有

(L1) $x'\rightarrow y'= y\rightarrow x$,

(L2) $1\rightarrow x= x$,

(L3) $y\rightarrow z\leq (x\rightarrow y)\rightarrow(x\rightarrow z)$,

(L4) $x\rightarrow(y\rightarrow z)= y\rightarrow(x\rightarrow z)$,

(L5) $x\rightarrow(y\vee z)=(x\rightarrow y)\vee(x\rightarrow z)$, $x\rightarrow(y\wedge z)=(x\rightarrow y)\wedge(x\rightarrow z)$,

(L6) $(x\rightarrow y)\vee((x\rightarrow y)\rightarrow(x'\vee y))=1$,

则称$(L,\wedge,\vee,',\rightarrow,0,1)$为$R_0$代数.以下简记为$L$.

在$R_0$代数$L$中定义序关系$"\leq"$为$x\leq y$当且仅当$x\rightarrow y=1$.

性质2.2 ^[2]设$L$是$R_0$代数, 则以下结论成立:对任意的$x,y,z\in L$,

(P1) $x\rightarrow y\leq(y\rightarrow z)\rightarrow(x\rightarrow z)$,

(P2) $x\rightarrow x=1$,

(P3) $x\leq y\Leftrightarrow x\rightarrow y=1\Leftrightarrow y\rightarrow z\leq x\rightarrow z\Leftrightarrow z\rightarrow x\leq z\rightarrow y$,

(P4) $x\rightarrow y=((x\rightarrow y)\rightarrow y)\rightarrow y$,

(P5) $(x\vee y)\rightarrow z=(x\rightarrow z)\wedge (y\rightarrow z)$, $(x\wedge y)\rightarrow z=(x\rightarrow z)\vee (y\rightarrow z)$,

(P6) $x\leq(x\rightarrow y)\rightarrow y$,

(P7) $x\rightarrow y=x\rightarrow(x\wedge y)$.

性质2.3 ^[2]设$L$是$R_0$代数, 在$L$上定义$x\otimes y=(x\rightarrow y')'$, 则有对任意的$x,y,z\in L$,

(1) $x\otimes y=y\otimes x$,

(2) $z\leq y\Rightarrow x\otimes z\leq x\otimes y$,

(3) $x\rightarrow y\leq x\otimes z\rightarrow y\otimes z$,

(4) $x\otimes y\leq x,y$.

定义2.4 ^[9]设$L$是$R_0$代数, $F$是$L$的非空子集, 若以下条件成立:对任意的$x,y\in F$,

(1) $1\in F$;

(2) 若$x\in F,x\rightarrow y\in F$则$y\in F$.

则称$F$为$L$的滤子.

设$L$是$R_0$代数, $F$为$L$的滤子.若$F\neq L$, 则称$F$为真滤子.显然, $F$是真滤子当且仅当$0\notin F$当且仅当对任意的$x\in L$, $x$和$x'$不能同时属于$F$.若$E$是任意一个滤子, 且$F\subseteq E$, 有$E=F$或$E=L$, 则称真滤子$F$为极大滤子.

引理2.5 ^[10]设$L$是$R_0$代数, $F$是$L$的非空子集, 则$F$是$L$的滤子$\Leftrightarrow$以下条件成立:对任意的$x,y\in F$,

(1) $1\in F$,

(2) 若$x\in F,x\leq y$, 则$y\in F$,

(3) 若$x,y\in F$, 则$x\otimes y\in F$.

推论2.6 ^[10]设$L$是$R_0$代数, $F$是$L$的滤子, 定义二元关系$R_F$为$xR_Fy$当且仅当$x\rightarrow y\in F$和$y\rightarrow x\in F$.则

(1) $R_F$为$L$上的同余关系,

(2) $L/F$为一个$R_0$代数, 这里$[x]$表示$x$所在的$R_F$等价类并且$L/F=\{[x]|x\in L\}$.

