耦合方法是概率论研究中使用的一个重要方法, 在研究时齐的马氏过程时, 曾经对耦合方法有过系统的介绍和研究(参见文献[5]第5章).关于耦合的研究及其应用, 陈木法教授在这一方面有着十分重要及突出的贡献.而关于耦合方法的应用, 一个重要的方面就是有关于马氏过程的随机偏序问题.

Massey^[8]指出随机偏序是研究排队网络的平稳分析时很好的工具.通过随机偏序可以研究马氏过程的单调性, 比较定理以及强偏序及弱偏序的问题.有关时齐的随机单调性的证明可参阅文献[5].Massey在文献[8]中给出了马氏过程随机单调性的一般性判定准则, 但这一准则是从理论意义上得到的, 并没有给出显式的结果.本文综合了文献[5, 8]的结论及方法, 给出了非时齐马氏过程单调性的显式判定方法, 更方便于具体操作及应用, 并将这一充分性条件的判定准则推广为等价条件.

假设状态空间$(E, \mathscr{E})$上有一个可测的偏序“$\prec$”, 且

$ F:=\{(x_{1}, x_{2}):x_{1}\prec x_{2}\}\in\mathscr{E}^{2}. $

定义1  如果对所有非负的单调函数$f$都有

$ \begin{equation} x_{1}\prec x_{2}\Rightarrow P_{1}(t)f(x_{1})\leq P_{2}(t)f(x_{2}), \quad\quad t\geq0, \end{equation} $

(1.1)

称$P_{1}(t)\prec P_{2}(t)$, 若$P_{1}(t)=P_{2}(t)$, 则称$P_{1}(t)$是随机单调的.如果一个集合的示性函数是单调函数, 那么这个集合称为单调集合.

对于时齐马氏过程的随机单调性, 有判定方法:对于有界$q$对, $P_{1}(t)\prec P_{2}(t)$当且仅当其相应的$q$对对任意的单调集合$A$满足

$ \begin{equation} x_{1}\prec x_{2}, x_{2}\in A^{c}\Longrightarrow q_{1}(x_{1}, A)\leq q_{2}(x_{2}, A)\quad\quad \mbox{且}\\ x_{1}\prec x_{2}, x_{1}\in A\Longrightarrow q_{1}(x_{1}, A)-q_{1}(x_{1})\leq q_{2}(x_{2}, A)-q_{2}(x_{2}). \end{equation} $

(1.2)

对于非时齐的情形而言, 将前面的定义推广到非时齐马氏过程中, 就有

定义2  对于两个非时齐的半群$P_{k}(s, t), k=1, 2, $如果对所有非负的单调函数$f$都有

$ \begin{equation} x_{1}\prec x_{2}\Rightarrow P_{1}(s, t)f(x_{1})\leq P_{2}(s, t)f(x_{2}), \quad\quad t\geq s\geq0, \end{equation} $

(1.3)

则称$P_{1}(s, t)\prec P_{2}(s, t)$.若任意的$s\leq t$都有$P_{1}(s, t)=P_{2}(s, t)$, 称$P_{1}(s, t)$是随机单调的.

于是参考文献[5]中的引理5.45, 就得到了非时齐随机单调性的判定法则, 即

定理3  假设$(q_{k}(t, x), q_{k}(t, x, dy))(k=1, 2)$对于$t\geq0$是有界$q$对, 那么$P_{1}(s, t)\prec P_{2}(s, t)$当且仅当其相应的$q$对对任意的单调集合$A$都满足

$ \begin{equation} x_{1}\prec x_{2}, x_{2}\in A^{c}\Longrightarrow q_{1}(t, x_{1}, A)\leq q_{2}(t, x_{2}, A)\quad\quad \mbox{且}\\ x_{1}\prec x_{2}, x_{1}\in A\Longrightarrow q_{1}(t, x_{1}, A)-q_{1}(t, x_{1})\leq q_{2}(t, x_{2}, A)-q_{2}(t, x_{2}), \qquad t\geq0. \end{equation} $

(1.4)

证  对于有界的$q$对, 由文献[5]中可知存在唯一的过程$P(s, t)$与之对应.

