孤立子理论中研究了KdV方程

$ u_t+uu_x+\alpha u_{xxx}=0 $

(1)

的求解问题, 并获得了许多新成果^[1-6], 这里$\alpha$是常数.

文献[7]利用延拓结构理论, 研究了KdV方程组

$ u_t+4uu_x-u_{xxx}+4vv_x+4(uv)_x=0, $

(2)

$ v_t+4vv_x-v_{xxx}+4uu_x+4(uv)_x=0 $

(3)

的延拓结构问题, 获得了新结果.

当方程$(2)$中取$v=v(x, t)=0$ (或方程$(3)$中取$u=u(x, t)=0$)时, 获得KdV方程.

文献[8]用达布变换法, 构造了KdV方程组

$ u_t+6vv_x-6uu_x+u_{xxx}=0, $

(4)

$ v_t-6uv_x-6vu_x+v_{xxx}=0 $

(5)

的由双曲函数和三角函数组合的多孤子新解.

文献[9]用辅助方程法和Painlevé分析法, 研究了KdV方程组

$ u_t+\gamma_1vu_x+\big(\gamma_2v^2+\gamma_3uv+\gamma_4u_{xx}+\gamma_5u^2\big)_x=0, $

(6)

$ v_t+\delta_1vu_x+\big(\delta_2u^2+\delta_3uv+\delta_4v_{xx}+\delta_5v^2\big)_x=0 $

(7)

的可积性, 并获得了由双曲函数和三角函数组合的多孤子新解.另外, 用第一种椭圆方程, 获得了Jacobi椭圆函数单孤子新解, 这里$\gamma_i$和$\delta_j(i=j=1, 2, 3, 4, 5)$是常数.

本文用辅助方程法^[10-23], 研究了非线性耦合KdV方程组

$ u_t+\alpha_1uu_x-\alpha_2u_{xxx}+\alpha_3vv_x+\alpha_4(uv)_x=0, $

(8)

$ v_t+\beta_1vv_x-\beta_2v_{xxx}+\beta_3uu_x+\beta_4(uv)_x=0 $

(9)

的求解问题, 通过三个步骤, 构造了非线性耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解, 这里$\alpha_i$和$\beta_j(i=j=1, 2, 3, 4)$是常数.

步骤一, 给出一种函数变换, 把非线性耦合KdV方程组的求解问题转化为两种非线性常微分方程的求解问题; 步骤二, 给出两种非线性常微分方程的新解、Bäcklund变换和解的非线性叠加公式; 步骤三, 利用两种非线性常微分方程的相关结论, 构造了非线性耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解, 这里包括了Riemann $\theta$函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数组合的双孤子解、双周期解和孤子解与周期解复合的解.

通过函数变换

$ u(x, t)=\frac{1}{2}\big[P(\xi)+Q(\eta)\big]=\frac{1}{2}\big[P(\lambda x+\nu t)+Q(\mu x+\omega t)\big], $

(10)

$ v(x, t)=\frac{1}{2}\big[P(\xi)-Q(\eta)\big]=\frac{1}{2}\big[P(\lambda x+\nu t)-Q(\mu x+\omega t)\big]. $

(11)

将KdV方程组(8), (9) 的求解问题转化为两个非线性常微分方程的求解问题, 这里$\lambda, \mu, \nu$和$\omega$是待定常数, 而且$\lambda\neq\mu, \nu\neq\omega$.

定理1  当$\beta_1=\beta_4, \beta_3=\beta_4, \alpha_3=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2, \alpha_4=\alpha_1, \beta_4=\alpha_1$和$\beta_4=\alpha_4$时, 通过函数变换(10) 和(11), 将KdV方程组(8), (9) 的求解问题化为如下两个非线性常微分方程的求解问题

$ \frac{d^3P(\xi)}{d\xi^3}=P^{\prime\prime\prime}(\xi)=\frac{1}{\lambda^3\alpha_2}\big[\nu+2\lambda\alpha_1P(\xi)\big]P^{\prime}(\xi), $

(12)

$ \frac{d^3Q(\eta)}{d\eta^3}=Q^{\prime\prime\prime}(\eta)=\frac{\omega Q^{\prime}(\eta)}{\mu^3\alpha_2}. $

(13)