定义2.7 ^[9]设$L$是$R_0$代数, $x\in L$, 使$x^m=0$成立的最小自然数$m$叫做元素$x$的阶, 记为$\mbox{ord}(x)$.若这样的$m$不存在, 则称$x$的阶为无限, 即$\mbox{ord}(x)=\infty$.

引理2.8 ^[11]设$L$是$R_0$代数, $X$是$L$的非空子集, 称包含$X$的最小滤子为由$X$生成的滤子, 记为$\langle X\rangle$, 则$\langle X\rangle=\{x\in L|x\geq x_1\otimes x_2\otimes \cdots \otimes x_n$, 存在$x_1,x_2\cdots x_n\in X\}$.记$L$的所有滤子集为$\digamma(L)$, 且$\digamma(L)$ (关于包含关系)可构成完备格.

引理2.9 ^[9]设$L$为$R_0$代数, $F$为$L$的任意一个真滤子, 则$F$可延拓为一个极大滤子.

定义2.10 ^[12]设$L$为$R_0$代数, 若$L$有唯一的极大滤子, 则称$L$为局部的.

定义3.1 设$L$是$R_0$代数, $\sigma :L\rightarrow L$为$L$上的自映射.若$\sigma$满足:对任意的$x,y\in L$,

(SL1) $\sigma(0)=0$,

(SL2) $x\rightarrow y=1\Rightarrow \sigma(x)\rightarrow \sigma(y)=1$,

(SL3) $\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge y)$,

(SL4) $\sigma(\sigma(x)\vee \sigma(y))=\sigma(x)\vee \sigma(y)$.

则称$\sigma$为$L$上的态算子, 此时称$(L;\sigma)$为态$R_0$代数.

设$\sigma$为$L$上的任意的态算子, $\mbox{Ker}(\sigma)=\{x\in L|\sigma(x)=1\}$.若$\mbox{Ker}(\sigma)=\{1\}$, 则称$\sigma$为忠实的.

例3.2 设$L$为$R_0$代数, 由性质$2.2$可知, $id_L$为$L$上的态算子.因此$(L;id_L)$为态$R_0$代数, 即一个$R_0$代数$L$可以看成是一个态$R_0$代数.

例3.3 设$L=\{0,a,b,c,d,e,f,g,1 \}$, $L$上的偏序关系为$0\leq a\leq c,d\leq f\leq 1,0\leq b\leq d,e\leq g\leq 1$, 其上的二元运算$\rightarrow$和一元运算$'$的定义如下表所示

容易验证$(L,\wedge,\vee,',\rightarrow,0,1)$是$R_0$代数.在$L$上定义$\sigma$如下

$\sigma(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0,x = 0,a,c,\\ d,x = b,d,f,\\ 1,x = e,g,1,\\ \end{array} \right.$

则容易验证$\sigma$是$L$上的态算子, 即$(L;\sigma)$是态$R_0$代数.

性质3.4 设$(L;\sigma)$为态$R_0 $代数, 则以下结论成立:对任意的$x,y\in L$,

(1) $\sigma(1)=1$,

(2) $x\leq y\Rightarrow \sigma(x)\leq \sigma(y)$,

(3) $\sigma(x')=(\sigma(x))'$,

(4) $\sigma \sigma(x)=\sigma(x)$,

(5) $\sigma(\sigma(x)\wedge \sigma(y))=\sigma(x)\wedge \sigma(y)$,

(6) $\sigma(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y))=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$,

(7) $\sigma(\sigma(x)\otimes \sigma(y))=\sigma(x)\otimes \sigma(y)$,

(8) $\sigma(x\rightarrow y)\leq \sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$.特别地, 若$x,y$可比较, 则$\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$,

(9) 若$\sigma$是忠实的, 则$x< y\Rightarrow \sigma(x)< \sigma(y)$,

(10) $\sigma(L)=\mbox{Fix}(\sigma)$, 这里$\mbox{Fix}(\sigma)=\{x\in L|\sigma(x)=x\}$,

(11) $\sigma(x\otimes y)\geq \sigma(x)\otimes \sigma(y)$.特别地, 若$x,y$可比较, 则$\sigma(x\otimes y)=\sigma(x)\otimes \sigma(y)$,

(12) $\mbox{Ker}(\sigma)$是$L$的滤子,

(13) $\sigma(L)$是$L$的子代数.

