本文研究一类推广的KdV方程

$ \begin{equation} {u_t} + a(1 + b{u^2}){u^2}{u_x} + \delta {u_{xxx}} = 0, \end{equation} $

(1.1)

其中$\delta \ne 0, a \ne 0, b \ne 0$均为参数.当$\delta \in R, \;a > 0, \;b < 0$时, Dey求出了该类方程的守恒律和域墙波解^[1]; 在相同条件下, 方程的孤波解的存在性在文献[2]中用动力系统分支法得到了证明; 通过利用推广的齐次平衡法和吴氏消元法, 文献[3]得到了方程的孤波解的解析表达式; 文献[4]通过相似约化, 研究了方程的相似解; 文献[5]用首次积分法得到了方程的精确解.

近年来, 对于非线性偏微分方程的精确解的研究, 又涌现出例如双曲函数展开法、Jacobi椭圆函数法、Riccati展开法、F展开法、齐次平衡法、首次积分法等方法和技巧.最近, 王明亮等又提出了一种简洁、有效地求方程精确解的方法, $\left( {\frac{{G'}}{G}} \right)$展开法^[6-8], 即将方程的行波解用$\left( {\frac{{G'}}{G}} \right)$的多项式来表示, 并且其中的$G$满足一类二阶线性常微分方程, 结合齐次平衡法得到了方程的精确行波解.

本文应用$\left( {\frac{{G'}}{G}} \right)$展开法的基本思想, 构造$\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)$展开法, 简称新的$G$展开法, 令其中的$G$满足一类二阶非线性常微分方程, 得到了较$\left( {\frac{{G'}}{G}} \right)$展开法有更多自由参数的新的不同的行波解, 从而扩大了方程的解的范围.本文以此新的$G$展开法, 即$\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)$展开法, 研究了一类推广的KdV方程, 获得了其含有多个任意参数的多种新的行波解.

对于非线性偏微分方程

$ \begin{equation} P\left( {u, {u_x}, {u_t}, {u_{xx}}, {u_{xt}}, {u_{tt}}, \cdots } \right) = 0 \end{equation} $

(2.1)

作行波变换, 令$u\left( {x, t} \right) = u(\xi )$, $\xi = x - ct$, 使上式化为常微分方程

$ \begin{equation} P\left( {u, u', u'', \cdots } \right) = 0. \end{equation} $

(2.2)

设方程(2.2) 的解有如下形式

$ \begin{equation} u\left( \xi \right) = {\sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)} ^i}, \end{equation} $

(2.3)

这里${a_i}$$\left( {i = 0, 1, 2, \cdots } \right)$, $m$为待定常数, 其中非负整数$m$可通过齐次平衡法, 即平衡最高阶非线性项和最高阶线性项得到; $G = G\left( \xi \right)$满足二阶非线性常微分方程

$ \begin{equation} \rho GG'' + \lambda {\left( {G'} \right)^2} + \mu GG' + \omega {G^2} = 0, \end{equation} $

(2.4)

这里$\rho$、$\lambda$、$\mu$及$\omega$均为任意常数.通过借助Mathematica软件, 可以求得该方程的解有以下几种情况

① 当$\rho \ne - \lambda$, $\rho \ne 0$且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} > 0$时, 方程(2.4) 的解为

$ \begin{equation} G\left( \xi \right) = {C_2}\cos {\left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi -\rho {C_1}} \right)} \right]^{\frac{\rho }{{\rho + \lambda }}}}{\rm{exp}}\left( {\frac{{ - \mu \xi }}{{2\rho + 2\lambda }}} \right), \end{equation} $

(2.5)

这里${C_1}$、${C_2}$为积分常数.

② 当$\rho \ne - \lambda $, $\rho \ne 0$且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} < 0$时, 方程(2.4) 的解为

$ \begin{equation} G\left( \xi \right) = {C_2}\cosh {\left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi -\rho {C_1}} \right)} \right]^{\frac{\rho }{{\rho + \lambda }}}}{\rm{exp}}\left( {\frac{{ - \mu \xi }}{{2\rho + 2\lambda }}} \right), \end{equation} $

(2.6)

这里${C_1}$、${C_2}$为积分常数.

③ 当$\rho \ne - \lambda $且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} = 0$, 方程(2.4) 的解为

$ \begin{equation} G\left( \xi \right) = {C_2}{\left( {2\xi - \rho {C_1}} \right)^{\frac{\rho }{{\rho + \lambda }}}}{\rm{exp}}\left( {\frac{{ - \mu \xi }}{{2\rho + 2\lambda }}} \right), \end{equation} $

(2.7)

这里${C_1}$、${C_2}$为积分常数.

④ 当$\rho = - \lambda \ne 0$且$\mu \ne 0$时, 方程(2.4) 的解为

$ \begin{equation} G\left( \xi \right) = {C_2}{\rm{exp}}\left( {\frac{{ - \xi \omega + \lambda {C_1}{{\rm{e}}^{\frac{{\xi \mu }}{\lambda }}}}}{\mu }} \right), \end{equation} $

(2.8)

这里${C_1}$、${C_2}$为积分常数.