方程(12) 和(13) 可写作

$ \bigg(\frac{dP(\xi)}{d\xi}\bigg)^2=\big(P^{\prime}(\xi)\big)^2=2c_1+2c_0P(\xi)+\frac{\nu}{\lambda^3\alpha_2}P^2(\xi)+\frac{2\alpha_1}{3\lambda^2\alpha_2}P^3(\xi), $

(14)

$ \bigg(\frac{dQ(\eta)}{d\eta}\bigg)^2=\big(Q^{\prime}(\eta)\big)^2=2c_2+2c_3Q(\eta)+\frac{\omega}{\mu^3\alpha_2}Q^2(\eta), $

(15)

这里$c_0, c_1, c_2$和$c_3$是任意常数.

证  当$\beta_1=\beta_4, \beta_3=\beta_4, \alpha_3=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2, \alpha_4=\alpha_1, \beta_4=\alpha_1$和$\beta_4=\alpha_4$时, 将函数变换(10) 和(11) 代入KdV方程组(8), (9) 后获得非线性常微分方程(12), (13).

推论1  在定理1的条件下, 若$\mu=\lambda, \nu=\omega$, 则常微分方程$(14)$和$(15)$转化$\xi=\eta=\lambda x+\omega t$为变量的不同常微分方程.

定理2  当$\beta_3=\alpha_4, \alpha_3=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2, \beta_4=\alpha_1, \beta_1=\alpha_4$时, 通过函数变换(10) 和(11), 将KdV方程组(8), (9) 的求解问题化为如下两个非线性常微分方程的求解问题.

$ \frac{d^3P(\xi)}{d\xi^3}=P^{\prime\prime\prime}(\xi)=\frac{1}{\lambda^3\alpha_2}\big[\nu+\lambda(\alpha_4+\alpha_1)P(\xi)\big]P^{\prime}(\xi), $

(16)

$ \frac{d^3Q(\eta)}{d\eta^3}=Q^{\prime\prime\prime}(\eta)=\frac{1}{\mu^3\alpha_2}\big[\omega+\mu(\alpha_1-\alpha_4)Q(\eta)\big]Q^{\prime}(\eta). $

(17)

方程(16) 和(17) 可写作

$ \bigg(\frac{dP(\xi)}{d\xi}\bigg)^2=\big(P^{\prime}(\xi)\big)^2=2m_1+2m_0P(\xi)+\frac{\nu}{\lambda^3\alpha_2}P^2(\xi)+\frac{\alpha_4+\alpha_1}{3\lambda^2\alpha_2}P^3(\xi), $

(18)

$ \bigg(\frac{dQ(\eta)}{d\eta}\bigg)^2=\big(Q^{\prime}(\eta)\big)^2=2m_3+2m_2Q(\eta)+\frac{\omega}{\mu^3\alpha_2}Q^2(\eta)+\frac{\alpha_1-\alpha_4}{3\mu^2\alpha_2}Q^3(\eta), $

(19)

这里$m_0, m_1, m_2$和$m_3$是任意常数.

证  当$\beta_3=\alpha_4, \alpha_3=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2, \beta_4=\alpha_1, \beta_1=\alpha_4$时, 将函数变换(10) 和(11) 代入KdV方程组(8), (9) 后获得非线性常微分方程(16), (17).

推论2  在定理2的条件下, 若$\mu=\lambda, \nu=\omega, m_0\neq m_2, m_1\neq m_3$, 则常微分方程(18) 和(19) 转化$\xi=\eta=\lambda x+\omega t$为变量的不同常微分方程.

下面给出第一种椭圆方程(20) 与非线性常微分方程(18) 的拟Bäcklund变换

$ \bigg(z^{\prime}(\xi)\Big)^2=\Big(\frac{dz(\xi)}{d\xi}\Big)^2=a+bz^2(\xi)+cz^4(\xi), $

(20)

这里$a, b$和$c$是常数.