证 (1) 由(SL2) 可得$\sigma(0\rightarrow 1)=\sigma(0)\rightarrow\sigma(0\wedge 1)$, 即$\sigma(1)=\sigma(0)\rightarrow \sigma(0)=1$.

(2) 由$x\leq y$可得$x\rightarrow y=1$, 又由(SL2) 可知$\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)=1$即$\sigma(x)\leq \sigma(y)$.

(3) 由(SL3) 可知$\sigma(x')=\sigma(x\rightarrow 0)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge 0)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(0)=(\sigma(x))'$.

(4) 由(SL1) 和(SL4) 可得$\sigma(\sigma(x)\vee \sigma(0))=\sigma(x)\vee \sigma(0)$, 即$\sigma \sigma(x)=\sigma(x)$.

(5) 由(SL4) 和$(3)$,

$\begin{eqnarray*}&&\sigma(\sigma(x)\wedge \sigma(y))=\sigma[(\sigma(x))'\vee(\sigma(y))']'=\sigma(\sigma(x')\vee \sigma(y'))'=(\sigma(\sigma(x')\vee \sigma(y')))'\\ &=&(\sigma(x')\vee \sigma(y'))'=[(\sigma(x))'\vee(\sigma(y))']'=\sigma(x)\wedge \sigma(y).\end{eqnarray*}$

(6) 由(SL3), $(4)$和$(5)$可得

$\begin{eqnarray*}&&\sigma(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y))=\sigma \sigma(x)\rightarrow \sigma(\sigma(x)\wedge \sigma(y))=\sigma(x)\rightarrow(\sigma(x)\wedge \sigma(y))\\ &=&(\sigma(x)\rightarrow \sigma(x))\wedge(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y))=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y).\end{eqnarray*}$

(7) 由(3) 和(6) 可得

$\begin{eqnarray*}&&\sigma(\sigma(x)\otimes \sigma(y))=\sigma(\sigma(x)\rightarrow (\sigma(y))')'=\sigma(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y'))'\\ &=&(\sigma(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y')))'=(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y'))'=\sigma(x)\otimes \sigma(y).\end{eqnarray*}$

(8) 由于$x\wedge y\leq y$, 即$(x\wedge y)\rightarrow y=1$, 由(SL2) 可得$\sigma(x\wedge y)\rightarrow \sigma(y)=1$即$\sigma(x\wedge y)\leq \sigma(y)$.由(P3) 可知$\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge y)\leq \sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$, 又根据(SL3), $\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge y)\leq \sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$.

若$x\leq y$, 则$\sigma(x)\leq \sigma(y)$即$\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)=1$, $\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(1)-1$, 所以$\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$.

若$y\leq x$, 则$x\wedge y=y$.由(SL3) 可知, $\sigma(x\rightarrow y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)$.

(9) 由$x< y$可得$\sigma(x)\leq \sigma(y)$.假设$\sigma(x)=\sigma(y)$, 由(SL3), $\sigma(y\rightarrow x)=\sigma(y)\rightarrow \sigma(y\wedge x)=\sigma(y)\rightarrow \sigma(x)=1$即$y\rightarrow x\in Ker(\sigma)=\{1\}$, 则$y\rightarrow x=1$, 即$y\leq x$, 与条件矛盾.所以$\sigma(x)< \sigma(y)$.

(10) 若对任意$y\in \sigma(L)$, 则存在$x\in L$使得$y=\sigma(x)$, $\sigma(y)=\sigma \sigma(x)=\sigma(x)=y$, 即$y\in \mbox{Fix}(\sigma)$.若对任意$y\in \mbox{Fix}(\sigma)$, 即$\sigma(y)=y$, 则$y\in \sigma(L)$.所以$\sigma(L)=\mbox{Fix}(\sigma)$.