若有$P_{1}(s, t)\prec P_{2}(s, t)$, 则意味着对于$x_{1}\prec x_{2}$,

$ P_{1}(s, t)f(x_{1})\leq P_{2}(s, t)f(x_{2}), \quad\quad t\geq s\geq0, $

于是对于任意的$t\geq0$都有

$ P_{1}(t, t+\triangle t)f(x_{1})\leq P_{2}(t, t+\triangle t)f(x_{2}). $

那么可以取$f$为示性函数$I_{A}$, 其中$A$为单调集合, 于是

$ P_{1}(t, t+\triangle t;x_{1}, A)\leq P_{2}(t, t+\triangle t;x_{2};A). $

对于$x_{1}\prec x_{2}$且$x_{2}\in A^{c}$的情形, 由于$A$是单调集合, 所以$I_{A}(x_{1})\leq I_{A}(x_{2})=0, $即$x_{1}\in A^{c}$, 于是有

$ q_{1}(t, x_{1}, A)=\lim_\limits{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{1}(t, t+\triangle t;x_{1}, A)}{\triangle t} \leq\lim_\limits{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{2}(t, t+\triangle t;x_{2}, A)}{\triangle t} =q_{2}(t, x_{2}, A). $

那么对于$x_{1}\prec x_{2}$, 且$x_{1}\in A$的情况, 同样由于$A$是单调集合, 所以$I_{A}(x_{2})\geq I_{A}(x_{1})=1, $也就是说$x_{2}\in A$.由于

$ \mbox{对于}x\in A, \mbox{有}\lim_\limits{\triangle t\rightarrow0}\frac{P(t, t+\triangle t;x;A)-1}{\triangle t}=q(t, x_{1}, A)-q(t), $

于是可得

$ \ \ q_{1}(t, x_{1}, A)-q_{1}(t, x_{1})=\lim_\limits{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{1}(t, t+\triangle t;x_{1};A)-1}{\triangle t}\\ \leq\lim_\limits{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{2}(t, t+\triangle t;x_{2};A)-1}{\triangle t} =q_{2}(t, x_{2}, A)-q_{2}(t, x_{2}). $

反过来, 如果（1.4）式对所有的$0\leq s\leq t$都成立, 那么对于任意的$0\leq s\leq t$, 可以令

$ q_{k}(s, t;x_{k};dy_{k})=\int_{s}^{t}q_{k}(u;x_{k};dy_{k})du, \qquad k=1, 2. $

此时, $q_{k}(s, t)$可以看做是$q_{k}(u)(u\in[s, t])$的线性组合, 于是对于$q_{k}(u)$满足的性质（1.4）式, $q_{k}(s, t)$也是同样满足的, 即对于所有的单调集合$A$有

$ \begin{equation*} x_{1}\prec x_{2}, x_{2}\in A^{c}\Longrightarrow q_{1}(s, t;x_{1};A)\leq q_{2}(s, t;x_{2};A)\quad\quad \mbox{且}\\ x_{1}\prec x_{2}, x_{1}\in A\Longrightarrow q_{1}(s, t;x_{1};A)-q_{1}(s, t;x_{1})\leq q_{2}(s, t;x_{2};A)-q_{2}(s, t;x_{2}). \end{equation*} $

此时将$\bar{q_{k}}(s, t)=\frac{q_{k}(s, t)}{t-s}$定义为$[s, t]$时间段内的均匀转移速率, 可以很简单的得到$\bar{q_{k}}(s, t)$也是满足上述条件的, 于是可以把非时齐的过程$P_{k}(s, t)$看作以$\bar{q_{k}}(s, t)$为转移速率的时齐过程, 时间长度即为$t-s$, 那么再由时齐时文献[5]中的定理5.47, 就可以得到$P_{1}(s, t)\prec P_{2}(s, t)$.

至此定理证明完毕.

注  在这里注意到, 对于保守的$q$对, $1-P(t, t+\triangle t; x; A)=P(t, t+\triangle t; x; A^{c}), $而对于$x_{1}, x_{2}\in A, $来说, 类似前面的证明有

$ q_{1}(t, x_{1}, A^{c})=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{1}(t, t+\triangle t;x_{1}, A^{c})}{\triangle t} =\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{1-P_{1}(t, t+\triangle t;x_{1};A)}{\triangle t}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \geq\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{1-P_{2}(t, t+\triangle t;x_{2};A)}{\triangle t} =\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{P_{2}(t, t+\triangle t;x_{2}, A^{c})}{\triangle t} =q_{2}(t, x_{2}, A^{c}), $

所以还可以得到对于保守的$q$对, （1.4）式也等价于

$ x_{1}\prec x_{2},~x_{2}\in A^{c}\Longrightarrow q_{1}(t,x_{1},A)\leq q_{2}(t,x_{2},A)\quad\quad \mbox{且}\\ x_{1}\prec x_{2},~x_{1}\in A\Longrightarrow q_{1}(t,x_{1},A^{c})\geq q_{2}(t,x_{2},A^{c}). $