定理3  当非线性常微分方程(18) 与第一种椭圆方程(20) 的系数满足关系

$ \frac{\alpha_4+\alpha_1}{3\lambda^2\alpha_2}=\frac{1}{\Delta_1}(-bf+\sqrt{\Delta_0 f^2})(-bfg+\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh)\sqrt{\Delta_0 f^2}, \\ \ \ \frac{\nu}{\lambda^3\alpha_2}=\frac{1}{\Delta_2}\big[b^3fg^2-b^2g(\sqrt{\Delta_0 f^2}g-4afh)+6a (cg^2+ah^2)\sqrt{\Delta_0 f^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4b[a^2fh^2+ag(2cfg+\sqrt{\Delta_0 f^2}h)]\big], \\ \ \ 2m_0=\frac{2a}{\Delta_3}\big[-2c\sqrt{\Delta_0 f^2}g^3-b^2fg^2h+4a^2fh^3+bg[2cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g-2afh)]\big], \\ \ \ 2m_1=\frac{2a(cg^2-ah^2)}{\Delta_4}[-b^2fg^2+b\sqrt{\Delta_0 f^2}g^2+2af(cg^2+ah^2)] $

时, 两种非线性常微分方程(18) 和(20) 之间存在如下拟Bäcklund变换

$ p(\xi)=\frac{2a[g\mp\Delta_5z(\xi)+hz^2(\xi)]}{2af+(bf-\Delta_0)z^2(\xi)}, $

(21)

这里

$ \Delta_1=f\big[b^2fg^2-bg(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh)+2a[-cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+afh)]\big], \\ \Delta_2=b^2fg^2-bg(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh)+2a[-cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+afh)], \\ \Delta_3=f\big[b^2fg^2-bg(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh)+2a[-cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+afh)]\big], \\ \Delta_4=f(bf-\sqrt{\Delta_0 f^2})\big[b^2fg^2-bg(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh)+2a[-cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g+afh)]\big], \\ \Delta_5^2=\frac{1}{a(\Delta_0-bf)}[b^2fg^2-bg(\Delta_0g+2afh)+2a(-cfg^2+\Delta_0gh+afh^2)], \\ \Delta_0=b^2-4ac, $

$f, g$和$h$是非零任意常数.

证  在定理3的条件下, 将第一种椭圆方程(20) 和关系(21) 代入非线性常微分方程(18) 获得恒等式.

推论3  当

$ a=A^2\vartheta^2, b=-(1+k^2)\vartheta^2, c=\frac{k^2\vartheta^2}{A^2} $

时, 将第一种椭圆方程(20) 的解

$ z(\xi)=A\mathrm{sn}(\vartheta\xi, k), $

(22)

代入Bäcklund变换(21) 可得到非线性常微分方程(18) 的如下解

$ P(\xi)=\frac{-2\vartheta^2\big[g\Omega_1+A[\mp\sqrt{\frac{1}{A^2}\Omega_2}+Ah\Omega_1 \mathrm{sn}(\vartheta\xi, k)]\mathrm{sn}(\vartheta\xi, k)\big]} {\Omega_1\big[-2f\vartheta^2+[f(1+k^2)\vartheta^2+\Omega_0]\mathrm{sn^2}(\vartheta\xi, k)\big]} \quad(0\leq k\leq1), $

(23)

这里

$ \Omega_1=\sqrt{f(1+k^2)\vartheta^2+\Omega_0}, \\ \Omega_2=f[2A^4h^2+2A^2gh(1+k^2)+g^2(1+k^4)]\vartheta^2+g(g+2A^2h+gk^2)\Omega_0, \\ \Omega_0=\sqrt{f^2(-1+k^2)^2\vartheta^4}, $

$A, \vartheta, f, g$和$h$是非零任意常数.

用第一种椭圆方程(20) 的$A\mathrm{cn}(\vartheta\xi, k), A\mathrm{dn}(\vartheta\xi, k)$等解与Bäcklund变换等相关结论^[20-23], 通过定理3, 可获得非线性常微分方程(18) 的无穷序列新解.这些解包括光滑解和紧孤立子解.

推论4  在定理3的条件下, 当$k=1$ (或$k=0$)时, 通过拟Bäcklund变换(21), 可以获得非线性常微分方程(18) 的双曲函数和三角函数无穷序列解.

当$k=1$时, 将

$ A\mathrm{sn}(\vartheta\xi, k)=A\tanh(\vartheta\xi), A\mathrm{cn}(\vartheta\xi, k)=A\mathrm{sech}(\vartheta\xi), A\mathrm{dn}(\vartheta\xi, k)=A\mathrm{sech}(\vartheta\xi) $

分别代入拟Bäcklund变换(21) 可得到非线性常微分方程(18) 的纽状孤波解和钟状孤波解.