(11) 由(P3), $(3)$和$(8)$可得$\sigma(x\otimes y)=\sigma(x\rightarrow y')'=(\sigma(x\rightarrow y'))'\geq (\sigma(x)\rightarrow \sigma(y'))'=\sigma(x)\otimes \sigma(y)$.特别地, 若$x,y$可比较, 则由(3) 和(8) 得$\sigma(x\otimes y)=\sigma(x\rightarrow y')'=(\sigma(x\rightarrow y'))'=(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y'))'=\sigma(x)\otimes \sigma(y)$.

(12) 由$\sigma(1)=1$可知$1\in \mbox{Ker}(\sigma)$.任意$x,y\in L$, 若$x,x\rightarrow y\in \mbox{Ker}(\sigma)$, 则有$\sigma(x)=1,\sigma(x\rightarrow y)=1$. $\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)=1\rightarrow \sigma(y)=\sigma(y)$, 由$(7)$, $\sigma(y)=\sigma(x)\rightarrow \sigma(y)\geq \sigma(x\rightarrow y)=1$, 即$\sigma(y)=1$, 所以$y\in \mbox{Ker}(\sigma)$.则$\mbox{Ker}(\sigma)$为$L$的滤子.

(13) 由(L1), (L4) 和$(1),(3),(5),(6)$知$\sigma(L)$对运算$\wedge,\vee,',\rightarrow$且对$0,1$封闭.所以$\sigma(L)$为$L$的子代数.

定义4.1 设$(L;\sigma)$是态$R_0$代数, $F$为$L$的滤子.若对任意的$x\in F$, 有$\sigma(x)\in F$, 则称$F$为$(L;\sigma)$的态滤子.设$F$为真态滤子, $E$是任意一个态滤子, 若$F\subseteq E$, 有$E=F$或$E=L$, 则称$F$为$(L;\sigma)$的极大态滤子.

记$SF[L]$为$(L;\sigma)$的所有态滤子的集合.

例4.2 设$F_1=\{e,g,1\},F_2=\{c,f,1\}$为例$3.2$中$L$的子集, 显然, $F_1,F_2$都是$L$的滤子.容易验证$F_1$是$(L;\sigma)$的态滤子.而在$F_2$中, $c,f\in F_2$但$\sigma(c)=0\notin F_2,\sigma(f)=d\notin F_2$, 所以$F_2$不是$(L;\sigma)$的态滤子.

设$(L;\sigma)$是态$R_0$代数, $X$是$L$的非空子集, 称包含$X$的最小\态滤子为由$X$生成的态滤子, 记为$\langle X\rangle_\sigma$.

定理4.3 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $X$是$L$的非空子集.则$\langle X\rangle_\sigma=\{x\in L|x\geq(x_1\otimes \sigma( x_1))^{n_1}\otimes \cdots \otimes(x_k\otimes \sigma( x_k))^{n_k},x_i\in X,n_i\geq 1,k\geq 1\}$.

证 证明和文献^[8]中定理5.4的证明类似.

引理4.4 设$(L;\sigma)$是态$R_0$代数, $F$为$(L;\sigma)$的真态滤子, 则$F$为极大态滤子当且仅当对任意的$x\notin F$, 存在正整数$n\geq 1$使得$(\sigma(x)^n)'\in F$.

证 证明和文献[8]中定理5.4的证明类似.

定义4.5 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, 若$(L;\sigma)$有唯一的极大态滤子, 则称$(L;\sigma)$为态局部的.

设$(L;\sigma)$是态$R_0$代数, 定义$D(L;\sigma)=\{x\in L|\forall n\geq 1,(\sigma(x))^n> 0\}$.

注 $\forall x\in L,x\in D(L;\sigma)$当且仅当$\mbox{ord}(\sigma(x))=\infty$.

引理4.6 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $F$是$(L;\sigma)$的真态滤子, 则$F\subseteq D(L;\sigma)$.