⑤ 当$\rho = - \lambda \ne 0$且$\mu = 0$时, 方程(2.4) 的解为

$ \begin{equation} G\left( \xi \right) = {C_2}{\rm{exp}}\left( {\frac{{{\xi ^2}\omega }}{{2\lambda }} + {C_1}\xi } \right), \end{equation} $

(2.9)

这里${C_1}$、${C_2}$为积分常数.

结合上述(2.4) 方程的解, 再将(2.3) 式代入(2.2) 式, 合并且比较$\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)$的各项系数, 可得到一组有关${a_i}$的代数方程组, 求出其解, 代回(2.3) 式, 即得原非线性偏微分方程(2.1) 的精确解.

设方程(1.1) 有行波解$u = u(\xi ) = u(x - ct)$, 其中$c$表示波速, 是一常数, 则方程可化为

$ - c\frac{{du}}{{d\xi }} + a(1 + b{u^2}){u^2}u' + \delta u''' = 0, $

两边关于$\xi$进行积分, 并令积分常数为零, 化简得

$ \begin{equation} - cu + \frac{a}{3}{u^3} + \frac{{ab}}{5}{u^5} + \delta u'' = 0. \end{equation} $

(3.1)

设方程(3.1) 的解能够表示成多项式(2.3) 式, 再利用齐次平衡法, 得到$m = \frac{1}{2}$, 不是整数, 故对方程(3.1) 作变换, 令$v = {u^2}$, 从而方程(3.1) 化为

$ \begin{equation} 30\delta vv'' - 15\delta {\left( {v'} \right)^2} + 12ab{v^4} + 20a{v^3} - 60c{v^2} = 0. \end{equation} $

(3.2)

设方程(3.2) 的解能够表示成多项式

$ v\left( \xi \right) = {\sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)} ^i}, $

这里$G = G\left( \xi \right)$满足二阶非线性常微分方程

$ \rho GG'' + \lambda {\left( {G'} \right)^2} + \mu GG' + \omega {G^2} = 0, $

其中$\rho$、$\lambda$、$\mu$及$\omega$均为任意常数.利用齐次平衡法, 有$m + m + 2 = 4m$或$2\left( {m + 1} \right) = 4m$, 得$m = 1$.则方程(3.2) 的解表示为

$ \begin{equation} v\left( \xi \right) = {a_1}\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right) + {a_0}, \end{equation} $

(3.3)

由方程(2.4) 和(3.3) 式, 可得

$ \begin{equation*} v'\left( \xi \right)= \frac{{{a_1}}}{{2\rho }}\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right){\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^2} + \frac{{{a_1}}}{\rho }( - \rho - \lambda + \omega )\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right) + \frac{{{a_1}}}{{2\rho }}\left( {\rho + \lambda + \mu + \omega } \right), \\ v''\left( \xi \right)= \frac{{{a_1}}}{{2{\rho ^2}}}{\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)^2}{\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^3} + \frac{{3{a_1}}}{{2{\rho ^2}}}\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)( - \lambda - \rho + \omega ){\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;+ \frac{{{a_1}}}{{2{\rho ^2}}}\left( {3{\omega ^2} - {\mu ^2} - 2\omega (\rho + \lambda ) + 3{{\left( {\rho + \lambda } \right)}^2}} \right)\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;+ \frac{{{a_1}}}{{2{\rho ^2}}}( - \rho - \lambda + \omega )\left( {\rho + \lambda + \mu + \omega } \right), \end{equation*} $

再将(3.3) 式和上面的$v'$和$v''$代入(3.2) 式, 合并$\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)$的同幂次项, 比较方程两端的系数, 得

$ \begin{equation*} {\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^0} : - \frac{{15\delta {a_1}^2}}{{4{\rho ^2}}}{\left( {\rho + \lambda + \mu + \omega } \right)^2} + \frac{{15\delta {a_0}{a_1}}}{{{\rho ^2}}}\left( { - \rho - \lambda - \mu - \omega } \right)\left( {\rho + \lambda - \omega } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;- 60ca_0^2 + 20aa_0^3 + 12aba_0^4 = 0, \\ {\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^1}: {a_0}{a_1}\left( { - 120c + 45\delta + \frac{{15\delta }}{{{\rho ^2}}}\left( {3{\lambda ^2} - {\mu ^2} + 6\lambda \rho - 2\lambda \omega - 2\rho \omega + 3{\omega ^2}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;+ 60aa_0^2{a_1} + 48aba_0^3{a_1} = 0, \\ {\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^2} : a_1^2\left( {\frac{{15\delta }}{{2{\rho ^2}}}\left( {3{\lambda ^2} - {\mu ^2} + 6\lambda \rho + 3{\rho ^2} - 2\lambda \omega - 2\rho \omega + 3{\omega ^2}} \right) - 60c} \right) + 60a{a_0}a_1^2 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;+ 72aba_0^2a_1^2+ \frac{{45\delta {a_0}{a_1}}}{{{\rho ^2}}}\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)\left( { - \rho - \lambda + \omega } \right) = 0, \\ {\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^3} : 20aa_1^3 + 48ab{a_0}a_1^3 - \frac{{30\delta a_1^2}}{{{\rho ^2}}}\left( {\rho + \lambda - \omega } \right)\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;+ \frac{{15\delta {a_0}{a_1}}}{{{\rho ^2}}}{\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)^2} = 0, \\ {\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)^4} : \frac{{45\delta a_1^2}}{{4{\rho ^2}}}{\left( {\rho + \lambda - \mu + \omega } \right)^2} + 12aba_1^4 = 0. \end{equation*} $