当$k=0$时, 将

$ A\mathrm{sn}(\vartheta\xi, k)=A\sin(\vartheta\xi), A\mathrm{cn}(\vartheta\xi, k)=A\cos(\vartheta\xi) $

分别代入拟Bäcklund变换(21) 可得到非线性常微分方程(18) 的奇异三角函数周期解和三角函数周期解.

非线性常微分方程$(14)$ (或(19))与第一种椭圆方程(20) 之间也存在拟Bäcklund变换(这里未讨论).

将非线性常微分方程$(14)$和$(15)$ (或(18) 和(19))的无穷序列新解分别代入公式

$ \left\{\begin{array}{cc}u_{mn}(x, t)=\frac{1}{2}\big[P_m(\xi)+Q_n(\eta)\big] =\frac{1}{2}\big[P_m(\lambda x+\nu t)+Q_n(\mu x+\omega t)\big]\quad(\lambda\neq\mu, \nu\neq\omega), \\ v_{mn}(x, t)=\frac{1}{2}\big[P_m(\xi)-Q_n(\eta)\big] =\frac{1}{2}\big[P_m(\lambda x+\nu t)-Q_n(\mu x+\omega t)\big]\quad(\lambda\neq\mu, \nu\neq\omega).\end{array}\right. $

(24)

即可得到KdV方程组(8), (9) 的无穷序列复合型新解.这里$P_m(\xi)$和$Q_n(\eta)$由$(14)$和$(15)$ (或(18) 和(19))来确定.

当非线性常微分方程(18) 的系数$2m_1, 2m_0, \frac{\nu}{\lambda^3\alpha_2}$和$\frac{\alpha_4+\alpha_1}{3\lambda^2\alpha_2}$满足定理3的条件时, 通过叠加公式

$ \left\{\begin{array}{\left\ccc} P_{m}(\xi)=\frac{2a[g\mp\Delta_5z_m(\xi)+hz_m^2(\xi)]}{2af+(bf-\Delta_0)z_m^2(\xi)}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_{m}(\xi)=\bigg[\frac{a\big[-bl\mp\sqrt{(b^2-4ac)l^2}-2clz_{m-1}^2(\xi)\big]}{c\big[2al\pm[\pm bl+\sqrt{(b^2-4ac)l^2}]z_{m-1}^2(\xi)\big]}\bigg]^{\frac{1}{2}}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_0(\xi)=\frac{\theta_1(\xi)}{\theta_3(\xi)}, a=\theta_4^2(0)\theta_2^2(0), b=\theta_2^4(0)-\theta_4^4(0), c=-\theta_4^2(0)\theta_2^2(0), \end{array}\right. $

(25)

$ \left\{\begin{array}{\leftccc} P_{m}(\xi)=\frac{2a[g\mp\Delta_5z_m(\xi)+hz_m^2(\xi)]}{2af+(bf-\Delta_0)z_m^2(\xi)}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_{m}(\xi)=\bigg[\frac{a\big[-bl\mp\sqrt{(b^2-4ac)l^2}-2clz_{m-1}^2(\xi)\big]}{c\big[2al\pm[\pm bl+\sqrt{(b^2-4ac)l^2}]z_{m-1}^2(\xi)\big]}\bigg]^{\frac{1}{2}}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_0(\xi)=A\mathrm{sn}(\vartheta\xi, k), a=A^2\vartheta^2, b=-(1+k^2)\vartheta^2, c=\frac{k^2\vartheta^2}{A^2}.\end{array}\right. $

(26)

即可获得非线性常微分方程(18) 的Riemann $\theta$函数与Jacobi椭圆函数无穷序列新解.

当非线性常微分方程(19) 与第一种椭圆方程(20) 的系数$\frac{\alpha_1-\alpha_4}{3\mu^2\alpha_2}, \frac{\omega}{\mu^3\alpha_2}, 2m_2, 2m_3, a, b$和$c$, 满足关系式