证 任意$x\in F$, 有$\sigma(x)\in F$, 则对任意的$n\geq 1,(\sigma(x))^n\in F$, 又$0\notin F$, 所以$(\sigma(x))^n\neq 0$即$x\in D(L;\sigma)$.所以, $F\subseteq D(L;\sigma)$.

引理4.7 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, 则下列结论等价.

$(1)$ $D(L;\sigma)$是$(L;\sigma)$的态滤子.

$(2)$对任意$x,y\in L$和$n\geq 1$, 由$(\sigma(x))^n,(\sigma(y))^n\neq 0$能推出$(\sigma(x\otimes y))^n\neq 0$.

证 $(1)\Rightarrow (2)$任意$x,y\in L$, 对任意的$n\geq 1$, 若$(\sigma(x))^n,(\sigma(y))^n\neq 0$即$x,y\in D(L;\sigma)$, 则$x\otimes y\in D(L;\sigma)$.所以$(\sigma(x\otimes y))^n\neq 0$.

$(2)\Rightarrow (1)$显然$1\in D(L;\sigma)$.设$x,x\rightarrow y\in D(L;\sigma)$, 则对任意$n\geq 1$, 有$(\sigma(x))^n,(\sigma(x\rightarrow y))^n> 0$, 由$(2)$可知$[\sigma(x\otimes(x\rightarrow y))]^n> 0$.由于$y\geq x\otimes(x\rightarrow y)$, 即$\sigma(y)\geq \sigma(x\otimes(x\rightarrow y))$, 所以$(\sigma(y))^n\geq [\sigma(x\otimes(x\rightarrow y))]^n> 0$.因此$y\in D(L;\sigma)$即$D(L;\sigma)$为滤子.设任意$x\in D(L;\sigma)$则对任意$n\geq 1$, 有

$(\sigma(x))^n> 0,[\sigma(\sigma(x))]^n=(\sigma(x))^n> 0,$

所以$\sigma(x)\in D(L;\sigma)$.因此$D(L;\sigma)$为态滤子.

定理4.8 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, 则下列条件等价.

$(1)$ $D(L;\sigma)$是态滤子;

$(2)$ $\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}$是真态滤子;

$(3)$ $D(L;\sigma)$是$(L;\sigma)$的唯一极大态滤子;

$(4)$ $(L;\sigma)$是态局部的.

证 $(1)\Rightarrow (2)$显然$\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}=D(L;\sigma)$.由于$0\notin D(L;\sigma)$, 故$\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}$是真态滤子.

$(2)\Rightarrow (3)$设$\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}$是真态滤子, 由引理$4.6$知$\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma} \subseteq D(L;\sigma)$, 又$D(L;\sigma)\subseteq \langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}$, 因此$\langle D(L;\sigma)\rangle_{\sigma}=D(L;\sigma)$即$D(L;\sigma)$为真态滤子.假设$F$为$(L;\sigma)$的极大态滤子, 即$F\subseteq D(L;\sigma)$, 由$F$的极大性知$F=D(L;\sigma)$.因此$D(L;\sigma)$是$(L;\sigma)$的唯一极大态滤子.

$(3)\Rightarrow (4)$显然.

$(4)\Rightarrow (1)$设$F$为$(L;\sigma)$的唯一极大态滤子.设$x\in D(L;\sigma)$, 则$\langle x\rangle_{\sigma}$是真态滤子, $\langle x\rangle_{\sigma}$可以延拓为极大态滤子$F_{x}$, 由唯一性知$F_{x}=F$, 因此$x\in F$, 所以$D(L;\sigma)\subseteq F$.又$F\subseteq D(L;\sigma)$, 故$D(L;\sigma)=F$.因此$D(L;\sigma)$为态滤子.