用Mathematica软件对以上代数方程组进行求解, 可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} {a_1} = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\left( {\rho + \lambda + \mu + \omega } \right)}}, {a_0} = - \frac{5}{{8b}}, c = - \frac{{5a}}{{48b}}, \end{aligned} \end{equation} $

(3.4)

将(3.4) 式代入(3.3) 式, 故得

$ \begin{equation*} v = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\left( {\rho + \lambda + \mu + \omega } \right)}}\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right) - \frac{5}{{8b}}, \end{equation*} $

又由$v = {u^2}$, 且令$\theta = \rho + \lambda + \mu + \omega $, 这时有

$ \begin{equation*} {u^2} = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\theta }}\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right) - \frac{5}{{8b}}, \end{equation*} $

其中$G$满足方程(2.4), 从而得到了推广的KdV方程(1.1) 的多个隐式行波解:

① 当$\rho \ne - \lambda $且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} > 0$时, 由(2.5) 式, 可得方程(1.1) 的解为

$ {u^2} = \pm \sqrt {- \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\theta }}\frac{{2\lambda + \mu + 2\rho + \sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)- {\mu ^2}} \tan \left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi-\rho {C_1}} \right)} \right]}}{{2\lambda - \mu + 2\rho - \sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2}} \tan \left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi-\rho {C_1}} \right)} \right]}} -\frac{5}{{8b}}, $

其中$\xi = x + \frac{{5a}}{{48b}}t$.此为方程的三角函数形式的解.

② 当$\rho \ne - \lambda $且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} < 0$时, 由(2.6) 式, 可得方程(1.1) 的解为

$ {u^2} = \pm \sqrt {- \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\theta }}\frac{{2\lambda + \mu + 2\rho + \sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)- {\mu ^2}} \tanh \left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi-\rho {C_1}} \right)} \right]}}{{2\lambda - \mu + 2\rho - \sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2}} \tanh \left[{\frac{1}{{2\rho }}\sqrt {4\omega \left( {\rho + \lambda } \right)-{\mu ^2}} \left( {\xi-\rho {C_1}} \right)} \right]}} -\frac{5}{{8b}}, $

其中$\xi = x + \frac{{5a}}{{48b}}t$.此为方程的双曲函数形式的解.

③ 当$\rho \ne - \lambda $且$4\omega \left( {\rho + \lambda } \right) - {\mu ^2} = 0$时, 由(2.7) 式, 可得方程(1.1) 的解为

$ {u^2} = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\theta }}\frac{{\left( {2\lambda + \mu + 2\rho } \right)\left( {2\xi - \rho {C_1}} \right) - 4\rho }}{{\left( {2\lambda - \mu + 2\rho } \right)\left( {2\xi - \rho {C_1}} \right) + 4\rho }} - \frac{5}{{8b}}, $

其中$\xi = x + \frac{{5a}}{{48b}}t$.此为方程的有理函数形式的解.

④ 当$\rho = - \lambda \ne 0$且$\mu \ne 0$时, 由(2.8) 式, 可得方程(1.1) 的解为

$ {u^2} = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\left( {\mu + \omega } \right)}}\frac{{\left( {\mu + \omega } \right) - \mu {{\rm{e}}^{ - \frac{{\xi \mu }}{\rho }}}{C_1}}}{{\left( {\mu - \omega } \right) + \mu {{\rm{e}}^{ - \frac{{\xi \mu }}{\rho }}}{C_1}}} - \frac{5}{{8b}}, $

其中$\xi = x + \frac{{5a}}{{48b}}t$.此为方程的指数函数形式的解.

⑤ 当$\rho = - \lambda \ne 0$且$\mu = 0$时, 由(2.9) 式, 可得方程(1.1) 的解为

$ {u^2} = \pm \sqrt { - \frac{{5ab}}{{3\delta }}} \frac{{5\rho }}{{16{b^2}\omega }}\frac{{\rho \left( {1 - {C_1}} \right) + \xi \omega }}{{\rho \left( {1 + {C_1}} \right) - \xi \omega }} - \frac{5}{{8b}}, $

其中$\xi = x + \frac{{5a}}{{48b}}t$.此为方程的另一有理函数形式的解.

本文借助计算机Mathematica软件, 运用新的$G$展开法, 即$\left( {\frac{{G - G'}}{{G + G'}}} \right)$展开法, 得到了一类推广的KdV方程的多种新的隐式行波解, 其中包括双曲函数解、三角函数解、有理函数解和指数函数解.这些精确行波解都含有多个自由的参数, 当这些参数在一定的条件下取不同数值时, 我们可以得到方程更为丰富的解.