$ \frac{\alpha_1-\alpha_4}{3\mu^2\alpha_2}=\frac{1}{\Delta_1}\sqrt{\Delta_0 f^2}(-bf+\sqrt{\Delta_0 f^2})(-bfg+\sqrt{\Delta_0 f^2}g+2afh), \\ \ \ \frac{\omega}{\mu^3\alpha_2}=\frac{1}{\Delta_2}\big[b^3fg^2-b^2g(\sqrt{\Delta_0 f^2}g-4afh)+6a\sqrt{\Delta_0 f^2}(cg^2+ah^2)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4b[a^2fh^2+ag(2cfg+\sqrt{\Delta_0 f^2}h)]\big], \\ \ \ 2m_2=\frac{2a}{\Delta_3}\big[-2c\sqrt{\Delta_0 f^2}g^3-b^2fg^2h+4a^2fh^3+bg[2cfg^2+h(\sqrt{\Delta_0 f^2}g-2afh)]\big], \\ \ \ 2m_3=\frac{2a(cg^2-ah^2)}{\Delta_4}[-b^2fg^2+b\sqrt{\Delta_0 f^2}g^2+2af(cg^2+ah^2)] $

时, 通过叠加公式

$ \left\{\begin{array}{\leftccc} Q_{n}(\eta)=\frac{2a[g\mp\Delta_5z_n(\eta)+hz_n^2(\eta)]}{2af+(bf-\Delta_0)z_n^2(\eta)}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_{n}(\eta)=\bigg[\frac{a\big[-bl\mp\sqrt{(b^2-4ac)l^2}-2clz_{n-1}^2(\eta)\big]}{c\big[2al\pm[\pm bl+\sqrt{(b^2-4ac)l^2}]z_{n-1}^2(\eta)\big]}\bigg]^{\frac{1}{2}}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_0(\eta)=\frac{\theta_1(\eta)}{\theta_4(\eta)}, a_1=\theta_3^2(0)\theta_2^2(0), b_1=-\big(\theta_2^4(0)+\theta_3^4(0)\big), c_1=\theta_3^2(0)\theta_2^2(0), \end{array}\right. $

(27)

$ \left\{\begin{array}{\leftccc} Q_{n}(\eta)=\frac{2a[g\mp\Delta_5z_n(\eta)+hz_n^2(\eta)]}{2af+(bf-\Delta_0)z_n^2(\eta)}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_{n}(\eta)=\bigg[\frac{a\big[-bl\mp\sqrt{(b^2-4ac)l^2}-2clz_{n-1}^2(\eta)\big]}{c\big[2al\pm[\pm bl+\sqrt{(b^2-4ac)l^2}]z_{n-1}^2(\eta)\big]}\bigg]^{\frac{1}{2}}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ z_0(\eta)=A\mathrm{sn}(\vartheta\eta, k), a=A^2\vartheta^2, b=-(1+k^2)\vartheta^2, c=\frac{k^2\vartheta^2}{A^2}\end{array}\right. $

(28)

可获得非线性常微分方程$(15)$的Riemann $\theta$函数与Jacobi椭圆函数无穷序列新解, 这里$\Delta_j(j=0, 1, 2, 3, $ $4, 5)$由定理$3$来确定.$A, \vartheta, l, f, g$和$h$是非零任意常数.

结论1  获得两个Riemann $\theta$函数组合的复合型双周期新解.将通过叠加公式$(25), (27)$获得的无穷序列解, 分别代入公式$(24)$后即可得到KdV方程组的两个Riemann $\theta$函数组合的复合型双周期新解.

结论2  获得Riemann $\theta$函数与Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.将通过叠加公式$(25)$与$(28)$确定的无穷序列解, 代入公式$(24)$后即可得到KdV方程组的Riemann $\theta$函数与Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

结论3  获得两个Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.将通过叠加公式$(26)$与$(28)$确定的无穷序列解, 代入公式$(24)$后即可得到KdV方程组的两个Jacobi椭圆函数组合的复合型双周期新解.

当$m_0m_1\neq0, m_2=0, m_3=0$时, 可以获得KdV方程组(8), (9) 的如下无穷序列复合型新解(限于篇幅, 叠加公式未列出).

结论1  获得Riemann $\theta$函数型周期解与指数函数孤子解组合的无穷序列复合型新解.

结论2  获得Jacobi椭圆函数型周期解与指数函数孤子解组合的无穷序列复合型新解.

结论3  获得两个指数函数组合的无穷序列复合型双孤子新解.

结论4  获得指数函数型孤子解与三角函数周期解组合的无穷序列复合型新解.

结论5  获得Riemann $\theta$函数与三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

结论6  获得Jacobi椭圆函数与三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

结论7  获得两个三角函数组合的无穷序列复合型双周期新解.