定理4.9 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $(L;\sigma)$是态局部的充要条件是对任意的$x\in L,$

$\mbox{ord}(\sigma(x))< \infty \mbox{或} \mbox{ord}(\sigma(x'))< \infty.$

证 $\Rightarrow$设$(L;\sigma)$是态局部, 由定理$4.8$知, $D(L;\sigma)$是态滤子.假设存在$x\in L$使得对任意$n\geq 1,(\sigma(x))^n> 0$且$(\sigma(x'))^n> 0$, 由引理$4.7$, $(\sigma(x\otimes x'))^n> 0$, 而$x\otimes x'=0,(\sigma(x\otimes x'))^n=0$矛盾.所以, 任意的$x\in L,$

$\mbox{ord}(\sigma(x))< \infty \mbox{或} \mbox{ord}(\sigma(x'))< \infty.$

$\Leftarrow$显然$1\in D(L;\sigma)$.设$x,x\rightarrow y\in D(L;\sigma)$, 则有$(x\otimes y')'=x\rightarrow y\in D(L;\sigma)$即$\mbox{ord}(\sigma(x\otimes y')')=\infty$, 由条件可得$\mbox{ord}(\sigma(x\otimes y'))< \infty$.设$\mbox{ord}(\sigma(x\otimes y'))=m_{1}$, 即$(\sigma(x\otimes y'))^{m_{1}}=0$, 又

$(\sigma(x))^{m_{1}}\otimes(\sigma(y'))^{m_{1}}=(\sigma(x)\otimes \sigma(y'))^{m_{1}}\leq (\sigma(x\otimes y'))^{m_{1}}=0,$

因此$(\sigma(y'))^{m_{1}}\leq [(\sigma(x))^{m_{1}}]'$. $x\in D(L;\sigma)$, 即对任意$n\geq 1,(\sigma(x))^n> 0$, 从而对任意$m> 1,[(\sigma(x))^{m_{1}}]^m> 0$, 即$\mbox{ord}(\sigma(x))^{m_{1}}=\infty$, 所以$\mbox{ord}[(\sigma(x))^{m_{1}}]'=m_{2}< \infty$, 即$[((\sigma(x))^{m_{1}})']^{m_{2}}=0$, 因此

$(\sigma(y'))^{m_{1}m_{2}}\leq [((\sigma(x))^{m_{1}})']^{m_{2}}=0,$

有$(\sigma(y'))^{m_{1}m_{2}}=0,\mbox{ord}(\sigma(y'))< \infty$, 所以$\mbox{ord}(\sigma(y))=\infty$, 即$y\in D(L;\sigma)$.设$x\in D(L;\sigma)$, 即$(\sigma(x))^n> 0,(\sigma(\sigma(x)))^n=(\sigma(x))^n> 0$, 则$\sigma(x)\in D(L;\sigma)$.因此$D(L;\sigma)$为态滤子, 由定理$4.9$知, $(L;\sigma)$是态局部的.

引理4.10 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $F$是$(L;\sigma)$的态滤子, $\sigma':L/F\rightarrow L/F$上的映射且$\sigma'(x/F)=\sigma(x)/F$, 则$(L/F;\sigma')$为态$R_0$代数.

证 由推论2.6可知$L/F$为$R_0$代数.又$\sigma'(0/F)=\sigma(0)/F=0/F$, 当$x\rightarrow y=1$时,

$\begin{eqnarray*}&&\sigma'(x/F)\rightarrow \sigma'(y/F)=(\sigma(x)\rightarrow \sigma(y))/F=1/F, \\ &&\sigma'((x\rightarrow y)/F)=(\sigma(x\rightarrow y))/F=(\sigma(x)\rightarrow \sigma(x\wedge y))/F\\ &=&\sigma(x)/F\rightarrow \sigma(x\wedge y)/F=\sigma'(x/F)\rightarrow \sigma'((x\wedge y)/F), \\ &&\sigma'(\sigma'(x/F)\vee \sigma'(y/F))=\sigma'(\sigma(x)/F\vee \sigma(y)/F)=(\sigma(\sigma(x)\vee \sigma(y)))/F\\ &=&(\sigma(x)\vee \sigma(y))/F=\sigma(x)/F\vee \sigma(y)/F=\sigma'(x/F)\vee \sigma'(y/F).\end{eqnarray*}$

因此由定义3.1可知$\sigma'$为$L/F$上的态算子, 所以$(L/F;\sigma')$为态$R_0$代数.