在下面几种情况下, 用定理1--3的结论, 获得KdV方程组的无穷序列复合型新解.这里包括双孤子解、双周期解以及孤子解与周期解组合的复合型新解.

定理4  当$m_1m_0m_2\neq0, m_3=0$ (或$m_0m_2\neq0, m_1=0, m_3=0$)时, 获得KdV方程组(8), (9) 的由Riemann $\theta$函数、Jacobi椭圆函数、指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理5  当$m_1=0, m_2=0, m_3=0, m_0\neq0$时, 获得KdV方程组(4), (5) 的由Riemann $\theta$函数、Jacobi椭圆函数、指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理6  当$m_0=0, m_1=0, m_2=0, m_3=0$时, 获得KdV方程组(8), (9) 的由指数函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解.

定理7  常微分方程

$ \Big(y^{\prime}(\xi)\Big)^2=\Big(\frac{dy(\xi)}{d\xi}\Big)^2=Cy^2(\xi)+By^3(\xi), $

(29)

通过函数变换

$ y(\xi)=\bigg(\frac{C-4x^2(\xi)}{4\sqrt{B}x(\xi)}\bigg)^2, $

(30)

可化为Riccati方程

$ \frac{dx(\xi)}{d\xi}=x^{\prime}(\xi)=\epsilon\big(x^2(\xi)-\frac{1}{4}C\big)\quad(\epsilon=\pm\frac{1}{2}). $

(31)

根据Riccati方程的Bäcklund变换与解的非线性叠加公式等结论^[21-23], 可以获得Riccati方程$(31)$的无穷序列解, 这里包括纽状孤波解、奇异解、三角函数周期解和奇异三角函数周期解.

当

$ m_0=0, m_1=0, L=\frac{1}{2}, R=-\frac{1}{8}C, C=\frac{\nu}{\lambda^3\alpha_2}, B=\frac{\alpha_4+\alpha_1}{3\lambda^2\alpha_2} $

时, 通过下列叠加公式

$ \left\{\begin{array}{\leftccc}P_{m}(\xi)=\bigg(\frac{C-4x_m^2(\xi)}{4\sqrt{B}x_m(\xi)}\bigg)^2\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_{m}(\xi)=\frac{-R N_0+(2L M_0-2R K_0)x_{m-1}(\xi)+N_0L x_{m-1}^2(\xi)\mp\Theta x_{m-1}^{\prime}(\xi)} {2L\big[M_0+R H_0+[N_0+(K_0+L H_0)x_{m-1}(\xi)]x_{m-1}(\xi)\big]}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_0(\xi)=-\frac{1}{L}\sqrt{-LR}\tanh(\sqrt{-LR}\xi)\quad (LR<0), \end{array}\right. $

(32)

$ \left\{\begin{array}{\leftccc}P_{m}(\xi)=\bigg(\frac{C-4x_m^2(\xi)}{4\sqrt{B}x_m(\xi)}\bigg)^2\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_{m}(\xi)=\frac{-R N_0+(2L M_0-2R K_0)x_{m-1}(\xi)+N_0L x_{m-1}^2(\xi)\mp\Theta x_{m-1}^{\prime}(\xi)} {2L\big[M_0+R H_0+[N_0+(K_0+L H_0)x_{m-1}(\xi)]x_{m-1}(\xi)\big]}\quad(m=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_0(\xi)=\frac{1}{L}\sqrt{LR}\tan(\sqrt{LR}\xi)\quad (LR>0).\end{array}\right. $

(33)

即可获得常微分方程(18) 的纽状孤波解和三角函数周期解.

当

$ m_2=0, m_3=0, L=\frac{1}{2}, R=-\frac{1}{8}C, C=\frac{\omega}{\mu^3\alpha_2}, B=\frac{\alpha_1-\alpha_4}{3\mu^2\alpha_2} $

时, 通过下列叠加公式

$ \left\{\begin{array}{\leftccc}Q_{n}(\eta)=\bigg(\frac{C-4x_n^2(\eta)}{4\sqrt{B}x_n(\eta)}\bigg)^2\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_{n}(\eta)=\frac{-R N_0+(2L M_0-2R K_0)x_{n-1}(\eta)+N_0L x_{n-1}^2(\eta)\mp\Theta x_{n-1}^{\prime}(\eta)} {2L\big[M_0+R H_0+[N_0+(K_0+L H_0)x_{n-1}(\eta)]x_{n-1}(\eta)\big]}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_0(\eta)=-\frac{1}{L}\sqrt{-LR}\tanh(\sqrt{-LR}\eta)\quad (LR<0), \end{array}\right. $