定理4.11 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $F$是$(L;\sigma)$的态滤子, 则以下条件是等价的.

(1) $(L/F;\sigma')$是态局部$R_0$代数,

(2) 若对任意$x,y\in L$, $x\otimes y'\in F$, 则存在正整数$n\geq 1$使得$((\sigma(x))^n)'\in F$或$((\sigma(y))^n )'\in F$.

证 $(1)\Rightarrow(2)$设$(L/F;\sigma')$为态局部$R_0$代数且$x\otimes y'\in F$, 即$y\rightarrow x'\in F$, 因此

$y\rightarrow x'/F=1/F,(\sigma(y)\rightarrow (\sigma(x)'))/F=1/F,$

即$\sigma(y)/F\leq (\sigma(x))/F$.假设对任意$n\geq 1$有$((\sigma(x))^n)'\notin F$, $(\sigma(x))^n)'/F\neq 1/F$, 即$(\sigma(x))^n/F\neq 0/F$, 由定理$4.9$, $\mbox{ord}(\sigma'(x'/F))< \infty$, 即存在$m\geq 1$使得

$(\sigma'(x'/F))^m=0/F,(\sigma'(y/F))^m\leq (\sigma'(x'/F))^m=0/F,$

即$(\sigma(y))^m/F=0/F$, 所以$((\sigma(y))^m)'/F=1/F$, 即$((\sigma(y))^m)'\in F$.

$(2)\Rightarrow(1)$由于$(x\otimes x')'=1\in F$, 故存在$n\geq 1$使得$((\sigma(x))^n)'\in F$或$((\sigma(x'))^n)'\in F$, 即$\sigma(x)^n/F=(\sigma'(x/F))^n=0/F$或$(\sigma'(x'/F))^n=0/F$.由定理$4.9$知$(L/F;\sigma')$为态局部$R_0$代数.

定理4.12 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $F$为$(L;\sigma)$的一个态滤子, 则以下条件等价.

(1) $(L;\sigma)$为态局部的,

(2) 对任意$x,y\in L$, 若$x\otimes y'\in F$, 则存在正整数$n\geq 1$使得$((\sigma(x))^n)'\in F$或$((\sigma(y))^n)'\in F$.

证 $(1)\Rightarrow (2) $设$(L;\sigma)$为态局部的且$F$为$(L;\sigma)$的真态滤子.由引理$4.6$知, $F\subseteq D(L;\sigma)$.由定理$4.8$知, $D(L;\sigma)$为态滤子.若$x\otimes y'\in F\subseteq D(L;\sigma)$, 则对任意$n\geq 1,(\sigma(x\otimes y)')^n> 0$即$\mbox{ord}(\sigma(x\otimes y))< \infty$, 因此存在$n\geq 1$使得$(\sigma(x\otimes y))^n=0,$即$(\sigma(x))^n=0$或$(\sigma(y))^n=0$, 从而$((\sigma(x))^n)'=1\in F$或$((\sigma(y))^n)'=1\in F$.

$(2)\Rightarrow (1)$注意到$\{1\}$是$(L;\sigma)$的态滤子, $\sigma'$为上述所定义的映射, 由定理$4.10$知$(L/\{1\};\sigma')$为态局部$R_0$代数.又$(L;\sigma)\cong(L/\{1\};\sigma')$, 所以$(L;\sigma)$为态局部$R_0$代数.

由定理4.11和定理4.12, 有以下推论.

推论4.13 设$(L;\sigma)$为态$R_0$代数, $F$是$(L;\sigma)$的态滤子, $\sigma':L/F\rightarrow L/F$上的映射且$\sigma'(x/F)=\sigma(x)/F$, 则以下条件是等价的.

(1) $(L;\sigma)$为态局部的,

(2) $(L/F;\sigma')$是态局部$R_0$代数,

(3) 对任意$x,y\in L$, 若$x\otimes y'\in F$, 则存在正整数$n\geq 1$使得$((\sigma(x))^n)'\in F$或$((\sigma(y))^n)'\in F$.