(34)

$ \left\{\begin{array}{\leftccc}Q_{n}(\eta)=\bigg(\frac{C-4x_n^2(\eta)}{4\sqrt{B}x_n(\eta)}\bigg)^2\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_{n}(\eta)=\frac{-R N_0+(2L M_0-2R K_0)x_{n-1}(\eta)+N_0L x_{n-1}^2(\eta)\mp\Theta x_{n-1}^{\prime}(\eta)} {2L\big[M_0+R H_0+[N_0+(K_0+L H_0)x_{n-1}(\eta)]x_{n-1}(\eta)\big]}\quad(n=1, 2, \cdot\cdot\cdot), \\ x_0(\eta)=\frac{1}{L}\sqrt{LR}\tan(\sqrt{LR}\eta)\quad (LR>0).\end{array}\right. $

(35)

即可获得常微分方程(19) 的纽状孤波解和三角函数周期解, 这里

$ \Theta=\sqrt{N_0^2-M_1(M_0+R H_0)}, M_1=4(K_0+L H_0), $

$M_0, N_0, K_0, H_0$是不全为零的任意常数.

结论1  将叠加公式$(32)$与$(34)$确定的无穷序列解, 代入公式$(24)$得到KdV方程组的复合型双孤子新解.

结论2  将叠加公式$(32)$与$(35)$(或$(33)$与$(34)$)确定的无穷序列解, 代入公式$(24)$得到KdV方程组的双曲函数孤子解与三角函数周期解复合的新解.

结论3  将叠加公式$(33)$与$(35)$确定的无穷序列解, 代入公式$(24)$得到KdV方程组的复合型双周期新解.

用推论1获得的解, 可以构造KdV方程组(8), (9) 的复合型新解.用推论2中不同常微分方程的不同解, 可以构造KdV方程组(8), (9) 的复合型新解.这些解包括了由Riemann $\theta$函数解、Jacobi椭圆函数解、双曲函数解和三角函数解中不同的两个解组合的无穷序列复合型解.

文献[8]和[9]分别, 获得了KdV方程组(4), (5) 和(6), (7) 的由双曲函数与三角函数组成的形如(36) 的多孤子解.此类解与本文定理6和定理7中给出的结论是一致的.

$ u(x, t)=f\big(c_1\cos(\xi_1), c_2\cos(\xi_2), c_3\sin(\xi_1), c_4\sin(\xi_2), h_1(\xi_1), h_2(\xi_2), g_1(\xi_1), g_2(\xi_2)\big). $

(36)

这里

$ h_k(\xi_k)=c_i\cosh(\xi_k), g_k(\xi_k)=c_j\sinh(\xi_k), c_l(l=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 7, 8;i=5, 6;j=7, 8;k=1, 2) $

是不全为零的任意常数.

在本文的2.3.1节、2.3.2节、定理4和定理5, 能获得KdV方程组(8), (9) 由Riemann $\theta$函数和Jacobi椭圆函数组成的复合型新解, 这里包括周期解和孤子解组合的解、双周期解以及双孤子解.文献[8, 9]未能获得此类解.

本文的2.3.4节中获得了KdV方程组(8), (9) 由Riemann $\theta$函数解、Jacobi椭圆函数解、双曲函数解和三角函数解中不同的两个解组合的无穷序列复合型解.文献[9]未能获得此类复合型解, 只获得了KdV方程组的Jacobi椭圆函数单孤子解.

利用非线性常微分方程$(14)$与$(15)$的解与Bäcklund变换等结论, 也可以获得KdV方程组(8), (9) 的新解(未列出).当$\alpha_1=4, \alpha_2=1, \alpha_3=4, \alpha_4=4, \beta_1=4, \beta_2=1, \beta_3=4, \beta_4=4$时, KdV方程组(8), (9) 转化为KdV方程组$(2), (3)$.而且这些系数满足定理1和定理2的条件.因此根据KdV方程组(8), (9) 的相关结论, 可以获得KdV方程组$(2), (3)$的无穷序列复合型新解.